1014 汽勤甲解答

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1014 汽勤甲 複習 姓名 座號

一、單選題 (20 題 每題 5 分 共 100 分)

( )1.三個半徑為 2 的圓,兩兩外切且內切於正三角形, 如圖,則此正三角形之邊長為何? (A)6 (B) 4 2 3 (C)8 (D) 4 4 3 【092 年歷屆試題.】 解答 D 解析 如圖所示 ∵ △PQR 為正三角形  RPQ RQP  60  APC  30,BQD  30 已知圓半徑 r  2,則CDAB  2 r 4 cot 30 3 2 3 PCAC   r  cot 30 3 2 3 DQBD   r  2 3 4 2 3 4 4 3 PQ PC CD DQ          ∴ 此正三角形的邊長為44 3 ( )2.若 f(x)  4|x  1|  3|2x  1|,則 f(x)的最小值為何? (A)3 (B)4 (C)6 (D)9 【096 年歷屆試題.】 解答 C 解析 f(x) 4|x  1|  3|2x  1| ∵ f(  1)  4  0  3  3  9, ( )1 4 3 3 0 6 2 2 f      ∴ f(x)的最小值為 6

( )3.設 為銳角,若 tan  2,試求 3 sin 6 cos ? (A) 2 (B) 3 (C) 2 2 (D) 2 3

【097 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵  為銳角,且tan 2 2 1   如圖所示: ∴ 3 sin 6 cos 3 2 6 1 2 2 2 2 3 3         ( )4.若兩點 A(0,0)、B(a,b)對稱於直線 x  2y  5,則 a  b  (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【092 年歷屆試題.】 解答 C

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解析 ∵ A(0,0)、B(a,b) AB中點 ( , ) 2 2 a b MAB的斜率m1 b a又 L:x 2y  5 的斜率 2 1 2 m∵ A、B 對稱於直線 L 1 2 2 5 ( , ) 2 2 2 2 1 1 1 2 a b a b M L b m m a                (∵ 在 上) (∵ ) 2 10 2 0 a b a b         由    2 得 5a  10  a  2 a 2 代入得 b  4 ∴ a b  2  (  4)  6 ( )5.設 A(  4,4)與 B(1,  1)為坐標平面上之兩點,若點 C 在 AB 上且 2AC3BC,則點 C 的坐標為何? (A)(  3,3) (B)(  2,2) (C)(  1,1) (D)(0,0) 【094 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ C 在AB上且2AC3BCAC BC: 3 : 2 設點 C 坐標為(x,y) 則 2( 4) 3 1 1 3 2 x       , 2 4 3( 1) 1 3 2 y      ∴ 點 C 的坐標為(  1,1) ( )6.設兩向量 a 、 b 的夾角為,且| a || b |,| ab |4,| ab |3,則 cos  (A) 7 25 (B) 5 13 (C) 3 5 (D) 4 5 【092 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ | ab |2| a |2| b |22 ab 16 又 2 2 2 | ab | | a | | b | 2 ab 9 由  得 2 2 2(| a | | b | )25 已知 2 | a || b |  4 | a | 25 | |2 25 4 a   由  得4 7 7 4      a b a b ∴ 2 cos | || | | | a b a b a b a     (∵ | a || b |) 7 7 4 25 25 4   ( )7.已知 L1、L2為與直線 3x  4y  0 平行的二直線。若 L1過點(  29,23),L2過點(31,23),則此二平行線間的距離為何? (A)23 (B)36 (C)48 (D)60 【102 年歷屆試題.】 解答 B 解析 設 L1:3x 4y k1 0,L2:3x 4y k2 0 ∵ L1過點(  29,23) ∴ 3  (  29)  4  23  k1 0  k1 5 ∵ L2過點(31,23) ∴ 3  31  4  23  k2 0  k2 185 則 L1:3x 4y  5  0,L2:3x 4y  185  0

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因此二平行線 L1、L2間的距離 1 2 2 2 | 5 ( 185) | 180 ( , ) 36 5 3 4 d L L        ( )8.已知△ABC 中,AB5,BC7,AC8,則下列各內積中,何者為最大? (A) AB AC (B) BC BA (C) CA CB (D) AB BC 【093 年歷屆試題.】 解答 C 解析 2 2 2 2 2 2 cos 2 2 b c a AC AB BC A bc AC AB        2 2 2 | || | cos 2 AC AB BC AB AC AB AC A AB AC AC AB          1 2 2 2 1 2 2 2 ( ) (8 5 7 ) 20 2 AC AB BC 2        同理 1 2 2 2 1 2 2 2 ( ) (5 7 8 ) 5 2 2 BC BA  ABBCAC     2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) (7 8 5 ) 44 2 2 CA CB  BCACAB     ( ) ( ) 5 AB BC  BA BC   BC BA   ∴ CA CB 為最大 ( )9.設 a 與 b 為平面上的兩個向量,若| a || b |2且 ab 2,則 a 與 b 的夾角為何? (A)15 (B)30 (C)45 (D)60 【094 年歷屆試題.】 解答 D 解析 設 ab 夾角為,則cos 2 1 2 2 2 | || | a b a b         60(∵ 0 180) ∴ ab 的夾角為 60 ( )10.試問在坐標平面上,過點(2,  1)且與直線 1 3 4 x y 垂直的直線方程式為何? (A)4x  3y  9 (B)4x  3y  10 (C)3x  4y  9 (D)3x  4y  10 【095 年歷屆試題.】 解答 D 解析 1 4 3 12 3 4 x y x y      ∵ 所求直線 L 垂直 4x 3y  12 故設 L:3x 4y k 又 L 過點(2,  1)  3  2  4(  1)  k k  10 ∴ 所求直線方程式為 3x 4y  10

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( )11.平面上兩點 A(5,  1)、B(3,4)。若 C 點在 y 軸上,且滿足 ACBC,則 C 點坐標為何? (A)(0, 1) 10  (B)(0, 1) 15  (C)(0, 1) 15 (D)(0, 1 ) 10 【098 年歷屆試題.】 解答 A 解析 C 點在 y 軸上,設 C(0,t) ACBC ∴ 2 2 2 2 (5 0)   ( 1 t)  (3 0) (4t)  (5  0)2 (  1  t)2 (3  0)2 (4  t)2  1 10 t  故 (0, 1) 10 C

( )12.下列各三角函數值,何者數值最小? (A)sin885 (B)cos(  430) (C)tan131 (D)sin(  2010)

【099 年歷屆試題.】 解答 C

解析 sin885 sin(2  360 165)  sin165 sin(180 15)  sin15 0 cos(  430)  cos430 cos(360 70)  cos70 0

tan131 tan(180 49)  tan49 0

sin(  2010)  sin(  6  360 150)  sin150 sin(180 30)  sin30 0 由上可知 tan131的值最小 故選(C) ( )13.設 a 為實數,且直線(3a  1)x  2y  a  1 沒有通過第一象限,則 a 的可能範圍為何? (A)a <  1 (B) 1 1 3 a    (C)1 1 3 a (D)a  1 【096 年歷屆試題.】 解答 B 解析 (3 1) 2 1 3 1 1 2 2 a a axy ay  x  即直線的 y 截距為 1 2 a  ,斜率 3 1 2 a m  ∵ 直線沒有通過第一象限  y 截距 0 且斜率 m  0 1 0 2 a    且3 1 0 2 a a  1 且 1 3 a∴ a 的可能範圍為 1 1 3 a   

( )14.sin2210°  cos2570°  sec2930°  tan21290°  csc21650°  cot22010°  (A)  1 (B)1 (C)3

2 (D)3

【101 年歷屆試題.】 解答 D

解析 570°  360°  210°,930°  360°  2  210°,1290°  360°  3  210°, 1650° 360°  4  210°,2010°  360°  5  210°

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( )15.平面上四點 A(1 , 1)、B(a , 2)、C(b ,  1)、D(0 ,  2),其中 b 為正數,若 AB 與 CD 互相平行,且 BD 與 AC 互相垂直,求 a  2b 之 值為何? (A)7 (B)8 (C)9 (D)10 【101 年歷屆試題.】 解答 D 解析 直線 AB 的斜率 1 2 1 1 1 AB m a a       ,直線 CD 的斜率 1 ( 2) 1 0 CD m b b       , 直線 BD 的斜率 2 ( 2) 4 0 BD m a a      ,直線 AC 的斜率 1 ( 1) 2 1 1 AC m b b       , ∵ AB CD// ∴ mAB mCD  1 1 1 a b     a b  1…… ∵ BDAC ∴ mBD mAC 1  4 2 1 1 a b    a(1 b)  8…… 由,a  1  b 代入 則(1  b)(1 b)  8  1  b2 8  b2 9  b 3(負不合)  a  1  3  4 故 a 2b  4  2  3  10 ( )16.已知兩向量 a 、 b 互相垂直。若| a |4 5,| ab |5 5,則| b | (A) 5 (B) 2 5 (C) 3 5 (D) 4 5 【100 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ ab 互相垂直 ∴ ab 0 | ab |5 5  | ab |2125  2 2 | a | 2( ab )| b | 125  (4 5)2  2 0 | b |2125  2 | b | 45  | b |3 5 ( )17.若直線 3x2y 6 0的斜率為a, y 截距為 b ,x截距為c,且此直線與兩坐標軸所圍成的封閉區域面積為 d ,求 ab cd 之值為 (A)3 2 (B) 9 2 (C) 15 2 (D) 21 2 【105 年歷屆試題.】 解答 D 解析 (1)直線3x2y 6 0的斜率 3 3 2 2 a    (2)直線3x2y 6 0與兩軸的交點 x 0 2 y 3 0 y截距b3,x截距c 2 (3)直線3x2y 6 0的圖形如下:

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則直線與兩坐標軸所圍成的區域面積 1 2 3 3 2 d    由(1)、(2)和(3),所求 3 3

 

2 3 2 abcd     9

 

6 21 2 2     ( )18.已知sin 3 1 2    ,則 sin sin 1 cos 1 cos      (A) 2( 3 1) (B) 4( 3 1) (C) 2( 3 1) (D) 4( 3 1) 【104 年歷屆試題.】 解答 C 解析 所求 sin ( 1 1 ) 1 cos 1 cos        

sin (1 cos ) (1 cos ) (1 cos )(1 cos )             sin 2 2 1 cos      sin 22 2 2 sin sin 3 1 2         4 4( 3 1) 3 1 ( 3 1)( 3 1)       4( 3 1) 2( 3 1) 2     ( )19.設A

 

0,0 、B

 

2, 2 為平面上二點,若點P m n 在線段 AB 上,且

,

AP PB: 3:1,則 m n 之值為何?(A) 2 (B) 2.5 (C) 3 (D) 3.5 【103 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ 點P m n

,

AB上且AP PB: 3:1 ∴ 3 1 3 1 B A P  

   

3 2, 2 0,0 4  

 

6,6 4  3 3, 2 2        故 3 2 m , 3 2 n ,則 3 3 3 2 2 m   n ( )20.下列方程式所對應的圖形中,何者恆在x軸的上方? (A)y5x23x1 (B) 2 3 5 1    y x x (C) 2 5 3    y x x (D)y3x2 x 5【104 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ 四個選項的x2項係數均為正數 ∴ 皆為開口向上的拋物線 (A)( 3) 2     4 5 1 11 0→符合

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(C)( 5) 2   4 1 3 130

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