數理簡訊

簡訊

孿生質數猜想的一大步

五月數學界最引人議論的大新聞，是華人數學家張 益唐證明了弱孿生質數猜想，媒體用斗大的標題寫著「 質數不再孤獨了！」 「質數的孤獨」拜義大利暢銷小說之賜，成了目前 流行的話語。質數是除了

1

與本身之外，沒有其他因 數的自然數。依照定義，質數不像

12

有著

1

、

2

、

3

、

4

、

6

、

12

這麼多「朋友」，因此是孤獨的。 但是質數的孤獨有另一層意思。 歐幾里得早在

2000

多年前就在《原本》中證明質 數有無窮多個。這是數學史上的重要定理，不但有數論 的意義，它也演示了人類第一次嚴格思考「無窮」，並 帶入歸謬法這個與無窮常相左右的重要證明工具。用康 托（

G. Cantor

）的說法，質數甚至和整數一樣多！ 不過質數的孤獨，不是多寡、而是密度的問題。如 果將質數一路表列下去，質數會愈來愈稀疏。例如在一 億之內有

5

,

761

,

455

個質數，密度大約是

0

.

06

；一兆之 內有

37

,

607

,

912

,

018

個質數，密度大約只剩

0

.

038

。 事實上，如果用π(n)表示不超過 n 的質數數目， 高斯曾經給出下面的猜想：

　π(n)n

∼

ln n1 意思是說隨著n變大，左式除以右式的比值將會趨 近於

1

。例如在一億時，比值大約是

1

.

06

，到了一兆， 比值大概是

1

.

04

。 高 斯 的 猜 想 透 過 黎 曼 引 入 複 變 函 數 的 演 繹 （ 包 括他更宏大的黎曼假說），在

1896

年由阿達瑪（

J.

Hadamard

）與瓦里普桑（

C. Vallée-Poussin

） 兩 人 獨 立 證 明 ， 史 稱 質 數 定 理 。 由 於 這 個 定 理 太 優 美，

1949

年知名數學家艾狄胥（

P. Erdös

）和塞爾伯 格（

A. Selberg

）又以基本數學加以重證，到了

80

年 代甚至被簡化到兩三頁的證明。 質數定理的顯然推論，是質數之間的平均距離在 n 之內大約是

π(n)n

∼ ln n

例如一億之內質數的平均距離大約是

17

.

4

，一兆 之內質數的平均距離大約是

26

.

6

。這似乎正是質數孤獨 的「鐵證」。 不 過 再 仔 細 觀 察 質 數 表，很容易發現質數的出現並不均勻，好比質數經常 成對出現，例如

2

和

3

、

29

和

31

、

431

和

433

等。打個比 方，如果將質數想成天上相對距離愈來愈遠的星星，孿 生質數就好像雙星一樣。但因為質數定理，這種現象是 不是終究會消失呢？ 數學家對質數奇特的叢聚現象充滿信心。

1849

年 數學家波里納克（

A. Polignac

）提出一項猜測：對任 何自然數 k，距離 2k 的質數對會出現無窮次。至於對 孿生質數的特別關心，則可能出自英國天文數學家葛萊 許（

J. Glaisher

）

1878

年的文章，他曾是知名哲學家 維根斯坦的導師。 在張益唐之前，關於這個猜想的最好結果是三位數 學家的研究，他們證明如果任意選擇一個很小的因子， 你總是可以找到兩個質數，讓它們的距離落在這個因子 與平均距離的乘積之內。不過任意小的因子並不表示 他們證明了孿生質數猜想，這是因為平均距離會隨著 n 愈來愈大的緣故。

2005

年出現的這個結果，引起張益唐的興趣，在 苦思多年之後，終於在去年夏天找到解謎的關鍵，證明 了比較弱的孿生質數猜想：有無窮多質數對，其距離小 於

70

,

000

,

000

。

2

和

70

,

000

,

000

相比似乎差距很大，但 是數學家看重的是如何從無限跨到有限的新方法。確立 了固定距離的存在，就足以證明有無窮多質數不孤獨， 這是數論研究的一大步。 張益唐深知這個結果的重要性，將論文投交知名的 數學期刊

Annals of Mathematics

，並在很短的時間 內通過審查。

5

月

13

日他在哈佛大學做首次公開演講， 獲得在座數學家的掌聲與賀喜，並開始獲得媒體的注 意。 不過媒體對這段故事之所以驚豔，並不只是因為質 張益唐 Lisa Nugent提供 新罕布夏大學照片服務處

數不再孤獨，而是張益唐的傳奇際遇。 張益唐今年大約

58

歲，目前的職銜是新罕布夏大學 數學統計系的講師。除了

2001

年在

Duke Journal

發 表過一篇文章，他幾乎可說是名不見經傳。新罕布夏大 學也非美國的名校，系上最知名的老師應該是剛過世的 阿培爾（

K. Appel

），他曾和哈肯（

W. Haken

）合證 四色定理。 由 於 文 革 的 普 遍 影 響 ， 張 益 唐

23

歲 才 進 北 大 唸 書 ， 碩 士 班 的 導 師 是 潘 成 彪 ， 是 班 上 頭 角 崢 嶸 的 學 生。

1985

年赴美在普渡大學讀博士班，論文指導老師 是來自臺灣的莫宗堅。但張益唐撰寫論文的過程並不順 遂，七年後才通過口試。

1991

年畢業之後，他一直無法找到學術工作，據 說曾經當過多年會計、餐館外送。最後在

1999

年，才 由他北大的學弟、任教於新罕布夏大學的葛力明，在美 國南方一家

Subway

潛艇堡店將他「救」了回來，擔任 系上助教，並在

2005

年升任講師。 這段懷才不遇的罕見際遇，結合長年懸宕的知名數 學難題，讓中西媒體為之瘋狂。許多人剛開始把他當作 素人數學家，懷疑他證明的正確性，逼得他只好提出通 過期刊審查的信件來證明。但看過他證明的數學家，都 確認他的文章寫得清晰明白、無懈可擊。 他普渡時期的臺灣同學說，張益唐為人沉靜害羞。 即使在這段失意的歲月，仍然潛心於數學。尤其是新罕 布夏大學的學生對他的教學讚譽有加（在華人數學家算 是少見），更讓人體認到他落落大方的學術個性。張益 唐告訴訪問他的美國記者，自己對至今黯淡的學術生涯 並無怨懟，名利如浮雲，他的心很平和，只想繼續安靜 研究。 個人的修養可以坦然面對失落的黃金二十年，但這 段故事仍然讓人心生感慨與警惕。在張益唐證明了質數 並不孤獨之後，我們祝福他在數學上也不再孤獨。 編輯室

新一，這次要破解的是ABC之謎

孤獨數學家又一則

這裡的

ABC

之謎不是神探白羅手上的謀殺案，新 一也不姓工藤，他叫望月新一，是京都大學數理解析研 究所（

RIMS

）的教授。

2012

年

8

月，他在自己的網頁 放了四篇論文，聲稱證明了

ABC

猜想。

ABC

猜想是數論的知名猜想，可以導出費馬最後 定理、摩岱爾猜想（

Mordell conjecture

）及許多數論 猜想。懷爾斯

(A. Wiles)

十年磨一劍證明費馬最後定理 的故事膾炙人口。法亭斯（

G. Faltings

）則因證明摩 岱爾猜想獲得

1986

年費爾茲獎。由此可知

ABC

猜想的 重要性與困難程度。 不過這個事件成為去年最知名的數學新聞還別有原 因。原來望月的論文不止局外人摸不著邊際，甚至連當 行的專家也讀不懂。堪稱為「望月流」的數學世界，籠 罩抽象的文字障，是他多年苦心孤詣的擘築，被戲稱為 「來自未來的數學」。 不過望月的背景絕不容人忽視他的證明。他

16

歲 進入普林斯頓大學，

23

歲拿到數學博士。弦論大師韋 頓（

E. Witten

）曾指導他的大學論文，法亭斯更是他 博士論文的指導教授。仔細瀏覽望月的網頁，看得出他 是行事正常的數學家，甚至清楚記錄自己寫作的心路 歷程，這四篇他費時十年構思完成的偉文，其中種種轉 折，都可以從網路上讀到。 相對於隱然成風的「孤獨數學家」現象，望月提供 另一種模式，肇因於他學術天地與數學社群的鴻溝。一 般認定邏輯正確即為真，但是如果由於語言的障礙，缺 乏數學同儕的審核，這些論文還是「正確」的嗎？我們 如何面對無法審查的正確證明呢？

望月在網頁放了有心解釋論文結構的「小論文」， 至少他有自信看待自己的結果，數學界也不乏有興趣理 解這個證明的人。也許雙方終究有辦法跨出這個難局。 編輯室

簡訊

「安全性證明」不保證安全

密碼學不僅應用於軍事，在現今網路環境已經深入 日常生活。每天打開電腦或智慧型手機，瀏覽器自動以 公鑰（

public-key

）密碼系統驗證網站。若需登入帳 戶、進行轉帳或購物，則通訊與儲存設備再以對稱式加 密、數位簽章、雜湊函數等各式密碼演算法與協定來保 障資訊安全。 密碼學牽涉電機、資訊、數學三大領域。以晶片等 硬體實作演算法，需電機背景；寫程式實現密碼的則需 資訊人才。推導演算法的複雜度，亦屬資訊領域的計算 理論。除了破解或分析密碼演算法，需機率統計及較深 的抽象代數外，全世界廣泛使用的密碼系統，大量使用 了下述代數工具。 先進加密標準（

AES

）是對稱式，將位元組視為 有限體

GF(

28_{)的元素，加解密均操作加法、乘法、與} 乘法反元素。美國國家安全局規定

AES

必須搭配迦羅 瓦計數模式，運算

GF(

2128_{)加法與乘法，保護政府敏} 感文件的完整與可鑑別。

RSA

公鑰應用初等數論，安全性基於因數分解的 計算困難度；橢圓曲線密碼（

ECC

）安全性基於橢圓 曲線群上離散對數問題的困難度。近年美國國家安全局 與北約組織逐漸淘汰

RSA

，分別以建構於

384

與

256

位 元質數體 p 上的

ECC

，對政府極機密和機密文件的傳 遞，進行密鑰協議與數位簽章。 橢圓曲線的研究超過

150

年，內涵豐富；柯博立茨 （

N. Koblitz

）引入橢圓曲線，對現代密碼學有直接貢 獻。柯博立茨出身數學，所受訓練與資訊或電機學者不 同，一起投入密碼學研究，難免於論證嚴謹度或思考模 式產生分歧，因而出現柯博立茨在

Notices

撰文批評 部分理論密碼學研究，被指名道姓者紛紛反擊的衝突。

2007

年

9

月柯博立茨文章前段，敘述密碼學自

1970

年代快速進展以來，數學的有趣應用及諸多良性互動。 例如為了隨機生成安全的橢圓曲線（群階最好是夠大的 質數），必須研發快速計算群階的演算法。最初有修 夫（

R. Schoof

）使用特定多項式的算則，新方法則利 用模形式與 p 進（ p

-adic

）技術（臺灣也有數學系學 生寫程式實作並移交政府運用）。接著柯博立茨話鋒一 轉，開始批評令人不滿的現狀，尤其是研究安全性證明 （

proof of security

）的新興子領域「可證明安全性 （

provable security

）」。 提出新密碼演算法或協定，若能證明「破解它」 和「解決一項公認的計算難題」難度等價，是最理想 的。例如已嚴格證明「破解拉賓（

Rabin

）公鑰密碼系 統等價於因數分解」，因此學界對拉賓公鑰的信任甚於

RSA

。但欲證明這種等價關係通常極困難，導致安全 性證明最常見論述是「若Ｙ是計算難題，則系統可抵擋 Ｘ類型攻擊」；論證工具來自計算複雜度理論的歸約 （

reduction

）概念，以及數學模型的建立與演繹。 顯然，此類論述無法充分保障安全性，因為

+

新出現的Ｙ不見得真的是計算難題，或許認真研究後 就被解決了。

+

雖然Ｘ類型攻擊無效，但另一攻擊可能奏效。 柯博立茨認為這些論文，「定理」和「證明」的寫 法太氾濫，容易誤導非專業人士產生不切實際的過度信 任。至今有一些宣稱具備安全性證明的系統已經被攻 破，讓不少學者也感到不安。

Notices

2010

年又刊登 一篇柯博立茨的文章，指出基於不穩固假設所推導的安 全性證明，將使得若干著名密碼協定暴露於風險中。 圖靈獎是資訊科學界的最高榮譽，

2012

年頒給密 卡力（

S. Micali

）和郭德瓦瑟（

S. Goldwasser

）， 表彰兩位麻省理工學院教授在「可證明安全性」的先驅 研究。在「安全性證明不能保證安全」的亂象消失前， 是否適合如此頒發大獎？密碼學界部分學者對

2012

圖 靈獎頗不以為然。 無論如何，在這個子領域發展成熟前，許多專家的 看法傾向「雖然不能因為它有『安全性證明』就信任其 安全性，但有證明總比沒有好。」 編輯室

2013

年阿貝爾獎與沃爾夫獎

兼談數學界的諾貝爾獎

一般人知道的數學諾貝爾獎是國際數學聯盟頒發的 費爾茲獎，這是數學家的桂冠。但是費爾茲獎和諾貝爾 獎有根本的不同。 諾貝爾獎接近終生成就獎，但費爾茲獎只獎勵年齡 不超過

40

歲的年輕數學家，這激勵了許多年輕人的鬥 志，從得獎史也可以見到許多年輕的見證者。但這個條 件也造成誤導，以為數學家年齡一過四十就江郎才盡， 和實情相去甚遠。 其次是獎金。費爾茲獎的獎金是

15

,

000

美金，諾貝 爾獎依最近的行情則是得獎者合得約

1

,

200

,

000

美金。 雖然「富貴非所求」是好事，不過這也加強費爾茲獎是 年輕人獎的印象，不足以彰顯得獎人成就之偉大。還有 一個差別是頒發的時間，費爾茲獎配合國際數學家大會 四年一頒，而諾貝爾獎則是年年頒獎，大大增加了該獎 的媒體能見度。 因此有很長的時間，足以媲美諾貝爾獎的數學獎， 除了費爾茲獎之外，一般認為就是由沃爾夫基金會頒發 的沃爾夫獎。沃爾夫獎沒有年齡限制，涵蓋了農業、化 學、數學、醫學、物理、藝術六大領域，的確有第二諾 貝爾獎的架勢，也是數學界受人矚目的大獎。 不過沃爾夫獎號稱每年頒發，但卻常有變動（進 入

21

世紀，就有兩次兩年合頒，三次從缺），獎金

100

,

000

美金，遠高於費爾茲獎，但是仍遠低於諾貝爾 獎。再加上物理、化學不但有沃爾夫獎，還有諾貝爾 獎，感覺上數學比別人矮了個頭。這些都讓人期待真正 的數學諾貝爾獎。 有趣的是早在

19

世紀末，挪威數學家李（

S. Lie

） 就曾經因為諾貝爾獎獨缺數學，倡議設立阿貝爾獎，一 方面慶祝挪威數學家阿貝爾（

N. Abel

）

1902

年的百年 誕辰，並可做為數學的諾貝爾獎。可惜這項計畫雖然獲 得挪威王室的支持，卻在

1899

年李過世後胎死腹中。 結 果 在 千 禧 年 與 阿 貝 爾 兩 百 年 誕 辰 的 雙 喜 時 刻，

2001

年挪威政府重提此議，決定設立數學家專屬 的阿貝爾獎。阿貝爾獎的格局和諾貝爾獎相當，目標 放在獎勵長年與跨領域的研究者，每年一頒，獎金高 達

1

,

000

,

000

美金。

2003

年第一屆得獎者是塞爾（

J.-P.

Serre

），他將在七月來臺參加世界華人數學家大會。 今年的阿貝爾獎和沃爾夫獎都已經宣布。阿貝爾獎

2013

年的得主是普林斯頓高等研究院的比利時數學家 德利涅（

P. Deligne

）。而沃爾夫獎的共同得主是美國 數學家耶魯大學的莫司特（

G. Mostow

）與麻省理工 學院的亞丁（

M. Artin

）。 德 利 涅 是 代 數 幾 何 大 師 格 羅 騰 迪 克 （

A .

Grothendieck

）的傑出弟子，也是新代數幾何的宗 師。他完成格羅騰迪克未竟之志，完整證明了跨越幾何 和數論的威伊猜想（

Weil conjecture

）中最深刻的部 分，他因此獲得

1978

年費爾茲獎，並成為法國高等科 學研究院（

IHÉS

）最年輕的終身成員。之後他仍然持 續研究代數幾何、數論、表現論等深刻議題。 莫司特最知名的貢獻是他的剛性定理（

rigidity

theorem

），證明了維度大於

2

的閉雙曲流形，其幾何 性質由其基本群所決定，建立了拓樸與幾何的深刻關 係。他的「無窮遠作用」觀點，影響了許多數學領域的 發展包括微分幾何、低維拓樸與克萊恩群、幾何群論。 另外他曾經與德利涅合作研究低維複雙曲空間的非算術 格理論。 亞丁和德利涅一樣，都是格羅騰迪克學派的大將， 新代數幾何的大師。他和格羅騰迪克共同發展的平展 上同調理論（

étale cohomology

）是代數幾何的基 本工具。另外他發展了代數空間、代數堆（

algebraic

stack

）與變形理論，成為探討代數幾何模空間與相交 理論的根本概念，其中包括他知名的「逼近定理」與「 存在性定理」。 關於亞丁、德利涅、格羅騰迪克的故事可以參看本 期

86

頁〈宛如來自空無的召喚〉。 編輯室

數不再孤獨，而是張益唐的傳奇際遇。 張益唐今年大約

58

歲，目前的職銜是新罕布夏大學 數學統計系的講師。除了

2001

年在

Duke Journal

發 表過一篇文章，他幾乎可說是名不見經傳。新罕布夏大 學也非美國的名校，系上最知名的老師應該是剛過世的 阿培爾（

K. Appel

），他曾和哈肯（

W. Haken

）合證 四色定理。 由 於 文 革 的 普 遍 影 響 ， 張 益 唐

23

歲 才 進 北 大 唸 書 ， 碩 士 班 的 導 師 是 潘 成 彪 ， 是 班 上 頭 角 崢 嶸 的 學 生。

1985

年赴美在普渡大學讀博士班，論文指導老師 是來自臺灣的莫宗堅。但張益唐撰寫論文的過程並不順 遂，七年後才通過口試。

1991

年畢業之後，他一直無法找到學術工作，據 說曾經當過多年會計、餐館外送。最後在

1999

年，才 由他北大的學弟、任教於新罕布夏大學的葛力明，在美 國南方一家

Subway

潛艇堡店將他「救」了回來，擔任 系上助教，並在

2005

年升任講師。 這段懷才不遇的罕見際遇，結合長年懸宕的知名數 學難題，讓中西媒體為之瘋狂。許多人剛開始把他當作 素人數學家，懷疑他證明的正確性，逼得他只好提出通 過期刊審查的信件來證明。但看過他證明的數學家，都 確認他的文章寫得清晰明白、無懈可擊。 他普渡時期的臺灣同學說，張益唐為人沉靜害羞。 即使在這段失意的歲月，仍然潛心於數學。尤其是新罕 布夏大學的學生對他的教學讚譽有加（在華人數學家算 是少見），更讓人體認到他落落大方的學術個性。張益 唐告訴訪問他的美國記者，自己對至今黯淡的學術生涯 並無怨懟，名利如浮雲，他的心很平和，只想繼續安靜 研究。 個人的修養可以坦然面對失落的黃金二十年，但這 段故事仍然讓人心生感慨與警惕。在張益唐證明了質數 並不孤獨之後，我們祝福他在數學上也不再孤獨。 編輯室

新一，這次要破解的是ABC之謎

孤獨數學家又一則

這裡的

ABC

之謎不是神探白羅手上的謀殺案，新 一也不姓工藤，他叫望月新一，是京都大學數理解析研 究所（

RIMS

）的教授。

2012

年

8

月，他在自己的網頁 放了四篇論文，聲稱證明了

ABC

猜想。

ABC

猜想是數論的知名猜想，可以導出費馬最後 定理、摩岱爾猜想（

Mordell conjecture

）及許多數論 猜想。懷爾斯

(A. Wiles)

十年磨一劍證明費馬最後定理 的故事膾炙人口。法亭斯（

G. Faltings

）則因證明摩 岱爾猜想獲得

1986

年費爾茲獎。由此可知

ABC

猜想的 重要性與困難程度。 不過這個事件成為去年最知名的數學新聞還別有原 因。原來望月的論文不止局外人摸不著邊際，甚至連當 行的專家也讀不懂。堪稱為「望月流」的數學世界，籠 罩抽象的文字障，是他多年苦心孤詣的擘築，被戲稱為 「來自未來的數學」。 不過望月的背景絕不容人忽視他的證明。他

16

歲 進入普林斯頓大學，

23

歲拿到數學博士。弦論大師韋 頓（

E. Witten

）曾指導他的大學論文，法亭斯更是他 博士論文的指導教授。仔細瀏覽望月的網頁，看得出他 是行事正常的數學家，甚至清楚記錄自己寫作的心路 歷程，這四篇他費時十年構思完成的偉文，其中種種轉 折，都可以從網路上讀到。 相對於隱然成風的「孤獨數學家」現象，望月提供 另一種模式，肇因於他學術天地與數學社群的鴻溝。一 般認定邏輯正確即為真，但是如果由於語言的障礙，缺 乏數學同儕的審核，這些論文還是「正確」的嗎？我們 如何面對無法審查的正確證明呢？

望月在網頁放了有心解釋論文結構的「小論文」， 至少他有自信看待自己的結果，數學界也不乏有興趣理 解這個證明的人。也許雙方終究有辦法跨出這個難局。 編輯室

簡訊

「安全性證明」不保證安全

密碼學不僅應用於軍事，在現今網路環境已經深入 日常生活。每天打開電腦或智慧型手機，瀏覽器自動以 公鑰（

public-key

）密碼系統驗證網站。若需登入帳 戶、進行轉帳或購物，則通訊與儲存設備再以對稱式加 密、數位簽章、雜湊函數等各式密碼演算法與協定來保 障資訊安全。 密碼學牽涉電機、資訊、數學三大領域。以晶片等 硬體實作演算法，需電機背景；寫程式實現密碼的則需 資訊人才。推導演算法的複雜度，亦屬資訊領域的計算 理論。除了破解或分析密碼演算法，需機率統計及較深 的抽象代數外，全世界廣泛使用的密碼系統，大量使用 了下述代數工具。 先進加密標準（

AES

）是對稱式，將位元組視為 有限體

GF(

28_{)的元素，加解密均操作加法、乘法、與} 乘法反元素。美國國家安全局規定

AES

必須搭配迦羅 瓦計數模式，運算

GF(

2128_{)加法與乘法，保護政府敏} 感文件的完整與可鑑別。

RSA

公鑰應用初等數論，安全性基於因數分解的 計算困難度；橢圓曲線密碼（

ECC

）安全性基於橢圓 曲線群上離散對數問題的困難度。近年美國國家安全局 與北約組織逐漸淘汰

RSA

，分別以建構於

384

與

256

位 元質數體 p 上的

ECC

，對政府極機密和機密文件的傳 遞，進行密鑰協議與數位簽章。 橢圓曲線的研究超過

150

年，內涵豐富；柯博立茨 （

N. Koblitz

）引入橢圓曲線，對現代密碼學有直接貢 獻。柯博立茨出身數學，所受訓練與資訊或電機學者不 同，一起投入密碼學研究，難免於論證嚴謹度或思考模 式產生分歧，因而出現柯博立茨在

Notices

撰文批評 部分理論密碼學研究，被指名道姓者紛紛反擊的衝突。

2007

年

9

月柯博立茨文章前段，敘述密碼學自

1970

年代快速進展以來，數學的有趣應用及諸多良性互動。 例如為了隨機生成安全的橢圓曲線（群階最好是夠大的 質數），必須研發快速計算群階的演算法。最初有修 夫（

R. Schoof

）使用特定多項式的算則，新方法則利 用模形式與 p 進（ p

-adic

）技術（臺灣也有數學系學 生寫程式實作並移交政府運用）。接著柯博立茨話鋒一 轉，開始批評令人不滿的現狀，尤其是研究安全性證明 （

proof of security

）的新興子領域「可證明安全性 （

provable security

）」。 提出新密碼演算法或協定，若能證明「破解它」 和「解決一項公認的計算難題」難度等價，是最理想 的。例如已嚴格證明「破解拉賓（

Rabin

）公鑰密碼系 統等價於因數分解」，因此學界對拉賓公鑰的信任甚於

RSA

。但欲證明這種等價關係通常極困難，導致安全 性證明最常見論述是「若Ｙ是計算難題，則系統可抵擋 Ｘ類型攻擊」；論證工具來自計算複雜度理論的歸約 （

reduction

）概念，以及數學模型的建立與演繹。 顯然，此類論述無法充分保障安全性，因為

+

新出現的Ｙ不見得真的是計算難題，或許認真研究後 就被解決了。

+

雖然Ｘ類型攻擊無效，但另一攻擊可能奏效。 柯博立茨認為這些論文，「定理」和「證明」的寫 法太氾濫，容易誤導非專業人士產生不切實際的過度信 任。至今有一些宣稱具備安全性證明的系統已經被攻 破，讓不少學者也感到不安。

Notices

2010

年又刊登 一篇柯博立茨的文章，指出基於不穩固假設所推導的安 全性證明，將使得若干著名密碼協定暴露於風險中。 圖靈獎是資訊科學界的最高榮譽，

2012

年頒給密 卡力（

S. Micali

）和郭德瓦瑟（

S. Goldwasser

）， 表彰兩位麻省理工學院教授在「可證明安全性」的先驅 研究。在「安全性證明不能保證安全」的亂象消失前， 是否適合如此頒發大獎？密碼學界部分學者對

2012

圖 靈獎頗不以為然。 無論如何，在這個子領域發展成熟前，許多專家的 看法傾向「雖然不能因為它有『安全性證明』就信任其 安全性，但有證明總比沒有好。」 編輯室

2013

年阿貝爾獎與沃爾夫獎

兼談數學界的諾貝爾獎

一般人知道的數學諾貝爾獎是國際數學聯盟頒發的 費爾茲獎，這是數學家的桂冠。但是費爾茲獎和諾貝爾 獎有根本的不同。 諾貝爾獎接近終生成就獎，但費爾茲獎只獎勵年齡 不超過

40

歲的年輕數學家，這激勵了許多年輕人的鬥 志，從得獎史也可以見到許多年輕的見證者。但這個條 件也造成誤導，以為數學家年齡一過四十就江郎才盡， 和實情相去甚遠。 其次是獎金。費爾茲獎的獎金是

15

,

000

美金，諾貝 爾獎依最近的行情則是得獎者合得約

1

,

200

,

000

美金。 雖然「富貴非所求」是好事，不過這也加強費爾茲獎是 年輕人獎的印象，不足以彰顯得獎人成就之偉大。還有 一個差別是頒發的時間，費爾茲獎配合國際數學家大會 四年一頒，而諾貝爾獎則是年年頒獎，大大增加了該獎 的媒體能見度。 因此有很長的時間，足以媲美諾貝爾獎的數學獎， 除了費爾茲獎之外，一般認為就是由沃爾夫基金會頒發 的沃爾夫獎。沃爾夫獎沒有年齡限制，涵蓋了農業、化 學、數學、醫學、物理、藝術六大領域，的確有第二諾 貝爾獎的架勢，也是數學界受人矚目的大獎。 不過沃爾夫獎號稱每年頒發，但卻常有變動（進 入

21

世紀，就有兩次兩年合頒，三次從缺），獎金

100

,

000

美金，遠高於費爾茲獎，但是仍遠低於諾貝爾 獎。再加上物理、化學不但有沃爾夫獎，還有諾貝爾 獎，感覺上數學比別人矮了個頭。這些都讓人期待真正 的數學諾貝爾獎。 有趣的是早在

19

世紀末，挪威數學家李（

S. Lie

） 就曾經因為諾貝爾獎獨缺數學，倡議設立阿貝爾獎，一 方面慶祝挪威數學家阿貝爾（

N. Abel

）

1902

年的百年 誕辰，並可做為數學的諾貝爾獎。可惜這項計畫雖然獲 得挪威王室的支持，卻在

1899

年李過世後胎死腹中。 結 果 在 千 禧 年 與 阿 貝 爾 兩 百 年 誕 辰 的 雙 喜 時 刻，

2001

年挪威政府重提此議，決定設立數學家專屬 的阿貝爾獎。阿貝爾獎的格局和諾貝爾獎相當，目標 放在獎勵長年與跨領域的研究者，每年一頒，獎金高 達

1

,

000

,

000

美金。

2003

年第一屆得獎者是塞爾（

J.-P.

Serre

），他將在七月來臺參加世界華人數學家大會。 今年的阿貝爾獎和沃爾夫獎都已經宣布。阿貝爾獎

2013

年的得主是普林斯頓高等研究院的比利時數學家 德利涅（

P. Deligne

）。而沃爾夫獎的共同得主是美國 數學家耶魯大學的莫司特（

G. Mostow

）與麻省理工 學院的亞丁（

M. Artin

）。 德 利 涅 是 代 數 幾 何 大 師 格 羅 騰 迪 克 （

A .

Grothendieck

）的傑出弟子，也是新代數幾何的宗 師。他完成格羅騰迪克未竟之志，完整證明了跨越幾何 和數論的威伊猜想（

Weil conjecture

）中最深刻的部 分，他因此獲得

1978

年費爾茲獎，並成為法國高等科 學研究院（

IHÉS

）最年輕的終身成員。之後他仍然持 續研究代數幾何、數論、表現論等深刻議題。 莫司特最知名的貢獻是他的剛性定理（

rigidity

theorem

），證明了維度大於

2

的閉雙曲流形，其幾何 性質由其基本群所決定，建立了拓樸與幾何的深刻關 係。他的「無窮遠作用」觀點，影響了許多數學領域的 發展包括微分幾何、低維拓樸與克萊恩群、幾何群論。 另外他曾經與德利涅合作研究低維複雙曲空間的非算術 格理論。 亞丁和德利涅一樣，都是格羅騰迪克學派的大將， 新代數幾何的大師。他和格羅騰迪克共同發展的平展 上同調理論（

étale cohomology

）是代數幾何的基 本工具。另外他發展了代數空間、代數堆（

algebraic

stack

）與變形理論，成為探討代數幾何模空間與相交 理論的根本概念，其中包括他知名的「逼近定理」與「 存在性定理」。 關於亞丁、德利涅、格羅騰迪克的故事可以參看本 期

86

頁〈宛如來自空無的召喚〉。