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stochastic differential equations，1951)。1952 年他成為 京都大學教授，兩年後到普林斯頓高等研究院演講訪 問，才出現在西方數學界。1976 年，他成為京都大學 數理解析研究所（RIMS）所長，1979 年轉任學習院 大學教授時已經64 歲。 隨機過程最簡單的例子是布朗運動，花粉粒子在水 中因為分子力擾動出現奇特的路徑，釐清這個問題 的是1905 年愛因斯坦的三大論文之一，日後被維納 （Wiener）嚴格證明稱為維納過程。不過布朗運動是 純擾動，顯然應該考慮更一般的隨機過程如摻雜起伏 的族群變化、有噪音的訊號等。就像用微分方程預測 未來路徑，在加入維納過程的擾動下，伊藤發展出所 謂的伊藤微積分（Itô calculus）。頒獎委員會說這是 一個「典範式」的成就，改變了這個領域的風貌。 雖然伊藤研究可以廣泛應用到保角場論、隨機控 制、群體遺傳，但讓這門學問炙手可熱的大部分來自 金融數學的興起。股市金融的變動顯然是隨機過程， 1997 年， 墨 頓（Merton） 和 舒 爾 茲（Scholes） 因 為 他們的計價模型獲得諾貝爾經濟獎，其理論基礎就是 伊藤理論。美國國家科學院介紹伊藤的研究時說： 倘若不考慮畢氏定理，很難想出比「伊藤引理」更 出名、更廣為應用的數學結果。在隨機分析裡，這個 公式就像古典分析裡的牛頓基本定理一樣，是此領域 的「必要條件」（sine qua non）。
這也許是伊藤走老運的原因，1987 年伊藤與拉克斯 （Lax，見 51 頁）合得沃爾夫獎時已經 72 歲，得到 高斯獎是90 歲。感覺上更像是因他設獎，藉此提高 應用數學的能見度。有趣的是伊藤聽到「伊藤理論」 被用到金融時也很驚訝，因為「我終生沒買過股票， 更別提衍生性商品。」唯一的金融操作就是儲蓄。 雖然機率有著強烈真實世界的印記，可以看成應用 數學的一支，但是伊藤頂多算是帶著健全應用意識的 純機率數學家，他似乎終生未涉足應用場域。 2010 年 第 二 屆 高 斯 獎 得 主 是 法 國 數 學 家 梅 耶 爾 （Yves Meyer，見本期 62 頁他的得獎專訪），他畢
純數學和應用數學的畫界
高斯獎的三位得主 對於什麼才是正宗數學，純數學家和應用數學家之 間曾經劍拔弩張，不過純數和應數的分野十分模糊， 尤其好的純數和好的應數如何畫界就更微妙。個人主 觀意向並不算數，因為「好」數學需要公評，基於數 學的抽象性，最合理的評價方式之一或許是數學獎。 我們以年輕的高斯獎來當參考。高斯獎可能是目前 應用數學的最高獎，這個德國數學聯盟（DMV）和主 辦世界數學家大會的國際數學聯盟（IMU）合辦的獎 項，每四年在數學家大會上與費爾茲獎等其他獎項一 起頒獎。從2006 年開始，到現在才第三屆。 第 一 屆 高 斯 獎 得 主 是 日 本 數 學 家 伊 藤 清（Kiyosi Itô），得獎時他已 90 歲高齡，必須由女兒伊藤順子 代領，獲獎兩年後，伊藤就過世了。 伊藤在東京帝大因為想讀統計力學，認識奇妙的大 數法則，開始自習白努利與棣美弗的原文論文。20 世 紀初機率論幾乎不存在，日本也缺乏專家。伊藤雖然 苦於機率論缺乏嚴格基礎，卻只能自行摸索。大學期 間蘆溝橋事變發生，伊藤因疾不用入伍。畢業後因早 婚生女，只好進入大藏省（財務部）工作，幸好長官 放任他自學，開啟了伊藤一生最關鍵的時期。 在 這 幾 年， 他 閱 讀 科 莫 哥 洛 夫（Kolmogorov） 的 《機率論的基本概念》，有撥雲見日之感，而列維（ Lévy）的機率著作更關鍵性的引領他踏上隨機過程的 道路。他的博士論文《關於隨機過程》（確率過程に ついて）發表於1942 年，不過他 1945 年正式拿到東 京帝大博士學位時，已經是名古屋帝大的助教授。 當時在日本研究機率面臨雙重孤獨的苦境，因為日 本沒有人研究機率，更別提隨機過程；二次大戰的日 本近乎孤立，他在日本的研究幾乎不為外人所知。伊 藤等於一個人開創整個理論。 大戰後民生凋敝，他的論文因為篇幅無法發表，便 將文章寄給他曾徵引的杜伯（Doob），結果成就他 第一篇在西方發表的文章：〈隨機微分方程論〉(On數 理 人 文 5 反映歐修關注「不連續性」的是另一項重要成就： 建立超音速飛航的模型，成功克服超音速瞬間產生的 多種不連續性。傳統建模通常假設連續的變化，透過 這項突破才能用電腦設計超音速飛機。 有趣的是歐修運用類似想法，解決看似不相干的圖 像問題：模糊圖像銳利化。圖像的基礎是物件的邊 緣，邊緣意味實體的不連續性。歐修運用前述模型的 想法，發展辨識並加強不連續性的方法，將圖像銳利 化。歐修開了一家名為Cognitech 的公司，在 1992 年 洛杉磯大暴動時，因為成功解析直昇機模糊的空拍影 片，指認暴民身上的刺青，令人印象深刻。 歐修說自己有一半時間和非數學界的科學家泡在一 起，他很擅轉換不同領域的語言，他說：「跑出去傾 聽別人想說的是件好事，即使有語言障礙，你也必須 保持友善，學習他們的語言。」 歐修曾向《洛杉磯時報》說：「我是數學界的貝瑞 曼尼羅。」這反映歐修發明的諸多演算法流暢而精 彩，頒獎委員會認為這緣於他背後的深刻數學。歐修 進一步說：「我們都愛數學，愛數學不合理的有效性， 它能做任何事。我喜歡證明定理，但我更喜歡讓事情 成功動起來，這讓數學既有用還更有趣。」 比起前兩屆得主，歐修顯得「應用」多了。但這不 妨礙他們三人的研究都符合高斯獎「成功應用到非數 學領域」的設立宗旨。或許深刻、廣博、高明，他們 的個人特色頗有差異，但顯然他們都是好數學家，而 不只是應用數學家或純數學家。 （編輯部） 業於法國高等師範學校，不過他和布巴基學派並不親 近。他大學畢業從軍擔任高中老師，在沒有論文指導 教授的情況下拿到博士學位。然後開始他游牧式的研 究生涯，大概每十年換一所學校，一個領域。 頒獎介紹文說梅耶爾至少跨越四個領域：準晶體、 卡得隆/ 齊格曼綱領、小波、納維爾 / 史托克斯方程。 「梅耶爾在每個領域都做出基本貢獻……就像一旦梅 耶爾出現了，他就會將各種鬆垮的末端整繫起來，為 現存各異的路徑給出統一的圖象，打下一個留著梅耶 爾印記的理論架構基礎，然後飄然而去。」 和他一起提出小波多解析度分析的馬萊（Mallat） 曾說：「梅耶爾構造的單範正交基及後續在此領域 的工作，都是打開未來數學發展與應用大門的關鍵發 現。梅耶爾是催化作用的核心，他將數學家、科學家、 工程師匯集一堂，建立理論和演算法。」 德國數學家達門（Dahmen）則給出這樣的觀察：「就 我所知，梅耶爾從不直接研究實際的應用問題。」所 以拉馬尚德朗（Ramachandran）認為梅耶爾是研究基 礎數學卻意外造福人群的典例。就這點而言他和伊藤 清相似，但是他的學術領域廣博又和伊藤不同。 歐修（Stanley Osher ）是 2014 年第三屆高斯獎得 主。歐修畢業於應用數學重鎮紐約大學庫朗學院，指 導教授史瓦茲（J. Schwartz）是庫朗學院計算機科學 系的創系主任（參閱51 頁拉克斯訪談），歐修打一 開始就浸淫在應數和純數、數學和電腦交會的環境。 歐修和塞席安（Sethian）在 1980 年代發展了知名 的水平集法（如圖），這個方法利用提高維度的想法， 化不連續為連續，將所有變化的曲線，無論連續或不 連續，利用高一維的曲面將他們統合起來。「只要提 高一個維度，你的煩惱就解決了。」 水平集的想法本身就是一部動畫。當今主流動畫公 司包括迪士尼、Pixar、夢工廠，在動畫模擬流體如旋 風、雲湧、火勢時，都要用這個方法，讓動畫具有符 合物理的真實感（歐修學生菲德可（Fedkiw）還因此 獲得奧斯卡獎）。水平集法還可應用到晶片設計，地 震震源確認、天氣預測、腫瘤增長、醫學掃描等。
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你不知道的費爾茲獎二三事
隨著2014 年新一屆費爾茲獎得主的出爐，數學難 得在大眾媒體佔據版面。美國數學學會在2015 年的 《會訊》中也以兩篇文章呈現費爾茲獎少見的面向。 其 中 之 一 是 科 學 史 學 者 巴 瑞 尼（Barany）的〈 神 話 與 獎 章 〉（The Myth and the Medal）， 探 討 費 爾 茲 獎 是 如 何 成 為「 數 學 界 的 諾 貝 爾 獎 」。 另 一 篇〈 費 爾 茲獎是否帶來詛咒？〉（Is There a Curse of the Fields Medal?），則是數學家柯拉爾（Kollár）評述經濟學家 所做的費爾茲獎研究。 巴瑞尼考察歷史，發現即使在數學界，費爾茲獎一 開始知名度並不高，更不用說與諾貝爾獎相提並論。 這與它成立時的背景有關：當時的國際數學界正因為 一次大戰的創傷而處於分裂狀態，而在1936 年頒發首 屆費爾茲獎之後，相隔14 年才再頒發第二屆費爾茲 獎。在這種處境下，一個獎項很難建立起它的聲望。 令費爾茲獎與諾貝爾獎並論的是1966 年的「史梅爾 事件」。當時，柏克萊數學家史梅爾（Smale）因為反 越戰運動，而被眾議院傳喚作證。八月時有媒體報導 史梅爾為了躲避聽證，已逃往莫斯科，但其實史梅爾 是要去參加世界數學家大會，並領取費爾茲獎，他早 在五月即已赴歐。為了維護史梅爾與數學界的名聲， 美國數學家發表聲明駁斥謠傳，強調大會和費爾茲獎 的重要性。透過美聯社、《紐約時報》等媒體的報導， 「數學界的最高榮譽」、「堪與諾貝爾獎媲美的數學 獎項」之類的語句紛紛出現，從此確立了費爾茲獎在 大眾心目中的形象。巴瑞尼認為，「費爾茲－諾貝爾」 神話及早期費爾茲獎的種種故事（見下表），正說明 了數學界並不如大家以為的，是一個超然、理想主義 的世界。其中也充滿了爭端與紛擾，衝突與妥協。 〈 詛 咒？〉一 文 則 是 從 另 一 個 面 向 來 觀 察 費 爾 茲 獎。 該 文 介 紹 兩 位 經 濟 學 家 波 哈 斯（Borjas）和多倫 （Doran）的論文〈得獎與創造力：贏得費爾茲獎如 何影響科學產出〉。從經濟學家的觀點來看，獎項和 競賽是為了促進知識成長所提供的「誘因」，誘因是 否有效，費爾茲獎提供了一個很好的觀察。當初費 爾茲在設立獎項時，即明確表示它不只要表彰既有成 果，而且還要鼓勵得獎者及他人後續更進一步的研 究，這項宗旨日後更被硬性限定成得獎者必須未滿40 歲。那麼，在學術生涯的中途獲獎，是否真能激發出 更豐碩的研究成果？ 兩位經濟學家利用MathSciNet 的資料，調查費爾茲 獎得主在獲獎前後的論文數和引用率，在排除各種外 部因素後，發現兩項數據都在得獎後明顯下降。為了 確認這項發現，他們引入了稱為「競爭者」的控制組， 成員是其他重要數學獎的得主（包括阿貝爾獎和沃爾 夫獎等）―所以，我們是在看美國聯盟 VS 國家聯盟 的較量嗎？比較的結果發現，競爭者在過了得獎年齡 後仍然維持高生產力，因此前面的觀察得到了確認。 要怎麼解釋這個現象？波哈斯等人提出了認知流動 性（cognitive mobility）的概念。由於得獎的肯定，使 得他們可以更自由地去追求新的領域，而要進入新領 域需要付出代價，因而造成生產力降低。波哈斯等人 的想法也從統計數據裡得到證實，得獎者的認知流動 性明顯高於競爭者。以數字來衡量創造性的研究必然 引起許多質疑，而主觀判斷與客觀數字的對抗，也不 可能會有定論。相對於長遠的數學發展，此項研究的 樣本數和取樣時間，恐怕很難說具有代表性。但是與 前一篇歷史回顧的文章合看，我們可以明確感到，數 學其實不是純然超乎世外的志業，但這未嘗不是件好 事，因為它讓數學多點人情味。 （編輯部） ●承辦1924 年多倫多大會的費爾茲，提議以大會結餘款 2,500 加幣，成立一 個國際數學獎項。其後，費爾茲又捐出他的遺產47,000 加幣充實基金。 ●第一屆（1936）的獲獎者阿爾弗斯（Ahlfors）在二次大戰的逃難過程中， 曾典當他的獎章以籌措旅費。另一位獲獎者道格拉斯（Douglas）未出席頒獎 典禮，由他人代為領獎。 ●第二屆（1950）的兩位得主，史瓦茨（Schwartz）和塞爾伯格（Selberg） 在被告知獲獎時，都沒聽過費爾茲獎。史瓦茨在回憶錄中寫道，得獎的興奮 之情遠比不上高中時在全國競試中奪冠。 ●1950、60 年代的新聞媒體常寫錯費爾茲獎的名稱（誤寫成 Field Medal 或 Field's Medal），甚至連擔任過評選委員的摩爾斯（M. Morse）也曾筆誤過。數 理 人 文 7 是一項發燒議題。 許多人懷疑3D 產業只是華爾街或媒體有心炒作的 假議題。就實際來看，3D 產業的發達除了硬體的配 合發展，還牽涉到3D 軟體的全面成熟與整合。無可 諱言的，目前3D 產業要達到全面進入生活，仍有一 段漫長的路要走。 目前即使是工業級3D 印表機，對於曲率大的物件 其印製成品精度仍嫌不足，列印失敗率高，遑論一般 價位的3D 印表機。而 3D 影視也面臨後製時間過長 所造成的高製作成本難題。關鍵問題之一，在於如何 有效率的、低成本的處理複雜3D 資訊的兩難問題。 值得注意的是，3D 產業的突破無疑需要對空間理 論的深入理解，而數學家（尤其是幾何學家）研究空 間曲面問題已經有幾百年的歷史，幾何知識將是關鍵 的切入點。微分幾何學家丘成桐近年來投入3D 應用 產業，他在本期《3D 改變未來》一文就有數學如何 應用於3D 產業的介紹。另一文《3D 臉部形變的殺手 級特效？》則是數學在3D 上如何應用的實例。 交大丘成桐中心特別成立3D 影像研究群，致力於 應用幾何學理論，進行高速和高解析度3D 成像和 3D 人臉的研究分析，並涉足醫學、計算流體動力學等新 興的跨越學科領域。目前研究目標為3D 幾何運算處 理，包括曲面匹配、3D 人臉辨識、動態曲面跟蹤、 形狀分析、表情類比等各種演算法，以厚植學術研發 能量及培育人才。另外也規劃成立展覽廳，將備有 3D 掃描儀、電腦、3D 列印之整合系統，透過「動手 實做」的理念，讓參訪者能從做中學，玩中學，進而 喜愛3D 數學，推廣數學、科技與文創教育。 前兩次工業革命改變了人類社會，有目共睹，進行 中的第三波革命，不論你稱之為電腦、資訊、數位、 網路，抑或3D 革命，其社會影響也日益浮現。既然 3D 未來未定，各種限制無疑就是機會，已經缺席前 兩次工業革命的非西方國家，是否準備好了呢？ （王夏聲）
