5-2-2矩陣-矩陣的應用

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(1)選修數學(I)2-2 矩陣-矩陣的應用【思考】 1. 生活中的事務，經量化後，有些問題可以藉著矩陣加以處理；首先將數據資料整理並以矩陣表示，再配合其實值意義與矩陣運算的關係可處理之。尤其是與機率有關的問題，矩陣之應用更是有利的工具。【定義】 1. 機率矩陣（機率向量）： ⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ 2 若 X = ⎢ ⎥ ，且滿足 xi ≥ 0, (i = 1,2,L, n) ， ⎢M⎥ ⎢ ⎥ ⎣ xn ⎦ n. 其中 ∑ xi = x1 + x2 + L + xn = 1 ， i =1. 則稱 X 是一個機率矩陣。 ⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ 2 即若行矩陣 X = ⎢ ⎥ 中的每一個行矩陣的元都是非負的實數， ⎢M⎥ ⎢ ⎥ ⎣ xn ⎦ 且各元的和為 1，這種矩陣稱之為機率矩陣(或稱機率向量)。 2. 轉移矩陣(特例)： ⎡t11 t12 t13 ⎤ 設矩陣 T = ⎢⎢t 21 t 22 t 23 ⎥⎥ ，其中各元 tij 都是非負實數， ⎢⎣t 31 t 32 t 33 ⎥⎦ 且每一行各元之和皆為 1 ，即 t1 j + t2 j + t3 j = 1, j = 1,2,3 ，稱矩陣 T 為轉移矩陣。註：轉移矩陣必須滿足下列兩個條件： (1)每一元都是一個非負的實數。 (2)每一行的各元相加之總和都等於 1。 3. 轉移矩陣(推移矩陣、隨機矩陣、馬可夫矩陣)(一般)： ⎡ a11 a12 L a1n ⎤ ⎢a a22 L a2 n ⎥⎥ 21 若A=⎢ ， ⎢ M M M ⎥ ⎢ ⎥ ⎣an1 an 2 L ann ⎦ 且滿足 aij ≥ 0, (i = 1,2,L, n; j = 1,2,L, n) ， n. 其中 ∑ aij = a1 j + a 2 j + L + anj = 1, (1 ≤ j ≤ n) ， i =1. 則稱 A 是一個轉移矩陣。. 6.

(2) 註：. ⎡ a11 ⎢a 21 即用 A = ⎢ ⎢ M ⎢ ⎣an1. a12 L a1n ⎤ a22 L a2 n ⎥⎥ ，表示從現在狀態 S1 , S 2 , L , S n ， M M ⎥ ⎥ an 2 L ann ⎦ 至下一觀察期狀態 S1 , S 2 , L , S n 的機率變換情形，狀態 S1 S 2 L S n S1 a11 a12 L a1n 形如 S 2 a 21 a 22 L a 2 n 。 M M M O M Sn a n1 a n 2 L a nn 【性質】 ⎡a1 ⎤ 1. 令 X 1 = ⎢⎢b1 ⎥⎥ ，其中 a1 , b1 , c1 都是非負實數，且 a1 + b1 + c1 = 1 ， ⎢⎣ c1 ⎥⎦ 又令 X n +1 = TX n ，即 X n +1 = T n X 1 。. ⎡an ⎤ 若 X n = ⎢⎢bn ⎥⎥ ，則 an , bn , cn 皆非負，且 an + bn + cn = 1 。 ⎢⎣ cn ⎥⎦ 在大部分情況下，可以證明 X n 會趨於穩定， ⎡a ⎤ 假設 X = ⎢⎢b ⎥⎥ 是其穩定狀態( a, b, c 非負，且 a + b + c = 1 )，即 TX = X 。 ⎢⎣ c ⎥⎦ 2. 穩定狀態： ⎡a ⎤ 通常情況下， X n 會趨於穩定，設 X = ⎢⎢b ⎥⎥ 是其穩定狀態，則 TX = X ， ⎢⎣ c ⎥⎦ 給定 T 時，可以 a, b, c 為未知數，由 TX = X 建立方程組，加上 a + b + c = 1 才能求得唯一解 a, b, c ，解之即得 X 。. ⎡ a11 ⎢a 21 3. 若 A = ⎢ ⎢ M ⎢ ⎣an1. a12 L a1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ ⎥ a22 L a2 n ⎥ 2 是一個轉移矩陣，且 X = ⎢ ⎥ 是一個機率矩陣， ⎢M⎥ M M ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ an 2 L ann ⎦ ⎣ xn ⎦ 則 aij ≥ 0, (i = 1,2,L, n; j = 1,2,L, n) ， n. n. 其中 ∑ aij = a1 j + a 2 j + L + anj = 1, (1 ≤ j ≤ n) ，且 ∑ xi = x1 + x2 + L + xn = 1 ， i =1. i =1. n. 則 AX 的每一個元 ∑ aik xk 都大於或等於零， k =1. 7.

(3) ⎡ a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn ⎤ ⎢a x + a x + L + a x ⎥ 21 1 22 2 2n n ⎥ 且 AX = ⎢ 中各元相加的和也必等於 1， ⎢ ⎥ M ⎢ ⎥ ⎣an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn ⎦ (a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n ) + (a 21 x1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x n ) + L + (an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn ) = (a11 + a21 + L + an1 ) x1 + (a12 + a22 + L + an 2 ) x2 + L + (a1n + a2 n + L + ann ) xn = x1 + x2 + L + xn = 1 ，所以 AX 也是一個機率矩陣。 4. 設 A, B 皆為 n × n 階馬可夫矩陣，則 AB 也是馬可夫矩陣。證明：設 A = [ a ij ] n×n , B[bij ] n×n ，且 ∀i, j , a ij ≥ 0, bij ≥ 0 ， n. ∑a i =1. n. ij. = 1, j = 1,2,L , n 及 ∑ bij = 1, j = 1,2,L , n ， i =1. 令 AB = [cij ] n×n ， n. n. i =1. i =1 n. 則 ∑ cij = ∑ (a i1b1 j + a i 2 b2 j + L + ain bnj ) n. n. i =1. i =1. = (∑ ai1 )b1 j + (∑ ai 2 )b2 j + L + (∑ ain )bnj = b1 j + b2 j + L + bnj = 1 ， i =1. 5.. 故 AB 也是馬可夫矩陣。馬可夫性質：若 A 是一個 n 階轉移矩陣，且 A 或 A 的某一次方的所有元都是正數，則對於任意的 X 0，當 n 趨近無限大時，若 X n = A n X 0 會趨近一個行矩陣 X ，這個 X 滿足性質 ( A − I n ) X = O ，且 X 的各元之和為 1。證明：若 lim X n = lim An X 0 = X ， n→∞. n→∞. 則 lim X n +1 = lim AX n = A lim X n = AX n →∞. n→∞. n →∞. ⇒ AX = X ⇒ AX − X = O ⇒ ( A − I n ) X = O 又 X 之各元和為 1(機率矩陣)，故用上述性質可以求出 X 之各元的值。註： ⎡0 0 1 ⎤ (1)一般的馬可夫鏈不一定會趨近穩定的狀態，例如 A = ⎢⎢1 0 0⎥⎥ 。(循環) ⎢⎣0 1 0⎥⎦ ⎡u ⎤ (2)點 P (u , v ) ↔ 行矩陣(行坐標) ⎢ ⎥ 。 ⎣v ⎦ 6. 若矩陣 A 為一馬可夫鏈的推移矩陣，其中 P 為 A 的穩定狀態矩陣，Q 為任一狀態矩陣，則 lim A k Q = P 。 k →∞. 證明： lim A k Q = lim A k + h P ( 0) = lim P k + h = P 。 k →∞. k →∞. k →∞. 8.

(4) 【應用】假設某地只有甲乙兩家工廠生產並販賣某一種產品，每一年甲工廠的顧客中有. 3 4. 1 1 轉向乙工廠購買此產品，只有仍然向甲工廠購買；而乙工廠的顧客中有轉向 4 3 2 甲工廠購買，其餘的顧客仍然向乙工廠購買，則 3 (1)一年、二年、三年後，甲乙兩家工廠的市場佔有率為何？ (2)經過一段很長的時間後，最後甲乙兩工廠的市場佔有率為何？解答：設甲乙兩工廠目前市場佔有率為 x0 , y 0 ，其中 x0 + y0 = 1 ， n 年後甲乙兩工廠市場佔有率分別為 x n , y n ， 1 1 第一年甲工廠的市場佔有率 x1 = x 0 + y 0 ， 4 3 3 2 乙工廠的市場佔有率 y1 = x 0 + y 0 ， 4 3 ⎡1 1⎤ ⎥ ⎢ ⎡ xn ⎤ 令 A = ⎢ 4 3 ⎥ ，第 n 期的狀態為 P ( n ) = ⎢ ⎥ ，(稱 P ( 0 ) , P (1) , P ( 2 ) ,L , P ( n ) 形成一個 3 2 ⎣ yn ⎦ ⎥ ⎢ ⎣4 3⎦ 馬可夫鏈，矩陣 A 稱為此馬可夫鏈的轉移矩陣或推移矩陣) ⎡1 1⎤ x ⎥⎡ x ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ 則可用 P (1) = ⎢ 1 ⎥ = ⎢ 4 3 ⎥ ⎢ 0 ⎥ = AP ( 0 ) 表示上述的關係， ⎣ y1 ⎦ ⎢ 3 2 ⎥ ⎣ y 0 ⎦ ⎣4 3⎦ 1 1 第二年甲工廠的市場佔有率 x 2 = x1 + y1 ， 4 3 3 2 乙工廠的市場佔有率 y 2 = x1 + y1 ， 4 3 ⎡1 1 ⎤ x ⎢ ⎥⎡ x ⎤ ⎡ ⎤ 則 P ( 2 ) = ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 4 3 ⎥ ⎢ 1 ⎥ = AP (1) ， ⎣ y 2 ⎦ ⎢ 3 2 ⎥ ⎣ y1 ⎦ ⎣4 3⎦ 依據上述類推可得： ⎡1 1⎤ x ⎢ ⎥⎡ x ⎤ ⎡ ⎤ + n 1 = ⎢ 4 3 ⎥ ⎢ n ⎥ = AP ( n ) ， P ( n +1) = ⎢ ⎥ ⎣ y n +1 ⎦ ⎢ 3 2 ⎥ ⎣ y n ⎦ ⎣4 3⎦ 11 ⎤ ⎡ 15 11 ⎤ ⎡ 15 x0 + y0 ⎥ x ⎢ ⎥ ⎢ ⎡ ⎤ 0 ( 2) 48 36 48 36 = ，所以 P = ⎢ 33 25 ⎥ ⎢⎣ y 0 ⎥⎦ ⎢ 33 25 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x0 + y0 ⎥ 36 ⎦ ⎣ 48 36 ⎦ ⎣ 48. 9.

(5) ⎡ 177 ⎢ = ⎢ 432 255 ⎢ ⎣ 432. 133 ⎤ 133 ⎤ ⎡ 177 x0 + y0 x ⎥ ⎢ ⎡ ⎤ 432 0 = 432 432 ⎥ ， P ( 3) 299 ⎥ ⎢⎣ y 0 ⎥⎦ ⎢ 255 299 ⎥ ⎥ ⎢ x0 + y0 ⎥ 432 ⎦ 432 ⎦ ⎣ 432 ⎡α ⎤ 經過多年之後的市場佔有率為 P = ⎢ ⎥ ，即 P = lim P ( n ) ，且 α + β = 1 ， n →∞ ⎣β ⎦ 因為 P ( n +1) = AP ( n ) ， 4 ⎧ α= ⎪ 13 。所以 P = lim P ( n+1) = lim AP ( n ) = A lim P ( n ) ⇒ X = AX ⇒ ⎨ n →∞ n →∞ n →∞ 9 ⎪β = 13 ⎩ 觀察可知： 1. A 的每一行都是非負的實數。 2. A 的每一行的元之和都等於 1。 ⎡ xn ⎤ 3. P ( n ) = ⎢ ⎥, x n + y n = 1 。 ⎣ yn ⎦. 10.

(6) 【定義】 1. 三元一次方程組： ⎧a1 x + b1 y + c1 z = d1 三元一次方程組 ( L)⎪⎨a 2 x + b2 y + c2 z = d 2 ，將其係數連同常數項作成矩陣 ⎪a x + b y + c z = d 3 3 3 ⎩ 3. ⎡ a1 b1 c1 d1 ⎤ ⎢a b c d ⎥ ，稱為 (L) 的增廣矩陣。 2⎥ ⎢ 2 2 2 ⎢⎣ a3 b3 c3 d3 ⎥⎦ 2. n 元一次 m 式聯立方程式聯立方程組： ⎧ a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 ⎪ a x + a x +L+ a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 一次方程組 ⎨ 可以寫成 AX = B ， M ⎪ ⎪⎩a m1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm ⎡ a11 a12 L a1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ b1 ⎤ ⎢a ⎢ ⎢b ⎥ ⎥ ⎥ a 22 L a 2 n ⎥ x2 ⎥ 21 ⎢ ⎢ ,X = , B=⎢ 2⎥。其中 A = ⎢ M ⎢M⎥ ⎢M⎥ M M ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎣a m1 a m 2 L a mn ⎦ ⎣ xn ⎦ ⎣bm ⎦ 註： ⎡ a11 a12 L a1n ⎤ ⎢a a 22 L a 2 n ⎥⎥ 21 稱為這個方程組的係數矩陣。 (1)係數所排成的矩陣 ⎢ ⎢ M M O M ⎥ ⎢ ⎥ ⎣a m1 a m 2 L a mn ⎦ ⎡ a11 a12 L a1n b1 ⎤ ⎢a a 22 L a 2 n b2 ⎥⎥ 21 ⎢ 稱為這個方程組的增廣矩陣。 (2) ⎢ M M O M M⎥ ⎢ ⎥ ⎣a m1 a m 2 L a mn bm ⎦. 11.

(7) 【方法】 1. 列運算：將增廣矩陣適當運用三種列運算(不會改變原方程組的解)： (1)某兩列互換，以符號 Rij 表示。 (2)將某一列乘以一數加至另一列，以符號 rRi + R j 表示。 (3)將某一列乘以一個不為 0 的數，以符號 rRi 表示。註：這三種列運算都稱為矩陣的基本列運算。 2. 高斯消去法(Gaussian Elimination)： ⎧a11 = 1 (1) 用基本列運算使 ⎨ 。 ⎩ai1 = 0, ∀i ≥ 2. ⎧a 21 = 1 。 (2) 使 ⎨ ⎩ai 2 = 0, ∀i ≥ 3 ⎡1 ? L ? ? ⎤ ⎢0 1 L ? ?⎥ ⎥。 (3) 依此類推使成為梯陣 ⎢ ⎢ M M O M M⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 L 1 ?⎦ 3. 高斯-喬登消去(Gauss-Jordan)法： ⎡1 0 L 0 ? ⎤ ⎢0 1 L 0 ?⎥ ⎥ ，稱高斯-喬登消去。若化成形如上三角矩陣 ⎢ ⎢M M O M M⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 L 1 ?⎦ 4. 簡化矩陣：一個矩陣，只要列運算後所得的矩陣達到在每個不為 0 的列中，第一個不為 0 的元所屬的行中，只有這個元不等於 0 。我們就稱它為一個簡化矩陣。 5. 解的情形： ⎡1 0 0 α ⎤ (1)將增廣矩陣適當運用三種列運算，若能逐步化簡為 ⎢⎢0 1 0 β ⎥⎥ ，則原 ⎢⎣0 0 1 γ ⎥⎦ 方程組有唯一解 ( x, y , z ) = (α , β , γ ) 。 (2)若列運算簡化的過程中，出現某一列除最後一元不為 0 外，其餘各元皆為 0 ，則原方程組無解。 (3)方程組也可能有無限多解。. 12.

(8) 6.. 反方陣求法(特例)： ⎡ a11 a12 a13 ⎤ 求 A = ⎢⎢a21 a22 a23 ⎥⎥ 的反方陣 A−1 時， ⎢⎣ a31 a32 a33 ⎥⎦ ⎡ a11 a12 a13 1 0 0⎤ 可將 ⎢⎢a21 a22 a23 0 1 0⎥⎥ 利用列運算簡化， ⎢⎣a31 a32 a33 0 0 1⎥⎦. ⎡1 0 0 b11 b12 b13 ⎤ ⎡b11 b12 ⎢ ⎥ −1 若能簡化成 ⎢0 1 0 b21 b22 b23 ⎥ ，則 A = B = ⎢⎢b21 b22 ⎢⎣0 0 1 b31 b32 b33 ⎥⎦ ⎢⎣b31 b32 7. 反方陣求法(一般)：將 [A | I n ] → [I n | B ] ，即可求出，. b13 ⎤ b23 ⎥⎥ 。 b33 ⎥⎦. ⎡ a11 a12 L L a1n 1 0 L L 0⎤ ⎢a 0⎥⎥ ⎢ 21 a 22 L L a 2 n 0 1 M O M M O M⎥ ，將⎢ M ⎢ ⎥ M O M M O M⎥ ⎢ M ⎢⎣ a n1 a n 2 L L a nn 0 0 L L 1⎥⎦ ⎡1 0 L L 0 b11 b12 L L b1n ⎤ ⎢0 1 L L 0 b b22 b2 n ⎥⎥ 21 ⎢ M M O M ⎥，化成 ⎢ M M O ⎢ ⎥ O M M O M ⎥ ⎢M M ⎢⎣0 0 L L 1 bn1 bn 2 L L bnn ⎥⎦ 此即為同時求出數組聯立方程組的解之意，即將高斯消去法合併。 [A | I n ] → [E1 A | E1I n ] → [E2 E1 A | E2 E1I n ] → L → [Ek Ek −1 L E1 A | Ek Ek −1 L E1I n ] → [I n | B ] ，如此則左側變為 I n ，右側變為 B ，即 A 的乘法反矩陣，且 AB = BA = I n 。此時 B = A −1 = E k E k −1 L E1 且 A = E1 −1 L Ek −1 。. 13.

(9) 【例題】求反矩陣例子： ⎡3 5⎤ 1. 求 A = ⎢ ⎥ 的反矩陣的高斯消去法過程與其對應的矩陣運算： ⎣1 2⎦ ⎡3 5 1 0⎤ ⎢1 2 0 1⎥ ( ⇔ [ A | I ] ) ⎣ ⎦ ⎡ ⎡0 1 ⎤ ⎡0 1 ⎤ ⎤ ⎡1 2 0 1⎤ ( ⇔ ⎢⎢ →⎢ ⎥ ⎥A⎢ ⎥I ⎥ ) ⎢⎣ ⎣1 0⎦ ⎣1 0⎦ ⎥⎦ ⎣3 5 1 0⎦ ⎡ ⎡ 1 0 ⎤ ⎡0 1 ⎤ ⎡ 1 0 ⎤ ⎡0 1 ⎤ ⎤ ⎡1 2 0 1 ⎤ ( →⎢ ⇔ ⎢⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥A⎢ ⎥⎢ ⎥I ⎥ ) ⎣0 − 1 1 − 3⎦ ⎣⎢ ⎣− 3 1⎦ ⎣1 0⎦ ⎣− 3 1⎦ ⎣1 0⎦ ⎦⎥. ⎡1 →⎢ ⎣0 ⎡1 →⎢ ⎣0. 2 0 1⎤ (⇔ 1 − 1 3⎥⎦ 0 2 − 5⎤ 1 − 1 3 ⎥⎦. ⎡ ⎡1 0 ⎤ ⎡ 1 0⎤ ⎡0 1⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ 1 0⎤ ⎡0 1⎤ ⎤ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥A⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥I ⎥ ) ⎣⎢ ⎣0 − 1⎦ ⎣− 3 1⎦ ⎣1 0⎦ ⎣0 − 1⎦ ⎣− 3 1⎦ ⎣1 0⎦ ⎥⎦. ⎡ ⎡1 − 2⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ 1 0⎤ ⎡0 1⎤ ⎡1 − 2⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ 1 0⎤ ⎡0 1⎤ ⎤ ( ⇔ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥A⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥I ⎥ ) ⎣⎢ ⎣0 1 ⎦ ⎣0 − 1⎦ ⎣− 3 1⎦ ⎣1 0⎦ ⎣0 1 ⎦ ⎣0 − 1⎦ ⎣− 3 1⎦ ⎣1 0⎦ ⎥⎦ ⎡1 − 2⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ 1 0⎤ ⎡0 1 ⎤ 設 E4 = ⎢ , E3 = ⎢ , E2 = ⎢ , E1 = ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥， ⎣0 1 ⎦ ⎣0 − 1⎦ ⎣− 3 1⎦ ⎣1 0⎦ 則最後一式可改成 [ E 4 E3 E 2 E1 A | E 4 E3 E 2 E1 I ] ， −1. −1. −1. −1. 也就是 E 4 E3 E 2 E1 A = I ⇒ A = E1 E 2 E3 E 4 ， −1. −1. −1. −1. −1. −1. −1. −1. 可得 ( E 4 E3 E 2 E1 )( E1 E 2 E3 E 4 ) = ( E1 E 2 E3 E 4 )( E 4 E3 E 2 E1 ) = I ，故 E 4 E3 E 2 E1 為 A 之乘法反元素，由 (det E 4 )(det E3 )(det E 2 )(det E1 )(det A) = det I ，也可知當 det A ≠ 0 時，乘法反矩陣存在。 2.. ⎧ x1 + 2 x 2 + 3 x3 + x 4 = 2 ⎪ ⎪ x + 3x 2 + 3x3 + 2 x 4 = 4 可以寫成 AX = B ，對聯立方程組： ⎨ 1 ⎪2 x1 + 4 x 2 + 3 x3 + 3 x 4 = 5 ⎪⎩ x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 6. 1⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 2⎤ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 4⎥ x 2⎥ , X = ⎢ 2 ⎥, B = ⎢ ⎥ ， ⎢5 ⎥ ⎢ x3 ⎥ 3⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 1⎦ ⎣6 ⎦ ⎣ x4 ⎦ 先如下求出 A −1 ，則可得到解 X = A −1 B 。 3 ⎡1 2 3 1 1 0 0 0⎤ (−1) R1 + R2 ⎡1 2 ⎢ ⎢ ⎥ [A I ] = ⎢⎢12 43 33 32 00 10 10 00⎥⎥ (−2) R1 + R3 ⎢⎢00 10 −03 (−1) R1 + R4 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣1 1 1 1 0 0 0 1⎥⎦ ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯→ ⎢⎣0 − 1 − 2 ⎡1 ⎢1 其中 A = ⎢ ⎢2 ⎢ ⎣1. 2 3 4 1. 3 3 3 1. 14. 1 1 1 −1 1 −2 0 −1. 0 1 0 0. 0 0 1 0. 0⎤ ⎥ 0⎥ 0⎥ ⎥ 1⎥⎦.

(10) ⎡1 ⎢ (1) R2 + R4 ⎢0 ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ ⎢0 ⎢ ⎣⎢0. 2 3 1 0 0 −3 0 −2. ⎡1 ⎢ 2 (− ) R3 + R4 ⎢0 3 ⎢0 ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ ⎢0 ⎢ ⎣ ⎡1 ⎢ (3) R4 ⎢0 ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ ⎢0 ⎢ ⎣⎢0. 2 3 1 1 0 0 0⎤ ⎥ 1 0 1 − 1 1 0 0⎥ 0 − 3 1 − 2 0 1 0⎥ ⎥ 2 1 2 − 1 − 1⎥ 0 0 3 3 3 ⎦ 2 3 1 1 0 0 0⎤ ⎥ 1 0 1 − 1 1 0 0⎥ 0 − 3 1 − 2 0 1 0⎥ ⎥ 0 0 1 − 2 3 − 2 3⎦⎥. (−1) R4 + R1 ⎡1 ⎢ (−1) R4 + R2 ⎢0 (−1) R4 + R3 ⎢0 ⎢ ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ ⎢⎣0. 2 3 1 0 0 −3 0 0. ⎡1 (−2) R2 + R1 ⎢ 0 (1) R3 + R1 ⎢ ⎢0 ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ ⎢ ⎣⎢0. 0 1 0 0. ⎡1 ⎢ 1 (− ) R3 ⎢0 3 ⎢0 ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ ⎢ ⎢⎣0. 0 1 0 0. 1 1 1 −1 1−2 1−2. 0 1 0 1. 0 0 1 0. 0⎤ ⎥ 0⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦⎥. 0 3 − 3 2 − 3⎤ ⎥ 0 1 − 2 2 − 3⎥ 0 0 − 3 3 − 3⎥ ⎥ 1 − 2 3 − 2 3 ⎥⎦ 0⎤ 0 0 1 −2 1 ⎥ 0 0 1 − 2 2 − 3⎥ − 3 0 0 − 3 3 − 3⎥ ⎥ 0 1 − 2 3 − 2 3 ⎦⎥. 0⎤ 0 1 −2 1 ⎥ 0 1 − 2 2 − 3⎥ = I A −1 ⎥ 1 −1 1 0 0 ⎥ 1 − 2 3 − 2 3 ⎥⎦ 0 ⎤ ⎡2⎤ ⎡ − 1 ⎤ ⎡ 1 −2 1 ⎢ 1 − 2 2 − 3⎥ ⎢4⎥ ⎢− 14⎥ ⎥。 ⎥⎢ ⎥ = ⎢ 則可得 X = A −1 B = ⎢ ⎢0 1 − 1 1 ⎥ ⎢5 ⎥ ⎢ 5 ⎥ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎣− 2 3 − 2 3 ⎦ ⎣6⎦ ⎣ 16 ⎦ ⎡ 4 − 1 − 1 − 1 1 0 0 0⎤ ⎢ ⎥ − 1 4 − 1 − 1 0 1 0 0⎥ ⎢ 3. [A I ] = ⎢ − 1 − 1 4 − 1 0 0 1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣− 1 − 1 − 1 4 0 0 0 1⎥⎦ ⎡ 1 1 1 1 1 1 1 1⎤ ⎢ ⎥ ( R2 + R3 + R4 ) + R1 ⎢− 1 4 − 1 − 1 0 1 0 0⎥ ⎢ − 1 − 1 4 − 1 0 0 1 0⎥ ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ ⎢ ⎥ ⎣⎢− 1 − 1 − 1 4 0 0 0 1⎦⎥ 0 0 1 0. [. 15. ].

(11) ⎡1 ⎢ (1) R1 + R3 ⎢0 ⎢0 (1) R1 + R4 ⎢ ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ ⎣⎢0 1 ⎡ ( ) R2 5 ⎢1 ⎢ 1 ( ) R3 ⎢0 5 ⎢0 ⎢ 1 ( ) R4 ⎢0 5 ⎢ ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ ⎣ ⎡ ⎢ (−1) R2 + R1 ⎢1 ⎢ (−1) R3 + R1 ⎢0 (−1) R4 + R1 ⎢0 ⎢ ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ ⎢0 ⎢ ⎣ (1) R1 + R2. 1 0 5 0. 11 01 01 51. 1 1 0 0. 1 0 1 0. 1 0 0 1. 1 1 5 1 5 1 5. 1 2 5 1 5 1 5. 1 1 5 2 5 1 5. 1⎤ 1⎥ 5⎥ 1⎥ ⎥ 5⎥ 2⎥ 5 ⎥⎦. 0 0 0 1. 2 5 1 5 1 5 1 5. 1 5 2 5 1 5 1 5. 1 5 1 5 2 5 1 5. 1⎤ 5 ⎥⎥ 1 ⎥ 5 ⎥ = I A −1 。 1⎥ 5⎥ 2⎥ ⎥ 5⎦. 0 1 0 0. 0 0 1 0. 1 2 1 1. 1⎤ ⎥ 1⎥ 1⎥ ⎥ 2⎦⎥. 1 5 0 0. 1 1 2 1. 16. [. ].

(12) 【性質】 1. 有乘法反矩陣的充要條件為 det A ≠ 0 。 2. 若 AB = AC ， A 為方陣且 A−1 存在，則 B = C 。 3. AB 乘法反矩陣為 ( AB) −1 = B −1 A −1 ，即 ( AB )( B −1 A −1 ) = A( BB −1 ) A −1 = A( I n ) A −1 = AA −1 = I n ，且 ( B −1 A −1 )( AB ) = B −1 ( A −1 A) B = B −1 ( I n ) B = BB −1 = I n 。. ⎡a b ⎤ 若A=⎢ ⎥ ， det A ≠ 0 (反矩陣才存在)， ⎣c d ⎦ −b ⎤ ⎡ d ⎢ ⎥ 1 ⎡ d − b⎤ 1 ⎡ d − b⎤ = 則 A −1 = ⎢ ad − bc ad − bc ⎥ = ⎢− c a ⎥ 。 ⎥ ⎢ a −c c a − ad bc A det − ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎢ ⎥ ⎣ ad − bc ad − bc ⎦ 5. 方陣 A 有乘法反矩陣的充要條件為 det A ≠ 0 。註：因聯立方程組有唯一解的充要條件為 det A ≠ 0 。 6. ( AB) T = B T AT 。 7. ( AT ) −1 = ( A −1 ) T 。 8. ( AB) −1 = B −1 A−1 。 9. 反矩陣唯一性：若 A 為方陣且 B, C 皆為 A 的反矩陣，則 B = C 。證明：設 B, C 皆為 A 的反矩陣則 AB = BA = I 且 AC = CA = I 得 B = BI = B ( AC ) = ( BA)C = IC = C (矛盾)。【意義】 1. 在一般紙筆計算解－次聯立方程組時，通常是用高斯-約旦消去法，這樣比較容易看出它的解，然而若以電腦計算，通常只要將增廣矩陣化成列梯狀矩陣(row echelon matrix)即可，然後再反代回去，這樣通常比較快。所謂列梯狀矩陣即為滿足下列條件的矩陣： (1) 全部為 0 的列在最下方。 (2) 每列中第一個不為 0 的數一定在上一列不為 0 的數的右方。 2. 一次方程組的求解問題，乃是數學與其他學科中時常見到的問題；顯然地，當方程組的未知數不多時(尤其是二元及三元)，使用代入消去法或加減消去法來求解，就已經是一種很方便的解法了。然而，在本章中，我們又引進了與加減消去法大同小異的高斯-約旦消去法，其原因有下列三點： (1) 就課程的結構而言，我們可由一次方程組的高斯消去法來引進矩陣的概念(這是數學及其他科學中很有用的一個概念);就這一層作用而言，代入消去法與加減消去法比較不容易顯出這種特色，因為在加減消去法的進行過程中，並沒有要求每個階段必須抄出變形後的整個方程組，所以，無法看出整個消去法的過程只是在作增廣矩陣的列運算。 (2) 未知數較多的一次方程組之求解，很多時候都是借助於計算快速的電腦，而利用電腦解一次方程組，必須要有一種系統化的方法(如此，才容易寫成程式)，高斯-約旦消去法乃是合乎這種用途的一種系統化方 4.. 17.

(13) 3.. 4.. 5.. 6. 7.. 法。 (3) 一般來說，在解 n 元一次方程組時，如果方程式的數目超過未知數的數目 n ，習慣上都是先利用前 n 個方程式來求解，再檢驗所得的解是否也滿足其他的方程式，這樣的做法反而比高斯-約旦消去法將所有方程式同時處理還來得費事。如何將一次方程組分離係數而以其增廣矩陣代替，此一做法不僅使一次方程組的求解方法明顯的看出系統化，而且可免除抄寫未知數記號與等號的麻煩。寫一次方程組的增廣矩陣時，含未知數的項與常數項需先移動，使含未知數的項依次在等號的左邊，而常數項在等號的右邊，這種作法的優點是在得出簡化矩陣時更容易看出解(不必變號)。所提出來的三種列運算，其正確名稱是基本列運算 (elementary row operation)，而由基本列運算所成的各種合成運算都稱之為矩陣的列運算。在本章中，介紹列運算的目的，只是為配合高斯-約旦消去法的概念，所以在名稱的使用上，也力求簡化。將一次方程組的增廣矩陣經過列運算達到簡化矩陣的形式時，方程組的解就很容易寫出來。將一個矩陣實施基本列運算，自然要知道終極目標是什麼；如果僅為一次方程組的求解、求矩陣的秩及行列武的降階等目的，那麼，只使用「將矩陣的某一列乘以某一數值加入另一列」這個基本列運算就已足夠，而只利用這種基本列運算，所能得到的終極形式就是教科書中所稱的簡化矩陣。可是，如果我們也使用「將矩陣的某一列乘以一個不為 0 的數」以及「將矩陣中的某兩列互換位置」這兩種基本列運算，那麼，所能得到的終極形式就更有規則了。它的形式是： (1) 每一個不為零的列(即該列的元不全為 0 )中第一個不為 0 的元都是 1 。 (2) 在每一行中，若此行有一個不為 0 的元是它所屬那一列的第一個不為 0 的元，則此行中的其他各元都是 0 。 (3) 每個不為零的列都在每個零列的上方。 (4) 若不為零的列是第一列至第 k 列，而第 i 列( 1 ≤ i ≤ k )中第一個不為 0 的元在第 ji 行，則 j1 < j2 < L < jk 。當一個矩陣具有(1)、(2)、(3)、(4)四個性質時，我們稱它是一個列簡化梯狀矩陣(row-reduced echelon matrix)。如果我們不使用「將矩陣中的某兩列互換位置」這種基本列運算，而只使用其它兩種，那麼，所能得到的終極形式只能具有前面(1)、(2)兩個性質，具有這兩性質的矩陣稱為列簡化矩陣 (row-reduced matrix)。如果我們只使用「將矩陣的某一列乘以某一數值加入另一列」這個基本列運算，那麼，所能得到的終極形式只能具有前面(2) 一個性質，這就是我們所使用的簡化矩陣(這名稱不是數學上通用的，所以我們使用化簡形如這個名稱，只是為敘述上方便而已)。. 18.

(14) 【定義】 1. 對稱方陣：若 aij = a ji 者稱之。 2.. 反對稱方陣：若 aij = − a ji 者稱之。. 3.. 上三角矩陣：若 aij = 0, ∀i > j 者稱之。. 4.. 下三角矩陣：若 aij = 0, ∀i < j 者稱之。. 5.. 列矩陣：只有一列的矩陣， A = [a11 a12 L a1n ] 。行矩陣： ⎡ a11 ⎤ ⎢a ⎥ 21 只有一行的矩陣， A = ⎢ ⎥ 。 ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎣am1 ⎦ 對稱矩陣：如果一個矩陣滿足 aij = a ji ，稱此矩陣為對稱矩陣。. 6.. 7. 8.. 對角線矩陣：如果一個方陣中除了對角線上的元不為零外，其餘都是零者稱之，對角線其 ⎧ 0 , 當i ≠ j 。餘的元可以為零或非零實數，即 aij = ⎨ ⎩實數, 當i = j 9. 行矩陣的轉置矩陣為列矩陣，列矩陣的轉置矩陣為行矩陣。【問題】 1. 對角線矩陣有何優點？【應用】 1. 對角化(diagonalization)： 1 ⎤ ⎡1 − λ ⎡1 1⎤ ，則 det( A − λI ) = det ⎢ = λ2 − 2λ − 3 = (λ − 3)(λ + 1) 設A=⎢ ⎥ ⎥ 1− λ⎦ ⎣ 4 ⎣4 1⎦ 為特徵方程式(characteristic polynomial of A )，特徵根(eigenvalue)為 3,−1 ，. ⎡ x1 ⎤ ⎡− 2 1 ⎤ (1) 對 λ1 = 3 時， ( A − λ1 I ) = ⎢ ，x = ⎢ ⎥， ⎥ ⎣ 4 − 2⎦ ⎣ x2 ⎦ ⎡− 2 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡− 2 x1 + x 2 ⎤ ⎡0⎤ 若⎢ ⎥ =⎢ ⎥， ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎣ 4 − 2⎦ ⎣ x 2 ⎦ ⎣ 4 x1 − 2 x 2 ⎦ ⎣0⎦ ⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤ v 則解為 x = ⎢ ⎥ = t ⎢ ⎥ = tv1 , t ≠ 0 。 ⎣ x 2 ⎦ ⎣ 2⎦ ⎡ x1 ⎤ ⎡2 1 ⎤ ，x = ⎢ ⎥， (2) 對 λ2 = −1 時， ( A − λ 2 I ) = ⎢ ⎥ ⎣4 2⎦ ⎣ x2 ⎦. 19.

(15) ⎡2 1⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 2 x1 + x 2 ⎤ ⎡0⎤ 若⎢ ⎥ = ⎢ ⎥， ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎣4 2⎦ ⎣ x 2 ⎦ ⎣4 x1 + 2 x 2 ⎦ ⎣0⎦ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ v 則解為 x = ⎢ ⎥ = t ⎢ ⎥ = tv2 , t ≠ 0 。 ⎣ x 2 ⎦ ⎣ − 2⎦. 2.. ⎡1 1 ⎤ v v ⎡3 0 ⎤ = [v1 , v2 ] ，則 Q −1 AQ = ⎢ 取Q = ⎢ ⎥ ⎥ 為對角化矩陣。 ⎣ 2 − 2⎦ ⎣0 − 1⎦ ⎡λ1 0 ⎤ v v −1 −1 設 Q = [v1 , v2 ], D = ⎢ ⎥ ，並希望 A = QDQ ⇒ Q AQ = D ⇒ AQ = QD ， 0 λ 2⎦ ⎣ ⎡3 − 1⎤ v v v v v v v v ⎡ λ1 ⎤ = [ v v ] = [ v v2 ]⎢ ⎥ = QD λ λ 即 AQ = A[v1 v2 ] = [ Av1 Av2 ] = ⎢ 1 1 2 2 1 ⎥ ⎣6 2 ⎦ ⎣λ 2 ⎦ ⎡0 0 ⎤ v v v v v v ⇒ [ Av1 Av2 ] = [λ1v1 λ2 v2 ] ⇒ [( A − λ1 I )v1 ( A − λ2 I )v2 ] = ⎢ ⎥ =O ⎣0 0 ⎦. v ⇒ [ A − λ1 I A − λ2 I ][v1. ⎧ v ⎡0 ⎤ ⎪( A − λ1 I )v1 = ⎢ ⎥ v ⎪ ⎣0 ⎦ v2 ] = O ⇒ ⎨ ⎪( A − λ I )vv = ⎡0⎤ 2 2 ⎢0 ⎥ ⎪ ⎣ ⎦ ⎩. v ⎡ 0 ⎤ v ⎡0 ⎤ 當 det( A − λI ) = 0 時，才能取到 v1 ≠ ⎢ ⎥, v2 ≠ ⎢ ⎥ 之解， ⎣0 ⎦ ⎣0 ⎦ 故取滿足 det( A − λI ) = 0 之 λ 即可， v ⎡ 0 ⎤ v ⎡0 ⎤ 再代回去解 v1 ≠ ⎢ ⎥, v2 ≠ ⎢ ⎥ ⎣0⎦ ⎣0 ⎦ ⇒ det( A − λI ) = 0 之解即為 λ1 , λ2. 此時 A = QDQ −1 ⇒ Q −1 AQ = D ⇒ AQ = QD ，求 A k = (Q −1 DQ)(Q −1 DQ)L (Q −1 DQ) = Q −1 D k Q ，並可以求 lim A k 之極限矩陣。 k →∞. ⎡1 1 0 ⎤ 3. 設 A = ⎢⎢0 2 2⎥⎥ ， ⎢⎣0 0 3⎥⎦ 1 0 ⎤ ⎡1 − λ ⎢ 2−λ 2 ⎥⎥ 則 det( A − λI ) = det ⎢ 0 ⎢⎣ 0 0 3 − λ ⎥⎦ = −(λ − 1)(λ − 2)(λ − 3) 為特徵方程式，特徵根為 1,2,3 ， ⎡0 1 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎥ (1) 對 λ1 = 1 時， ( A − λ1 I ) = ⎢0 1 2⎥ ， x = ⎢⎢ x 2 ⎥⎥ ⎢⎣0 0 2⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦. 20.

(16) ⎡0 1 0⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ x 2 ⎤ ⎡0⎤ 若 ⎢⎢0 1 2⎥⎥ ⎢⎢ x 2 ⎥⎥ = ⎢⎢ x 2 + 2 x3 ⎥⎥ = ⎢⎢0⎥⎥ ， ⎢⎣0 0 2⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 x3 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤ 則解為 x = ⎢⎢ x 2 ⎥⎥ = t ⎢⎢0⎥⎥ = t v1 , t ≠ 0 。 ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎡− 1 1 0⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎥ (2) 對 λ2 = 2 時， ( A − λ2 I ) = ⎢ 0 0 2⎥ ， x = ⎢⎢ x 2 ⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 1⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎡− 1 1 0⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡− x1 + x 2 ⎤ ⎡0⎤ 若 ⎢⎢ 0 0 2⎥⎥ ⎢⎢ x 2 ⎥⎥ = ⎢⎢ 2 x3 ⎥⎥ = ⎢⎢0⎥⎥ ， ⎢⎣ 0 0 1⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤ 則解為 x = ⎢⎢ x 2 ⎥⎥ = t ⎢⎢1⎥⎥ = t v 2 , t ≠ 0 。 ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎡− 2 1 0⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎥ (3) 對 λ3 = 3 時， ( A − λ3 I ) = ⎢ 0 − 1 2⎥ ， x = ⎢⎢ x 2 ⎥⎥ ⎢⎣ 0 ⎢⎣ x3 ⎥⎦ 0 0⎥⎦ ⎡− 2 1 0⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ − 2 x1 + x 2 ⎤ ⎡0⎤ 若 ⎢⎢ 0 − 1 2⎥⎥ ⎢⎢ x 2 ⎥⎥ = ⎢⎢− x 2 + 2 x3 ⎥⎥ = ⎢⎢0⎥⎥ ， ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎡ x1 ⎤ ⎡1 ⎤ 則解為 x = ⎢⎢ x 2 ⎥⎥ = t ⎢⎢2⎥⎥ = t v3 , t ≠ 0 。 ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦. ⎡1 1 1 ⎤ v v 取 Q = ⎢⎢0 1 2⎥⎥ = [v1 v2 ⎢⎣0 0 1⎥⎦ (即. ⎡1 0 0⎤ v −1 v3 ] ，則 Q AQ = ⎢⎢0 2 0⎥⎥ 為對角化矩陣 ⎢⎣0 0 3⎥⎦. v AQ = A[v1. v Av2. v v2. v v v3 ] = [ A v1. v v v Av3 ] = [λ1 v1 λ2 v2. v v λ3v3 ] = [v1. ⇒ AQ = QD ⇒ A = Q −1 DQ ) 此時若要求 A k = (Q −1 DQ)(Q −1 DQ)L (Q −1 DQ) = Q −1 D k Q ，可以簡化計算，並可以求 lim A k 之極限矩陣。 k →∞. 21. v v2. ⎡ λ1 ⎤ v ⎢ ⎥ v3 ]⎢λ2 ⎥ = QD ⎢⎣λ3 ⎥⎦.

(17)