幻
幻
幻像
像
像之
之
之花
花
花：
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虚拟
虚
拟
拟的
的
的铁
铁
铁磁
磁
磁性
性
性
李 翔 编译自 Cheong Sang-Wook. npj Quantum Materials, 2020, 5: 37 湖北师范大学先进材料研究院，黄石，435002 铁 铁 铁磁磁磁痴痴痴梦梦梦1 磁若华声电作琴， 一章物理谱知音。 痴人弹奏痴人梦， 化雨随风润匠心。
编按
本文乃源于美国 Rutgers University 杰出校董教 授 Sang-Wook Cheong 最近撰写的一篇文章：Trompe L’oeil Ferromagnetism, npj Quantum Materials, 2020, 5: 37。原文相对较为艰涩，译者在此基础上“添油 加醋”，加以诗意发挥，降低难度，草成本文。这里 “Trompe L’oeil ”一词之深意在正文中有详细说明， 但全文不免受译者个人观点看法所限。诚然，译文不 到之处颇多，敬请读者见谅。概要
如果看君不耐烦这冗长的文章，请阅览这一节 “概要”即可。 众所周知，铁磁或亚铁磁材料具有净磁矩。除 此之外，它们还展现出很多其它特性，包括磁吸性 (magnetic attraction)、磁圆二色性 (magnetic circular dichroism)、 磁 光 Kerr 效 应 (MOKE)、 法 拉 第 效 应 (Faraday effect)。另有多种类型的反常霍尔效应，包 括反常的爱廷豪森 (Ettingshausen)、能斯特 (Nernst) 以及热霍尔 (Thermal) 效应等，也常被视为是铁磁/亚 铁磁体系之附属效应。为了表达方便，不妨将所有这 1题头小诗乃南京大学物理学院刘俊明教授添加，乃感佩“痴人说 梦”般臆想“非磁即磁”的研究思路 些看起来源于“铁磁性”的性质/效应用字符“M” 来表示。然而，有意思的是：基于对称性破缺的框 架，有许多非磁性体系或一些反铁磁体系，当处于外 场作用下时，竟然具备与铁磁性相似的对称操作，可 能产生“非零 M”。姑且称这种相似的对称操作为 “对称操作相似性 (symmetry operational similarity, SOS)”，简称 SOS；姑且将这些与“铁磁性对称操作 相似的对称操作”简称为“非零M 的 SOS”。 如果将处于特定外场、光照或其它时空条件作用 下的材料（或某种自旋排列、晶格畸变状态）定义 为“构成量 (specimen constituent)”，那么更有趣的 是：一旦这些“构成量”具有“非零M 的 SOS”， 即可赋予这些材料原来没有的、类似于铁磁性的新 效应。以铁电畴壁为例：“铁电畴壁”本与铁磁性无 关，但如果赋予“铁电畴壁”以“运动”，则“铁电 畴壁 + 运动”就组成了一个“构成量”，这个“构成 量”就可能具有铁磁性行为。事实上，带电的铁电畴 壁如果发生运动，自然就展现出铁磁性。此铁磁性是 “铁电畴壁 + 运动”这个“构成量”所展现出来的， 原来静止的“铁电畴壁”并无这个效应。 的确，这些“构成量”展现出了“以假乱真”一 般铁磁性行为，称之为 Trompe L’oeil 铁磁性。信手拈 来，这样的例子很多，包括：外电场作用下的线性磁 电效应、手性碲晶体中的法拉第效应、铁电畴壁移动 诱导的磁场等等。有些特定的反铁磁材料（如 Cr2O3, MnPSe3 等），还可展现出：MOKE、法拉第效应、 反常霍尔效应等等，也与铁磁体系所展示的效应类 似。 总之，这些非铁磁体系（非磁或反铁磁体系）所 展示的铁磁效应，即统称为 Trompe L’oeil 铁磁性。基 于此，本文还提出了许多新的“构成量”，它们都具 有“非零 M 的 SOS”、可能会展示丰富的 Trompe L’oeil 铁磁性现象，其中大部分现象还有待未来实验 去证实。因此，这一新兴之领域乃创新之源、making impossible possible 之所！ 文章编号:1000-0542(2020)04-0129-14 129 DOI:10.13725/j.cnki.pip.2020.4.002I. 引子
网络上曾经流传过很有意思的一个动图――冰河 时代的小松鼠。制作者利用一种特殊的技巧，让人们 对该二维图形产生了三维真实感。但是，请注意，那 是一个真正的二维图形。 事实上，早在文艺复兴时期就出现了类似的作画 技巧。例如，图 1 所示乃位于维也纳耶稣会教堂的拱 顶壁画（Andrea Pozzo 1703 年绘制），即便是像笔者 这样没有什么艺术鉴赏能力的人，也对这幅图所表现 的视觉冲击力赞叹不已。这种作画方式称为 Trompe L’oeil，法语中的意思是“欺骗你的眼睛 (deceive the eye)”，中文说“以假乱真”，书面化术语乃“视觉陷 阱”。本文标题所谓“幻像之花”即表达这种陷阱。 遗憾的是，译者缺乏艺术积淀，自然无法从艺术 鉴赏的角度对大师的杰作进行更多评价。但上帝为 译者关闭了艺术之门，却开启了凝聚态物理学这扇 窗。凝聚态物理学也存在一些自然科学界的“业余 艺术家”，他们没有科研项目和论文数量的压力， 在科研之路上“游山玩水”之际会偶尔带我们领略 这种“雾非雾、花非花”的错觉之美 —— 最近，美 国罗格斯大学的 Sang-Wook Cheong 在量子材料学术 期刊 npj Quantum Materials, 2020, 5, 37 上发表了题 为“Trompe L’oeil Ferromagnetism”的文章。文章从 对称性角度出发，描绘了一种“似是而非”的类铁 磁现象，其精彩之颜色令人印象深刻、其预言之出位 让人拍案叫绝、其艰涩之萦回亦让人止步不前。译者 不才，以自己有限的知识储备对其稍作诠释，希望能 在凝聚态物理学的海洋中撷取几朵浪花，赠予诸位读 者。II. 粉饰 Trompe L’oeil 铁磁
“司南之杓，投之于地，其柢指南”。 早在公元前，人们便发现了天然磁石（主要成分 为 Fe3O4）的指南特性，并广泛应用于礼仪、占卜、 航海以及军事等各个方面[1−3]。即便到了两千年后的 现代文明社会，这类磁性物质的魅力与实用价值仍丝 毫不减。各种与铁磁性伴生的效应、现象与性质随处 可见，新老不衰，以至于在我们脑海中形成了某些顽 固的思维定式：只要看到这些现象，就先入为主地将 展示这些现象的材料或对象当成铁磁体，虽然实际上 我们心里并不那么自信。 有鉴于此，不妨将这些日常生活中“看得见摸得 着”的“铁磁特性”称为“磁吸性 (magnetic attrac-tion)”，以区别于真正的铁磁性 (ferromagnetism)。 后 面 ， 也 会 将 这 些 特 性 简 记 为 “M” 或 者 “ 非 零 M”。 在二十世纪的微电子革命中，从铁磁/亚铁磁性 发 展 起 来 的 磁 记 录 技 术 多 年 来 扮 演 着 不 可 或 缺 的 角色[4]，也让我们更加相信思维定式还可以深入到 量子材料的世界： “只要有那些效应，就一定是铁磁性所致”。 例 如 ， 在 研 究 铁 磁/亚 铁 磁 体 时 ， 观 测 到 很 多 独 特 的 物 理 现 象 ， 如 磁 圆 二 色 性 、 磁 光 Kerr 效 应 (MOKE)、 法 拉 第 效 应 以 及 多 种 类 型 的 反 常 霍 尔 效 应（也包括反常的爱廷豪森、能斯特以及热霍尔效 应）。这些新效应，一方面或多或少为未来的科技发 展提供了新的视角[4−16]，另一方面又会触动我们内心 那想当然的定式：又是铁磁性的杰作！ 事实上，我们现在知道，这些现象并不是铁磁材 料本身导致的！如果我们依然拘泥于这一定式，实际 上会失去很多创造和发现的机会。毋庸讳言，这里所 图 1 矮拱顶上绘制的壁画（耶稣会教堂，维也纳，Andrea Pozzo 1703 年绘制） https://en.wikipedia.org/wiki/Trompe-l%27%C5%93il述的各种磁相关物理现象，包括但不限于磁吸性，还 有诸如磁圆二色性等。它们大多数情况下的确只出现 在铁磁/亚铁磁体中。然而，科学技术应用总是存在很 多掣肘，在很多情况下我们既需要这些与铁磁相关的 物理效应，却又因为其它原因无法选择已有的铁磁/亚 铁磁材料来实现这些效应。最知名的例子是：在多铁 性应用中，既需要有非零磁矩的绝缘体，即需要“非 零M”，也需要有铁电性。而这两个效应是相互排斥 的、很难在一种材料中同时存在，更不要说它们有强 烈耦合了。另外，这个世界上，找到铁磁性很强的绝 缘体材料本身也有点天方夜谭。 那怎么办呢？需要新的思路和物理！ 最近的科学进展说：反铁磁绝缘体家族中，有一 些体系可容纳铁电性。但是，这些反铁磁体却没有 “非零M”。要解开这个死结，就得另辟蹊径。百 无聊赖的办法是：找一些反铁磁甚至非磁性的绝缘体 （注意它们的 M 为零），通过附加某种特定条件 （比如施加一个电场、光场，或什么什么的），组合 起来形成一个“构成量 (specimen constituent)”，就 如前文描述的“铁电畴壁+运动”这个“构成量”一 般。当这个“构成量”具有与铁磁性类似的对称性操 作 (symmetry operational similarity, SOS) 时，就可以 得到一个与铁磁性类似的“非零M”。好，那就将这 一 SOS 称之为“非零M 的 SOS”。 上述纯粹基于逻辑的推理并非天方夜谭，因此我 们不必悲观。 的确，自然界总有些“淘气鬼”要跳出来打破既 定的规则、定式、或者掣肘 —— 研究发现，某些不 具有净磁矩的材料（即不是铁磁/亚铁磁材料）在外 加电场或应变作用下，能“展现”出铁磁性相关的 那些物理现象。这里的“展现”，表示的是表面上的 类似性，严格推敲就会发现并非教科书定义的那些物 理和定式。但无论如何，这些“展现”充分表现出了 所谓的“以假乱真”，我们不妨把这些虽不具有净磁 矩、却能够展现出类似铁磁体特征的体系或现象称为 Trompe L’oeil 铁磁性。 以上一段文字还有点文绉绉的味道。说得更直接 一些就是：可以设计一些特定的环境或者施加特定的 作用，让那些不具有“铁磁性/亚铁磁性”的反铁磁 性/非磁性材料看起来像“铁磁/ 亚铁磁材料”。这 可是典型的“making impossible possible” 的漂亮表 达！
III. 再访 SOS
的确，Cheong 曾在“SOS: symmetry operational similarity” [17] 一文中，系统介绍了对称操作相似原 理 (symmetry operational similarity, SOS)：从对称性 破缺角度来看，当“构成量”或测量方式（如处于不 同偏振态下的光学、电子或其它粒子的探测，或对体 极化/磁化等的测量）遵循 SOS 原理时，便可以观测 到某些特定的物理现象。简单来说：假如对物理现象 的测量包含某些特定的对称性破缺元素，要想在其它 “构成量”中观测到同样的物理现象，则 SOS 原理告 诉我们：这一“构成量”至少要具备同样的对称性破 缺元素。而且 SOS 关系一旦确立，这一物理现象理论 上就一定会发生[17]。 真的是这样吗？接下来，让我们顺着这一思路， 从 SOS 原理出发，探讨 Trompe L’oeil 铁磁行为到底 是何面目，即如何在一些特定的非磁性或反铁磁性材 料中观察类铁磁行为。 俗话说，磨刀不误砍柴工。进入正题之前，需要 打磨好对称性分析的利器。我们依然从（准）一维情 形出发，进行以下符号约定（依然比较艰涩），用于 表示相应的时空变换操作： R，绕垂直于M 矢量的轴旋转 π； R，绕沿M 矢量的轴旋转 π； I，空间反转； M，以垂直于M 矢量的平面作镜面反映； M，以包含M 矢量的平面作镜面反映； T，时间反演。 需要注意的是，这里的磁性符号 M 与对称操作 M 有不同含义，虽然只是在字体上有所差别。根据以 上符号约定，M 在 R 变换操作下将变为 −M，即 M 具备破缺的 R 对称性。同样，M 或 T 之任何一 个变换操作均可将 +M 变为 −M。因此，{R, M, T} 便称为使 M 发生对称性破缺的操作元素集合。注 意，只考虑 M 的一维特性时，可以忽略沿一维方向 的平移对称性。类似地，在图 2 中也分别示出了其它 3 种矢量的对称性破缺操作集合： 1. 速度矢量 k （或线性动量，或波矢）的对称性破 缺之操作集合为{R, I, M, T}； 2. 铁 电 极 化 P 的 对 称 性 破 缺 之 操 作 集 合 为 {R, I, M}；
3. 对 于 准 平 衡 输 运 实 验 中 施 加 的 外 电 场 Eext 和 诱 导 电 流 J， 其 对 称 性 破 缺 之 操 作 集 合 为 {R, I, M, T}。 需要强调一点：此处以及后文在表述对称性破缺 时，用到了这种集合表示法“{· · · }”。{· · · } 是指集 合中的每一个变换操作元素都是独立破缺的。例如说 某一结构满足 {R, I, M} 对称性破缺，乃指这一结构 既满足 R 对称性破缺、也满足 I 破缺、还满足 M 破 缺。看君此处可停下脚步，对图 2 中提到的几个矢量 及其变换一一作出检验。 图 2 几种矢量的对称性破缺之操作集合，包括：速度矢量
k、电极化 P （或 SG, uniform strain gradient vector, 均匀
梯度应变矢量，表示应变沿着该矢量方向是线性变化的）、 磁性M 以及在准平衡输运实验中施加外电场 Eext 及其诱 导出的电流 J 前 面 第 3 项 对 称 性 破 缺 操 作 集 合 涉 及 到 准 平 衡 过 程 ， 为 了 更 容 易 理 解 ， 在 此 作 一 简 单 说 明 ： 在对称性破缺操作集合 {R, I, M, T} 中，很容易知 道，{R, I, M} 变换操作均可使得 (+Eext, +J ) 变为 (−Eext, −J)，但这里缺失了变换操作 T。针对准平 衡 过 程 ， 如 何 理 解 时 间 反 演 操 作 T 呢 ？ 注 意 到 准 平衡输运实验描述的不是一种状态，而是一个“过 程”，因此时间即介入其中，使得时间反演对称操作 T 必不可少。此时，“+Eext”表示的是“施加一个 正电场 +Eext” 这样的一个行为。如果对这个行为 进行时间反演操作 T，得到的就是“撤掉一个正电场
+Eext”，等价于“施加一个负电场−Eext”。注意到
诱导电流 J 不是天生的，而是源自 Eext，直接对 J 进
行时间反演操作 T 毫无意义。
“施加一个正电场 +Eext 触发一电流 J ”，那么
“施加一个负电场 −Eext”是否一定能诱导出大小相
等且方向相反的电流 −J 呢？我们无法肯定，但一般 来说，(+Eext, +J ) 在 T 变换操作下将会变为 (−Eext,
−J′)，不要求 J 和 J′ 数值相等[18,19]。稍后我们还会 回到这个问题上来。 粉饰了一番 Trompe L’oeil 铁磁性，又招摇了一回 SOS，现在可以来看看一些例子了！
IV. 线性磁电
第一个例子即磁电效应，它的确是演绎 Trompe L’oeil 铁磁行为的绝妙之所。在磁电耦合物理步入花甲 之年的今天，讨论这一例子也更有意义。 图 3 在外电场下具有“非零 M 的 SOS”之多种反铁磁 态，蓝色箭头代表自旋或者铁磁性M，红色箭头代表电场 E（在某些情况下也可能是极化 P ）。另外，如果将电场 E 替换为 SG，展示的就是挠曲磁性 (flexo-magnetism)。 从历史脉络看，第一个被广泛研究的磁电体系乃 是线性磁电体系，而且最近关于线性磁电材料的研 究似乎又喧嚣尘上。线性磁电体系本身并没有净磁矩 （M 为零），但施加电场有可能诱导出非零磁性，即 所谓“电致磁性”，正属于 Trompe L’oeil 铁磁现象。 当然，这类体系，施加磁场也可诱发出原本不存在的 铁电极化。不过，鉴于本文主题是磁，对“磁场诱导 电极化”我们不予讨论，只关注“电致磁性”。事实上，即便是对反铁磁材料，如果能够在其中诱发出非 零铁磁行为，也应该是 Trompe L’oeil 铁磁现象的一种 体现。接下来，我们将在 SOS 框架下去理解线性磁电 体系的这些 Trompe L’oeil 铁磁性。 首先来看图 3，其中展示多种反铁磁态。对这些反 铁磁态施加电场作用（电场 E 非零），立即就看到它 们均具有“非零M 的 SOS”。也就是说，这些反铁 磁态都可以与外电场 E 组成一个“构成量”，诱发出 非零M。 需要注意的是，这里，非零电场 (E) 是必 须的，否则就不满足触发“非零M 的 SOS”。 对其中的每一种构型，简要分析如下： 1. 图 3(a) 所示情形对应于 Cr2O3 的自旋排列。 借助于线性磁电耦合，沿图示方向的电场 E 下 将会诱发同方向的非零 M，在磁电张量里谓之 “对角”。 2. 图 3(b) 所示对应着 Cr2O3 施加强磁场后发生了 自旋翻转的反铁磁排列，借助于线性磁电耦合， 电场可以诱发垂直方向的非零M，在磁电张量 里谓之“非对角”[20]。 3. 图 3(c) 所示共计有五种不同的反铁磁构型，对其 中每一种施加电场 E 后，分别形成了五种“构 成量”。它们均导致非零的 M。前两种表示磁 单极子，第三种表示环磁极矩 (magnetic toroidal moment)，第四、五两种表示磁四极子。 行文到此，很多读者可能一脸懵懂，不知道这些 简要分析到底在说什么。作为一个示例，我们讨论 一下图 3(a) 的情况：在不施加电场 E 时，镜面反映 M 本 身 就 是 破 缺 的 ， 即 构 型 从 原 来 的 “→ ⃝ ←→ ⃝ ←”变成了“← ⃝ →← ⃝ →”。如果实在要深究 其原因，其实就是物理学中常说的“赝矢量（或轴矢 量，图中的磁矩小箭头）垂直反映面的分量不变、平 行反映面的分量反向”。时间反演 T 的变换结果跟镜 面反映 M是完全相同的，只需要简单地把磁矩想象成 分子电流模型即可，即 T 也是破缺的。那么 R 变换 呢？图中的构型绕着纸面内的竖直轴旋转 180◦ 后，构 型是完全不变的，R 不破缺了！怎么办呢？按照图示 人为施加一个电场 E 之后，反铁磁构型和 E 组成一 个“构成量”。很明显，电场 E 在 R 变换下是反向 的，那么，整个构成量就具有破缺的 R 变换了。 需要说明的是：图 3(c) 中的两种磁单极子均是 N 型 (North) 的。对 S 型 (South) 磁单极子，施加同样的 电场 E，所诱发的非零M 将会反向。同理，图 3(c) 中的环磁极矩是逆时针的，处于同样电场下的顺时针 环磁极矩也将导致非零M 反向。 消化完图 3 给的示例，再进一步考虑一些稍微复 杂的反铁磁态，如图 4 所示。这是一些（翘曲）蜂窝 晶格，晶格中自旋构型要复杂得多。很显然，类似上 面的分析，我们知道：施加非零电场 (E) 后，它们都 有“非零 M 的 SOS”，从而一定会表现出线性磁电 效应。 图 4 在外电场下（翘曲）蜂窝晶格中的多种自旋构型，具有 “非零M 的 SOS”。蓝色的“+” (“−”) 符号代表垂直 于纸面向外（向内）的自旋。黑色的空心或实心圆代表该处 的自旋位点分别处于纸面之下或纸面之上（即垂直于纸面的 两个相反方向），表示一种翘曲晶格。绿色的圆代表阴离子 （如氧离子、硫离子），虚线和实线则表示该阴离子处于纸 面之下或纸面之上。 图 4 所示的这些反铁磁自旋构型并非臆想，已被证 实 存 在 于 多 种 化 合 物 中，包括 (Mn,Co)4(Nb,Ta)2O9、
(Mn,Fe,Co,Ni)P(S,Se)3、BaNi2V2O8、(Ca,Sr)Mn2Sb2
和 Na2Ni2TeO6 等体系 [21−28]。 例如，图 4(b) 中的 第二种情形，就对应于 Mn4(Nb,Ta)2O9 材料中的伊辛 反铁磁。图 4(c) 中的第一种情形则对应于 MnPSe3翘 曲晶格中的面内反铁磁。因此，这里的讨论可不是阳 春白雪，看起来还是很有价值的。 值得注意的是，到目前为止，图 3 和图 4 中展示 的大部分“构成量”所诱发的线性磁电效应尚无实验 报道。这是因为，在本文之前，对这些“构成量”所 具有的 SOS 认识不足。未来若能够在实际材料中对这 些源自对称性的预测加以验证，将很有价值，特别是
对设计磁、电、光新功能将极具意义2。 至此，读者应该已经粗略看到 SOS 功用的冰山一 角。如果非要给它找个缺点，那就是无法确定 M 的 绝对方向。也就是说，图 3 和图 4 中M 的方向反过 来也无妨。毕竟 SOS 基于对称性分析，或多或少会遗 传一点它父辈的缺点。不过能够确定的是，如果反转 电场 E，必然会导致M 反向。下文中提到的“构成 量”亦是如此。 再看一个例子。与图 3(c) 所示自旋构型相关的一 个典型系统是六角晶系的 R(Mn,Fe)O3（R 为稀土离 子）。这一体系属于反常 (improper) 铁电体，它在 ab 面内存在自发的 Mn/Fe 三聚化 (trimerization) 现象， 铁电极化沿 c 轴方向。已经在六角 R(Mn, Fe)O3 体系 中发现了多种面内 Mn/Fe 自旋序。其中，Mn 的三聚 化与所谓的 A1 型磁有序共同作用，能够诱导出净环磁 极矩。而与所谓的 A2 型磁有序共同作用，可以引入 磁单极子[29,30]。这些净环磁极矩和磁单极子将使得电 磁波沿正反两个传播方向不等价，即所谓的非互异性 (non-reciprocity)。可以预期，线性磁电效应以及与这 些磁单极子、环磁极矩相关的非互易性，将会是未来 研究的主题。 本节最后，再来讨论一下均匀梯度应变矢量 SG (uniform strain gradient vector) 的 对 称 性 ， 因 为 这 一效应正得到越来越多的关注和探索。SG 也满足 {R, I, M} 对称性破缺。当把图 3、图 4 中的所有 E 矢量替换为 SG 矢量时，它们依然具有“非零M 的 SOS”。事实上，匀强电场 E 不正是一种“均匀梯度 电势矢量”吗？从数学形式上来看，它们之间确实可 以等价。这里所展现出的物理意义之非凡，皆因如下 断言： 所有的线性磁电体，在应变梯度 SG 作用下， 均能被诱导出净磁矩，即能展现出所谓的挠曲磁性 (flexo-magnetism)。
V. 动态与准平衡之下
前面讨论的“构成量”，均是针对一个材料体 系，外加一个特殊场矢量（E 或 P 或 SG），从而2值得一提的是，在“Trompe L’oeil Ferromagnetism”原文刊出 不久，刘俊明教授课题组成功观察到了 Mn4Nb2O9 单晶中对应 方向的线性磁电效应，与预测一致！ 获得“非零 M 的 SOS”。这些体系中局域磁矩都 相互抵消，本身并不具有宏观磁性。此时，只需要 将这种局域相互抵消的条件稍微破一破，宏观磁性就 会出来。因此，整体上，这种“构成量”容易构建、 体系性能也容易调控。所以，在线性磁电体系中得到 Trompe L’oeil 铁磁性并不难。 难的是什么呢？难的是在完全无磁性离子的材 料中怎么能够折腾出 Trompe L’oeil 铁磁性。我们知 道，d 电子和 f 电子产生磁性，那是物理铁律。想在 没有磁性离子的体系中整出磁性来，唯一的物理成就 乃是麦克斯韦电磁波方程！在凝聚态体系中，要破解 这一难题，须超越李白之“蜀道难”！ 我们来痴人说梦：基于 SOS，如果通过某些非平 庸的手段，使得相应的 {R, M, T} 对称性发生破缺。 那么根据 SOS 原理，是否就能获得 Trompe L’oeil 铁 磁性呢？ 答案是肯定的。 图 5 具有“非零M 的 SOS”的多种“构成量”。(a) 金色 弹簧代表单轴手性晶体；(b) 三种铁电畴壁的移动方式，t = −1, 0, 1 表示时间演化；(c) 多种霍尔效应的测量装置卡通 图，其中 Eext是外场，∆T 是温度差，Induced J 是外场带 来的电流或热流。“+,−”代表诱导的霍尔电压，“h: hot, c: cold”代表诱导的霍尔热梯度。 无妨脑洞大开，以图 5(a) 为例来说明。考虑一具 有手性晶体结构的材料，沿螺旋轴方向注入电流，相 当于引入 (Eext, J )。根据前文讨论，(Eext, J ) 具备破
者结合，将使得 (Eext, J ) 加手性结构所组成的“构成 量”满足{R, M, T} 对称性破缺，即可能出现“非零 M 的 SOS”。 这是了不起的预言：在无磁性体系，通过适当 构建“构成量”，也可以导致“磁性”甚至“铁磁 性”，虽然这种磁性是“非零M”而不是真正物理意 义上的磁矩。 还可以进一步推定：诱导出的磁性大小与注入电 流成线性依赖关系[31]。 最近的实验结果与此预测相一致：在手性碲晶体 中注入电流，沿螺旋轴方向传播的线性偏振 THz 光确 实展现了法拉第旋转效应，并与注入电流的大小成正 比[32]。 另外，根据 SOS 原理，在注入电流和螺旋轴方 向垂直时，可大胆预测法拉第旋转现象也会发生，如 图 5(a) 右侧所示。此时，线性偏振 THz 光需要沿着 (Eext, J ) 方向传播。有意思的是，在手性 DNA 中， 光电流的输运也具有高度自旋偏振现象[33]，似乎与此 物理一致。这一生物体系中的“非零M”效应，一定 也是意义非凡的，虽然在此不加以拓展。 除此之外，还有很多其它方法可以实现此类“痴 人说梦”。这里再展示一种引入磁性的非平庸手段： 当 Neel 或 Bloch 型铁电畴壁在垂直于壁的方向上移动 时，它们同样具备“非零 M 的 SOS” [32,33]，如图 5(b) 所示。定性上这一效应其实不难理解：只要畴壁 带有电荷，畴壁运动等效于电荷运动，必然产生磁性 —— 电磁学就是这么说的。 利用这一效应，可以设想一铁电/铁磁异质结或多 铁性薄膜，通过调控铁电层中 Neel 或 Bloch 型铁电 畴壁的移动，就可能翻转堆叠于其上的（亚）铁磁层 中的磁性。这一方案虽然尚未实现，但希望未来可以 在实验中观测到。需要注意的是，在Ising 型铁电畴壁 中，无论畴壁沿哪个方向运动，均无法出现“非零M 的 SOS”。细细品味 Ising 老师的人品，无法出现“非 零M 的 SOS”也不奇怪！
VI. 中场休息
行文至此，我们做一中场休息。在“上半场”， 我们将本不存在的所谓 Trompe L’oeil 铁磁行为演绎得 淋漓尽致或绘声绘色，但实际上只要看君对电磁学和 电动力学融会贯通，定性上理解这些效应并非难事。 之所以在此不遗余力地进行“痴人说梦”，原因 有二：一是说服国内外的量子材料人能够相信“书中 自有颜如玉”；二乃期待量子材料人能够在他们的研 究工作中关注这类新效应，并摇旗呐喊以推动其为百 姓苍生效劳服务。 接下来，本“痴人说梦”马上进入下半场――在 这里，我们将目光投向更远的山峰：霍尔效应、法拉 第效应和更多新的“非磁即磁”行为。这些“非磁即 磁”，可绝非“色就是空、空就是色”的 SOS，而是 因其广阔的市场在量子功能材料领域大行其道。正所 谓3： 曾经朗道问苍穹， 对称时兴破缺风。 量子如今新入主， 依稀旧影亦丛中。VII. 霍尔效应
我们高中就学过霍尔效应：处于磁场中的电流， 会受到洛伦兹力作用而发生垂直偏转，从而在样本两 端形成电势差（诱导电压）。事实上，霍尔效应一直 是凝聚态物理研究的主流方向之一，它也是一种准平 衡过程。注意到，霍尔效应里包含着“磁”这一重要 元素（磁场、轴向相互作用等），因此不可避免会被 诸如物理人等无孔不入之辈拿来把玩。 那好，姑且就对与霍尔效应相关的 Trompe L’oeil 铁磁来探讨一二。 回 顾 一 下 前 文 所 示 的 图 5(c)， 这 个 简 单 的 霍 尔 测 试 模 式 实 际 上 展 示 了 四 种 不 同 的 组 合：(Eext, +,−)、(Eext, h, c)、 (∆T, +,−) 和 (∆T ,h, c)，它们分别对应着霍尔效应、爱廷豪森 (Etting-shausen) 效应、能斯特 (Nernst) 效应以及热 (Ther-mal) 霍尔效应。这里，“h: hot, c: cold”代表诱导产 生的霍尔热梯度。由于它们的形式非常相似，故本文 将它们统称为霍尔效应。需要注意的是，当霍尔效应 发生在一些磁性材料中时，如果将磁矩等效为内建磁 场，则这些体系会展现所谓的“反常”霍尔效应。这 3 此乃南京大学物理学院刘俊明教授添加，感佩“对称破缺”物理 极其了得。虽然拓扑似乎要抛弃对称破缺的框架，但鉴于霍尔效 应本身在表征拓扑物理中的角色，加上本文下半部分又将着力展 示 SOS 在电磁效应中的作用，似乎对称破缺的影子流传依旧。不 知道 SOS 对诸如量子 Hall 效应等是不是也可以施加影响？
一效应最近几年展现了诸多新颖的新物理，将另文班 门弄斧、在此不表。 接下来，将通过分析“非零 M 的 SOS”，来理 解各种类型的霍尔效应。 为便于读者理解，这里只讨论诱导而生的霍尔电 压（或热霍尔梯度）正比于 Eext 的情况。这首先要求 样品（材料）必须同时具备 R 对称性和 I 对称性，用 前述的集合表示法即为“具备{R, I} 对称性”。为何 这么说呢？从对称性角度来分析之并不难懂： 1. 进 行 霍 尔 测 量 时 ， 对 样 品 施 加 纵 向 驱 动 电 场 Eext，驱动纵向电流流过样品。此时，如果施 加磁场 H 或本身就具有磁性 M，就会诱导而 生霍尔电压，其正负极性假定为 (+,−)。(+, −) 极性与施加的 Eext 是一一对应的，即Eext 反向
时，必然也会有 (+,−) 反向。 2. 对某一具备 {R, I} 对称性的样品，进行 R 或 I 变换操作，Eext 和 (+,−) 也同时改变方向或 符号，满足霍尔效应的情况：Eext 反向，极性 (+,−) 也反向。 3. 进行 R 或 I 变换操作，不会改变 H/M 的方 向，这正对应霍尔效应测量的情况。 注意到，实际霍尔实验中，当 Eext 改变符号时， 霍尔电压改变符号，但其大小一般不变。要反映这一 性质，意味着霍尔电压与 Eext 的函数表达式应该包含 一个正比于 Eext 的项，且不能出现 (Eext)2 项，否则 霍尔电压的大小就会变、甚至符号的变化也可能出现 不确定性。不过，如果只考虑关于{R, I} 的对称性破 缺，也许能保证符号变化满足霍尔效应的条件，但无 法约束 (Eext)2 项出现。也就是说，无论您如何设计一 个霍尔效应实验的“构成量”，在对此“构成量”进 行 R 或 I 变换操作时，都无法就霍尔电压与 Eext 的 关系进行“只有线性项”的对称性限制。由此，就可 能带来非线性霍尔效应、出现如 (Eext)2 项。 怎么办呢？在样品具有 {R, I} 对称性的前提下 （这是线性霍尔效应的必要条件），假定“构成量” 满足 {R, M, T} 对称性破缺，那(Eext)2 项就无法出 现，因为 (Eext)2 不满足{T} 对称破缺。事实上，图 5(c) 中所示的四种霍尔效应所形成的“构成量”都满 足{R, M, T} 对称性破缺的。 有趣的是，到这里我们才恍然大悟：所有满足 {R, M, T} 对称性破缺的“构成量”均具有“非零 M 的 SOS”。由此，可以提出一条非常重要、非平庸的 定理（定理一）： 任何样品，如果具有 {R, I} 对称性、且具有“非 零M 的 SOS”（即 {R, M, T} 对称破缺），均能展 现出线性反常霍尔效应。 这一定理对于无净磁矩的体系如何实现正比于 Eext 的反常霍尔效应，具有一定指导意义。而且，我 们不知道这种指导意义到底有多大，但这一定理的创 新性却毫无疑问。 行文至此，读者和译者可能有类似感觉：一开始 就在不断登山，因为内容越来越难、现象越来越复 杂！不过，登高望远，会看到这个所谓的“Trompe L’oeil 铁磁”还有更多的风景。
VIII. 法拉第效应与 MOKE
图 6 法拉第效应与磁光 Kerr 效应 MOKE 示意图。 https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/ 0c/Equatorial_Kerr_effect.png https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/adom.201901381 这一节，讨论更难一些的现象，并将“以假乱 真”上升到“雾里看花”，因为我们已经登上高处 了。表 I 几种构成量中的 MOKE、法拉第效应和反常霍尔效应 MOKE 法拉第效应 反常霍尔效应 Cr2O3, MnPSe3, Mn4(Nb,Ta)2O9 √ × × 手性结构 × √ × （亚）铁磁 √ √ √ 反铁磁（具有“非零M 的SOS”） √ √ √ 高处看到了什么呢？雾里看花又是什么花？我们 知道，“偏振”通常是对光的自旋角动量的一种描 述，如图 6 所示。当圆偏振光以透射方式穿过某种 材料时，根据其角动量方向的不同，圆偏振光将展现 出不同的行为，通常称这一现象为圆二色性 (circular dichroism)。这一效应并不孤立，其它具有角动量的物 质或粒子，如表征轨道角动量的“涡旋”光束，也能 展现出类似现象[17,36−38]。 继续探讨之前，有必要梳理一下这种依赖于角动 量符号的圆二色性――简单来说，根据透射光频率是 否发生改变，圆二色性可以分为两类[4−10]： 1. 线性圆二色性：透射光频率不变。根据菲涅尔 假设，线偏振光可以看作是由两个同频率、旋向 相反的圆偏振光组成。当线偏振光在手性材料、 （亚）铁磁材料中透射传播时，将发生偏振方向 的旋转，前者称为自然旋光，后者称为法拉第旋 光。这些效应来源于材料对左右旋圆偏振光的不 同折射率。 2. 非线性圆二色性：涉及到非弹性（耗散）过程中 相关的准平衡态。也就是说，材料对光具有吸收 作用，使得透射光频率发生变化。比如，在磁性 材料或处于磁场中的非磁性材料中所发生的磁圆 二色性，即归属此类。X 射线磁圆二色性 (X-ray magnetic circular dichroism, XMCD) 是这种非线 性效应的常见表现方法，可以观察到普通光吸收 谱很难看到的电子跃迁。因此，XMCD 常用于 深入研究磁性系统中的电子对称性等，以探索 （亚）铁磁体中特定元素的磁性（可参考微信公 众号“量子材料 QuantumMaterials”文章《眼 见为实 I》和《眼见为实 II》 ）。 这些圆二色性可以在很多材料中观察到。例如 手 性 Ni3TeO6 体 系 ， 具 有 共 线 反 铁 磁 结 构 。 当 对 其 进 行 THz 频 率 反 铁 磁 共 振 实 验 时 ， 会 看 到 巨 大 的旋光效应。甚至在远高于反铁磁相变温度，手性 Ni3TeO6 在可见光范围内依然能够展现出显著的自然 旋光性[39,40]。 事 实 证 明 ， 对 手 性 材 料 、 （ 亚 ） 铁 磁 材 料 甚 至 某 些 反 铁 磁 材 料 ， 对 其 进 行 透 射 或 吸 收 实 验 时 ， 上 述 所 有 的 线 性 或 非 线 性 旋 光 效 应 均 要 求 {M, M⊕R, I⊕T} 对称性破缺[17]。 为了叙述方便， 将从对称性角度“简称”以上这些效应为“法拉第效 应”，不再一一区分。 光的偏振旋转还有另一个重要的磁光现象不能忘 记，那就是磁光 Kerr 效应 (MOKE)。MOKE 指的是 线性偏振光在诸如（亚）铁磁表面上发生“反射” 时出现的另外一种偏振旋转现象。仔细分析之，可 得出结论：要观察到 MOKE，“构成量”必须具备 {M, M⊕R, T} 对称性破缺[17]。 基于这两种磁光现象的分析理解，现在我们可以 分析在哪些材料里能观察到它们。为了便于对比，不 妨选择一些典型体系，将这些体系中是否有 MOKE 效应和法拉第效应简要总结于表 I 中。可以看到， 反铁磁 Cr2O3，即便没有外电场 E，也具备破缺的 {M, M⊕R, T}，因此应该有 MOKE 效应。然而， 在零电场时，I⊕T 对称性不会破缺，故不会展现出 法拉第效应[41]。没有磁性的手性结构材料，可以表现 出法拉第效应（实际上是自然旋光，我们在前文提到 过“简称”一词），但是由于时间反演 T 不破缺，故 不能表现出 MOKE。 （亚）铁磁和某些反铁磁材料， 也可以同时表现出 MOKE 和法拉第效应。
IX. 化零为整
前面我们花费了几个小章节笔墨，由低到高，浓 墨厚染了四类 Trompe L’oeil 铁磁效应。我们希望能够 在这一小节，让读者可以借助于 SOS 原理，将上述几 种铁磁现象的关联理清楚，而非图 7 之卡通所示那般 一团乱麻。 我们已经知道，线性反常霍尔效应需要材料一定 具有“非零 M 的 SOS”。那么，就位居最高处的 MOKE 效应和法拉第效应而言，它们与“非零 M 的 SOS” 到底有什么深切关联？一旦理清楚这些关联，其它那些层次低一些的效应理解起来亦不太难。我们 将之称为“化零为整”。 图 7 知识的卡通，在此寓意知识需要整理。 依据上一节的论述，具有法拉第效应的“构成 量”须满足{M, M⊕R, I⊕T} 对称性破缺，而具有 MOKE 效应的“构成量”须满足{M, M⊕R, T} 对 称性破缺。这两种效应需要满足的对称性破缺要求看 似不同。不过，如果一个“构成量”具有“非零M 的 SOS”，则有定理二： 所有具有“非零 M 的 SOS”的材料，即具有与 之类似对称性破缺元素的材料，必定能够同时展现出 法拉第效应和 MOKE 效应。反之，任何能够同时展现 出法拉第效应和 MOKE 效应的材料，必定具有“非零 M 的 SOS”。 如果从对称性破缺的角度来看，这一定理在数学 形式上可表述如下： 在 我 们 设 想 的 任 一 “ 构 成 量 ” 中 ， 破 缺 的 {M, M⊕R, I⊕T} + {M, M⊕R, T} 对称性与破缺 的{R, M, T} 对称性是等价的。 证明如下： 1. 当对称性 {M, M⊕R, T, I⊕T} 全部破缺时， 要 证 明 {R, M, T} 破 缺 ， 只 需 要 证 明 R 破 缺 。 事 实 上 ， 本 文 所 讨 论 的 那 些 导 致 “ 构 成 量 ” 对 称 性 破 缺 的 元 素 ， 无 一 例 外 都 是 由 于 方 向 的 改 变 （ 或 者 说 增 加 了 负 号 “−”)。 因 此，I = I⊕T⊕T = (−)⊕(−) = (+)，即 I 不破缺。R = I⊕M = (+)⊕(−) = (−)，即 R 破缺。 2. 反之，当 {R, M, T} 全部破缺时，只需要证明 {M⊕R, I⊕T} 破缺。同样地，I = R⊕M = 图 8 不同反铁磁态中的 MOKE 和法拉第效应，其中的符号 约定可以参照图 4。另外，类似于前文图中变换操作以M 的方向作为基准方向，(a)、(e) 中变换操作的基准方向为纸 面内的左右方向，而 (b)-(d)、(f)、(g) 中变换操作的基准方 向为垂直于纸面的方向。 (−)⊕(−) = (+)， 则 I⊕T = (+)⊕(−) = (−)，故 I⊕T 破缺。另外，由于 R = R−1 = R•⊕R = (−)，故 R• 和 R 中必有一个是破缺 的。 证至此处先来个急刹车：R• 是个什么东西？前文 似乎从来没有出现过？ 细 心 的 读 者 可 能 已 经 发 现 端 倪 —— 在 一 开 始 的“磨刀”阶段进行符号约定时，玩了一点“小把 戏”：事实上，在三维空间里，“绕垂直于磁性 (M) 矢量的轴旋转 π”这一语句描述，是对应着两条相互 垂直的旋转轴所定义的！例如，当M 为“→”方向 时，R 为绕“↑”方向旋转 π，而 R• 为绕垂直于纸面 的方向旋转 π。 只不过，在此之前 R 和 R•都能同时 发生破缺，故没有特意提出。 我们继续 2. 的证明：通过适当调整坐标系（这 意味着在实验中要选取特定的方向才能观察到某些现 象），可以使 R•破缺，则 M⊕R = (I⊕R)⊕R = I⊕(R⊕R) = I⊕R−1• = R• = (−)，即 M⊕R 破 缺。
图 8 列举了一些反铁磁态，它们均没有净磁矩。 我们借助于上面的分析，来预测一下其中是不是可能 发生 MOKE 和/或法拉第效应。 图 8(a)-(d) 中的反铁磁态均具备 {M, M⊕R, T} 破缺，但是不具备{M, M⊕R, I⊕T} 破缺（注意： 只要集合里有 1 个变换操作不破缺，我们就称该构成 量不具备这个集合的破缺）。因此，它们均会展现出 MOKE，当然没有法拉第效应。 如果联系到实际材料，图 8(a) 正对应着零电场下 的反铁磁体系 Cr2O3。图 8(b) 展示的是双层蜂窝晶格 中的 A 型伊辛反铁磁有序，对应着 CrI3或 CrBr3。图 8(c)、(d) 分别对应着翘曲蜂窝晶格 Mn4(Nb,Ta)2O9和 MnPSe3中的自旋组态 [22,23,28]。目前，除了在 Cr2O3 中已经观测到 MOKE，其它材料中的 MOKE 仍未在 实验中观察到 [41]，需要未来实验工作者的努力。不 过，努力的方向可不能是其中的法拉第效应，否则恐 怕这辈子也“上不了岸”了。 图 8(e)-(g) 中 的 反 铁 磁 态 同 时 具 备 了 {M, M⊕R, T} 对称性破缺和 {M, M⊕R, I⊕T} 对称性破缺。因此，这些反铁磁态能够同时展现出 MOKE 效应和法拉第效应。图 8(e) 展示的是 kagome 晶格中的反铁磁态，如 Mn3Sn。图 8(f) 展示的是异 质双层蜂窝晶格中的 A 型伊辛反铁磁有序，如交替 堆垛的 CrI3 层和 CrBr3 层。图 8(g) 展示的是异质双 层六角晶格中的 A 型伊辛反铁磁有序。的确，已经在 Mn3Sn 中观察到了 MOKE 效应，而其它材料中相关 效应尚未得到实验证实[42−45]。 图 9 具有磁性和手性结构样本中的 X 射线圆二色性。 (a) XMCD；(b) XNCD；(c) XMχD。其中，(b) 中的第三个等 价图以及 (c) 中的等价图源自镜像 (M) 变换操作。 另外，根据定理一和二，容易推知图 8(e)-(g) 中 的所有材料应该也能展现出反常霍尔效应。 我们还可以“这山望去那山高”，继续前进，将 这些分析拓展到具有圆偏振的近边 X 射线吸收光谱 (X-ray absorption near-edge spectra, XANES) 中，看 看那里观察到的法拉第效应是不是也具有类似的行 为。 当沿着 X 射线波矢方向施加平行 (H+) 或反平行 (H−) 的磁场时，对左旋 (σ+) 和右旋 (σ−) 圆偏振 X 射线，其 XANES 测量将得到三种类型的二色性，用 如下公式 (1) 表示： XMCD∝ {µ(σ−, H+)− µ(σ+, H+)} − {µ(σ−, H−)− µ(σ+, H−)} XNCD∝ {µ(σ−, H+)− µ(σ+, H+)} + {µ(σ−, H−)− µ(σ+, H−)} (1) XMχD∝ {µ(σ−, H+) + µ(σ+, H+)} − {µ(σ−, H−) + µ(σ+, H−)} 其 中 µ(σ, H) 表 示 相 应 偏 振 和 磁 场 的 吸 收，XMCD 前文已出现过，XNCD 指 X 射线自然圆 二色性 (X-ray Natural Circular Dichroism)，XMχD 指 X 射线磁手性圆二色性 (X-ray Magneto-chiral Circular Dichroism)。 从式 (1) 可以看出：XMCD 会随磁场方向反转而 改变符号，XNCD 与磁场方向无关，XMχD 不需要偏 振光，且只有在对两个方向的磁场吸收不同时才能表 现出来。 为了更清晰地展示对称性要求，可将这三种二色 性效应示于图 9 中。其中，M 表示磁性或具备“非零 M 的 SOS”，金色弹簧表示手性结构。可以看到， 图 9(a) 所示的 XMCD 要求非零 M，图 9(b) 所示 的 XNCD 要求手性结构，图 9(c) 所示的 XMχD 则要 求非零 M 和手性结构。由此，如果对本文涉及的某 些“构成量”进行这三种二色性实验，可以预测其结
果：例如，所有具备“非零M 的 SOS”的反铁磁系 统都可观察到 XMCD 现象，如 Mn3(Sn,Ge,Ga) 和图 8(f)&(g) 所示之构型。处于磁场中的圆锥型或螺旋型 自旋态一定会展示 XMχD 效应。
X. 再攀新高：具有 Trompe L’oeil 铁磁
性的新型反铁磁
前文已经在部分体系中勾勒出了“非零 M 的 SOS”的线条，现在我们需要抱着“不怕最复杂，也 不怕更复杂”的精神，手执“SOS”之笔，去画出一 幅“非零M 的 SOS之骏马”，恣意奔腾。如此，我 们还可以恣意妄为许久。 再看看一些有趣的反铁磁态。 在图 10(a) 中，kagome 晶格中的自旋构型均具备 “非零M 的 SOS”。根据定理一和二，它们均能展 现出 MOKE 效应、法拉第效应及反常霍尔效应。事实 上，Mn3Sn、Mn3Ge 和 Mn3Ga 均具有 kagome 晶格的 自旋构型，而其中的确也观测到 MOKE 效应、反常霍 尔效应、反常能斯特效应和反常热霍尔效应[44−56]， 其微观机制则源于特定反铁磁态中 Berry 曲率 (Berry curvature) 充当了“虚”磁场，导致这些效应的出现。 我们相信，反常爱廷豪森效应也会在未来的实验中观 测到。 图 10(b) 所示 kagome 晶格的反铁磁态，由于存 在一个垂直纸面的三重旋转轴对称性，因此这一反 铁磁态同时具备 {R, M, T} 对称性。然而，一旦施 加应变（图中绿色双箭头），就破坏了这个三重旋 转轴，它就有了“非零 M 的 SOS”。类似地，图 10(c) 和 10(d) 所示、处于单轴均匀应变下的“全进全 出” kagome 晶格和烧绿石晶格，都具备“非零M 的 SOS”。类比到压电，我们称这种应变诱导M 的现象 为压磁。 顺便说一句：图 10(e) 中给出了三角格子里的“两 进（出）一出（进）”自旋构型和正四面体晶格里 的“三进（出）一出（进）”自旋构型，它们均具备 “非零 P 的 SOS”[57,58]。感兴趣者可查看文献[17]。 再次强调，kagome 晶格中三重旋转轴这一元素 很容易被忽视。如果不施加图 10(a-c) 所示的应变， 整个“构成量”不可能具备“非零 M 的 SOS”。 有文献通过 Berry 曲率机制预测 Mn3Ir 和 Mn3(Rh, Ir, Pt) 在无应变条件下能观察到反常霍尔和 MOKE 图 10 具有“非零M 的 SOS”的多种反铁磁态，其中绿色 双箭头代表施加的应变，绿色圆点代表空间反演中心，绿色 虚线代表磁晶胞。需要特别说明的是，(g) 中的所有自旋实 际上要绕图中的 y 轴旋转 90◦。 效应[44,46,59,60]，正对应于图 11(c) 所示的构型。然 而 ， 根 据 SOS 的 对 称 性 分 析 证 明 ， 在 三 重 旋 转 轴 未被破坏的情况下，它们根本不具备“非零 M 的 SOS”，将无法观测到以上现象。 值得注意的是，少数反铁磁态即使在无外场、光 照扰动下，依然倾向于展现出很小的净磁矩，量级通 常在 0.001 µB/磁性离子的级别。我们猜测，这种效应 极有可能源于材料中轨道磁矩的贡献，或者说，轨道 磁矩使得该反铁磁态具备了“非零M 的 SOS”[45]。 图 10(f) 和 10(g) 描 述 了 一 种 AB 堆 垛 的 三 角 晶格中二维平面反铁磁有序，它具备“非零 M 的SOS”[61,62]。这种磁晶格在密排六方 hcp 系统中本应 很常见，然而，似乎从未有过实验报道甚至理论预测 其存在，不知道是何缘故。不过，如果这种反铁磁态 是真实存在的，那么它一定能够展现出 MOKE 效应、 法拉第效应以及反常霍尔效应，其结果将会是不亦乐 乎！ 好，不能再继续下去了。再继续，原作者和译者 会被痛骂的！
XI. 总结
至此，有关“Trompe L’oeil Ferromagnetism”的 详细探讨便到此结束。通过以上讨论，可以看到，应 用 SOS 原理来讨论凝聚态物质中大量物理现象，包 括非互易性、磁致多铁性、线性磁电效应、旋光性、 光伏效应、二次谐波发生和反常霍尔效应等，简单直 接，如信手拈来。 文中提及了大量的具有“非零 M 的 SOS”之 “构成量”，其中有些具有可测量的磁性，包括外 电场下的线性磁电体、注入电流的手性材料、移动的 Neel 或 Bloch 型铁电畴壁等。而另一些能够展现各种 类型的 Trompe L’oeil 铁磁现象，如 MOKE 效应、法 拉第效应以及反常霍尔效应。 在深入探讨各种效应之间的关联性时，提出了两 条相关的重要定理。根据这两条定理，可以预测大量 新奇的材料和物理现象。我们期待在不远的将来，这 些现象能够为实验所证实，并热烈期盼理论学者能够 为此提供微观机制上的支持。 译者得到原作者许可，在此不过是借花献佛，希 望诸位看君能有所启发。
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