2−4 分數的乘除與四則運算
本節課程學習重點： ◎能了解分數的乘法算則及乘法的交換律和結合律。 ◎能了解倒數的意義。 ◎能了解分數的除法算則。 ◎能理解分數乘方的意義，並比較其大小。 ◎能熟練乘方的運算。 ◎能理解底數為分數的指數律。 ◎能熟練數的四則運算。 ◎能了解乘法對加法、減法的分配律。 一、分數的乘法運算： ◎分數的乘法規則：(1)當幾個真分數或假分數相乘時，只要將分子相乘當作新分子，分母相乘當作 新分母，所得到的新分數就是它們的乘積。 (2)若有帶分數相乘，則先化成假分數，再做乘法運算。 【觀念釐清】分子分母 × 分子分母 ＝ 分子×分子分母×分母 。 練習1：計算下列各式的值。(1) (－32 )×14 (2) 37 ×(－1415 ) (3) (－53 )×(－23 ) 練習2：計算下列各式的值。(1) 21 ×(－8 74 ) (2) (－169 )×(－2728 ) 練習3：計算 229 ×[(－11 )×3 154 ] 的值。 練習4：計算 [92 ×(－1439 )]×(－137 ) 的值。 練習5：計算下列各式的值。(1) (－2 13 )×(－ 21 )×(－1 5 15 ) (2) (－23 )×(－23 )×(－23 )×(－23 )練習6：計算下列各式的值。(1) (－123 )×16 ×(－145 ) (2) 7 個(－12 )連乘。 二、分數的除法運算： ◎倒數：將一個不為0 的真分數或假分數的分子和分母對調，所得到新的分數稱為原分數的倒數，也稱 這兩個分數互為倒數。 【說明】(1) 23 的倒數為 32 ；(2) 413 ＝133 ，所以 413 的倒數為13 ；(3)－3 37 的倒數為－73 ； (4)－2＝－21 ，所以－2 的倒數為－12 ；(5) 1＝11 ，所以 1 的倒數是 1。 【觀念釐清】(1)互為倒數的兩個數相乘，其乘積為 1。(因為 ba × ab ＝1) (2)由於分數的分母不能為 0，所以 0 沒有倒數。 練習7：寫出下列各數的倒數。(1)－58 (2)－114 (3)－1 ◎分數的除法規則：(1)除以一個不為 0 的分數，就等於乘以這個分數的倒數。 (2)如果有帶分數，則要先化為假分數再做運算。 練習8：計算下列各式的值。(1) 56 ÷(－313 ) (2) (－98 )÷(－34 )÷13 練習9：計算下列各式的值。(1) (－23 )÷135 (2) (－34 )÷(－116 )÷(－94 )
練習10：在下列□中填入適當的數。(1) (79 )5＝7 □ 9□ (2) ( －1 2 )3＝ (－1)□ 2□ 練習11：在下列□中填入適當的數。(1) (－3 )2 4＝ 2 □ (－3)□ (2) ( －5 3 )3＝ (－5)□ 3□ 練習12：計算 (－12 )3×(－23 )2 的值。 練習13：計算 ( 14 )2×( －25 )3 的值。 ◎底數為分數的指數律：(m、n 為正整數，且 m＞n) (1) ( ab)n＝a n b n。(b≠0)；(2) ( a b) m×( a b) n＝( a b) m＋n＝a m＋n b m＋n；(3) ( a b) m÷( a b) n＝( a b) m－n＝a m－n b m－n。 練習14：在下列□中填入適當的數。 (1)(－43 )3×(－4 3 )2＝(－ 4 3 )□ (2)[(－ 3 2 )2]3＝(－ 3 2 )□ (3)[(－ 3 2 )× 7 5 ]3＝(－ 3 2 )□× 7 5 □ 練習15：在下列□中填入適當的數。 (1) ( 13 )6×( 13 )3＝( 13 )□ (2) [(－25 )3]3＝(－25 )□ (3) [(－73 )×(－11 )]5 2＝(－73 )□ ×(－11 )5 □ 練習16：在下列□中填入適當的數。(1) ( 65 )4÷( 65 )2＝( 65 )□ (2) (－34 )5÷(－34 )2＝(－34 )□ 練習17：在下列□中填入適當的數。(1) ( 53 )7÷( 53 )2＝( 53 )□ (2) (－27 )6÷(－27 )3＝(－27 )□ 【觀念釐清】對於一個正數， (1)若乘上一個大於 1 的數，則乘積會大於原來正數，例如：100×1.1＝110＞100； (2)若乘上一個小於 1 的正數，則乘積會小於原來正數，例如：100×0.99＝99＜100。 ◎乘方的比較大小：對於任何一個正數 a 及正整數 n，
(1)當 a＜1 時，an＜1，且 n 的值愈大，an的值愈小。
練習18：比較下列各組數的大小。(1) ( 23 )2、( 23 )3 (2) (1.2)2、(1.2)3 練習19：比較下列各組數的大小。(1) (0.5)4、(0.5)5 (2) ( 43 )3、( 43 )4 練習20：比較下列各組數的大小。(1)(1.01)10、(1.01)20 (2)(0.99)20、(0.99)30 (3)(1.01)10、(0.99)30 四、數的四則運算：(1)若只有加減或只有乘除運算時，通常由左而右計算。 (2)若同時有加、減、乘、除運算時，要先做乘除再做加減。 (3)若有括號時，括號內的運算必須先算，或利用去括號規則去括號後再算。 (4)若算式中有絕對值，應優先計算絕對值內的值，再做其他的運算。 (5)當算式中有乘方時，要先算出乘方的值，再做其他計算。 (6)分數的乘法對加減法也有分配律。 練習21：計算下列各式的值。(1) 34 ×(－112 )÷214 (2) 223 ÷(－0.6)×(－34 )＋23 練習22：計算下列各式的值。(1) (－12 )×41 23 ÷159 (2) 47 ×0.25÷(－17 )－12 練習23：計算下列各式的值。(1) (－13 )×(35 ＋32 )÷(－74 ) (2) 119 ÷︱ 13 －1.4︱
練習24：計算下列各式的值。(1) 72 －15 ÷ [(－4 13 )＋25 ] (2) 3×︱－23 ＋16 ÷ 38 ︱ 練習25：計算 6×(－23 )3 ÷ 83 ＋(－2)2的值。 練習26：計算 [1÷(－12 )2＋ 32 ]×2 3 11 的值 練習27：計算下列各式的值。(1) 3 11 ×(－57)－1 9 11 ×(－57) (2) 9 9 15 ×239＋9 15 ×(－39) 練習28：計算下列各式的值。(1) 19938 ×(－25)＋20058 ×(－25) (2)(－10134 )×23 －(－134 )×23 練習29：一輛汽車以固定的速率開 220 公里需 2 23 小時，若要提早 56 小時到達，則此輛汽車的速率應 為每小時多少公里？ 練習30：有一瓶果汁，連瓶子共重 930 公克，喝了 23 瓶的果汁後，連瓶子共重 430 公克，求瓶子重 多少公克？
◎補充：繁分數的化簡： a b c d ＝ a b÷ c d＝ a b× d c＝ a×d b×c。 自我評量 1. 寫出下列各數的倒數。(1) 58 (2)－1112 (3)－3 (4)－215 2. 在下列□中填入適當的數。 (1) ( 75 )4＝7 □ 5□ (2) (－ 4 9 )7＝－ 4□ 9□ (3) (－ 5 7 )5×(－ 5 7 )3＝(－ 5 7 )□ (4) (－25 )7÷(－25 )＝(－25 )□ (5) ( 74 )3×( 35 )2＝7 □ ×3□ 4□ ×5□ (6) ( 7 4 )3÷( 3 5 )2＝ 7□ ×5□ 4□ ×3□ 3. 比較下列各組分數的大小。(1) ( 57 )12、( 57 )13 (2) (2.5)45、(2.5)46 4. 計算下列各式的值。 (1) 14 ÷(－112 )×43 (2) (2－23 )÷13 ×0.75－27 (3) 6－︱ (－15)÷(－35 )︱ (4) (－12 )4÷135 ×(－225 ) (5) 234 ×(－49 )－34 ×(－49 ) (6) 73214 ×423－73214 ×23
習作 1. 寫出下列各數的倒數。(1)－15 (2)－2 (3)－34 12 2. 算算看，選出正確的選項，在□中打「√」。 (1) 312 ×(－23 )＝ 3＋12 ×(－23 ) (3＋12 )×(－23 ) 3×(－23 )＋12 ×(－23 ) (2) 89 ÷ 43 ＝ 89 ×3 4 89 ×34 98 ×43 (3) 5÷115 ×2 15 ＝ 5×2 15 ÷12 15 5×12 152 ×15 5×2 1517 ×152 (4) 3÷[(－2)×32 ]＝ 3×(－12 )×32 3÷(－2)÷32 3×(－12 )×23 3. 計算下列各式的值。 (1) 56 ×(－127 ) (2) (－43 )÷(－223 ) (3) 234 ×(－56 )×11 ×18 15 (4) 125 ÷(－3 15 )×(－14 23 ) (5) (－2)÷[(－13 )×(－14 )] (6) (－45 )÷( 65 ÷ 32 ) 4. 甲數是 213 的相反數，乙數是 159 的倒數，丙數是－35 的絕對值，則甲數×乙數×丙數＝？
5. 計算下列各式中□的值。 (1) ( 35 )4×( 35 )6＝( 35 )□ (2) [(－43 )2]2＝(－43 )□ (3) [16 ×(－94 )]5＝( 16 )□ ×(－94 )□ (4) (－135 )6÷(－13 5 )3＝(－ 13 5 )□ (5) (－ 2 7 )6÷(－ 2 7 )4×(－ 2 7 )＝(－ 2 7 )□ 6. 比較下列各組分數的大小。(1) ( 74 )4、( 74 )5、( 74 )6 (2)(0.85)2、(0.85)3、(0.85)4 7. 計算下列各式的值。 (1) 21 －5 13 ×(－27 ) (2) (2－13 )×45 ＋56 ÷( 14 －23 ) (3) 25 －14 ÷1.25＋(－6)÷34 (4) 4÷(－23 )3×(－2)＋(－42) (5) [( 112 )3－(－2)2]÷( 52 )2＋0.2 (6)－32－︱ 6÷(－25 )︱×(－53 ) (7)︱134 －(－2)2︱÷(－32 )2＋357 (8) 25.3×(－73 )＋73 ×22.3 6 6 6
9. 長 245 公尺的繩子，每 23 公尺剪成一段，最多可以剪成多少段？還剩下多少公尺？
10. 如果在考數學時，將「423 ÷甲數」中的「÷」號看成「＋」號，在沒有其他錯誤的情況下，計算得到
答案是616 ，則「423 ÷甲數」的正確答案是多少？
類題補充
1. 一瓶汽水 3 35 公升，每 23 公升裝一杯，最多可裝 a 杯，還剩 b 公升，則 a＋b＝？
2. 已知 A、B 互為倒數，且 A×99 19＝1287，則 A×(B＋99 19 )÷519 ＝？
3. 有隻蝸牛想要爬上高 3 34 公尺的樹，已知牠每天最多可以爬 45 公尺，則這隻蝸牛最少要花多少天的
時間才能爬上這棵樹？
5. 一桶水的容量是 8 47 公升，倒了 13 後，再倒剩下的 10 ，則剩下 公升。 7 6. 有甲、乙兩個手錶，甲錶每天快 20 分鐘，乙錶每天慢 1 30 分鐘，將兩錶對準標準時間，則一個月 1 (30 天)後，兩錶相差多少分鐘？ 7. 阿翔最近迷上一本科幻小說，第一天讀了 27 ，第二天讀了 35 ，今天還剩 84 頁沒有讀，則阿翔第二天 共讀了 頁。 8. 計算 69×( 161 ＋ 18 115 )－21×( 7 49 － 4 35 )＝ 。 3 9. 計算( 13 －1)×( 14 －1)×( 15 －1)×…×( 19 －1)×( 1 20 －1)＝？ 1 10. 有根竹竿直立在水池裡，竹竿全長的 29 在泥中，剩下的 34 在水中，露出水面的部分有 79 公尺，則 竹竿全長為多少公尺？
加強練習
1. 甲、乙、丙分別表示 3 個負分數，若甲× 35 ＝乙× 12 ＝丙× 37 ，則甲、乙、丙的大小關係為何？
(A) 甲＞乙＞丙 (B) 丙＞乙＞甲 (C) 甲＞丙＞乙 (D) 乙＞甲＞丙。
2. 若 a＝ 38 ＋ 38 ，b＝ 3＋38＋8，c＝ 38 × 38 ，比較 a、b、c 三數的大小，下列何者正確？
(A) a＞c (B) a＜c (C) b＜c (D) a＜b。
3. 計算 3×5＋2 5×7＋2 7×9 的結果與下列何者的結果相同？ 2 (A) 3×5×7×9 (B) 2×2×2 3＋5＋7＋93×5×7×9 (C) 23－29 (D) 13－19。 4. 下列算式何者錯誤？ (A) ( 25 )3÷( 52 )3＝1 (B) ( 5 )2 2×( 25 )3＝( 25 )5 (C) ( 23 )4÷( 32 )3＝( 23 )7 (D) ( 45 )4÷( 45 )3＝( 45 )。 5. 有一長為 6 56 ，寬為 4 16 的長方形，今將長的部分減少 20%，寬的部分增加 20%後，所得新的長方形 的周長有無改變？ (A) 不變 (B) 變大 (C) 變小 (D) 不一定。 6. 計算 1×3＋ 1 2×4＋ 1 3×5＋ 1 4×6＋…＋ 1 98×100＝ 。 1 7. 一列火車以固定速率開 210 公里需要 2 12 小時，若要提早 34 小時到達，那麼這列火車的速率每小時要 增加多少公里？ 8. 試問 7÷ 23 ＋7÷ 35 可表示成下列哪一個式子？ (A) (7＋7)÷( 23 ＋ 35 ) (B) 7÷( 23 ＋ 5 ) (C) (7＋7)×( 3 32 ＋ 53 ) (D) 7×( 32 ＋ 53 )。 9. 若甲數× 13 ＝乙數× 29 ，乙數× 34 ＝丙數× 23 ＋1，若甲數＝72，則丙數＝？ 10. 下列敘述何者正確？ (A) 任意數 a 的倒數為 1 a (B) (－ 2 3 )2和( 3 2 )2互為倒數 (C) (－1 1 2 )3＝(－1)3＋(－ 1 2 )3 (D) (－ 34 )7－(－ 34 )5＝(－ 34 )2。 11. 已知(－34 )×98×(－16 )＝1 3 a 2b，( 23 )2 × 49 ÷ 729＝( 64 23 )c，則 a－b－c＝？ 12. 有一根竹竿， 38 塗紅色，剩下的 25 塗藍色，最後在還沒塗色的 13 塗上黃色，則未塗色的部分占全長 的幾分之幾？ 13. 某公司為促銷飲料，提出甲、乙、丙三種促銷方案，則下列何者正確？ 甲：買三送一 乙：全面八折 丙：容量增加 20%，售價不變 (A)甲的降價最少，乙的降價最多 (B)甲的降價最少，丙的降價最多 (C)丙的降價最少，甲的降價最多 (D)丙的降價最少，乙的降價最多 14. 如下圖所示，若白色格子區域的總面積為 8 13 平方公尺，則灰色格子區域總面積為多少平方公尺？
Ans：1.(A)；2.(A)；3.(D)；4.(A)；5.(C)；6.14651
19800；7. 36 公里；8.(D)；9. 120；10.(B)；11.－4；
12. 14 ；13.(C)；14.11 23 。 心得筆記
