1014 汽勤甲解答

1014 汽勤甲 複習 姓名 座號

一、單選題 (20 題 每題 5 分 共 100 分)

（ ）1.三個半徑為 2 的圓，兩兩外切且內切於正三角形， 如圖，則此正三角形之邊長為何？ (A)6 (B) 4 2 3 (C)8 (D) 4 4 3 【092 年歷屆試題.】 解答 D 解析 如圖所示 ∵ △PQR 為正三角形  RPQ RQP  60  APC  30，BQD  30 已知圓半徑 r  2，則CDAB  2 r 4 cot 30 3 2 3 PCAC   r  cot 30 3 2 3 DQBD   r  2 3 4 2 3 4 4 3 PQ PC CD DQ          ∴ 此正三角形的邊長為44 3 （ ）2.若 f(x)  4|x  1|  3|2x  1|，則 f(x)的最小值為何？ (A)3 (B)4 (C)6 (D)9 【096 年歷屆試題.】 解答 C 解析 f(x)  4|x  1|  3|2x  1| ∵ f(  1)  4  0  3  3  9， ( )1 4 3 3 0 6 2 2 f      ∴ f(x)的最小值為 6

（ ）3.設 為銳角，若 tan  2，試求 3 sin 6 cos ？ (A) 2 (B) 3 (C) 2 2 (D) 2 3

【097 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵  為銳角，且tan 2 2 1   如圖所示： ∴ 3 sin 6 cos 3 2 6 1 2 2 2 2 3 3         （ ）4.若兩點 A(0,0)、B(a,b)對稱於直線 x  2y  5，則 a  b  (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【092 年歷屆試題.】 解答 C

解析 ∵ A(0,0)、B(a,b)  AB中點 ( , ) 2 2 a b M 且AB的斜率m₁ b a  又 L:x  2y  5 的斜率 2 1 2 m  ∵ A、B 對稱於直線 L 1 2 2 5 ( , ) 2 2 2 2 1 1 1 2 a b a b M L b m m a                （∵ 在 上） （∵ ） 2 10 2 0 a b a b      _{ }  由    2 得 5a  10  a  2 a  2 代入得 b  4 ∴ a  b  2  (  4)  6 （ ）5.設 A(  4,4)與 B(1,  1)為坐標平面上之兩點，若點 C 在 AB 上且 2AC3BC，則點 C 的坐標為何？ (A)(  3,3) (B)(  2,2) (C)(  1,1) (D)(0,0) 【094 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ C 在AB上且2AC3BC  AC BC: 3 : 2 設點 C 坐標為(x,y) 則 2( 4) 3 1 1 3 2 x       ， 2 4 3( 1) 1 3 2 y      ∴ 點 C 的坐標為(  1,1) （ ）6.設兩向量 a 、 b 的夾角為，且| a || b |，| a  b |4，| a  b |3，則 cos  (A) 7 25 (B) 5 13 (C) 3 5 (D) 4 5 【092 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ | a  b |2| a |2| b |22 a  b 16 又 2 2 2 | a  b | | a | | b | 2 a b 9 由  得 2 2 2(| a | | b | )25 已知 2 | a || b |  4 | a | 25 | |2 25 4 a   由  得4 7 7 4      a b a b ∴ 2 cos | || | | | a b a b a b a     （∵ | a || b |） 7 7 4 25 25 4   （ ）7.已知 L1、L2為與直線 3x  4y  0 平行的二直線。若 L1過點(  29,23)，L2過點(31,23)，則此二平行線間的距離為何？ (A)23 (B)36 (C)48 (D)60 【102 年歷屆試題.】 解答 B 解析 設 L1：3x  4y  k1 0，L2：3x  4y  k2 0 ∵ L1過點(  29,23) ∴ 3  (  29)  4  23  k1 0  k1 5 ∵ L2過點(31,23) ∴ 3  31  4  23  k2 0  k2 185 則 L1：3x  4y  5  0，L2：3x  4y  185  0

因此二平行線 L1、L2間的距離 _{1 2} 2 2 | 5 ( 185) | 180 ( , ) 36 5 3 4 d L L        （ ）8.已知△ABC 中，AB5，BC7，AC8，則下列各內積中，何者為最大？ (A) AB AC (B) BC BA (C) CA CB (D) AB BC 【093 年歷屆試題.】 解答 C 解析 2 2 2 2 2 2 cos 2 2 b c a AC AB BC A bc AC AB        2 2 2 | || | cos 2 AC AB BC AB AC AB AC A AB AC AC AB          1 2 2 2 1 2 2 2 ( ) (8 5 7 ) 20 2 AC AB BC 2        同理 1 2 2 2 1 2 2 2 ( ) (5 7 8 ) 5 2 2 BC BA  AB BC AC     2 2 2 _{2 2 2} 1 1 ( ) (7 8 5 ) 44 2 2 CA CB  BC AC AB     ( ) ( ) 5 AB BC  BA BC   BC BA   ∴ CA CB 為最大 （ ）9.設 a 與 b 為平面上的兩個向量，若| a || b |2且 a b 2，則 a 與 b 的夾角為何？ (A)15 (B)30 (C)45 (D)60 【094 年歷屆試題.】 解答 D 解析 設 a 、 b 夾角為，則cos 2 1 2 2 2 | || | a b a b         60（∵ 0 180） ∴ a 與 b 的夾角為 60 （ ）10.試問在坐標平面上，過點(2,  1)且與直線 1 3 4 x_{ }y 垂直的直線方程式為何？ (A)4x  3y  9 (B)4x  3y  10 (C)3x  4y  9 (D)3x  4y  10 【095 年歷屆試題.】 解答 D 解析 1 4 3 12 3 4 x y x y      ∵ 所求直線 L 垂直 4x  3y  12 故設 L:3x  4y  k 又 L 過點(2,  1)  3  2  4(  1)  k  k  10 ∴ 所求直線方程式為 3x  4y  10

（ ）11.平面上兩點 A(5,  1)、B(3,4)。若 C 點在 y 軸上，且滿足 ACBC，則 C 點坐標為何？ (A)(0, 1) 10  (B)(0, 1) 15  (C)(0, 1) 15 (D)(0, 1 ) 10 【098 年歷屆試題.】 解答 A 解析 C 點在 y 軸上，設 C(0,t) ∵ ACBC ∴ 2 2 2 2 (5 0)   ( 1 t)  (3 0) (4t)  (5  0)2 (  1  t)2 (3  0)2 (4  t)2  1 10 t  故 (0, 1) 10 C 

（ ）12.下列各三角函數值，何者數值最小？ (A)sin885 (B)cos(  430) (C)tan131 (D)sin(  2010)

【099 年歷屆試題.】 解答 C

解析 sin885 sin(2  360 165)  sin165 sin(180 15)  sin15 0 cos(  430)  cos430 cos(360 70)  cos70 0

tan131 tan(180 49)  tan49 0

sin(  2010)  sin(  6  360 150)  sin150 sin(180 30)  sin30 0 由上可知 tan131的值最小 故選(C) （ ）13.設 a 為實數，且直線(3a  1)x  2y  a  1 沒有通過第一象限，則 a 的可能範圍為何？ (A)a <  1 (B) 1 1 3 a    (C)1 1 3 a (D)a  1 【096 年歷屆試題.】 解答 B 解析 (3 1) 2 1 3 1 1 2 2 a a a x y a  y  x  即直線的 y 截距為 1 2 a  ，斜率 3 1 2 a m  ∵ 直線沒有通過第一象限  y 截距 0 且斜率 m  0 1 0 2 a    且3 1 0 2 a _  a  1 且 1 3 a ∴ a 的可能範圍為 1 1 3 a   

（ ）14.sin2_{210°  cos}2_{570°  sec}2_{930°  tan}2_{1290°  csc}2_{1650°  cot}2_{2010°  (A)  1 (B)1 (C)}3

2 (D)3

【101 年歷屆試題.】 解答 D

解析 570°  360°  210°，930°  360°  2  210°，1290°  360°  3  210°， 1650° 360°  4  210°，2010°  360°  5  210°

（ ）15.平面上四點 A(1 , 1)、B(a , 2)、C(b ,  1)、D(0 ,  2)，其中 b 為正數，若 AB 與 CD 互相平行，且 BD 與 AC 互相垂直，求 a  2b 之 值為何？ (A)7 (B)8 (C)9 (D)10 【101 年歷屆試題.】 解答 D 解析 直線 AB 的斜率 1 2 1 1 1 AB m a a       ，直線 CD 的斜率 1 ( 2) 1 0 CD m b b       ， 直線 BD 的斜率 2 ( 2) 4 0 BD m a a      ，直線 AC 的斜率 1 ( 1) 2 1 1 AC m b b       ， ∵ AB CD// ∴ mAB mCD  1 1 1 a b     a  b  1…… ∵ BDAC ∴ mBD mAC 1  4 2 1 1 a b    a(1  b)  8…… 由，a  1  b 代入 則(1  b)(1  b)  8  1  b2 8  b2 9  b 3（負不合）  a  1  3  4 故 a  2b  4  2  3  10 （ ）16.已知兩向量 a 、 b 互相垂直。若| a |4 5，| a  b |5 5，則| b | (A) 5 (B) 2 5 (C) 3 5 (D) 4 5 【100 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ a 、 b 互相垂直 ∴ a b 0 | a  b |5 5  | a  b |2125  2 2 | a | 2( a  b )| b | 125  (4 5)2  2 0 | b |2125  2 | b | 45  | b |3 5 （ ）17.若直線 3x2y 6 0的斜率為a， y 截距為 b ，x截距為c，且此直線與兩坐標軸所圍成的封閉區域面積為 d ，求 ab cd 之值為 (A)3 2 (B) 9 2 (C) 15 2 (D) 21 2 【105 年歷屆試題.】 解答 D 解析 (1)直線3x2y 6 0的斜率 3 3 2 2 a    (2)直線3x2y 6 0與兩軸的交點 x 0 2 y _{3 0} 則y截距b3，x截距c 2 (3)直線3x2y 6 0的圖形如下：

則直線與兩坐標軸所圍成的區域面積 1 2 3 3 2 d    由(1)、(2)和(3)，所求 3 3

 

2 3 2 abcd     9

 

6 21 2 2     （ ）18.已知sin 3 1 2    ，則 sin sin 1 cos 1 cos      (A) 2( 3 1) (B) 4( 3 1) (C) 2( 3 1) (D) 4( 3 1) 【104 年歷屆試題.】 解答 C 解析 所求 sin ( 1 1 ) 1 cos 1 cos        

sin (1 cos ) (1 cos ) (1 cos )(1 cos )             sin 2 ₂ 1 cos      sin 2₂ 2 2 sin sin 3 1 2         4 4( 3 1) 3 1 ( 3 1)( 3 1)       4( 3 1) 2( 3 1) 2     （ ）19.設A

 

0,0 、B

 

2, 2 為平面上二點，若點P m n 在線段 AB 上，且



,



AP PB: 3:1，則 m n 之值為何？(A) 2 (B) 2.5 (C) 3 (D) 3.5 【103 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ 點P m n



,



在AB上且AP PB: 3:1 ∴ 3 1 3 1 B A P  

   

3 2, 2 0,0 4  

 

6,6 4  3 3, 2 2        故 3 2 m ， 3 2 n ，則 3 3 3 2 2 m   n （ ）20.下列方程式所對應的圖形中，何者恆在x軸的上方？ (A)y5x23x1 (B) 2 3 5 1    y x x (C) 2 5 3    y x x (D)y3x2 x 5【104 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ 四個選項的_x2_{項係數均為正數} ∴ 皆為開口向上的拋物線 (A)( 3) 2     4 5 1 11 0→符合

(C)( 5) 2   4 1 3 130