2.7 導數與變化率

(1)

2 極限 (limits) 與

導數 (derivatives)

(2)

2.7 _{導數與變化率}

(3)

導數與變化率

從本章最一開始的地方我們便提到，對已知曲線求作切線以及物體運動求其速度，這兩個問題都是求極限的問題。

這兩個問題所牽涉到的極限類型是一樣的，而我們特別把這 種割線斜率的極限稱為導數（derivative）。導數可以看成 是一個物體的狀態或者數值的變化率，在工程或者自然科學問題當中我們會很常遇見。

(4)

4 4

切線

(5)

切線

假設曲線 C 的方程式為 y = f(x) （或者我們說 C 是 y = f(x) 的圖形）而我們想求 C 在點 P(a, f(a)) 的切線，此時我們考 慮一個 P 附近的點 Q(x, f(x)) 而 x  a ，計算其割線段 PQ 的斜率：

為了求切線斜率，我們使 Q 沿著 C 趨近點 P ，此時也就是

(6)

6 6

切線

若斜率 m_PQ 會逼近某個數 m 則我們可以定義切線 t 即為通過 P 且斜率為 m 的直線。

這個逼近的過程可參考下圖：

圖一

(7)

我們實際定義如下

切線

(8)

8 8

範例一

試求拋物線 y = x² 在點 P(1, 1) 的切線方程式。

解:

依照定義我們直接計算割線斜率的極限：

(9)

範例一 / 解

=

= 1 + 1 = 2.

算得斜率之後，利用點斜式我們可以直接求得切線方程式如下：

y

– 1 = 2(x – 1) 或

y = 2x

– 1

cont’d

(10)

10 10

切線

切線的極限也可以改寫成另一種形式，考慮 h = x – a ： 割線 PQ 可寫成

在下圖中我們刻畫 h > 0 的情況，此時 Q 在 P 點的右邊。

（反之若 h < 0 ，則 Q 會在 P 的左邊）

圖三

(11)

切線

當 x 趨近 a 時，此時 h 趨近 0 ，於是切線斜率的極限便改寫為

(12)

12 12

物體運動的速度

(13)

另一個使用導數的例子，我們考慮物體沿著直線作運動，其運動軌跡方程式為 s = f(t) ，其中 s 代表物體在時間 t 時的位移。

我們稱函數 f 為該物體的位置函數 (position function) 。 於是在時間區間 t = a 至 t = a + h 範圍內移動的距離，可以 用 f(a+h) – f(a) 表示。

物體運動的速度

(14)

14 14

物體的位移：

物體運動的速度

圖五

在 t = a 時的位置

在 t = a + h 時的位置

(15)

物體運動的速度

因此在這段時間的平均速度為：

這個比值如右圖所示，也是圖中割線的斜率。

平均速度位移

經歷時間

(16)

16 16

物體運動的速度

接著我們對更小的 h 計算在更短的時間區間 [a, a + h] 內的平均速度。然後一次比一次取更小的 h 。

換言之，我們是要讓 h 趨近至 0 。

我們定義一個物體在時間 t = a 時的速度 (velocity)，或者說 瞬時速度(instantaneous velocity)，為以下的極限

也就是說，物體在時間 t = a 時的速度，也就是 s = f(t) 函數圖形在 P(a, f(a)) 時的切線斜率。

(17)

我們再次考慮自由落體的問題。

假設有一球自 CN 塔觀景台 450 公尺高處落下，試問：

(a) 此球在五秒後的速度為？

(b) 此球在落地時間的速度為？

解:

為了方便，我們直接先列出球軌跡的方程式。再來計算 t = 5

範例三

(18)

18 18

範例三 / 解

直接利用自由落體公式： s = f(t) = 4.9t²，求極限得到導數

cont’d

(19)

範例三 / 解

(a) 因此經過 5 秒後的速度為 v(5) = (9.8)(5) = 49 (公尺/秒)

cont’d

(20)

20 20

範例三 / 解

(b) 由於觀景台的高度為 450 公尺，假設球在時間 t₁ 時落地，

即 s(t₁) = 450 ，因此

4.9t₁² = 450 解 t₁ 得到

t

₁² = => t₁ =



9.6 秒

cont’d

(21)

範例三 / 解

因此在落地時間的速度為

v(t

₁) = 9.8t₁

cont’d

= 9.8



94 公尺/秒

(22)

22 22

導數

(23)

導數

在前面兩個例子中我們都用到類似的極限：

這類的極限會在各種領域不斷地用到，當我們需要了解一個物體位置、濃度等等數值的變化率之時。

由於很常用到，因此我們給這類的極限一個特定的名字。

(24)

24 24

導數

注意到當 h 趨近 0 ，表示 x = a+h 趨近 a ，因此我們也可以寫成另一種形式，割線斜率的極限：

(25)

範例四

求函數 f(x) = x² – 8x + 9 在任意 a 點的導數。

解:

由定義我們直接計算：

(26)

26 26

範例四 / 解

_cont’d

(27)

導數

由於我們定義 y = f(x) 曲線在點 P(a, f(a)) 的斜率 m 就是導數所定義的極限，因此我們也可以說 y = f(x) 在 (a, f(a)) 的切線斜率為 f’(a) 。

利用點斜式我們可以直接寫下切線方程式：

y

– f(a) = f

(a)(x

– a)

(28)

28 28

變化率

(29)

變化率

假設 y 是某種跟獨立變量 x 有關的量，此時我們可以將 y 寫程式 x 的函數， y = f(x) 。

當 x 從 x₁ 變動至 x₂ 時，這裡我們新定義一個符號來表示 x 的增量 (increment) ：

∆x = x₂ – x₁ 相應的， y 的變化我們記作：

(30)

30 30

變化率

這些增量的比值

稱為 y 在 [x₁, x₂] 上對 x 的平均變化率 (average rate of change) ，這個量也即是右圖所示的割線斜率。

圖八

平均變化率 = m_PQ

瞬時變化率 = 在 P 點的切線斜率

(31)

變化率

跟瞬時速度的定義一樣，我們考慮短區間內的平均變化率，

接著讓 Δx 趨近到 0 。

此時這個平均變化率的極限，我們便稱為 y 對 x 在 x = x₁的 瞬時變化率 (instantaneous rate of change) ，這也同時是 在點 P(x₁, f(x₁)) 上的切線斜率。

這個瞬時變化率也就是導數 f

(x

₁) 。

(32)

32 32

變化率

導數值的絕對值越大，代表切線的傾斜程度越斜，也就表示 y 值短期間的變化越劇烈；相反導數的絕對值越小，切線的傾斜越平緩， y 值在短期間的變化就越小。

Figure 9

y 在 P 點變化較大，而在 Q 點變化較小。

(33)

變化率

特別來說，若 s = f(t) 是某物體沿著某條直線運動的位置函數，我們已經知道 f’(a) 代表其在 t = a 時的瞬時速度，也就是位移對時間的瞬間變化率。

而如果我們不看方向只看其值大小的話，這個導數的絕對值，

即 |f’(a)| ，代表的就是位置變化程度的大小，也就是速率

(speed) 。

(34)

34 34

範例六

一家廠商生產每綑固定長度的某種布料，若生產 x 碼長度的 布料生產的成本為 C = f(x) 元，試問

(a) 導數 f

(x) 的意義為何？其單位為？

(b) 用實際的例子來說， f

(1000) = 9 的意義為？

(c) 試想像 f

(50), f (500) 何者比較大？

又 f

(5000) 如何？

(35)

範例六 / 解

(a) 導數 f

(x) 表示消耗成本對於生產長度 x 的瞬間變化率。

f (x) 的單位會與增量差的比值 C/x 相同。

而此時

C 的單位是元，而 x 的單位是碼，因此 f (x) 的單

位是元/碼。

(36)

36 36

範例六 / 解

(b) 而若 f

(1000) = 9 則表示，在生產一千碼長的布這個規模

底下，每單位生產所消耗的成本會增加 9 元/每碼。說明如下：

考慮

x = 1 在 x = 1000 時，在生產一千碼長的布這個規模

底下，若考慮生產多增加一碼 (從 x₁ = 1000 至 x₂ = 1001) ，此時的瞬間變化率可以用增量的比值來逼近

因此，在這個規模附近，每次多生產一單位所消耗的成本會

增加

C 也就是 9 元。

cont’d

(37)

範例六 / 解

(c) 在一次生產 500 碼長布與一次生產 50 碼長布的這兩個情形，每單位生產消耗成本的變化率可能是 500 碼長時比較低。

考慮到整體生產的規模，生產 500 碼長的布，廠商在整個生產過程所消耗的設備人力等成本可能都比較穩定，因此不管其成本較高或者較低，其多生產或者少生產一碼長的布，所消耗的成本變化並不大，其變動的幅度應該較一次生產 50 碼長要來的小。

因此在這個理由底下，我們可以猜測：

cont’d

(38)

38 38

範例六 / 解

然而考慮到邊際效應，生產太多布料可能使得製程變得很沒有效率，生產越多則多消耗、多增加的成本也越大。

因此在這個理由底下，很有可能會有

f (5000) > f (500)

cont’d