5-排列組合

(1)

5- 排列組合

【83】設下圖中，A、B、C 三點共線，D、E、F 三點共線。利用這六點中的 3 個點作頂點所 形成的三角形共有多少個？(A)9 (B)14 (C)16 (D)18 (E)20 【解答】(D) 【詳解】 C6 3 C 3 3 C 3 3 20 1 1  18，選(D) 【84】我國自用小汽車的牌照號碼，前兩位為大寫英文字母，後四位為數字，例如 AB  0950。 若最後一位數字不用 4，且後四位數字沒有 0000 這個號碼，那麼我國可能有的自用小 汽車牌照號碼有多少個？(A) 26  25  (4320  1) (B) 26  25  4320  1 (C) 26  25  (5040  1) (D) 26  26  (9000  1) (E) 26  26  9000  1 【解答】(D) 【詳解】牌照號碼為□□○○○○ 前兩位填英文字母，其填法有 26  26 種，而後四位填 0～9 的整數，但末位不用數字 4 且沒有 0000 的號碼，後四位的填法有 10  10  10  9  1 種，故所有的號碼有 26  26  (9000 1)種 【85-1】下圖中，至少包含 A 或 B 兩點之一的長方形共有個。 【解答】15 【詳解】選 2 條水平線，2 條鉛直線構成一個矩形 n (A  B )  n (A)  n (B)  n (A  B)  C11C 3 1 C 1 1C 3 1 C 1 1C 3 1C 3 1 C 1 1  C 1 1C 3 1 C 1 1 C 1 1  9  9  3  15 【85-2】(40)255 除以 13 的餘數為(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 8 【解答】(A) 【詳解】利用二項式定理 (40)255 (39  1)255 C255 0 39 255_ C₁25539254 …  C255 25439  C 255 255  39 k  1（其中 k 為一自然數）故 40255被 13 除之餘數為 1

(2)

【87】在三位數中，百位數與個位數之差的絕對值為 2 的數，共有個。 【解答】150 【詳解】百位、個位各為 2，0 的 2 □0 有 10 個而 1 □ 3 及 3 □ 1 亦各有 10 個同理百位、個位由 (2，4)，(3，5)，(4，6)(5，7)，(6，8)，(7，9)組成的各有 20 個 ∴ 共有 10  7  20  150 【88-1】有一片長方形牆壁，尺寸為 12  1（即：長 12 單位長，寬 1 單位長）。若有許多白色及 咖啡色壁磚，白色壁磚尺寸為 2  1，咖啡色壁磚尺寸為 4  1，用這些壁磚貼滿此長方 形，問可貼成幾種不同的圖案？種。 【解答】13 【詳解】 設白色取 x 塊，咖啡色取 y 塊，則 2x  4y  12  x  2y  6 (x，y)  (6，0)，可排 1 種圖案，(x，y)  (4，1)，可排 ! 4 ! 5 _ 5 種圖案 (x，y)  (2，2)，可排 ! 2 ! 2 ! 4   6 種圖案，(x，y)  (0，3)，可排 1 種圖案 ∴ 共得 1  5  6  1  13 種圖案 【88-2】下列何者是 2100_{除以 10 的餘數？(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 8} 【解答】(D) 【詳解】 n 2n除以 10 的餘數 1 2 2 4 3 8 4 6 5 2 6 4   由上表知 2n_{餘以 10 的餘數為 2，4，8，6，2，4，8，6，…} 週期為 4，而 100  4  25……0 ∴ 其餘數為 6 【90】籃球 3 人鬥牛賽，共有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬 9 人參加，組成 3 隊，且 甲、乙兩人不在同一隊的組隊方法有多少種？答：種。 【解答】210 【詳解】 C72．C 5 2 210

(3)

【94】在數線上有一個運動物體從原點出發，在此數線上跳動，每次向正方向或負方向跳 1 個 單位，跳動過程可重複經過任何一點。若經過 6 次跳動後運動物體落在點+4 處，則此運動物體共有種不同的跳動方法。【解答】6 【詳解】必須要向前跳五次,向後跳一次 ( ) 6! 6 5!         【95-1】抽樣調查某地區 1000 個有兩個小孩的家庭﹐得到如下數據﹐其中(男 , 女)代表第一個小孩是男孩而第二個小孩是女生的家庭﹐餘類推. 家庭別 家庭數 (男 , 男) 261 (男 , 女) 249 (女 , 男) 255 (女 , 女) 235 由此數據可估計該地區有兩個小孩家庭的男﹑女孩性別比約為________﹕100 （四捨五入至整數位）. 【解答】105 【詳解】男孩數 261 2 249 1 255 1 1026       ﹐女孩數 249 1 255 1 235 2 974       ﹐ 1026 974 100 x   男女  x≒105.3 男﹐女之比約為105 :100 . 【95-2】新新鞋店為與同業進行促銷戰﹐推出「第二雙不用錢---買一送一」的活動.該鞋店共 有八款鞋可供選擇﹐其價格如下﹕ 規定所送的鞋之價格一定少於所買的價格（例如﹕買一個「丁」款鞋﹐可送甲﹑乙兩款鞋之一）.若有一位新新鞋店的顧客買一送一﹐則該顧客所帶走的兩雙鞋﹐其搭配方法一共有 ________種. 【解答】21 【詳解】買丙﹐丁﹐戊送甲或乙有 3 2 種﹐買己﹐庚﹐辛送甲﹐乙﹐丙﹐丁﹐戊有 3 5 種﹐ 款式甲乙丙丁戊己庚辛價格 670 670 700 700 700 800 800 800

(4)

【95-3】某地共有 9 個電視頻道﹐將其分配給 3 個新聞台﹑4 個綜藝台及 2 個體育台共三種類 型.若同類型電視台的頻道要相鄰﹐而且前兩個頻道保留給體育台﹐則頻道的分配方 式共有________種. 【解答】576 【詳解】體體新新新綜綜綜綜所求     1 2! 2! 3! 4! 576. 體新綜【96】某公司生產多種款式的「阿民」公仔，各種款式只是球帽、球衣或球鞋顏色不同。其中球帽共有黑、灰、紅、藍四種顏色，球衣有白、綠、藍三種顏色，而球鞋有黑、白、灰三種顏色。公司決定紅色的球帽不搭配灰色的鞋子，而白色的球衣則必須搭配藍色的帽子，至於其他顏色間的搭配就沒有限制。在這些配色的要求之下，最多可有種不同款式的「阿民」公仔。【解答】25 【詳解】  共有 6+6+4+9=25 種

(5)

【97】某地區的車牌號碼共六碼，其中前兩碼為O以外的英文大寫字母，後四碼為 0 到 9 的阿拉伯數字，但規定不能連續出現三個 4。例如：AA1234，AB4434為可出現的車牌號碼；而AO1234，AB3444為不可出現的車牌號碼。則所有第一碼為A且最後一碼為 4 的車牌號碼個數為 (1) 3 25 9 (2)25 9 2 10 (3)25 900 (4)25 990 (5)25 999 【解答】(4) 【詳解】 A □ □ □ □ 4 □ 4 4 4 ↓ 不可為 O 0 9 0 9 0 9 0 9  因此，25 (1000 10)  25 990 ，故選。【99-1】若數列a a₁, ₂, ,a_k, ,a 中每一項皆為 1 或₁₀ 1，則a₁  a₂ a_k  a₁₀之值有多 少種可能？(1) 10 (2) 11 (3) 10 2 P (4) 10 2 C (5)2 。【解答】(2) 10 【詳解】有 10 ， 8 ， 6 ，…，0，2，4，…，10，共 11 種 【99-2】有一個兩列三行的表格。在六個空格中分別填入數字 1, 2, 3, 4, 5, 6（不得重複）， 則 1, 2 這兩個數字在同一行或同一列的方法有________種。【解答】432 【詳解】 6 2 1 1

6!



C



C

 

4!

432

不同行且不同列【101】三角形ABC是一個邊長為3的正三角形﹐如右圖所示﹒若在每一邊的兩個三等分點中﹐ 各選取一點連成三角形﹐則下列哪些選項是正確的？ (1)依此方法可能連成的三角 形一共有8個 (2)這些可能連成的三角形中﹐恰有2個是銳角三角形 (3)這些可能連成的三角形中﹐恰有3個是直角三角形 (4)這些可能連成的三角形中﹐恰有3個是鈍 角三角形 (5)這些可能連成的三角形中﹐恰有1個是正三角形﹒ 【解答】(1)(2) 【詳解】 (1) 三角形有2 2 2  8﹐即 △DIF﹑△DIG﹑△DHG﹑△DHF △E I F﹑△EIG﹑△EHF﹑△EHG

(2) 銳角三角形：正三角形即是銳角三角形  △DHF﹑△EIG﹐共2個

(3) 直角三角形：△DIF﹑△DIG﹑△EHF﹑

△E I F﹑△EHG﹑△DHG﹐共6個 (4) 鈍角三角形：共0個 ﹑ ﹐共個故選(1)(2)﹒ A B C D E F G H I

(6)

【102-1】學校規定上學期成績需同時滿足以下兩項要求，才有資格參選模範生。一、國文成績或英文成績70 分(含)以上； 二、數學成績及格。已知小文上學期國文 65 分而且他不符合參選模範生資格。請問下列哪一個選項的 推論是正確的？ (1) 小文的英文成績未達 70 分 (2) 小文的數學成績不及格 (3) 小文的英文成績 70 分以上但數學成績不及格 (4) 小文的英文成績未達 70 分且數學成績不及格 (5) 小文的英文成績未達 70 分或數學成績不及格 【解答】(5) 【詳解】 (1)╳：有可能數學不及格﹒ (2)╳：有可能英文未達 70 分﹒ (3)╳：有可能英文未達 70 分且數學不及格﹒ (4)╳：有可能英文未達 70 分但數學及格﹒ (5)○：因為只要英文未達 70 分﹐數學不及格其中一個成立即可﹒ 故選(5)﹒ 【102-2】將 24 顆雞蛋分裝到紅、黃、綠的三個籃子。每個籃子都要有雞蛋，且黃、綠兩個籃子裡都裝奇數顆。請選出分裝的方法數。 (1) 55 (2) 66 (3) 132 (4) 198 (5) 253 【解答】(2) 【詳解】 設紅、黃、綠三個籃子之雞蛋數分別為 x﹐y﹐z﹐ 則x  y z 24且 x 為正整數﹐y 為正奇數﹐z 為正奇數﹐ 令x x 1﹐y2y1﹐z2z1﹐其中 x﹐y﹐z為非負整數﹐ 則(x 1) (2y 1) (2z 1) 24 x 2y2z21﹐ 又2 y﹐2z為偶數﹐∴ x必為奇數﹐ 當x 1時﹐y z 10﹐ 3 x  時﹐y z 9﹐ 5 x  時﹐y z 8﹐ 21 x  時﹐y z 0﹐ ∴所求 2 10 1 2 9 1 2 8 1 2 0 1 11 10 9 1 10 9 8 0 10 9 8 0 C   C   C   C   C C C C           1 1 1 0 9 1 1 1 ( 1 1 1 ) 6 6 2          ﹐故選(2)﹒