數學解析

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發行人／陳炳亨總召集／周耀琨總編輯／蔣海燕出　版／民國一○一年二月發行所／_{7 0 2 4 8} 臺南市新樂路 _{76 號} 編輯部／7 0 2 5 2 臺南市新忠路 8-1 號【試題‧答案】依據大考中心公布內容 NO.00847

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101 年學測，是『九五暫綱』的最後一屆，所以此課綱的末代考生也戰戰兢兢的迎接 此次考試，畢竟如果明年要再重來就得重新研讀新課綱的內容。也因為九五課綱的最後一屆，所以考題的趨勢在考前就有許多的猜測，不知會不會來個分數大放送呢？又因為緊鄰總統大選時期，加上『九九課綱』已刪除信賴區間內容，所以很多人就會猜測，關於抽樣的統計部分是否又會是出題的重點呢？這些疑問隨著考試的結束也跟著有了答案，以下就針對_{101 年學測數學試題做些簡易的分析與解析！} 一 試題分布分析 冊_別單　元題　號分數合計單冊合併計分第一冊第一章數與坐標系單選1、選填_B. ₁₀ 25 分 第二章數列與級數單選2、選填_A. ₁₀ 第三章多項式多選8 5 第二冊第一章指數與對數單選3、單選5 ₁₀ 25 分 第二章三角函數的基本概念多選w ₅ 第三章三角函數的性質與應用多選0、選填_E. ₁₀ 第三冊第一章向量選填_C. ₅ 15 分 第二章空間中的直線與平面多選q（註_1） ₅ 第三章圓與球面單選7 5 第四冊第一章圓錐曲線多選e、選填 D.、 選填_F. 15 35 分 第二章排列組合多選9 ₅ 第三章機率與統計單選4、單選6、選填_{G.（註 2）} 15 由此表格可以發現這份考題不僅各冊的試題分配平均，每個單元也都出現在考題中，幾個重要概念如：指數與對數、多項式、三角函數、圓錐曲線、排列組合、機率與統計等都有入題，但獨缺以往喜好的空間向量題型，連信賴區間的考題也都缺席。題目仍舊維持歷年來的單選題、多選題、選填題的型態，大部分題目維持為簡單數學概念的基本題，除此外也有部分題目可利用幾何圖形幫助解題，是份具有鑑別度的試題。註：1 多選q題雖歸為第三冊第二章，但主要是考二元一次聯立方程組的概念。 2 選填_{G. 雖歸類為機率的考題，但其需要用到空間中平面的概念，了解平行平面的} 距離，才可以解題，可視為跨單元的考題。臺南女中 / 高孟鍬老師

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二 試題特色 今年的考題，題意清晰，沒有冗長的言詞，與去年的考題雷同之處即為很多題目都結合圖形觀念，可見這是未來教學的重點。因各單元都有入題，可見學子不可以偏頗任一個觀念。以下就本份試題的特色，依筆者經驗提出幾點加以討論，也盼各位先進不吝指導！ 1 重幾何圖形：這份試題中，單選7、多選9、多選0、多選e、選填 E.、選填 F.、選 填_{G.等題都是圖形題，尤其是選填 G.只要了解六個平面的關係與立體圖形的形狀即可} 以解題。另外選填_{F.也是藉由橢圓圖形的對稱性與橢圓的基本定義即可解題，這也是} 幾乎每年學測都會出現的利用『圓錐曲線定義』來解的題目。可見出題者想要藉由這份考題在提醒學子，學習數學不只是數字上的運算與定理的運用，圖形的輔助學習也很重要！ 2 少公式記憶：這份考題不太需要用到很多數學公式，僅有在多選w用到倍角公式與半 角公式。單選4考到統計學中的常態分配概念，也需用到標準差的意義，但不需要代公式計算，只要用基本定義概念即可以選出符合狀況的圖形。所以學習數學不能僅有公式的背誦與套用而已！ 3 條件的重要性：這份試題公認有很多『陷阱』。但與其說是陷阱，不如說是在提醒 學子，學習過程中需要注意很多定義的限制與條件，不可以囫圇吞棗！以多選w為例，其中的_cos q 2＝±

zx

1＋cosq 2 ，其正負號需要看 q 2 所在的象限決定。另外多選q 題，也是需要小心作答的，因為方程組有解，可能是『恰有一組解』或是『無限多組解』。 4 簡單計算能力：簡單的計算能力是數學的根基。單選1是國中程度的根式計算，是讓 考生信心大增的送分題。單選3與單選5都是指數與對數的基本計算題，也強調對數表的重要性。三 結　語 綜觀這份試題，題幹敘述清楚，不複雜冗長，「重觀念、少計算」，應屬中間程度稍偏難，但也有不少的送分題。程度好且觀念清晰的考生一分鐘內即可答完一題，但若平時只重視演算的學子，應很難拿到高分。此外，近年來套公式的記憶式考題越來越少，取而代之的是用思考解答的觀念題。總而言之，『重觀念與圖形的理解、少繁瑣的計算』似乎已成為學測考試的趨勢，於是觀念學習的重要性不可言喻，動腦思考的習慣養成也很重要，藉由平時的演練儲備能力，考試的時候保持清晰的思緒，想要在數學科拿到好成績並非難事！ F

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試

題

解

析

臺南女中高孟鍬老師第壹部分：選擇題（占_{65 分）} 一、單選題（占 35 分）說明：第1題至第7題，每題 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得_{5 分；答錯、未} 作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。 1 zx ₅12 ＋ 1 42 ＋1 等於下列哪一個選項？ 1 1.01 2 1.05 3 1.1 4 1.15 5 1.21 答案 2 命題出處第一冊第一章 數與座標系 測驗目標根式與數的運算解析 zx₅12＋ 1 42＋1＝zx 16＋25＋16×25 16×25 ＝ 21 20＝1.05 故選2 難易度易 2 將邊長為 1 公分的正立方體堆疊成一階梯形立體，如下圖所示，其中第 1 層 （最下層）有 10 塊，第 2 層有 9 塊，……，依此類推。當堆疊完 10 層時，該 階梯形立體的表面積（即該立體的前、後、上、下、左、右各表面的面積總和）為多少？ 1 75 平方公分 2 90 平方公分 3 110 平方公分 4 130 平方公分 5 150 平方公分答案 5 命題出處第一冊第二章_{數列與級數} 測驗目標幾何圖形概念與等差級數解析 面積包含此立體圖形的前、後、底面、左側與右側的階梯狀面積，所以 其面積總和為

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2（1＋2＋3＋…＋10）＋10＋10＋10×2＝2×11×10 2 ＋40＝150 故選5 難易度易 3 下表為常用對數表 log₁₀N 的一部分： N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … 20 … 30 0000 0414 … 3010 … 4771 0043 0453 … 3032 … 4786 0086 0492 … 3054 … 4800 0128 0531 … 3075 … 4814 0170 0569 … 3096 … 4829 0212 0607 … 3118 … 4843 0253 0645 … 3139 … 4857 0294 0682 … 3160 … 4871 0334 0719 … 3181 … 4886 0374 0755 … 3201 … 4900 請問₁₀3.032_{最接近下列哪一個選項？} 1 101 2 201 3 1007 4 1076 5 2012 答案 4 命題出處第二冊第一章 指數與對數 測驗目標對數表與對數的應用

解析 設 a＝103.032 ⇒ log a＝3.032＝3＋0.032

查表可以得到_{log1.07＝0.0294、log1.08＝0.0334} 利用內插法，設_{0.032＝log x，則} x＝1.07＋k ⇒ k 0.01 ＝ 0.032－0.0294 0.0334－0.0294 ⇒ k＝0.0065 ⇒ 0.032＝log1.0765，

所以_{log a＝3＋log1.0765＝log1076.5 ⇒ a~1076} 故選4

難易度中

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4 甲、乙兩校有一樣多的學生參加數學能力測驗，兩校學生測驗成績的分布都很接近常態分布，其中甲校學生的平均分數為_{60 分，標準差為 10 分；乙校學生} 的平均分數為_{65 分，標準差為 5 分。若用粗線表示甲校學生成績分布曲線；細} 線表示乙校學生成績分布曲線，則下列哪一個分布圖較為正確？ 1 2 3 4 5 答案 1 命題出處第四冊第三章 機率與統計 測驗目標常態分配的圖形與標準差的意義解析 1 常態分配的圖形呈現鐘形對稱狀且中間高峰即代表此筆資料的中位數＝算術平均數 2 由題意可以知道甲校的平均分數＜乙校的平均分數，所以粗線圖形的高峰位置位於細線圖形的高峰位置的左側 3 由題意可以知道甲校的標準差＞乙校的標準差，所以粗線圖形比細線圖形更加分散故選1 難易度易類似題《學測新導向•數學_{1-4 冊》第 366 頁第 7 題} 5 若正實數 x，y 滿足 log

10x＝2.8，log10y＝5.6，則 log10（x

2_＋_{y）最接近下列哪一} 個選項的值？ 1 2.8 2 5.6 3 5.9 4 8.4 5 11.2 答案 3 命題出處第二冊第一章 指數與對數 測驗目標指數與對數的關係與運算解析 ∵x＝102.8，_y＝105.6

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⇒ log（x2_＋_{y）＝log（10}5.6_＋₁₀5.6_）_＝_log（105.6_×_{2）＝5.6＋log 2~5.901} 故選3 難易度易類似題《學測新導向•數學 1-4 冊》第 103 頁第 14 題 6 箱中有編號分別為 0，1，2，……，9 的十顆球。隨機抽取一球，將球放回後， 再隨機抽取一球。請問這兩球編號相減的絕對值為下列哪一個選項時，其出現的機率最大？ 1 0 2 1 3 4 4 5 5 9 答案 2 命題出處第四冊第三章 機率與統計 測驗目標排列組合與機率解析 因為樣本空間相同，取法共有 10×10＝100 種，所以機率越大表示事件 的個數越多，故只要算出各選項的事件個數即可。 1 相差_{0，表示兩次均取到相同的數字球，所有 10 種} 2 相差_{1 的狀況有（0﹐1）、（1﹐2）、…、（8﹐9）共 9×2!＝18 種} 3 相差 4 的狀況有（0﹐4）、（1﹐5）、…、（5﹐9）共 6×2!＝12種 4 相差 5 的狀況有（0﹐5）、（1﹐6）、…、（4﹐9）共 5×2!＝10種 5 相差 9 的狀況有（0﹐9）共 1×2!＝2 種 故選2 難易度中類似題《學測新導向•數學 1-4 冊》第 335 頁範例 5 類題 2 7 空間坐標中有一球面（半徑大於 0）與平面 3x＋4y＝0 相切於原點，請問此球面與 三個坐標軸一共有多少個交點？ 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 答案 3 命題出處第三冊第三章 圓與球面 測驗目標球面的切平面與球面的關係，空間座標系概念

解析 設原點為 O、球心 A（x﹐y﹐z），平面 3x＋4y＝0 法向量為

zn＝（3﹐4﹐0），則 zOA＝tzn ⇒（x﹐y﹐z）＝（3t﹐4t﹐0）

a

（

l

_3t）2＋（_4t）2＋₀2＝_{5∣t∣，因為 A 點到 x、y、z 軸的距離分別為} 4∣t∣（＜r）、3∣t∣（＜r）、5∣t∣（＝r），所以球面與 x 軸交兩點（其 中有一個原點）、球面與 y 軸交兩點（其中有一個原點）、球面與 z 軸交 一點（即為原點）。故球面與座標軸共交三點。

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難易度難類似題《學測新導向•數學 1-4 冊》第 230 頁第 E 題 二、多選題（占 30 分）說明：_{第8題至第e題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正} 確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得_{5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得} 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。 8 設 f（x）＝x4－_5x3＋x2＋ax＋b 為實係數多項式，且知 f（i）＝0（其中 i2＝－_1）。請問下列哪些選項是多項式方程式_{f（x）＝0 的根？} 1 －i 2 0 3 1 4 －5 5 5 答案 125 命題出處第一冊第三章 多項式 測驗目標實係數多項式方程式虛根成雙解析 ∵f（x）＝0為實係數多項式方程式且 f（i）＝0 ⇒ f（－i）＝0 ∴（x－i）（x＋i）＝x2＋_{1為 f（x）的因式，利用長除法可以得到} f（x）＝x4_－_5x3_＋_x2_＋_{ax＋b＝（x}2_＋_1）_（_x2_－_{5x）＝x（x－5）}_（_x2_＋_1） ⇒ f（x）＝0 故選125 難易度中 9 三角形ABC 是一個邊長為 3 的正三角形，如下圖所示。若在每一邊的兩個三等 分點中，各選取一點連成三角形，則下列哪些選項是正確的？ 1依此方法可能連成的三角形一共有_{8 個} 2這些可能連成的三角形中，恰有_{2 個是銳角三角形} 3這些可能連成的三角形中，恰有_{3 個是直角三角形} 4這些可能連成的三角形中，恰有3 個是鈍角三角形 5這些可能連成的三角形中，恰有_{1 個是正三角形} 答案 12 命題出處第四冊第二章 排列組合 測驗目標三角形的圖形關係與排列組合解析 將三角形的每一邊的三等分點標為 A₁、_A₂、_A₃、_A₄、 A5、A6，如圖所示。則： 1 ○： 每邊有兩個點可以選擇，所以共 2×2×2＝8 個三角形

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2345 這_{8 個三角形中，△A}₁_A₅_A₃、△_A₂_A₄_A₆_{為正三角形} （銳角三角形），△_A₁_A₆_A₃、△_A₂_A₃_A₅、△_A₁_A₅_A₄、 △A₁A₆A₄、△A₂A₆A₃、△A₂A₄A₅ 為直角三角形 故選12 難易度難類似題《學測新導向•數學_{1-4 冊》第 315 頁範例 14 類題 1} 0 設_{O 為複數平面上的原點，並令點 A，B 分別代表非零複數 z，w。若} ∠_{AOB＝90n，則下列哪些選項必為負實數？} 1 z w 2 zw 3（_zw）2 4 z 2 w2 5（zvw）2（其中 vw 為 w 的共軛複數） 答案 45 命題出處第二冊第三章 三角函數的性質與應用 測驗目標複數極式的計算與幾何意義

解析 設 z＝a（cosq ＋i sinq ）、w＝b（cosa＋i sina），

a、b＞0 且 q －a＝±90n（∵∠AOB＝90n，如圖所示）。則：

1 ×： z

w ＝ a

b（cos（q －a）＋i sin（q －a））

＝a

b（cos（±90n）＋i sin（±90n））＝ a

b（±i）

2 ×： zw＝ab（cos（q ＋a）＋i sin（q ＋a））無法確定其值 3 ×：同2無法確定其值

4 ○： z

2

w2＝

a2

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試題解析

＝ a 2 b2（cos（±90n×2）＋i sin（±90n×2）） ＝ a 2 b2（cos（±180n）＋i sin（±180n））＝－ a2 b2 ＜0

5 ○：（zvw）2＝（_{ab（cosq ＋i sinq ）}（_{cos a－i sin a））}2

（_zvw）2＝_a2_b2（_{cos（q －a）＋i sin（q －a））}2

（_zvw）2＝_a2_b2（_{cos（2q －2a）＋i sin（2q －2a））＝－a}2_b2＜₀ 故選45 難易度中 q 若實數 a，b，c，d 使得聯立方程組 ax＋8y＝c x－4y＝3 有解，且聯立方程組 －_3x＋by＝d x－4y＝3 無解，則下列哪些選項一定正確？ 1 a_2 2 c＝－6 3 b＝12 4 d_－9 5聯立方程組 ax＋8y＝c －_3x＋by＝d 無解 答案 34 命題出處第三冊第二章 空間中的直線與平面 測驗目標二元一次聯立方程組的解解析 因為方程組 ax＋8y＝c x－4y＝3 有解，可能恰有一組解也可能無限多組解 1 若為恰有一組解，則 a 1_ 8 －₄ ⇔ a_2 2 若為無限多組解，則 a 1＝ 8 －₄＝ c 3 ⇔ a＝－2，c＝－6 因為方程組－3x＋by＝d x－4y＝3 無解，所以 －₃ 1 ＝ b －₄_ d 3 ⇒ b＝12，d_－9 所以 ax＋8y＝c －_3x＋by＝d 可能無解或是恰有一組解 故選34 難易度中類似題《學測新導向•數學 1-4 冊》第 221 頁範例 29

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w 在坐標平面上，廣義角_{q 的頂點為原點O，始邊為 x 軸的正向，且滿足} tanq＝2 3。若 q 的終邊上有一點 P，其 y 坐標為－4，則下列哪些選項一定正確？ 1 P 的 x 坐標是 6 2 vOP＝2al13 3 cosq ＝ 3 al13 4 sin 2q ＞0 5 cos q 2＜0 答案 24 命題出處第二冊第二章 三角函數的基本概念 測驗目標廣義角三角函數的定義；倍角與半角公式解析 1 ×：根據定義，tanq ＝－4 x ＝ 2 3 ⇒ x＝－6 2 ○：vOP＝al36＋16＝2al13 3 ×：cosq ＝ x vOP＝－6 2al13＝－ 3 al13 4 ○：sin 2q ＝2 sinq cosq ＝2× －4

2al13× －₃ al13＝ 12 13＞0 5 ×：因為 q 為第三象限角 ⇒ 180n＋360n×n＜q ＜270n＋360n×n ⇒ 90n＋180n×n＜ q 2＜135n＋180n×n ⇒ q 2 可能為第二或四象限角所以_cosq 2 可能為正或負 故選24 難易度中類似題 《學測新導向•數學 1-4 冊》第 109 頁範例 3、第 129 頁第 1 題、 第_{141 頁範例 11}

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試題解析

e 平面上兩點_F₁，_F₂_{滿足 vF}₁_F₂＝_{4。設 d 為一實數，令 G 表示平面上滿足} ∣v_PF₁－v_PF₂∣＝_{d 的所有 P 點所成的圖形，又令 C 為平面上以 F}₁_{為圓心、6 為} 半徑的圓。請問下列哪些選項是正確的？ 1當 d＝0 時，G 為直線 2當 d＝1 時，G 為雙曲線 3當 d＝2 時，G 與圓 C 交於兩點 4當_{d＝4 時，G 與圓 C 交於四點} 5當_{d＝8 時，G 不存在} 答案 125 命題出處第四冊第一章 圓錐曲線 測驗目標雙曲線的定義與圓的圖形解析 1 ○：當 d＝0，G 為 vF₁F₂ 的中垂線 2 ○：當 d＝1，∣vPF₁－vPF₂∣＝_1＜4 ⇒ G 為以 F1、F2 為焦點的雙曲線 3 ×：當 d＝2，∣vPF₁－v_PF₂∣＝_2＜4 ⇒ G 為以 F1、F2 為焦點的雙曲線，焦點 F₁ 與中心點距離為2，如圖所示， 所以 G 與圓 C 交四點 4 ×：當 d＝4，∣vPF₁－vPF₂∣＝₄ ⇒ G 為以 F1、F2 為始點射向兩端的射線，如圖所示，所以_{G 與圓 C 交兩點} 5 ○：當 d＝8，∣vPF₁－v_PF₂∣＝_8＞4 ⇒ G 不存在 故選125 難易度中類似題《學測新導向•數學_{1-4 冊》第 297 頁第 4 題} 第貳部分：選填題（占_{35 分）} 說明：1 第_{A 至 G 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的} 列號（r∼c）。 2 每題完全答對給_{5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。} A. 若首項為 a ，公比為 0.01 的無窮等比級數和等於循環小數 1.v2，則 a＝　r.ty　。 答案 r 1　t 2　y 1 命題出處第一冊第二章 數列與級數

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測驗目標無窮等比級數的求和、循環小數解析 1.v2＝1 2 9＝ 11 9 ＝ a 1－0.01 ⇒ a＝ 11 9 × 99 100＝1.21 難易度易類似題《學測新導向•數學_{1-4 冊》第 45 頁範例 13、第 46 頁範例 14 類題 1} B. 設 A（1﹐1），B（3﹐5），C（5﹐3），D（0﹐－7），E（2﹐－3）及 F（8﹐－6）為坐 標平面上的六個點。若直線_{L 分別與三角形 ABC 及三角形 DEF 各恰有一個交} 點，則_{L 的斜率之最小可能值為　ui　。} 答案 u－　i 3 命題出處第一冊第一章 數與座標系 測驗目標直線斜率的基本定義解析 因為直線 L 與三角形各交一點，所以直線L可能為直線 AD（斜率為8）、 直線_{AF（斜率為－1）、直線 CD（斜率為2）、直線 CE（斜率為 2）、} 直線_{CF（斜率為－3）。所以斜率最小為－3} 難易度中 C. 小明在天文網站上看到以下的資訊「可利用北斗七星斗杓的天璇與天樞這兩顆星 來尋找北極星：由天璇起始向天樞的方向延伸便可找到北極星，其中天樞與北極星的距離為天樞與天璇距離的_{5 倍。」今小明將所見的星空想像成一個坐標平} 面，其中天璇的坐標為（_{9﹐8）及天樞的坐標為（7﹐11）。依上述資訊可以推得} 北極星的坐標為（　op　﹐　as　）。答案 o－　p_{3　a 2　s 6} 命題出處第三冊第一章向量測驗目標平面向量座標的應用解析 設天旋位置為 O（9﹐8），天樞位置為 A（7﹐11）， 　北極星位置為 B（x﹐y） 則_{zOB＝6zOA ⇒（x－9﹐y－8）＝6（－2﹐3）⇒（x﹐y）＝（－3﹐26）} 難易度易 D. 設點 A（－2﹐2）、B（4﹐8）為坐標平面上兩點，且點 C 在二次函數 y＝1 2 x 2_的圖形上變動。當 C 點的 x 坐標為　df　時，內積 zAB•zAC 有最小值　gh　。 答案 d－　f 1　g－　h 3

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試題解析

測驗目標拋物線的參數式解析 設 C 點座標為

（

t﹐1 2 t 2

）

_，則 zAB．zAC ＝（6﹐6）．

（

t＋2﹐1 2 t 2_－₂

）

＝_6t＋3t2＋_12－12＝3t2＋_6t＝3（t2＋_{2t＋1）－3} ＝_3（t＋1）2－_3M－3 所以當 t＝－1 時有最小值－3 難易度中 E. 在邊長為 13 的正三角形 ABC 上各邊分別取一點 P，Q，R， 使得APQR 形成一平行四邊形，如右圖所示：若平行四邊形 APQR 的面積為 20a3 ，則線段 PR 的長度為　j　。 答案 j 7 命題出處第二冊第三章 三角函數的性質與應用 測驗目標平行四邊形面積、餘弦定理解析 因為四邊形 APQR 為平行四邊形， 所以 vAP vAB＝ vCQ vCB ＝ vCR vAC ⇒ vAP＝vCR（∵vAB＝vAC） 設_{vAP＝vCR＝x，vAR＝13－x，所以利用平行四邊形面積} 得到 20a3 ＝x（13－x）sin 60n ⇒ x2－13x＋40＝0 ⇒ x＝5 或 8 所以利用餘弦定理，vPR ＝

al

vAP2＋vAR2－_{2vAP×vAR cos60n}

＝zx25＋64－2×5×8×1₂＝₇ 難易度難 F. 設 m，n 為正實數，橢圓 x 2 m ＋ y2 n ＝1 的焦點分別為 F1（0﹐2）與 F2（0﹐－2）。 若此橢圓上有一點 P 使得△PF₁F₂ 為一正三角形，則 m＝　kl　， n＝　;z　。 答案 k 1　l 2　; 1　z 6 命題出處第四冊第一章_圓錐曲線 測驗目標橢圓的基本定義

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解析 由橢圓的基本定義，vF₁F₂＝_{4＝2c ⇒ c＝2} ∵△_PF₁_F₂_{為正三角形} ⇒ vPF1＝vPF2＝vF1F2＝2c＝4，vPF1＋vPF2＝2×4＝8＝2a ⇒ a＝4 ⇒ b＝

al

a2_－_c2_＝ al16－4＝al12 因為此橢圓為直立式橢圓，所以_m＝b2＝_12，n＝a2＝₁₆ 難易度中 G. 坐標空間中，在六個平面 x＝14 13，x＝ 1 13，y＝1，y＝－1，z＝－1 及 z＝－4 所 圍成的長方體上隨機選取兩個相異頂點。若每個頂點被選取的機率相同，則選到兩個頂點的距離大於 3 之機率為 4 　x c　。（化成最簡分數）答案 x 3　c 7 命題出處第四冊第三章_機率統計 測驗目標空間概念與機率的基本定義解析 六平面所形成的長方體如圖所示，其長、寬、高分別為 2、1、3。若要選取兩頂點的距離要大於 3，則要選擇面 的對角線上的頂點：

（AH）（AF）（AG）（BG）（BE）（BH）（CH）（CF）（CE）（DE） （_DG）（_{DF）共 12 組，所以機率為} 12 C8 2 ＝12 28＝ 3 7 難易度中類似題《學測新導向•數學 1-4 冊》第 193 頁範例 4 類題 1 參考公式及可能用到的數值 1 一元二次方程式_ax2＋_{bx＋c＝0 的公式解：x＝} －b±

al

b 2_－_4ac 2a 2 平面上兩點_P₁（_x₁﹐_y₁），_P₂（_x₂﹐_y₂）間的距離為_vP₁_P₂＝

a

（

l

_x₂－_x₁）2＋（_y₂－_y₁）2 3 通過（x₁﹐y₁）與（x₂﹐y₂）的直線斜率 m＝y2－y1 x2－x1 ，x₂__x₁ 4 首項為_a₁_{且公差為 d 的等差數列前 n 項之和 S＝}n（a1＋an） 2 ＝ n（2a1＋（n－1）d） 2 等比數列〈_ark－1〉的前_{n 項之和 S}_n＝ a（1－r n_） 1－r ，r_1

(16)

試題解析

5 級數公式：

Σ

n k＝1k 2_＝₁2_＋₂2_＋₃2_＋…＋_n2_＝ n（n＋1）（2n＋1） 6

6 三角函數的和角公式： sin（A＋B）＝sin A cos B＋sin B cos A cos（A＋B）＝cos A cos B－sin A sin B 7 △_{ABC 的正弦定理：} a sin A＝ b sin B＝ c sin C＝2R，R 為△ABC 的外接圓半徑 △_{ABC 的餘弦定理：c}2＝_a2＋_b2－_{2ab cos C}

8 棣美弗定理：設 z＝r（cos q＋i sin q），則 zn＝rn（cos nq＋i sin nq），n 為一正整數 9 算術平均數：M（＝vX ）＝1 n（x1＋x2＋…＋xn）＝ 1 n n

Σ

i＝1xi （樣本）標準差：_S＝_zx 1 n－1 n

Σ

i＝1（xi－vX ） 2_＝ zx_n－11（（ n

Σ

i＝1xi 2_）_－_nvX2_） 0 95％信心水準下的信賴區間： ^p－2

_zx

^p（1－^p） n ﹐^p＋2

zx

^p（1－^p） n

q 參考數值：a2 ~1.414；a3 ~1.732；a5 ~2.236；a6 ~2.449；p~3.142 w 對數值：_log₁₀_{2~0.3010，log}₁₀_{3~0.4771，log}₁₀_{5~0.6990，log}₁₀_7~0.8451

數學 解析

數學

考科

數學

考科

數學考科

zx

試

題

解

析

數學考科

試題解析

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a

l

試題解析

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（

）

（

）

al

al

al

a

l

試題解析

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Σ

Σ

Σ

Σ

zx

zx

數學解析

_zx