利用克拉德尼圖樣研究不同材質平板的聲學色散關係：鋁、黃銅、無氧銅、不鏽鋼、玻璃、木材、壓克力

國

立

交

通

大

學

理學院應用科技學程

碩

士

論

文

利用克拉德尼圖樣研究不同材質平板的聲學色散

關係：鋁、黃銅、無氧銅、不鏽鋼、玻璃、木材、

壓克力

Exploring acoustic dispersion relations of various thin plate with

Chladni figures: Aluminum、Brass、Copper、Stainless steel、

Glass、Wood and PMMA

研 究 生：蕭凱威

指導教授：陳永富 教授

利用克拉德尼圖樣研究不同材質平板的聲學色散關係：鋁、黃銅、 無氧銅、不鏽鋼、玻璃、木材、壓克力

Exploring acoustic dispersion relations of various thin plate with Chladni figures: Aluminum、Brass、Copper、Stainless steel、Glass、Wood and

PMMA 研 究 生：蕭凱威 Student：Kai-Wei Siao 指導教授：陳永富 Advisor：Yung-Fu Chen 國 立 交 通 大 學 理學院應用科技學程 碩 士 論 文 A Thesis

Submitted to Degree Program of Applied Science and Technology College of Science

National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master

in

Degree Program of Applied Science and Technology

December 2013

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

i

利用克拉德尼圖樣研究不同材質平板的聲學色散關係：

鋁、黃銅、無氧銅、不鏽鋼、玻璃、木材、壓克力

學生：蕭凱威 指導教授：陳永富教授

國立交通大學理學院應用科技學程碩士班

摘要

本論文期望提出一套方法以簡潔的理論快速且精準分析平板振 盪實驗的結果以重建材質的共振模態與色散關係。過去，共振模態的 建立需仰賴數值疊代方法逼近實驗量測之共振頻率數據。欲決定該材 質的色散關係更需優先量測出關鍵的彈性係數。然而，數值疊代方式 往往耗時且計算量龐大，彈性係數的決定也須透過大量實驗數據統計 才能得出相對精準的結果。這也使得傳統方式難以至針對個別狀況進 行快速分析。在本文方法中，我們透過解析的理論模型計算出各共振 頻率下克拉德尼平板振盪實驗的節線圖案。藉由與實驗結果一對一的 完美對應以確認共振模態的重建。我們進一步聯結重建共振波數與實 驗共振頻率的關係建構出鋁、黃銅、純銅、不鏽鋼、玻璃、木板和壓 克力等常見材質的聲學色散關係。

ii

Exploring acoustic dispersion relations of various thin plate

with Chladni figures: Aluminum、Brass、Copper、

Stainless steel、Glass、Wood and PMMA

Student：Kai-Wei Siao Advisor：Dr. Yung-Fu Chen

Degree Program of Applied Science and Technology National Chiao Tung University

Abstract

This thesis propose a method to rapidly and accurately reconstruct the resonant modes and dispersion relationships of thin plates in different materials. In the past, the reconstructions of resonant modes are usually fulfilled by utilizing some approximative method based on numerical iteration to match the experimental resonant frequency spectrum. Besides, the measurements of key elastic coefficients of material, e.g. the Young’s modulus and Poisson ratio, are necessary for the determination of acoustic dispersion relationship. However, not only the numerically iterative process requires tedious calculations which takes lots of time, but the precision of elastic coefficients depend on a large amount of statistics on experimental data. As a consequence, rapid analysis of resonant modes and dispersion relationship are hard to achieve case-by-case by the traditional method. In this work, we analytically develop a theoretical model to calculate the Chladni figures of thin plates. We show the experimental resonant modes can be perfectly reconstructed once the theoretical nodal patterns reveal one-to-one correspondence to the experimental observations. We further demonstrate the dispersion relationships of thin plates in different materials such as aluminum, brass, copper, stainless steel, glass, wood and PMMA can be easily determined by linking the resonant frequencies to the reconstructed wavenumbers.

iii

誌謝

自兩年前踏入交大校園，奏起碩士的這段樂章。時間飛逝，如 今論文完成，這段樂章也即將畫下落幕，在此同時也響起下一段樂 章的前奏。這段時間裡，拓廣了視野，多層面的思考，人與人的相 處，和自己該有的態度和堅持。由衷的感謝陳永富老師在學習、實 驗上的指導、鼓勵，分享人生和生活上的所見所聞和想法。讓身為 學生的我在這段學習過程有如此多的收穫。於此，再次致上最誠摯 的感謝。 再者感謝父母在精神上給予我最大支持。在工作及學業要兼顧 的過程中，耗費最大的是的是精神和意志力。感謝他們在精神上給 我如同堡壘般的後盾，讓我安心的完成了學業。 感謝段必在實驗、論文上的幫助，指導我實驗的進行及方向， 論文的架構及編排等各方面的協助，完成此篇論文。謝謝實驗室的 各位學長姐和學弟妹們在我研究的過程中提供我意見、參與討論、 解決我各種問題。 要感謝的人很多。很慶幸我能有這麼好的人生際遇。遇到你 們，讓我在學習過程中倍感溫暖、充滿動力，順利完成學業。在完 成這段人生樂章後再次讓我深深覺得，有你們真好，並再次謝謝你 們。

iv

目

錄

中文摘要 ……… i 英文摘要 ……… ii 誌謝 ……… iii 目錄 ……… iv 圖表目錄 ……… vi 一、 緒論……… 1 1.1 研究動機……… 1 1.2 論文架構……… 5 二、 實驗儀器及方法……… 6 2.1 平板振盪的歷史發展………...….…… 6 2.2 共振頻譜的量測方法……… 11 2.3 共振節線圖樣的量測方法……… 14 三、 共振模態的理論基礎……… 16 3.1 單體振盪……… 18 3.2 單體共振……… 19 3.3 連續體振盪-繩波……… 23 3.4 二維連續體共振的理論模型……… 28 四、 平板共振模態的理論重建……… 32 4.1 共振模態的重建方法……… 32 4.2 平板色散關係的建立……… 34 五、 不同材質平板共振模態及色散關係的建立……… 38 5.1 常見材質特性……… 38 5.2 不同材質共振頻譜的量測……… 44 5.3 不同材質共振節線圖樣的紀錄……… 47 5.4 不同材質的共振模態及色散關係……… 50 5.5 反 相 疊 加 節 線 圖 樣 的 理 論 修 正……… 55 六、 結論與未來展望……… 63 6.1 結論……… 63 6.2 未來展望……… 64 參考文獻 65 附錄一 儀器本身的頻率與電流變化……… 69 附錄二 鋁平板的頻率與電流變化……… 79 附錄三 青銅的實驗共振圖樣……… 89

v 附錄四 黃銅的實驗共振圖樣……… 91 附錄五 無氧銅的實驗共振圖樣……… 93 附錄六 不鏽鋼的實驗共振圖樣……… 95 附錄七 玻璃的實驗共振圖樣……… 97 附錄八 壓克力的實驗共振圖樣……… 97 附錄九 木板的實驗共振圖樣……..……… 97 附錄十 青銅的圖樣比對……… 98 附錄十一 黃銅的圖樣比對……… 99 附錄十二 無氧銅的圖樣比對……… 100 附錄十三 不鏽鋼的圖樣比對……… 101 附錄十四 玻璃的圖樣比對……… 102 附錄十五 壓克力的圖樣比對……… 103 附錄十六 木板的圖樣比對……… 103 附錄十七 青銅反相節線圖樣比對……… 104 附錄十八 黃銅反相節線圖樣比對……… 105 附錄十九 無氧銅反相節線圖樣比對……… 106 附錄二十 不鏽鋼反相節線圖樣比對………... 107

vi

圖表目錄

圖 1.1 崩毀前側拍 2 圖 1.2 扭曲的橋面 2 圖 1.3 崩毀中的橋 2 圖 1.4 崩毀後的橋 2 圖 2.1 克拉德尼(Ernst Chladni) 7 圖 2.2 克拉德尼產生平板振盪節線圖樣的方法 8 圖 2.3 不同振盪頻率下的方形平版節線圖樣 8 圖 2.4 Cymatics – 可視覺化的聲音藝術 9 圖 2.5 瑪麗‧沃菈(Mary Desiree Waller) 10 圖 2.6 實驗裝置圖 11 圖 2.7 系統的頻率響應 13 圖 2.8 鋁板的頻率響應 13 圖 2.9 鋁板的共振節線圖樣 14 圖 2.9 (續)鋁板的共振節線圖樣 15 圖 3.1 彈簧諧振子 16 圖 3.2 簡諧振盪 17 圖 3.3 諧振子時間與位置關係圖 19 圖 3.4 共振時振幅隨時間增長關係 21 圖 3.5 阻尼係數對最大振幅的影響 23 圖 3.6 繩波線段示意圖 24 圖 3.7 不同 m、n 波函數強度分佈 28 圖 3.8 不同空間頻率 k驅動下理論計算結果 31 圖 4.1 鋁板實驗與理論模擬的節線圖樣比對 33 圖 4.2 彩虹-自然界最常見的色散現象 34 圖 4.3 實驗 f 與理論 k 的擬合曲線 36 圖 5.1 青銅禮器 39 圖 5.2 銅管樂器─法國號 39 圖 5.3 銅線 40 圖 5.4 不鏽鋼餐具 41 圖 5.5 燒杯 41 圖 5.6 招牌燈箱 42 圖 5.7 木製傢俱 43 圖 5.8 青銅頻率與電流變化關係 44 圖 5.9 黃銅頻率與電流變化關係 44 圖 5.10 無氧銅頻率與電流變化關係 44

vii 圖 5.11 不鏽鋼頻率與電流變化關係 45 圖 5.12 壓克力頻率與電流變化關係 45 圖 5.13 玻璃頻率與電流變化關係 45 圖 5.14 木板頻率與電流變化關係 46 圖 5.15 青銅的實驗共振圖樣(節錄) 47 圖 5.16 黃銅的實驗共振圖樣(節錄) 47 圖 5.17 無氧銅的實驗共振圖樣(節錄) 48 圖 5.18 不鏽鋼的實驗共振圖樣(節錄) 48 圖 5.19 玻璃的實驗共振圖樣(節錄) 48 圖 5.20 壓克力的實驗共振圖樣(節錄) 49 圖 5.21 木板的實驗共振圖樣(節錄) 49 圖 5.22 青銅的圖樣比對(節錄) 50 圖 5.23 黃銅的圖樣比對(節錄) 51 圖 5.24 無氧銅的圖樣比對(節錄) 51 圖 5.25 不鏽鋼的圖樣比對(節錄) 51 圖 5.26 玻璃的圖樣比對(節錄) 52 圖 5.27 壓克力的圖樣比對(節錄) 52 圖 5.28 木板的圖樣比對 52 圖 5.29 青銅的色散關係圖 53 圖 5.30 黃銅的色散關係圖 53 圖 5.31 無氧銅的色散關係圖 54 圖 5.32 不鏽鋼的色散關係圖 54 圖 5.33 玻璃的色散關係圖 55 圖 5.34 壓克力的色散關係圖 55 圖 5.35 木板的色散關係圖 56 圖 5.36 同相及反相疊加係數關係圖 57 圖 5.37 青銅反相節線圖樣比對 58 圖 5.38 黃銅反相節線圖樣比對 58 圖 5.39 無氧銅反相節線圖樣比對 58 圖 5.40 不鏽鋼反相節線圖樣比對 59 圖 5.41 青銅反相色散關係圖 59 圖 5.42 青銅結合正反相色散關係圖 59 圖 5.43 黃銅反相色散關係圖 60 圖 5.44 黃銅結合正反相色散關係圖 60 圖 5.45 無氧銅反相色散關係圖 60 圖 5.46 無氧銅結合正反相色散關係圖 60 圖 5.47 不鏽鋼反相色散關係圖 60

viii 圖 5.48 不鏽鋼結合正反相色散關係圖 60 表 2.1 儀器本身的頻率與電流變化(節錄 100Hz-198Hz) 12 表 2.2 鋁材質的頻率與電流變化(節錄 100Hz-198Hz) 12 表 5.1 不同材質色散關係 56 表 5.2 各材質正、反及結合正反相色散關係 C 值比較 61 表 5.3 各材質各項彈性、物理係數 61 表 5.4 彈性理論計算及重建擬合各材質色散關係 C 值之比較 62

1

第一章

緒論

1.1 研究動機

人的各種動作行為都透過大腦接收各感官的訊息，經過大腦思考 決定後再將訊息傳遞到四肢作出相對應的動作或反應。這些訊息包括： 視覺、聽覺、嗅覺、味覺、觸覺。其中尤以視覺、聽覺更為直接和敏 銳。因此，過去自然科學的發展與此兩種感知密切相關。 過去，與視覺及聽覺最為密切的光學[1]和聲學[2]已奠定良好的 基礎。然而，在多數的研究中，此二者的發展通常被分開，顯少有結 合兩者的例子。物理研究中，1787 年 Chladni 所提出將聲音視覺化[3] 的概念可說是首次將視覺與聽覺完美結合的範例。此研究開啟人們對 於聲音全新的見解，並對共振現象有了更深的認識。 共振在生活中有許多相關的運用：樂器的演奏可以聽見美麗的旋 律、微波爐運用水分子共振產生的熱來加熱食物、醫學上使用核磁共 振來判定病灶……等。上述範例顯示共振在生活中帶給我們許多方便 和幫助。然而，共振卻也有其危險及破壞的一面。1940 年，美國的

Tacoma Narrow bridge 即是由於共振現象造成結構巨大破壞的例子[4]。

2 建築。在事件發生當時，風將外力不斷施加在橋上使之不斷累積能量 並放大振幅。當累積的能量和過大的振幅超過機械結構所能承載的上 限，橋便因此崩毀(圖 1.1) (圖 1.2) (圖 1.3) (圖 1.4)。 後續調查結果中，科學家指出此現象肇因於橋在建造時工程師忽 略自然頻率在機械結構與環境交互作用中扮演的重要角色。由於每一 個穩定平衡的系統都有其特殊的自然振盪頻率。就上例而論，當風吹 動橋的頻率與橋的自然頻率吻合時，便會發生共振導致結構崩毀。這 種機械共振的現象，後來成為工程學上相當重要的一部分。為了預防 巨大振幅造成結構的崩毀，在設計、建構機械結構時必須避免操作頻 圖 1.1 崩毀前側拍 圖 1.2 扭曲的橋面 圖 1.3 崩毀中的橋 圖 1.4 崩毀後的橋

3

率與自然頻率相同。為了在事前取得結構共振的相關資訊，通常利用

平板振盪(vibration of plate)的實驗取得共振頻率和共振模態[5]，進而

使機械學家透過彈性理論分析材質應力與應變的關係[6]，並獲取楊

氏係數(Young’s modulus)、泊松比(Poisson ratio)…等重要的彈性參數

[7, 8]。 平板振盪的實驗結果過去已透過彈性理論成功闡述。然而，過程 中對於應力與應變關係的分析往往伴隨龐大且複雜的數學運算，需要 相當長的時間才能對實驗數據進行完整重建。平板振盪實驗主要透過 外加振盪源以正弦波的形式驅動平板。由於平板的振動與彈性波於介 質內的傳遞密切相關。因此，藉由分析彈性波在平板內的穩定型態， 將有助重建 vibration of plate 的實驗結果。在此研究中我們期望利用 波動理論來解釋並建立平板共振的理論模型[9]。 實驗上我們利用自動化量測系統，分析平板系統輸出電流隨外加 驅動頻率變化的關係，並加以分析得到平板的共振頻率值[10]。同時， 利用數位相機紀錄相對應的共振節線圖樣。理論上我們從牛頓定律 (Newton’s law)出發，由單體共振推演至連續體共振問題，並透過非均 勻性波動方程的推導出共振模態的理論模型[11, 12]。藉由調整模型中 與外加頻率對應之參數，我們證實理論計算結果可以一對一重建出實 驗的共振節線圖樣。此良好對應關係促使我們將此理論方法應用至分

4

析不同材質平板之共振模態，並透過數值方法建構共振頻率與共振波

數間重要的色散關係。未來期盼能進一步推廣此方法決定材質重要的

5

1.2

論文架構

本論文第二章將介紹平板振盪實驗及此研究的實驗裝置、量測 方法和實驗結果。第三章介紹振盪與波動，並由單體振盪的簡諧振 子出發推演至單體共振、連續體振盪、波動方程及本徵態和非均勻 性的 Helmoltz 方程式以建構共振模態的理論基礎。第四章介紹如何 透過理論模型重建平板振盪實驗的共振特性。第五章運用將應用前 三章的結果分析不同材質平板的共振模態及色散關係。第六章為結 論及未來展望。

6

第二章

實驗儀器及方法

前言

平板振盪實驗在物理學及機械學上有其相當重要的地位。在物理 上，平板振盪產生的豐富節線圖樣一直是物理學家相當感興趣的課題。 在機械上，以平板振盪實驗分析不同幾何形狀材質的共振頻率更直接 影響了機械結構的穩定性。至今，平板振盪的相關研究仍大量出現在 聲學期刊中[13-20]。

2.1 平板振盪實驗的歷史發展

歷史上達文西(Leonardo Da Vinci)注意到當振動木桌時，桌上的 塵埃會形成各種不同形貌。而後伽利略(Galileo Galilei)描述在用鑿子 刮黃銅板時，注意到銅屑會有細長、平行等距的細長條紋排列，認為 是銅屑在黃銅板上跳動直到安定的節線上。1680年，虎克(Robert Hooke)在玻璃板上灑上麵粉，用小提琴弓在板緣“拉”出初次的節點圖 樣。

7 1787年克拉德尼(Chladni)(圖2. 1)[21]用黃銅板重複Hooke的實驗， 發現了大量的圓形幾何圖樣。克拉德尼最著名的就是發明克拉德尼平 板振盪的技術，用以在顯示機械表面上各式各樣的振動模式。這樣的 技術使人們可以觀察到聲波的振動波形。他均勻的將細砂撒在一平板 上，然後以小提琴的弓在平板的邊緣拉彈，使平板產生特定頻率的振 動。此時可觀察到細砂會停留在振幅為零的節線(nodal lines)上。不在 節線上的細砂會隨著振盪持續跳動，直到落在穩定的節線為止(圖2.2)。 若平板有均勻的密度且對稱的形狀，當頻率改變時節線圖樣會隨之呈 現不同對稱且優美的圖樣變化(圖2.3)[22]。 圖 2.1 克拉德尼(Ernst Chladni)

8

圖 2.2 克拉德尼產生平板振盪節線圖樣的方法

9

法拉第(Michael Faraday)在他 1831 年 2 到 7 月間的日記裡記錄了

許多振盪水、油和細顆粒的實驗紀錄，此紀錄對此領域有相當深遠的

影響。瑞利(Lord Rayleigh)在他著名的著作“Theory of Sound”一書中，

對平板振盪(Vibration of plate)的課題有相當詳盡的數學探討。他認為

這個課題對科學研究上有相當重要的啟發。他深入探討的模態現象

(mode)後來促成新興科學 Cymatics(圖 2.4)的發展[23, 24]。Cymatic 一

字由是希臘文κῦμα 轉變而來具有“波”的涵義。

克拉德尼平板振盪實驗其實就是探討波於平板介質中傳播，在大

小受限的平板中產生共振，至使平板上的細砂聚集在節線上以形成各

式各樣對稱的圖樣。這種美麗對稱圖樣的生成引起了相當多學者的關

注。瑪麗‧沃菈(Mary Desiree Waller)(圖 2.5)對 Chladni 的研究工作深

10 深著迷，她有系統的透過瑞利的方法詳盡分析了許多不同材質、形狀 克拉德尼平板的節線圖樣[25-34]。在她 1961 年的的著書“Chladni Figures”中更提出以固態二氧化碳芯片振盪平板的新方法。在此領域 中，她嚴謹的研究工作為此重要的聲學分支提供了豐富的資源。 至此之後還有許多科學家投入在此領域進行相關研究。過去這些 研究除了採用與 Chladni 類似的方法進行實驗外，也有人提出以更精 準的方式來振動平板，以確實得到與共振頻率相對應的節線圖樣。在 此論文研究中，我們即是採用此種現代化的方法來進行實驗量測和紀 錄。

11

2.2 共振頻譜的量測方法

本論文研究之實驗裝置如(圖 2.6)。 首先，我們調整訊號產生器產生不同頻率的正弦波，將此訊號輸 入訊號放大器來驅動機械振盪儀作為外在驅動源。接著串連安培計至 機械振盪儀量測不同振盪頻率下系統的輸出電流。並透過電腦軟體自 動控制訊號產生器，從 100Hz 開始至 10000Hz 結束以 2Hz/sec 的速率 自動掃描、記錄各頻率下的電流響應。 欲得到平板造成的頻率響應，我們需先量測機械振盪儀固有的 背景頻率響應如(表 2.1)。 圖 2.6 實驗裝置圖 訊號產生器 數位電表 訊號放大器 筆記型電腦 待測平板 機械振盪儀

12

接著再量測加上平板後整體系統之頻率響應如(表 2.2)。

f(Hz) I(mA) f(Hz) I(mA) f(Hz) I(mA) f(Hz) I(mA) f(Hz) I(mA) 100 35.693 120 37.789 140 38.583 160 38.998 180 39.183 102 36.025 122 37.904 142 38.628 162 39.025 182 39.198 104 36.312 124 38.008 144 38.675 164 39.047 184 39.212 106 36.564 126 38.106 146 38.719 166 39.07 186 39.224 108 36.802 128 38.194 148 38.761 168 39.092 188 39.236 110 37.005 130 38.278 150 38.8 170 39.11 190 39.248 112 37.186 132 38.35 152 38.832 172 39.126 192 39.254 114 37.361 134 38.415 154 38.905 174 39.144 194 39.262 116 37.514 136 38.475 156 38.936 176 39.158 196 39.269 118 37.654 138 38.531 158 38.967 178 39.171 198 39.274

f(Hz) I(mA) f(Hz) I(mA) f(Hz) I(mA) f(Hz) I(mA) f(Hz) I(mA) 100 38.708 120 39.561 140 39.520 160 39.501 180 38.78 102 38.966 122 39.565 142 39.501 162 39.444 182 38.627 104 39.136 124 39.579 144 39.480 164 39.321 184 38.345 106 39.232 126 39.583 146 39.454 166 39.090 186 37.929 108 39.198 128 39.580 148 39.426 168 39.127 188 37.389 110 39.176 130 39.577 150 39.389 170 38.697 190 36.398 112 39.399 132 39.571 152 39.346 172 38.159 192 34.943 114 39.481 134 39.562 154 39.593 174 38.543 194 32.010 116 39.517 136 39.55 156 39.569 176 38.818 196 26.673 118 39.489 138 39.535 158 39.539 178 38.863 198 21.710 表 2.1 儀器本身的頻率與電流變化(節錄 100Hz-198Hz) 表 2.2 鋁平板的頻率與電流變化(節錄 100Hz-198Hz)

13 (表 2.1)和(表 2.2)量測結果作圖如(圖 2.7)所示。

觀察(圖 2.7)可發現，加上平板後輸出電流數值會在特定頻率降 至區域最小值，這些頻率即為系統之共振頻率位置。為了清楚讀出共 振頻率數值，我們將儀器的固有頻率響應扣除加上平板後的結果得到 如(圖 2.8)的共振頻譜。分析(圖 2.8)中的峰值位置即可精確得到此平 板的共振頻率數值。 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 10 15 20 25 30 35 40 45 Curr ent diff er enc e  I( mA) Frequency f(Hz) 2000 4000 6000 8000 10000 5 10 15 20 25 Curr ent diff er enc e  I( mA) Frequency f(Hz) 紅：振盪儀器的頻率響應 藍：加上平板後的頻率響應 圖 2.7 系統的頻率響應 圖 2.8 鋁板的頻率響應

14

2.3 共振節線圖樣的量測方法

我們接著調整訊號產生器的頻率至共振頻率輸出，並在平板上 均勻灑上粒徑約 0.3mm 的矽砂，待矽砂分佈穩定後再利用數位相機 記錄此時共振節線圖樣如(圖 2.9)。 427Hz 618Hz 233Hz 1005Hz 1217Hz 1348Hz 2693Hz 2875Hz 1763Hz 2179Hz 2440Hz 3392Hz 3758Hz 3920Hz 4211Hz 圖 2.9 鋁板的共振節線圖樣

15 觀察實驗拍攝下的節線圖樣可發現其主要各式的曲線組成，且隨 著驅動頻率變高，產生的節線結構也越趨複雜。此外，幾乎所有圖樣 均完美呈現方形的對稱性。 透過此實驗方法快速且精準的決定共振節線圖樣後，接下來我 們希望能從基本的振盪理論出發試圖重建實驗結果。 4401Hz 4548Hz 4822Hz 4921Hz 5122Hz 5417Hz 5447Hz 5593Hz _5630Hz 5977Hz 5694Hz 5880Hz 6037Hz 6176Hz 6845Hz 7290Hz 7576Hz 8125Hz 8606Hz 9483Hz 圖 2.9(續) 鋁板的共振節線圖樣

16

第三章

共振模態的理論基礎

前言 振動與波動

振動，是指一物體在平衡位置附近作微小或有限的往復運動。能 產生此運動行為的機械系統稱為振盪系統。最簡單的振動系統可簡化 成質點和一忽略質量的彈簧所組成的諧振子(Harmonic oscillator)(圖 3.1)[35]。 平衡狀態的振盪系統必須藉由外力輸入才能激發振動。若外力僅 在初始時觸發而後不再輸入，此種振動稱為自由振動[36]。將振盪過 程作紀錄，可發現振子以正弦函數的規律進行往復運動稱之為簡諧振

盪(simple harmonic motion, SHM)如(圖 3.2)。 圖 3.1 彈簧諧振子

17 此簡諧運動的所描繪的正弦波軌跡可視是最簡單的波動形式。波 動，是指跨越空間或物質傳遞能量的擾動或振盪。其類型有兩種：一 是不需介質傳播的電磁波；二是藉由物質的傳遞機械振動的機械波。 平板振盪實驗可視為機械波在受限的空間中傳遞並相互干涉的現象 [37]。以下即由力學基本理論分析單體諧振子並將之推廣至波動理論， 進而將之應用於描述平板振盪的現象。 圖 3.2 簡諧振盪

18

3.1 單體振盪

自然界中最簡單的振盪行為就是單體簡諧振子的振盪[38]。其 運動方程式可透過彈性係數(k)、振子質量(m)來描述。依據牛頓第二 運動定律在系統平衡時 2 2 d x F ma m kx dt    

_(3.1.1) 解此微分方程，我們可以得到此運動方程式的通解： 0 ( ) cos( ) x t  A  t (3.1.2) 其中角頻率(



0)即振盪週期T 之關係可寫為 0 2 2 f k T m       _(3.1.3) 給定初始條件即可求出振幅 A 和相位。 此通解另一形式為 0 ( ) sin( ) x t  A  t (3.1.4) 其相位與前述形式僅差π/2，所以廣義諧振子的軌跡可寫成 0 0 ( ) cos( ) sin( ) x t  A t  B  t (3.1.5) 且初始速度v(0)v0則式(3.1.5)可表成 假設初始位置 0 0 0 0 0 ( ) cos( ) v sin( ) x t x  t   t       _(3.1.6) 0

(0)

x



x

19 將式(3.1.6)作圖可描繪此諧振子的位置與時間的關係如(圖 3.3)。

3.2 單體共振

當簡諧振子受一外力驅動時有機會產生所謂共振現象。假設施加 於簡諧振子的外力為 F0cos(t)，則其運動方程式可寫為 2 0 2 cos( ) d x m kx F t dt     (3.2.1) 2 2 0 0 2 cos( ) F d x x t dt   m  (3.2.2) 0 2 4 6 8 10 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 x 0=1, v0=0, ==0 x (t ) (m) Time t (sec) 圖 3.3 諧振子時間與位置關係圖

20

令解 x t_p( ) Acos( t ) 代入式(3.2.2)，可得

2 2 0

0

cos( ) cos( ) F cos( )

A t A t t m                 進一步整理





2 2 0 0

( ) cos(A t ) F cos( t ) cos sin( t ) sin

m            _(3.2.3) 由於無阻尼情況下振子運動可與外力作用同步，故將 0代入式 (3.2.3)得到振幅 20 2 0 ( ) F A m     。 所以可寫成 0 2 2 0 1 ( ) ( ) cos( ) p F x t t m      (3.2.4) 故完整運動方程式的解為 0 0 0 0 0 2 2 0 0 1

( ) cos( ) v sin( ) F ( ) cos( )

x t x t t t m           (3.2.5) 式(3.2.5)顯示，當( ₀)時， ( )x t 振幅會因外力驅動項趨近無限大， 此即所謂共振現象。 利用 / / 0 0 0 0 0 2 2 0 0 1

( ) [ cos( ) v sin( )] t F ( ) cos( )(1 t )

x t x t t e t e m                模擬暫態響應隨時間衰減而穩態響應隨時間增加的狀況，可清楚看出 共振時系統能量隨外力作用時間不斷累積增長如圖(3.4)。

21 由於諧振子在真實環境中，系統在運動時多少存在能量損耗。 假若損耗關係正比於運動速度，其可寫為-bv。則此時運動方程： 2 2 d x F kx bv m dt     _(3.2.6) 其中 2 b m   _{為阻尼係數(damping factor)。} 令解 ( ) t x t e 代入 式(3.2.6)，可得    2 02 令1  02 2 我們可以表示方程式的通解如下





1 1 1 ( ) t i t t cos( ) sin( ) x t e e e A t B t (3.2.7) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 -4x109 -3x109 -2x109 -1x109 0 1x109 2x109 3x109 4x109 x 0=1, v0=0, ==0F0/m x (t ) (m) Time t (sec) 圖 3.4 共振時振幅隨時間增長關係

22 A、B 可以利用初始條件求得。 考慮前述受迫振盪情形，若外力為F₀cost則 2 2 0 0 2 2 cos( ) d x dx x F t dt   dt    (3.2.8) 令解x_p( )t  Acos( t )代入 式(3.2.8) 得到 2 2 0 2 0 cos ( ) F A a m        0 2 A F sin ( )b m      利用以上二式，可解得 2 2 0 2 2 2 2 0 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 F a b A m          1 2 2 2 2 0 0 sin 2 2 tan ( ) tan ( ) cos  _  _                故完整的解為 0 2 2 2 2 0 2 1 ( ) ( ) cos( ) ( ) 4 p F x t t m         (3.2.9)

23 由(圖 3.5)我們知道，當 值越小時其共振強度越強，且其共振區 間越窄；反之，當值越大其強度越弱，且共振區間較寬。 值與材 質特性中的能量耗損息息相關，倘若不同材質 差異甚大預期應可在 實驗時觀察到其顯著的差異。

3.3 連續體的振盪-繩波

在 3.1 節和 3.2 節我們經由力分析的方式得到不同狀況下簡諧振 子的運動方程。計算振子運動軌跡可以清楚看到單體振盪與波動的強 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 x m a x ( a rb . un it ) _ =0.1_ =0.3_ =0.5_ =0.7_ =0.9_ 圖 3.5 阻尼係數對最大振幅的影響

24 關聯性。在本節中，我們考慮利用單體振盪結果推廣至連續體的振盪 行為[39]。由於連續體可視為 N 個單體進行耦合振盪之結果，令 N  我們可將所有單體振子集合視作一具有整體性振盪行為之連 續體。 想像介質由大量的質點構成，每一質點以彈性力和其附近質點連 結。當質點某一端以任何形式位移，會使旁邊質點受彈力同樣產生位 移，此質點又帶動鄰近質點位移，此初始能量即透過各質點間的偶合 作用以一固定速率在介質中傳播。此連續體的振盪行為可透過繩波的 行為清楚說明。 假設完全彈性且均勻的繩子，在兩點的張力及斜率分別為T1、 tan



和T₂、 tan



如(圖 3.6)所示。 根據牛頓定律，靜力平衡下 水平方向受力：



F_x 0則

1cos 2cos constant

T  T   T (3.3.1)

25 垂直方向受力：



F_y 0則 2 2sin 2cos ( ) 2 y T T u x t         (3.3.2) 其中 u 為單位質量。將(3.3.1)除以(3.3.2)得到 2 2 1 2 2 1 sin sin ( ) cos cos T T u y x T T T t            2 2 2 2 1 x x x u y y y y T t x x  x x        _  _    _  _  整理後得到 2 2 2 2 2 1 y y x v t  _{ }   ，其中 2 T v u  y 可視為為時間(t)與位置(x)的耦合函數 故令y ( , )x t 則在繩波的振盪行為可由以下方程描述 2 2 2 2 2 1 ( , ) ( , ) d x t x t dx v t      (3.3.3) 此即一維空間中的波動方程式。 透過時空分離令 ( , )x t ( )x ei t 代入 式(3.3.3) 2 2 2 2 ( ) ( ) i t ( ) i t d i x e x e dx v      _    2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 d x x dx v     

26 且vk 上式中為角頻率、 v 為頻率、 k 則為波數 我們可以得到時間獨立的波動方程式 2 2 2 0 d k dx     (3.3.4) 考慮與平板振盪實驗相同之自由邊界條件，在數學上須滿足 0& |_{x x a} 0 n



   _  ，其中 a 為繩長。 一維時間獨立的波動方程式的波函數通解為 ( )x Acos(kx) Bsin(kx)    (3.3.5) 將邊界條件代入(3.3.5) sin( ) sin( ) d kA kx B kx dx  _{  } 0 0 x B x    _{ }  sin( ) 0 x a ka x    _{ }  (3.3.6) 滿足(3.3.6)的解為 , 0, 1, 2,... kam



m   則空間頻率量化條件為 2 2 m k a m a        

27 將B0和k m a



 _{代回 (3.3.5) ，得到} ( ) cos( ) m m x A x a    _(3.3.7) 又因歸一化條件 ₀a _m( )x 2 1 A 2 a    



所以得到一維自由邊界下的波函數為 2 ( ) cos( ) m m x x a a    _(3.3.8) 接著將一維的波動方程推演至描述平板振盪的二維平面。 在直角坐標系下，二維之波動方程可寫為 2 2 2 2 2 k 0 x y   _  _  _{ }   (3.3.9) 由於方形平板之 x 方向及 y 方向可個別可分離變數處理(separable)， 故其解可視為兩個一維波函數之乘積： 2 ( , )x y cos(m x) cos(n y) a a a     _{m n,}   _{0 , 1 , 2 , . . .} (3.3.10) 將式(3.3.10)對不同 m, n 值作圖可得(圖 3.7)。

28

3.4 二維連續體共振的理論模型

一般而言，絕大多數的系統，欲產生波動必須有波源(外力)。 在二維條件下，根據 3.3 節所述其波動方程為(3.3.9)，波函數解 為(3.3.10)。此波動方程式可以表示一邊長為 a 的平板，在沒有外力驅 動時，平板自身的本徵態。而這本徵態構成一組完整的基底。 考慮在有外加驅動源條件下，其波動方程應改寫為 2 2 ( , )x y k ( , )x y F x y( ', ')      _(3.4.1) 其中F x y( ', ')為外加波源分佈與其波函數( , )x y 可以藉由本徵態構成 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) 圖 3.7 不同 m、n 波函數強度分佈

29 的基底一一組成： ( , ) _{n n}( , ) n x y C x y  



( ' , ' ) _{n n} ( , ) n F x y 



f  x y 將之代入(3.4.1)，整理後可得 2 2 ( _{n n n n}) _{n n} n n C  C k   f





2 2 ( _n ) _{n n n n} n n k k C  f 





(3.4.2) 利用基底的正交性，



_m*( , )x y _n( , )m n dxdy _mn ，則 * ( , ) _m ( , ) _m F x y x y dxdy f



代入(3.4.2) 2 2 ( _n ) _{n n m n n m} n k k C  dxdy f  dxdy 





 



得到 2 2 (k k_m )C_m  f_m 故此微分方程式的解 2 2 ( , ) n ( , ) n n n f x y x y k k    



(3.4.3) 考慮真實環境下會有部份能量損耗，故將波向量 k 引進複數。 以平面波解為例eikx ，若將 k  k i 帶入，則可看出 即為耗損係 數。 此時波函數式(3.4.3)可寫為 2 2 ( , ) ( , ) 2 n n n n f x y x y k k i k     



(3.4.4)

30 此外，假設在平板振盪實驗驅動源為點波源且位於(x’, y’)座標，則 ( ', ') ( ') ( ') F x y  xx  yy 投影至基底可得 * * ( , ) ( , ) ( ', ') n n n f 



F x y x y dxdy  x y 最後得到點波源驅動下二維平板振盪的波函數為 * 2 2 ( ', ') ( , ) ( , ) 2 n n n n n x y x y x y k k i k       



(3.4.5) 以此波動函數解作為平板振盪理論模型的基礎。透過軟體理論 模擬可得不同 k 值時對應之板內聲波分佈如(圖 3.8)。 由此理論模型除可計算出平板之節線圖樣外，亦可得到了內部 聲波的分布。此結果可進一步給出機械力學上應力應變分析及內部 能量傳遞研究重要的資訊。

31 k=8.886

理論：

節線圖樣

理論：

波的分布

理論：

波強度分布

k=15.708 k=20.116 圖 3.8 不同空間頻率k驅動下理論計算結果

32

第四章

平板共振模態的理論重建

4.1 共振模態的重建方法

利用 2.3 節實驗技巧，我們可取得平板的共振頻率(圖 2.5)及相 對應的節線圖樣(圖 2.6)。為了決定出平板的共振模態，在此章節中 我們將利用 3.4 節中所推導的理論模型進行重建。 由於節線圖樣與共振模態間有著相當高的關聯性，透過比對理論 模型計算之節線圖樣與實驗結果將有助於快速重建實驗的共振模態。 在 第 三 章 末 節 我 們 提 到 理 論 節 線 圖 樣 將 隨 驅 動 波 數 k (driving wavenumber)的調整而變化。(圖 4.1)為實驗結果與理論計算之比較， 可明顯看出此理論模型確實可完美重建出與實驗一對一對應之結果。 此共振模態的重建對後續決定各共振頻率下平板內部應力應變的關 係扮演相當重要的步驟。除此之外，此重建方法也幫助我們連結理論 計算主要的參數 k 以及實驗相對應的參數 f之間的關係，亦即所謂聲 波的色散關係(dispersion relation)[40]。

33 427Hz 618.7Hz 233.5Hz k=36.25m-1 _k=47.08m-1 _k=56.67m-1 1005.2Hz 1216.9Hz 1348Hz k=66.67m-1 _k=75.00m-1 k=81.25m-1 2693.3Hz k=91.67m-1 _k=99.58m-1 _k=106.67m-1 1763.2Hz 2179.5Hz 2440.2Hz k=110.00m-1 圖 4.1 鋁板實驗與理論模擬的節線圖樣比對

34

4.2 平板色散關係的建立

在物理和電子工程中，色散關係直接決定了波在介質中傳遞的行 為，將波的能量、頻率、波長、波數種種重要特性進行時空上的連結。 藉由此關係我們可以方便的計算相速度和群速度。此色散的成因與波 和介質交互作用以及幾何邊界條件相關。彩虹即可說是自然界中最常 見的色散現象(圖 4.2)。 依據過去平板理論，頻率 f、波數 k、楊氏係數 E(Young’s modulus) 和泊松比ν(Poission’s ratio)之間的色散關係式可寫成 2 2 2 1 ( ) 2 12(1 ) Eh f k k     

(4.2.1)

式中 h 為平板厚度，ρ 為密度。 圖 4.2 彩虹-自然界最常見的色散現象

35 當選定材質時，E 和 ν 可以藉查表得知，而 h 和 ρ 可以直接測量取得。 因此， 2 2 1 2 12(1 ) Eh    可以視為一常數Ct。故式(4.2.1)可以簡單的數 表示成 2 ( ) _t f k C k

_(4.2.2)

在式(4.2.1)中，E 和 ν 直接影響係數Ct大小，為決定彈性材料的 色散關係相當重要的參數。楊氏係數是材料力學中的名詞，其定義如 下。彈性材料承受正向應力時會產生正向應變，在形變數沒有超過對 應材料的一定彈性限度時，定義正向應力與正向應變的比值即為此材 料的楊氏係數。泊松比是指當材料受拉伸或壓縮力時，材料會在與該 方向垂直的另外兩個方向伸長材料會發生變形，而其橫向變形量與縱 向變形量的比值就是泊松比。 楊氏係數和泊松比在固有數據的建立都是經由大量的量測統計 來建立。現下測量楊氏係數的方法有許多種，如：機械力學法、脈衝 激振法、聲頻共振法、聲速法等。而泊松比的量測有機械力學法、共 振法等。機械力學法量測在過程中容易破壞受測物的物理性質，且僅 能做一次性量測。對於同一受測物無法重複量測，故量測結果無法針 對個別狀況進行重複校準因而易產生誤差。共振法的好處在於不會破 壞受測物故針對個別狀況進行重複量測。然而，傳統上受限於沒有解 析的理論模型，使得楊氏係數及泊松比的決定過程常常須伴隨大量的

36 R2_=0.9991 數值計算相當耗時。 實際應用時由於無法快速針對個別狀況進行彈性係數的測定，通 常利用現有的數據查表得到密度、楊氏係數和泊松比，以進一步計算 出色散關係中的C_t值。 除量測鋁板厚度 h 外，我們以現有的數據計算鋁板的C_t 值。其中 h=0.1065cm、E=69GPa、ν=0.35、ρ=2.7 g·cm-3_{。由彈性理論計算出} t C =0.26419。 接著我們由 4.1 節的重建結果，連結共振頻率與驅動波數之間的 關係。平板理論的色散關係方程式(4.2.1)說明了頻率與波數關係將成 線二次曲線的形式。因此我們將實驗 f 和理論 k 作圖並利用數值軟體 以二次曲線對資料點進行擬合(fitting)，分析結果如(圖 4.3)： 50 100 150 200 250 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 fr equ ency f (H z) Wavenumber k(m-1) 圖 4.3 實驗 f 與理論 k 的擬合曲線

37 其中 f 與 k 的色散關係方程式為 f k( )0.22695k2。 圖中相關係數趨近於 1 證實此分析結果與平板理論的預期式 (4.2.2)相符。 比較由現有彈性係數計算之C_t 值與實驗擬合結果，可發現兩者 雖接近但仍有差異。此差異說明了傳統機械方式之統計數據不能真實 反應個別狀況材質平板的真實彈性係數。在前述段落我們談到即使使 用共振法我們仍需要經過大量的數值計算步驟才可以決定個別平板 的 E 和 ν 並進一步計算色散關係。然而，透過共振模態重建的方式， 我們不須量測出 E 和 ν 即可以簡單、快速且準確的方法得到該材質實 際的色散關係。再接下來的章節中我們將應用此方法來分析不同材質 平板的共振模態及色散關係。

38

第五章

不同材質平板共振模態及色散關係的建立

5.1 常見材質特性

共振現象普遍存在日常生活中，不論共振造成的結果好與壞，其 重要性在現今仍是無法忽略的一環。在機械或工程學上，材質的選用、 結構的設計等都常需事先考慮共振頻率及色散關係等重要資訊。因此 在本章中我們將應用前述建立的理論方法，來決定生活中常見的材質 平板的共振模態及色散關係。 以下簡述常見材質的特性： 1. 青銅[41]：為添加鉛或錫的銅合金，是人類史上用最久的金屬材料 之一。在青銅器時代便以用以鑄造各種造型典雅、花紋精美的銘文、 禮器(圖 5.1)、兵器和樂器。其具有好的耐腐蝕性、耐磨性、鑄造 性和優良的機械性能。現今常用於製造精密軸承、高壓軸承、船舶 上抗海水腐蝕的機械零件以及各種板材、管材、棒材等。

39 2. 黃銅[42]：為無氧銅與鋅的合金。其機械性能和耐磨性能都很好， 常用於製造精密儀器、船舶的零件、槍炮的彈殼等。黃銅敲起來聲 音好聽，因此鑼、鈸、鈴、號等樂器，還有西方的銅管樂器(圖 5.2) 都是用黃銅製做。 圖 5.1 青銅禮器 圖 5.2 銅管樂器─法國號

40 3. 無氧銅[43]：即純銅，具堅韌、柔軟、延展性，且為導熱性和導電 性很高的金屬。其色澤因帶有紫紅色故又稱紫銅。主要用途用在電 線(圖 5.3)製作和加工製成其他銅合金。 4. 不鏽鋼[44]：含 10~30%鉻的鐵合金總稱。因其不易腐蝕生鏽而得 名。鉻與低碳含量相配合，可展現明顯的耐腐蝕性和耐熱性。此外， 還可以加入鎳、鉬、鈦、鋁、銅、氮、硫、磷和硒，使其表面產生 防鏽的氧化膜，以提高對特殊環境的耐腐蝕性和抗氧化性，並賦予 特殊性能。不鏽鋼廣泛用於日常生活當中，如：餐具(圖 5.4)、冰 箱、手錶、車輛骨架等。 圖 5.3 銅線

41 5. 玻璃[45]：是一種透明不透氣，並具有一定硬度的物料。玻璃在日 常環境中呈化學惰性，亦不會與生物起作用。玻璃為一種非晶相， 主要產生原因為製作時熔融的二氧化矽迅速冷卻（過冷），故各分 子沒有足夠時間形成有序的晶格排列。其可依用途不同於製作中 添加不同金屬或非金屬，像是實驗室常見的燒杯即是添加硼的玻 璃(圖 5.5)。 圖 5.4 不鏽鋼餐具 圖 5.5 燒杯

42 6. 壓克力[46]：聚甲基丙烯酸甲酯，又稱做有機玻璃。其透明度高、 價格低、易於機械加工等優點，因而常作為玻璃替代材料。其相對 分子量相當高，屬於長鏈的高分子化合物。而因其形成分子的鏈很 柔軟，使得強度相對較高。其抗拉伸和抗衝擊的能力比普通玻璃高 7～18 倍。經過特殊加熱和拉伸處理後，其分子鏈段的有序排列亦 可提高材料的韌性。使之在強受力下也不產生裂紋，因此可用作防 彈玻璃或作軍用飛機的座艙蓋。日常常見的應用有：招牌燈箱(圖 5.6)、遮雨棚、展示櫃等。 7. 木板[47]：為木材的加工品。根據木材不同的性質特徵，人們將它 們用於不同途徑。樹木的種類和所製造木材的性質有強烈的相關 性。木材的密度隨樹種而不同，而木材的強度和其密度有關。中等 密度的木材，是製作傢俱(圖 5.7)的上等材料。密度小的木材則常 用來製作建築物模型或模型飛機。 圖 5.6 招牌燈箱

43

上述介紹的各種常見的材質，根據其用物理、機械特性的差異

而有不同的用途。下節我們將運用前面章節所建構的方法來得到各

材質的色散關係。

44

5.2 不同材質共振頻譜量測

我們利用第二章所述的自動量測系統量測各平板材質之共振頻 譜，結果如下： 500 1000 1500 2000 2500 3000 5 10 15 20 25 Curr ent diff er enc e  I( mA) Frequency f(Hz) 500 1000 1500 2000 2500 3000 5 10 15 20 25 30 Curr ent diff er enc e  I( mA) Frequency f(Hz) 圖 5.9 黃銅頻率與電流變化關係 圖 5.10 無氧銅頻率與電流變化關係 圖 5.8 青銅頻率與電流變化關係 500 1000 1500 2000 2500 3000 10 C u rr en t d if feren ce  I( mA ) Frequency f(Hz)

45 500 1000 1500 2000 2500 3000 5 10 15 20 25 Curr ent diff er enc e  I( mA) Frequency f(Hz) 500 1000 1500 2000 2500 3000 1 10 Curr ent diff er enc e  I( mA) Frequency f(Hz) 500 1000 1500 2000 2500 3000 5 10 15 20 25 Curr ent diff er enc e  I( mA) Frequency f(Hz) 圖 5.11 不鏽鋼頻率與電流變化關係 圖 5.12 壓克力頻率與電流變化關係 圖 5.13 玻璃頻率與電流變化關係

46 由(圖 5.8)~(圖 5.14)，可明顯觀察出不同材質在相同頻率區間有 不同數目的共振峰值：青銅 11 個共振峰、黃銅 17 個共振峰、無氧銅 17 個共振峰、不鏽鋼 11 個共振峰、玻璃 6 個共振峰、壓克力 4 個共 振峰、木板 6 個共振峰。此外，也可明顯看出金屬的峰寬明顯比非金 屬窄，顯示其聲波傳的能量損耗較小。非金屬峰寬較大可能的原因為 材料內部非均相性且具有雜質造成聲波相干性受到破壞：玻璃為非單 晶相，波在製造時易產生缺陷使得聲波傳遞時有額外的能量損耗；壓 克力在合成過程的聚合度直接影響其分子量的分布及結晶程度；木板 則因樹木各方向生長速度不同造成密度上的差異，此外多數木板由木 屑壓製而成內部結構分部不均亦無明顯方向性。由此可以看出材質的 均勻度對共振頻譜有重要的影響。 圖 5.14 木板頻率與電流變化關係 500 1000 1500 2000 2500 3000 100 200 300 400 C u rr en t d if feren ce  I( mA ) Frequency(Hz)

47

5.3 不同材質共振節線圖樣紀錄

分析 5.2 所得共振頻譜後，我們運用第二章的實驗方法紀錄共 振頻率時各材質平板對應的節線圖樣。結果如下： 369Hz 471Hz 501Hz 657Hz 779Hz 881Hz 897Hz 982Hz 1033Hz 1304Hz 361Hz 472Hz 495Hz 775Hz 876Hz 888Hz 982Hz 1304Hz 1578Hz 1645 Hz 圖 5.15 青銅的實驗共振圖樣(節錄) 圖 5.16 黃銅的實驗共振圖樣(節錄)

48 361Hz 472Hz 495Hz 775Hz 876Hz 888Hz 982Hz 1304Hz 1578Hz 1645Hz 181Hz 489Hz 855Hz 1219Hz _1934Hz 2374Hz 2603Hz 3451Hz 4049Hz 4545Hz 圖 5.19 玻璃的實驗共振圖樣(節錄) 圖 5.17 無氧銅的實驗共振圖樣(節錄) 圖 5.18 不鏽鋼的實驗共振圖樣(節錄) 280Hz 468Hz 504Hz 641Hz 721Hz 1083Hz 1214Hz 1240Hz 1368Hz 1438Hz

49 在取得實驗節線圖樣的過程中，我們發現各材質大多數的節線圖 樣都相同，且大多呈現方形的對稱性。不同於第二章鋁板的量測，我 們發現有少數的節線圖樣其節線會通過中心點，且仍舊保持對稱性。 在玻璃、壓克力的圖樣中則可看出其節線較寬，且節線圖樣較不清晰 甚至會有呈現些微扭曲的現象。這種扭曲情況在木板中尤為明顯。此 結果也應證 5.2 節的推測，即材質的均勻程度對聲波於其內傳遞有相 當顯著的影響。 180Hz 327Hz 486Hz 518Hz 783Hz 196Hz 548Hz 950Hz 1370Hz 2053Hz 2397Hz 3298Hz 圖 5.20 壓克力的實驗共振圖樣(節錄) 圖 5.21 木板的實驗共振圖樣(節錄)

50

5.4 不同材質的共振模態及色散關係

運用第四章所述方法，我們針對各材質平板的實驗節線圖樣進行 重建。我們發現各材質平板絕大多數的節線圖樣均可完美重建，僅有 少部分失去方形對稱性以及節線通過振盪源的圖樣無法比對出。因此， 我們可將完美重建的模態對應之驅動波數及共振頻率進行連結，進而 擬合出該材質色散關係。分析結果指出當重建樣本數大於 15 時，分 析所得色散關係的相關係數即可趨近於 1。證實此方法確實能快速、 精準的重建該材質的共振模態及色散關係。 節線圖樣的比對結果呈現如下： 471Hz k=56.67m-1 779Hz 881Hz k=70.00m-1 _k=76.25m-1 982Hz k=81.67m-1 1304Hz k=92.08m-1 圖 5.22 青銅的圖樣比對(節錄)

51 472Hz k=57.92m-1 775Hz k=70.42m-1 982Hz k=81.67m-1 1304Hz k=92.08m-1 1578Hz k=99.58m-1 472Hz k=57.92m-1 775Hz k=70.42m-1 982Hz k=81.67m-1 1304Hz k=92.08m-1 1578.2Hz k=96.21m-1 280Hz 468Hz k=36.25m-1 _k=45.42m-1 641Hz k=57.92m-1 1082Hz k=67.92m-1 1368Hz k=81.25m-1 圖 5.23 黃銅的圖樣比對(節錄) 圖 5.24 無氧銅的圖樣比對(節錄) 圖 5.25 不鏽鋼的圖樣比對(節錄)

52 489Hz 855Hz 1219Hz 1934Hz k=36.25m-1 _k=45.42m-1 _k=57.08m-1 _k=67.92m-1 2374Hz k=75.42m-1 180.4Hz 327Hz 485.5Hz k=35.83m-1 _k=41.25m-1 _k=56.67m-1 783Hz k=69.58m-1 k=91.67m-1 k=75.00m-1 k=70.00m-1 1370Hz 2397Hz 3298Hz 圖 5.26 玻璃的圖樣比對(節錄) 圖 5.28 木板的圖樣比對 圖 5.27 壓克力的圖樣比對(節錄)

53 R2_=0.9989 R2_=0.9988 各材質的色散關係。分析結果如下： 50 100 150 200 250 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 fr equ ency (H z) k(m-1) 50 100 150 200 250 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 fr equ ency (H z) k(m-1) 圖 5.29 青銅的色散關係圖 圖 5.30 黃銅的色散關係圖

54 R2_=0.9993 R2_=0.9991 50 100 150 200 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 fr equ ency (H z) k(m-1) 50 100 150 200 250 0 2000 4000 6000 8000 10000 Fr equ ency (H z) k(m-1) 圖 5.31 無氧銅的色散關係圖 圖 5.32 不鏽鋼的色散關係圖

55 50 100 150 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 fr equ ency (H z) k(m-1) 圖 5.33 玻璃的色散關係圖 20 30 40 50 60 70 80 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 fr equ ency (H z) k(m-1) 圖 5.34 壓克力的色散關係圖 R2_=0.9969 R2_=0.9973

56 R2_=0.8279 各材質色散關係統一整理如下： (表 5.1)顯示除木板外絕大多數材質平板均可透過此重建方式精 準決定其色散關係。 40 50 60 70 80 90 100 110 120 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 fr equ ency f (H z) k(m-1) C(m2_{/s) R}2 青銅 0.16492 0.9988 黃銅 0.16418 0.9981 無氧銅 0.16708 0.9993 不鏽鋼 0.22219 0.9991 玻璃 0.43002 0.9969 壓克力 0.16002 0.9973 木板 0.37944 0.8279 圖 5.35 木板的色散關係圖 表 5.1 不同材質色散關係

57

5.5 反相疊加節線圖樣的理論修正

在前面章節我們提到絕大多數節線圖樣均可完美重建，僅有少數

不完全遵守方形對稱以及節線通過中心波源的圖樣無法重建出。部分

節線通過中心波源且滿足方形對稱性的圖樣，在過去文獻中已被討論。

在沃菈(Mary Desiree Waller)的論文中曾提及平板振盪的模態可存在

兩種組成形式：正相(in-phase)基底疊加與反相(anti-phase)基底疊加：

( , )x y Acos(m x) cos(n y) Bcos(n x) cos(m y)

a a a a











  _(5.5.1) 其中 A 和 B 為疊加係數。 式(5.5.1)的正相及反相疊加係數比重可呈現如(圖 5.36)。 由(圖 5.36)可知若疊加係數沿 m=n 對稱為正相。反之，當組成沿 m=n 反對稱為反相。以此概念修正理論模型我們可以模擬出反相疊加的節 線圖樣，並與實驗結果進行比對。

m



n

m



n

圖 5.36 同相及反相疊加係數關係圖 同相 反相

58 各材質反相圖樣比對結果如下： 494Hz k=58.54m-1 1014Hz k=82.79m-1 1396Hz k=94.39m-1 1645Hz k=104.72m-1 1774Hz k=107.94m-1 501Hz k=58.54m-1 897Hz k=78.54m-1 1388Hz k=94.39m-1 1806Hz k=107.94m-1 2169Hz k=117.08m-1 495Hz k=58.54m-1 1014Hz k=82.79m-1 1396Hz k=94.39m-1 1645Hz k=104.72m-1 1774Hz k=107.94m-1 圖 5.37 青銅反相節線圖樣比對 圖 5.38 黃銅反相節線圖樣比對 圖 5.39 無氧銅反相節線圖樣比對

59 R2=0.9985 玻璃、壓克力和木板由於節線圖樣少故觀察不到是否一樣擁有反 相圖樣。然而，青銅、黃銅、無氧銅及不鏽鋼實驗結果的反相節線圖 樣透過修正後的理論模型亦能夠有完美的重建結果。此外，先前在正 相圖樣上的重建已確定能取得精準的色散關係。接著我們想檢驗是否 反相重建的結果亦能得到與同相重建相符的色散關係。 分析結果如下： 721Hz k=58.54m-1 1240Hz k=78.54m-1 1438Hz k=82.79m-1 1950Hz k=94.39m-1 2304Hz k=104.72m-1 圖 5.40 不鏽鋼反相節線圖樣比對 R2_=0.9985 50 100 150 200 250 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 fr equ ency f (H z) Wavenumber k(m-1) 圖 5.41 青銅反相色散關係圖 圖 5.42 青銅結合正反相色散關係圖 50 100 150 200 250 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 fr equ ency f (H z) Wavenumber k(m-1)

60 50 100 150 200 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 fr equ ency f (H z) Wavenumber k(m-1) R2=0.9991 R2=0.9989 圖 5.44 黃銅結合正反相色散關係圖 圖 5.45 無氧銅反相色散關係圖 R2=0.9988 圖 5.46 無氧銅結合正反相色散關係圖 R2=0.9991 R2_=0.9991 圖 5.48 不鏽鋼結合正反相色散關係圖 R2=0.9991 50 100 150 200 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 fr equ ency f (H z) Wavenumber k(m-1) 圖 5.43 黃銅反相色散關係圖 50 100 150 200 250 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 fr equ ency f (H z) Wavenumber k(m-1) 圖 5.47 不鏽鋼反相色散關係圖 50 100 150 200 250 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 fr equ ency f (H z) Wavenumber k(m-1) 50 100 150 200 250 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 fr equ ency f (H z) Wavenumber k(m-1) 50 100 150 200 250 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 fr equ ency f (H z) Wavenumber k(m-1)

61 比較正、反相以及結合正反相重建結果擬合的 C 值(表 5.2)。 由上表得知，正相或是反相重建結果取得的色散關係 C 值並無 太大差異。然而，利用正反相重建擬合之結果應更能呈現該材質的真 實色散關係。 我們根據選用的材質，查表取得其楊氏係數(Young's modulus)和 泊松比(Poisson's ratio)以及密度，利用彈性理論公式計算出該材質的 理論色散關係 Ct值如(表 5.3)。 (表 5.2)顯示由於傳統上楊氏係數和泊松比的測定主要為統計範 圍，故所得 Ct值亦存在範圍區間。可見利用查表及彈性理論計算之

In-phase C Anti-phase C In+Anti phase C 青銅 0.16492 0.15965 0.16409 黃銅 0.16418 0.1631 0.16366 無氧銅 0.16708 0.16704 0.16706 不鏽鋼 0.22219 0.22198 0.22212 密度 ( g·cm-3₎ Young’s modulus

(Gpa) Poission’s ratio Ct(m2/s)

青銅 8.40~8.73 96~120 0.34 0.16516~0.18825 黃銅 8.5~8.8 100~125 0.357 0.16844~0.19248 無氧銅 8.92 100~128 0.34 0.16856~0.19071 不鏽鋼 7.70~7.93 180~200 0.265~0.303 0.22485~0.24336 玻璃 ~2.5 50~90 0.22 0.40671~0.54567 壓克力 ~1.18 3.03 0.33 0.14217 木板 0.4~0.78 9~13 ~0.3 0.47648~0.79967 表 5.2 各材質正、反及結合正反相色散關係 C 值比較 表 5.3 各材質各項彈性、物理係數

62 結果無法呈現各材質平版本身真實的色散關係。我們將此理論計算 結果與重建擬合所得結果進行比較如(表 5.4)。 (表 5.4)顯示經由本文方法所得的色散關係與彈性理論計算預測 數值相當接近。然而，本文方法可透過簡單的平板振盪實驗加以理論 重建已取得各平板材質之色散關係，不需額外測量楊氏係數和泊松比 也大幅減少決定色散關係所需的時間以及測量誤差。由於其便利及準 確性，我們相信此方法在避免機械工程結構的振盪設計上可提供相當 大的幫助。 Ct(m2/s) C(m2/s) 青銅 0.16516~0.18825 0.16409 黃銅 0.16844~0.19248 0.16366 無氧銅 0.16856~0.19071 0.16706 不鏽鋼 0.22485~0.24336 0.22212 玻璃 0.40671~0.54567 0.43002 壓克力 0.14217 0.16002 木板 0.47648~0.79967 0.37944 表 5.4 彈性理論計算及重建擬合各材質色散關係 C 值之比較

63

第六章

結論與未來展望

6.1 結論

我們成功建立一套簡單、快速且精準的分析方法，分析各種材質 平板的共振模態和聲學色散關係。實驗上我們透過自動化量測方式使 決定該材質的共振頻率並記錄相對應的節線圖樣。理論上我們由波動 方程建構二維平板共振模態的數學形式。透過調變理論模型的驅動波 數k，我們可完美重建不同共振頻率f下實驗的節線圖樣。結合共振 頻率和驅動波數間的關係，我們可透過數值軟體擬合出該材質平板的 色散關係。這套方法使得我們可以直接決定個別狀況的共振模態及色 散關係，而不需實際測量該材質的彈性係數，大幅減小了量測上造成 的誤差以及花費的時間，相信會更有利於機械和工程學上共振預防 (resonance prevention)的設計與應用，以及減少樂器製作分析上的 複雜度。 此外，共振模態理論模型的建立，除了成功得到理論模擬的節線 圖樣外，更可得到了平板內部聲波的強度分布，有助於進一步了解聲 波在介質中能量傳遞的情形，並分析力學上應力和應變關係。

64

6.2 未來展望

此論文研究顯示，這套方法不論在理論研究或是應用上，都展現 岀其簡單且便利的特性。過去，相關的文獻中曾提及反相疊加模態的 產生與所謂泊松耦合(Poisson coupling)有關。若能更精確量測反相節 線圖樣的頻率，並進一步找出反相疊加正相疊加頻率差的關係，將有 助於我們直接推廣理論模行決定出該材質平板的泊松比 (Poisson ratio)。取得泊松比後根據彈性理論的色散關係及可一對一決定楊氏 係數(Young’s modulus)，使此理論方式更加完備且有更高的應用價值。

65

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[37] http://en.wikipedia.org/wiki/Interference_(wave_propagation)

[38] 陳永富、梁興弛，“自然科學與視覺化”(滄海書局 2013)。

[39] C. G. Torre, “Foundations of wave phenomena”(2004).

68 New York, 2004). [41] http://en.wikipedia.org/wiki/Bronze [42] http://en.wikipedia.org/wiki/Brass [43] http://en.wikipedia.org/wiki/Copper [44] http://en.wikipedia.org/wiki/Stainless_steel [45] http://en.wikipedia.org/wiki/Glass [46] http://en.wikipedia.org/wiki/Poly(methyl_methacrylate) [47] http://en.wikipedia.org/wiki/Wood

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