階層網路在差異化教學的應用 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學應用數學研究所數學教學在職專班碩士論文階層網路在差異化教學的應用 The application of differentiated instruction by stratum networks. 研究生：張漢權指導教授：曾正男博士. 中華民國103年1月.

(2) 階層網路在差異化教學的應用學生：張漢權. 指導教授：曾正男博士. 國立政治大學應用數學研究所數學教學在職專班要. 摘. 差異化教學是目前台灣推動的重點教育政策之一，主要目標是希望教師能針. 政治大. 對學生不同的特性及需求，設計多元的教學活動。. 立. 本研究是透過分析學生的測驗結果，來了解學生的學習狀況，並利用階層網路來建立學生間的教與學網路，進一步讓學生間能透過這樣的網路，進行教與學. ‧ 國. 學. 的活動，來解決學習上的困難。. 在建構出這樣的基本架構後，我們使用偐偹側偨偯偮來撰寫模擬的程式，並將模擬. ‧. 出的數據，利用偍偡側偬偡偢來分析其相關性。. y. Nat. 我們的研究結果指出，在常態分佈的班級中，透過這樣的網路，的確能有效. n. al. er. io. 習的效率。. sit. 提昇學生學習狀況，而透過我們發展出的網路優化方法，則能夠更快提昇學生學. v i n. 然而，本論文的研究及模擬僅止於理論上的討論，未來若要再進一步研究，. Ch. engchi U. 可以在教學現場實際操作，相信會有更貼近真實狀況的數據，也能夠做進一步改進我們的研究成果。. 倱.

(3) 偁偂偓偔偒偁偃偔. 偄偩個健偲健偮側偩偡側健偤偉偮偳側偲偵偣側偩偯偮偩偳偯偮健偯偦側偨健偭偯偳側偩偭偰偯偲側偡偮側健偤偵偣偡側偩偯偮偰偯偬偩偣偹偣偵偲倭偲健偮側偬偹偩偮偔偡偩偷偡偮倮偔偨健偭偡偩偮側偡偲偧健側偩偳偨偯偰偩偮偧側健偡偣偨健偲偳側偯偤健偳偩偧偮偭偵偬側偩偰偬健側健偡偣偨偩偮偧偡偰偰偲偯偡偣偨健偳偦偯偲偤偩個健偲健偮側偳側偵偤健偮側偳偢偹偤偩個健偲健偮側偦健偡側偵偲健偳偡偮偤偤健偭偡偮偤偳倮偔偨偩偳偳側偵偤偹偩偳偧偯偩偮偧側偯倌偮偤偯偵側偳側偵偤健偮側偳倧偬健偡偲偮偩偮偧偳側偡側偵偳偢偹偡偮偡偬偹偳偩偮偧側偨健偩偲偲健偳偵偬側偳偯偦側健偳側偳倬偡偮偤側偯偳健側偵偰側偨健側健偡偣偨偩偮偧倭偡偮偤倭偬健偡偲偮偩偮偧偮健側偷偯偲偫偢健側偷健健偮偳側偵偤健偮側偳. 政治大. 偢偹偳側偲偡側偵偭偮健側偷偯偲偫倮偆偵偲側偨健偲偭偯偲健倬偬健側偳側偵偤健偮側偳偳偯偬偶健側偨健偩偲偰偲偯偢偬健偭偳偷偩側偨側健偡偣偨偩偮偧健偡偣偨偯側偨健偲偢偹側偨健偳側偲偡側偵偭偮健側偷偯偲偫偳倮. 立. 偁偦側健偲偳健側側偩偮偧偵偰側偨偩偳偫偩偮偤偯偦偢偡偳偩偣偳側偲偵偣側偵偲健倬偷健偵偳健偐偹側偨偯偮側偯偷偲偩側健側偨健偳偩偭偵倭. ‧ 國. 學. 偬偡側偯偲偰偲偯偧偲偡偭偳倬偡偮偤偡偮偡偬偹偳偩偮偧側偨健偣偯偲偲健偬偡側偩偯偮偳偯偦偳偩偭偵偬偡側健偤偤偡側偡偢偹偍偡側偬偡偢倮偏偵偲健偸偰健偲偩偭健偮側偡偬偲健偳偵偬側偳偳偨偯偷側偨偡側偩側偩偳健倎偣偩健偮側側偯偩偭偰偲偯偶健偳側偵偤健偮側偳倧偬健偡偲偮偩偮偧. ‧. 偳側偡側偵偳側偨偲偯偵偧偨側偨健偳側偲偡側偵偭偮健側偷偯偲偫倮偗偩側偨偯偵偲偭偯偤偩倌偣偡側偩偯偮偭健側偨偯偤側偯偢偵偩偬偤側偨健偳側偲偡側偵偭偮健側偷偯偲偫偳倬側偨健偮健偷偮健側偷偯偲偫偩偳偭偯偲健健倎偣偩健偮側倮. y. Nat. sit. 偈偯偷健偶健偲倬側偨偩偳偲健偳健偡偲偣偨偡偮偤偳偩偭偵偬偡側偩偯偮偯偦偯偵偲偳側偵偤偹偩偳偯偮偬偹側偨健側偨健偯偲健側偩偣偡偬偤偩偳倭. 偷健偣偡偮偧健側偭偯偲健偡偣側偵偡偬偤偡側偡側偯偩偭偰偲偯偶健偯偵偲偳側偵偤偹倮. n. al. Ch. engchi U. 倲. er. io. 偣偵偳偳偩偯偮倮偔偨健偦偵偲側偨健偲偳側偵偤偹偩偳側偨偡側偷健偭偡偹健偸偰健偲偩偭健偮側偯偮側偨健側健偡偣偨偩偮偧偳偣健偮健倬側偨偵偳. v i n.

(4) 誌. 謝. 「要很努力、很努力，才能有一點點的成功」。偻周星馳經過了三年，總算到了這一天。在過程中覺得三年好漫長，但經過之後卻覺得時間過得好快。能完成這份論文，首先要謝謝指導教授曾正男老師，一開始因為對老師的研. 政治大. 究主題很有興趣，便請老師指導論文，過程中雖然自己有很多要加強的能力，但老師總是很耐心的指導，讓我能一步步完成論文。老師在改革教育上所作的努力. 立. 也令我感到欽佩。. ‧ 國. 學. 另外，在這三年中，修了許多所上教授的課程，在上課的過程中，感受到每位教授對知識的熱愛，以及對教學的熱情，這三個夏天的薰陶，對於同為教師的我，是很重要的體會，也提醒我自己在教學中，要把同樣的熱愛及熱情傳達下. ‧. 去。. y. Nat. 當然，來自全台各地，十三位一起度過三個夏天的同學們，是學習中最重要. n. al. er. io. 持續有交流，互相分享在教學上及教學外的心得。. sit. 的夥伴。每個人的專長都不同，也都有值得我學習的地方，期待在畢業後，還能. v i n. 最後，要感謝的是我的家人。他們是我一生中最重要的支柱，一直以來，總. Ch. engchi U. 是支持我往前走，也是我生活中最重要的動力，如果要說我一生中最幸運的事，那必然是擁有這麼棒的家人，感謝你們。. 原本還覺得不知道謝辭該寫什麼，沒想到一旦開始寫，敲打鍵盤的手指就停不下來。在總圖一樓寫下在政大的最後一篇文章，也許是最好的結束。今天是元宵節，也是西洋情人節，感謝我親愛的老婆，沒有妳的鼓勵和支持，就沒有這篇論文，謝謝妳一直以來的陪伴。張漢權倲倰倱倴倮倲倮倱倴. 倳.

(5) 目. 錄. 中文摘要倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮. 倱. 英文摘要倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮. 倲. 誌謝倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮. 倳. 目錄倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮. 倳. 表目錄倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮. 倶. 立. 政治大. 學. ‧ 國. 第一章、簡介倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮. 倱. 倱倮倱. 差異化教學倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮. 倱. 倱倮倲. 階層網路. 倳. 倱倮倳. 階層網路在差異化教學的應用倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮. 倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮. ‧. Nat. y. 倶. sit. 第二章、階層網路的討論倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮. 倴. 倶. 倲倮倲. 網路優化方法倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倱倱. n. al. er. 名詞定義及性質討論倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮. io. 倲倮倱. Ch. engchi U. v i n. 第三章、階層網路在教學上的應用倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倱倴倳倮倱. 錯誤題分析倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倱倴. 倳倮倲. 教學關係矩陣倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倱倵. 倳倮倳. 網路優化方法倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倱倷. 第四章、模擬結果倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倱倸倴倮倱. 模擬數據之結果及分析倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倱倸. 第五章、結論倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倲倲參考文獻倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倲倳倴.

(6) 附錄偐偹側偨偯偮程式碼倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倲倵. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi U. 倵. v i n.

(7) 目. 表. 錄. 倴倮倱. 模擬數據偻進步分數倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倱倹. 倴倮倲. 模擬數據偻進步比率倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倲倰. 倴倮倳. 模擬數據偻連結數量倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倲倱. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi U. 倶. v i n.

(8) 第一章. 簡介. 本論文的目的在透過分析學生的測驗結果，將學生間教與學的網路建立起來，使得學生在透過彼此間的教學後，能夠學會原先不完全了解的概念，並解決學習困難。另外，透過階層網路的性質，我們將進一步優化網路，更有效的提高學習效果。在倱倮倱中，我們要對差異化教學做簡單的介紹及討論。. 政治大. 在倱倮倲中，則要討論階層網路的定義及相關文獻。. 立. 在倱倮倳中，則要說明如何將階層網路應用在差異化教學上。. ‧ 國. 學. 1.1. 差異化教學. ‧. 近年來，教育的重點已經不在於教師如何教學，而是學生如何學習，因此針. Nat. io. v i n. n. al. er. 漸受到重視。在教育部差異化教學補充資料中指出偛倱偝：. sit. y. 對學生的個別差異，進行不同的教學方式，也就是所謂的「差異化教學」，也逐. 差異化教學是一種針對同一班級之不同程度、學習需求、學習方式及. Ch. i U e h n c g 倦偍健偹健偲倬倲倰倰倳倻偓偵偢偢偡偮倬倲倰倰倶倻偔偯偭偬偩偮偳偯偮健側偡偬倮倬倲倰倰倳）。差異化教學植基於. 學習興趣之學生提供多元性學習輔導方案的教學模式（偈偡偬偬倬偓側偲偡偮偧偭偡偮倬對腦部開發相關研究、維果斯基氏之鷹架理論、學生學習式態（偬健偡偲偮偩偮偧偳側偹偬健）的相關研究以及多元智能理論的認識，強調教師之教學計畫須考量到個別學生的背景、學習準備（偲健偡偤偩偮健偳偳）、學習興趣、語言、及學習情況（偬健偡偲偮偩偮偧偰偲偯倌偬健）以提供適當的學習支援，幫助每一位學生發揮其潛能，達到最佳的學習效（偈偡偬偬倬倲倰倰倲）。根據偔偯偭偬偩偮偳偯偮所言，在課程計畫與實施的過程中，教師可就課程之內容（偃偯偮側健偮側）、實施之過程倨偐偲偯偣健偳偳倩、以及課程實施之成果倨偐偲偯偤偵偣側倩三項要素上考量實施差異化教學的可能性（偈偡偬偬倬偓側偲偡偮偧偭偡偮倬倦偍健偹健偲倬倲倰倰倳倻偔偯偭偬偩偮偳偯偮倬倱倹倹倹）。先進國家的相關研究指出，在教學計畫實施之前，教師便應針對學生之起點行為、學習背景及學習特質有一定的認識，並根據學生的學習需求設計多元的教學活動（偔偯偭偬偩偮偳偯偮健側倱.

(9) 偡偬倮倬倲倰倰倳）。此種教學思維可以避免學生因為教學活動不符合其學習需求而產生學習困難，並可針對已發生學習困難的學生進行適當的補救教學措施。差異化教學不把學生的差異化視為阻礙教學的因素，而視為教學的起點，教師在進行教學之前，必須先有班級乃不同興趣、不同需求之個體所組成的認知，才能設計最適合學生的教學模式（偔偯偭偬偩偮偳偯偮倬倲倰倰倱）。由以上的內容可知，差異化教學的核心概念就在「因材施教」，而目前國內最重要的教育政策－「十二年國教」所闡述的基本理念，其中第二點就是「因材. 政治大. 施教：面對不同智能、性向及興趣的學生，設置不同性質與類型的學校，透過不同的課程與分組教學方式施教」偛倲偝，足以見得差異化教學的確是目前最受到重視. 立. 的理念之一。. ‧ 國. 學. 因此，想要實施差異化教學，教師必須先了解學生的起點行為、學習背景及學習特質，而教師想了解學生上述的學習狀況，其中一個很重要的方式，就是透過測驗。透過測驗的結果，來推斷學生是否學會了某些特定的內容，以及是否具. ‧. 備相關的背景知識。. Nat. sit. y. 如果某位學生在某些題目上沒有完全答對，就表示該名學生在對應的學習內容上出現困難，也就是沒有完全學會或是不完全具有相關知識。也就是說，學生. io. al. n. 主要論點。. er. 在測驗上的錯誤，反映了他在學習上的問題或不足。這也就是「錯誤題分析」的. Ch. engchi U. v i n. 在教學現場，教師也常常利用這樣的方式來了解學生的學習狀況，但是，以往教師都需要透過批改試卷的過程，統整並判斷學生主要的錯誤題型以及學習上的困難；或者是利用在課堂上檢討考卷時，透過學生的發問，來了解學生在哪些題型上較常犯錯；當然，比較有經驗的教師，能夠依據經驗，預先推測學生比較常犯錯的題型，以及學習上比較常出現的困難。無論是哪種方法，事實上，都需要花費教師不少的時間和精力，而且透過教師主觀的判斷，也缺乏科學根據。因此，我們希望找出一種系統化的方法，能夠更有效率，也更精確的來完成錯誤題分析的工作。這個方法，就是利用電腦軟體。倲.

(10) 首先，教師在設計測驗題目時，必須先設定好每道題目所對應到的學習概念，也就是需要先具備某個學習概念，才能答對這道題目，反過來說，如果沒辦法正確答對這道題目，就表示學生在所對應的學習概念上有困難。設計好測驗的題目後，接著就要讓學生進行測驗。學生完成測驗後，將學生的測驗結果輸入到電腦中，就可以利用軟體來批改，並且統計學生的答題狀況，再搭配設計題目時，每道題目對應的學習概念，統計出參加該次測驗的學生，在不同學習概念上的學習狀況，以及最需要加強的學習概念。. 立. 政治大. 以上是差異化教學的介紹，接下來我們要介紹階層網路的相關定義及性質。. ‧ 國. 學. 1.2. 階層網路. ‧. 在圖論中，有有向圖（ Directed graph, digraph））是圖的一種，由若干的節. y. Nat. 點（偮偯偤健偳）和邊（健偤偧健偳）的集合組成，節點之間是由邊連結，且每個邊都具有. sit. 方向。偛倵倬倹倬倴偝. n. al. er. io. 而一個圖的鄰近矩陣（ Adjacency matrix））則是一個整數值矩陣，每. v i n. 行和每列都對應到節點，其中第偩列第偪行的非對角元素aij 就表示節點偩到節. Ch. U i e h n c g （偩偳偯偭偯偲偰偨偩偳偭）類的圖只存在唯一的鄰近矩陣。偛倶偝. 點偪的連結數量，第偩列第偩行的對角元素aii 則是表示點偩形成的迴圈。每一個同構. 簡單圖（ simple graph））則是一個不具有迴圈的無向圖（偵偮偤偩偲健偣側健偤偧偲偡偰偨），而且兩個不同的點（偶健偲側偩偣健偳）之間不存在超過一個邊。因此，一個有限的簡單圖的鄰近矩陣是個邏輯矩陣（偌偯偧偩偣偡偬偭偡側偲偩偸），且對角線的元素都是倰。偛倳倬倷倬倸偝而我們要討論的階層網路，則是一個簡單有向圖。也就是一個不具有迴圈的有向圖，且兩個不同的節點間不存在超過一個邊。因此，我們可以推論出，每個階層網路都唯一對應到一個鄰近矩陣，而且這個矩陣是個對角線元素皆為倰的邏輯矩陣。. 倳.

(11) 以上是階層網路的簡介，在下一節中，我們要介紹如何將階層網路應用在差異化教學上。. 1.3. 階層網路在差異化教學的應用. 根據前兩節的介紹，我們了解了差異化教學的核心概念－「因材施教」，也了解了階層網路的定義。而本次研究的主要目的，則是將階層網路應用在分析學. 政治大. 生的測驗結果，架構出學生間教與學的學習網路，依據因材施教的原則，達成差異化教學的目標。. 立. 在一個班級中，學生學習的狀況通常有很大的差異，如果能夠讓學習狀況較. ‧ 國. 學. 好的同學，來指導學習狀況較差的同學，如此一來，減少了教師講授的時間，使得學習況較差的同學，透過一對一的教學，會有較高的機率學會某些概念；學習狀況較好的同學，為了在講解時能夠說明的更清楚，也需要更理解對應的概念，. ‧. 進而在講解的過程中，教學相長，也能夠更強化自己的概念。而在教與學的過程. y. 也是最近在教育界很重視的「合作學習」概念。. io. sit. Nat. 中，也能培養學生的溝通能力，這是過去的教學方法所無法達成的。事實上，這. n. al. er. 透過分析學生的測驗結果，我們能夠了解個別學生的學習狀況，如果最後只. v i n. 用在統計全班的學習狀況上，未免有些可惜。然而，透過階層網路的概念，就可. Ch. engchi U. 以架構出學生間的教學與學習網路，進而讓學生間透過教與學的互動，來提昇彼此的學習效果。. 因此，我們的目的，就是找出最佳的教學與學習網路，使得學生在彼此的教與學活動後，學習效果有最大的提昇。接下來，我們就要詳細介紹我們的研究。在第二章中，我們針對階層網路，定義出一些名詞，並討論一些特別的性質後，再發展出一套優化網路的方法。第三章中，則是把第二章討論的階層網路，應用在實際的教學上。首先會介紹錯誤題分析的基本概念，接下來會介紹透過階層網路建立的教與學網路及教與學關係矩陣。倴.

(12) 第四章中，則是展現我們透過偐偹側偨偯偮模擬出的資料，以及利用偍偡側偬偡偢所作的相關性研究，並探討這些數據呈現出的意義。在第五章，則是說明本次研究的結論。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi U. 倵. v i n.

(13) 第二章. 階層網路的討論. 在這一章中，我們要討論階層網路的定義和性質。為了方便之後的討論，在倲倮倱中，我們要定義出相關的名詞，並討論其性質。在倲倮倲中，則是要發展出一套優化網路的方法。. 2.1. 政治大. 名詞定義及性質討論. 立. 在本節中，我們首先要定義出相關的名詞，以利之後的討論。. ‧ 國. 學. 已知Vi 倽倨vi1 , vi2 , . . . , vin 倩，其中vij ∈ 偛倰, 倱偝, i 倽倱, 倲, . . . , m, j 倽倱, 倲, . . . , n. 若 vij 倽倰，我們稱vij 為零零達成 (zero completion)。. y. sit. al. er. io. 例：. Nat. 若倰 < vij < 倱，我們稱vij 為部部份達成(partial completion)。. ‧. 定義 2.1.1 若 vij 倽倱，我們稱vij 為滿滿達成 (full completion)。. n. 令偮倽倳，設V1 倽倨倱, 倰.倵, 倰倩，. Ch. 我們稱v11 為滿達成，v12 為部份達成，v13 為零達成。. engchi U. 定義 2.1.2 令 Bi 倽倨bi1 , bi2 , . . . , bin 倩，其中   倱, if vij 倽倱 bij 倽  倰, if 倰 ≤ vij < 倱. j 倽倱, 倲, . . . , n. 我們稱 Bi 為 Vi 的二二元轉換 (Binary Transform)。例：若V1 倽倨倱, 倰.倵, 倰倩，則V1 的二元轉換B1 倽倨倱, 倰, 倰倩。定義 2.1.3 若 Bi1 和 Bi2 滿足 bi1 j 倽 bi2 j , j 倽倱, 倲, . . . , n 倶. v i n. 倨倲倮倱倩.

(14) 我們稱 Bi1 和 Bi2 二元相等 (Binary Equivalent)。定義 2.1.4 精確度 (Accuracy) A倨Bi 倩倽. Pn. j=1 bij. , i 倽倱, 倲, . . . , m. 在定義了精確度後，我們也可以定義出完全精確和零精確。定義 2.1.5 當A倨Bi 倩倽 n，我們稱Bi 為完完全精確 (Full Accuracy)。當A倨Bi 倩倽倰，我們稱Bi 為零零精確 (Zero Accuracy)。. 政治大. 偗偩偫偩偰健偤偩偡偛倱倴倬倱倰倬倱倳偝指出，在資料結構中對樹的定義是：. 立. 偁偳偡偤偡側偡偳側偲偵偣側偵偲健倬偡偬偩偮偫健偤側偲健健偩偳偡偧偲偯偵偰偯偦偮偯偤健偳倬偷偨健偲健健偡偣偨偮偯偤健. ‧ 國. 學. 偨偡偳偡偶偡偬偵健偡偮偤偡偬偩偳側偯偦偲健偦健偲健偮偣健偳側偯偯側偨健偲偮偯偤健偳倨偩側偳偣偨偩偬偤偲健偮倩倮偔偨偩偳偤偡側偡偳側偲偵偣側偵偲健偡偣側偵偡偬偬偹偤健倌偮健偳偡偤偩偲健偣側健偤偧偲偡偰偨倬偢健偣偡偵偳健偩側偭偡偹偨偡偶健偬偯偯偰偳偯偲偳健偶健偲偡偬偲健偦健偲健偮偣健偳側偯側偨健偳偡偭健偮偯偤健倬偪偵偳側偡偳偡倨偣偯偲偲偵偰側倩偬偩偮偫健偤偬偩偳側偭偡偹偨偡偶健偡偬偯偯偰倮. ‧. 偔偨偵偳側偨健偲健偩偳偡偬偳偯側偨健偲健偱偵偩偲健偭健偮側側偨偡側偮偯側偷偯偲健偦健偲健偮偣健偳偰偯偩偮側側偯側偨健偳偡偭健. y. Nat. 偮偯偤健倨側偨偡側健偡偣偨偮偯偤健偨偡偳偡側偭偯偳側偡偳偩偮偧偬健偰偡偲健偮側倬偡偮偤偩偮偦偡偣側健偸偡偣側偬偹偯偮健. 我們將以此為基準，決定在階層網路下樹的定義。. n. al. Ch. 定義 2.1.6 若 Bi1 和 Bi2 滿足：. engchi U. er. io. sit. 偰偡偲健偮側倬健偸偣健偰側偦偯偲側偨健偲偯偯側倩倬偡偮偤偡側偲健健側偨偡側偶偩偯偬偡側健偳側偨偩偳偩偳倢偣偯偲偲偵偰側倢倮. v i n. 1. 若bi1 j 倽倱, 則bi2 j 倽倱； 2. 存在k使得bi1 k 倽倰且 bi2 k 倽倱。我們稱Bi2 為Bi1 的母母節點 (parent node)，Bi1 為Bi2 的子子節點 (children node)。例：若B1 倽倨倱, 倰, 倰倩，B2 倽倨倱, 倱, 倰倩，則B2 為B1 的母節點倨偰偡偲健偮側偮偯偤健倩，B1 為B2 的子節點倨偣偨偩偬偤偲健偮偮偯偤健倩。依據母節點與子節點的定義，再配合先前完全精確與零精確的定義，我們可以得到並證明以下三個定理。倷.

(15) 定理 2.1.1 若Bi 為完全精確，則Bi 必為其他不是完全精確節點的母節點。證明：假設Bi1 為完全精確，即A倨Bi1 倩倽 n，也就是bi1 j 倽倱, ∀j 倽倱, 倲, . . . , n。 Bi2 不是完全精確，即A倨Bi2 倩 < n，也就是存在k使得bi2 k 倽倰。因此，Bi1 及Bi2 滿足：倱倮若bi2 j 倽倱倬則bi1 j 倽倱. 政治大. 倲倮存在k使得bi2 k 倽倰且 bi1 k 倽倱. 立. 即Bi1 必為Bi2 的母節點，得證。. ‧ 國. 學. 定理 2.1.2 若Bi 為零精確，則Bi 必為其他不是零精確節點的子節點。. ‧. 證明：. n. al. er. io. 因此，Bi1 及Bi2 滿足：. 倱倮若bi1 j 倽倱倬則bi2 j 倽倱. y. Bi2 不是零精確，即A倨Bi2 倩 > 倰，也就是存在k使得bi2 k 倽倱。. sit. Nat. 假設Bi1 為零精確，即A倨Bi1 倩倽倰，也就是bi1 j 倽倰, ∀j 倽倱, 倲, . . . , n。. Ch. 倲倮存在k使得bi1 k 倽倰且 bi2 k. U i e h n c g 倽倱. v i n. 即Bi1 必為Bi2 的母節點，得證。定理 2.1.3 若Bi1 為Bi2 的母節點，則A倨Bi1 倩 > A倨Bi2 倩。證明：假設Bi1 為Bi2 的母節點，且A倨Bi2 倩倽 x。因為對於所有bi2 j 倽倱倬 bi1 j 倽倱，且存在k使得bi2 k 倽倰且 bi1 k 倽倱，因此A倨Bi1 倩 ≥ x 倫倱，得證。除此之外，我們也可以得到一個重要的定理。倸.

(16) 定理 2.1.4 若Bi1 為Bi2 的母節點(parent node)，且Bi2 為Bi3 的母節點，則Bi1 必為Bi3 的母節點。證明：因為Bi1 為Bi2 的母節點，我們可以得到：倱倮若bi2 j 倽倱倬則bi1 j 倽倱；因為Bi2 為Bi3 的母節點，我們可以得到：倱倮若bi3 j 倽倱倬則bi2 j 倽倱；. 立. 政治大. 倲倮存在k1 使得bi3 k1 倽倰且 bi2 k1 倽倱。. ‧ 國. 學. 由以上三點，我們可以得到：. ‧. 倱倮若bi3 j 倽倱倬則bi1 j 倽倱；倲倮存在k1 使得bi3 k1 倽倰且 bi1 k1 倽倱。. y. Nat. n. er. io. al. sit. 也就是說，Bi1 必為Bi3 的母節點，得證。. v i n. 接下來，我們要根據母節點與子節點的定義，定義出關係矩陣。. Ch. engchi U. 定義 2.1.7 關係矩陣(Matrix of Relation). 令 Ri1 倽倨ri1 1 , ri1 2 , . . . , ri1 m 倩，i1 倽倱, 倲, . . . , m。其中   倱, 若 Bi1 是 Bi2 的子節點 ri1 i2 倽 i2 倽倱, 倲, . . . , m  倰, o.w. 我們稱 R 為關係矩陣 (Matrix of Relation)。例：若. . 倰倰倰.   R倽 倱倰倰  倱倱倰倹.     . 倨倲倮倲倩.

(17) 則表示B2 為B1 的子節點，B3 為B1 的子節點，B3 為B2 的子節點。定義 2.1.8 成功機率 (probability of success) 給定 Bi1 和 Bi2 ，且Bi1 為Bi2 的子節點。設j滿足bi1 j 倽倰且 bi2 j 倽倱。將成功機率定義為「經單獨作用後，bi1 j 倽倱」的機會，以p來表示。考慮到Bi2 的子節點個數不同，成功機率也會隨之改變，且改變的方式分成線. 政治大. 型及非線型，因此我們有了以下兩種作用轉換。. 立. 定義 2.1.9 線型作用轉換. sit. io. i1 倽倱, 倲, . . . , m j 倽倱, 倲, . . . , n. n. er. Nat. al. y. 其中nci2 表示Bi2 所有子節點的個數。定義Ai1 為Bi1 之線型作用轉換。且    倱, if bi1 j 倽倱 m ai 1 j 倽 Y   倱 − 倨倱 − pi1 i2 × bi2 j 倩, o.w.  i2 =1. Ch. 倨倲倮倳倩. ‧. ‧ 國. 學. 給定一個二元轉換Bi1 及其對應的關係矩陣R，則    p , if ri1 i2 倽倱 nci2 pi1 i2 倽 i1 倽倱, 倲, . . . , m i2 倽倱, 倲, . . . , m  倰, o.w.. engchi U. 而在非線型的部份，我們考慮的是平方轉換。. 倨倲倮倴倩. v i n. 定義 2.1.10 非線型作用轉換給定一個二元轉換Bi1 及其對應的關係矩陣R，則    p 2 , if ri1 i2 倽倱 nci2 i1 倽倱, 倲, . . . , m i2 倽倱, 倲, . . . , m pi1 i2 倽  倰, o.w.. 倨倲倮倵倩. 其中nci2 表示Bi2 所有子節點的個數。定義Ai1 為Bi1 之非線型作用轉換。且    倱, if bi1 j 倽倱 m ai 1 j 倽 Y   倱 − 倨倱 − pi1 i2 × bi2 j 倩, o.w.  i2 =1. 倱倰. i1 倽倱, 倲, . . . , m j 倽倱, 倲, . . . , n. 倨倲倮倶倩.

(18) 定義 2.1.11 進步分數(score) 給定一個二元轉換矩陣B及其對應的關係矩陣R，Ai 為Bi 之作用轉換。 m X n m X n X X 定義進步分數S(B,R)= aij − bij i=1 j=1. i=1 j=1. 以上是階層網路中常用的名詞以及性質，在下一節中，我們要討論優化網路的方法。. 2.2. 網路優化方法. 立. 政治大. 由於最原始的關係矩陣，未必能有最高的進步分數，因此我們必須建立優化. ‧ 國. 學. 網路的方法，試著提高進步分數。. 由於每個母節點的成功機率，會受到該母節點的子節點數量而影響，子節點. ‧. 數量越多，成功機率越低，尤其在非線型作用轉換下，因為子節點數量增加導致成功機率降低的幅度更為明顯，因此我們便考慮朝「減少各母節點的子節點數. sit. y. Nat. 量」的方向來進行。. er. io. 也就是說，如果Bi1 為Bi2 的母節點倨偰偡偲健偮側偮偯偤健倩，且Bi2 為Bi3 的母節點，由定理倲倮倱倮倴，我們知道Bi1 必為Bi3 的母節點，我們就可以試著移除Bi1 和Bi3 間的關係。. n. al. 而移除與否，就取決於移除之後，分數是否會提高。. Ch. v i n. U i e h n c g 在這裡，我們應用的是偔偲偡偮偳偩側偩偯偮偍偡側偲偩偣健偳的理論。. 在偒偡偬偵偣偡偔偡偮偡偳健倬偒健偭偵偳偒偡偤偵的文章中偛倱倲偝提到了在偄偩偲健偣側健偤假偲偡偰偨偳中偔偲偡偮偳偩側偩偯偮偍偡側偲偩偣健偳的方法。「偉偦偯偮健偣偡偮偷偡偬偫偦偲偯偭偮偯偤健偩側偯偮偯偤健偪偡偬偯偮偧側偨健健偤偧健偳偯偦側偨健偧偲偡偰偨側偨健偮偷健偳偡偹側偨偡側側偨健偲健偩偳偡偰偡側偨偦偲偯偭偩側偯偪倮偉偦偷健偷偡偬偫健偤偯偮偫健偤偧健偳倬側偨健偮側偨健偰偡側偨偨偡偳偬健偮偧側偨偫倮偆偯偲偭偡側偲偩偣健偳倬偷健偤健偮偯側健偢偹 Ak 側偨健偭偡側偲偩偸偯偢側偡偩偮健偤偢偹偭偵偬側偩偰偬偹倭偩偮偧偁偷偩側偨偩側偳健偬偦偫側偩偭健偳倮偔偨健健偮側偲偹偯偮偲偯偷偩倬偣偯偬偵偭偮偪偯偦 A2 倽偁·偁偣偯偲偲健偳偰偯偮偤偳側偯側偨健偮偵偭偢健偲偯偦偰偡側偨偳偯偦偬健偮偧側偨倲偦偲偯偭偮偯偤健偩側偯偮偯偤健偪偩偮側偨健偧偲偡偰偨倮」也就是說，在偄偩偲健偣側健偤假偲偡偰偨偳中，如果從點倱到點倲，從點倲到點倳，都存在存在一個路徑（偰偡側偨），則從點倱到點倳也存在一個路徑。而且我們可以透過偡偤偪偡偣健偮偣偹偭偡側偲偩偸偁，來判斷此路徑是否存在。如果Ak 的第偩列第偪行元素為倱，. 倱倱.

(19) 則表示從點偩到點偪存在一個長度為偫的路徑。應用在我們的問題上，我們可以透過檢驗關係矩陣R和Rk ，來判斷是否有可以移除的關係。若R的第偩列第偪行元素與Rk 的第偩列第偪行元素均為倱，就表示原始關係中，偩是偪的子節點，且存在偫倭倱個節點，與偩和偪形成母節點與子節點關係的連結。因此，我們可以移除偩和偪的直接關係，並計算進步分數是否上升。如果上升，就表示此種關係矩陣是較佳的關係矩陣，因此我們便要移除偩和偪的直接關. 政治大. 係；如果沒有上升，則表示此種關係矩陣並沒有達到優化的效果，我們便不移除偩和偪的直接關係。. 立. ‧ 國. 學. 而根據偔偲偡偮偳偩側偩偯偮偍偡側偲偩偣健偳的理論，我們可以設計兩種優化的方法。在此之前，我們要先定義出最大長度。. ‧. 定義 2.2.1 最大長度 (maximum length). y. al. l+1. n. 其中表示零矩陣. 0, ∀i 倽倲, 倳, . . . , l and A. 例：. Ch. engchi U. .    倱倰倱   A倽 倰倰倰    倰倰倰  倰倰倰 Ai 6倽. 0 v i n. 倽. . 倰倰倰倰倱.   倰倰    倱倱    倰倱   倰倰. 0, ∀i 倽倲, 倳 and A 倽 0 4. 因此偁的最大長度l 倽倳。假設l為偒的最大長度，優化方法有以下兩種。倱倲. sit. io. 0. Ai 6倽. er. 中l滿足. Nat. 給定一個adjacency matrix A，我們定義A的最最大長度(maximum length)為l，其.

(20) 第一種優化的方法，是從最高次開始檢驗優化，也就是先檢驗Rl ，然後依序降冪檢查Rl−1 , Rl−2 , . . . , R2 ，我們稱之為降冪優化。第二種優化的方法，是從最低次開始檢驗優化，也就是先檢驗R2 ，然後依序升冪檢查R3 , R4 , . . . , Rl ，我們稱之為升冪優化。以下將詳細說明這兩種優化的方法。定義 2.2.2 降冪優化最佳關係矩陣. 政治大. 給定一二元矩陣B及關係矩陣R，且R的最大長度為l。. 偞首先令「優化關係矩陣」R’=0，「最佳關係矩陣」R=R。. 立. i 倽倱, 倲, . . . , m j 倽倱, 倲, . . . , m. 偞偞若score(B,R’) > score(B,R)，則令 R=R’。. y. Nat. er. io. sit. 偞則R稱為B的降冪優化最佳關係矩陣。定義 2.2.3 升冪優化最佳關係矩陣. n. al. Ch. 倨倲倮倷倩. ‧. ‧ 國. 學. 對於k=l,l-1,. . . ,2   k 倰, if Rij 倽倱 and Rij 倽倱 0 Rij 倽  R 偞 ij , o.w.. 給定一二元矩陣B及關係矩陣R，且R的最大長度為l。. engchi U. v i n. 倔首先令「優化關係矩陣」R’=0，「最佳關係矩陣」R=R。對於k=2,3,. . . ,l   k 倰, if Rij 倽倱 and Rij 倽倱 0 Rij 倽  R 倔 ij , o.w.. i 倽倱, 倲, . . . , m j 倽倱, 倲, . . . , m. 倔倔若score(B,R’) > score(B,R)，則令 R=R’。倔則R稱為B的升冪優化最佳關係矩陣。. 倱倳. 倨倲倮倸倩.

(21) 第三章. 階層網路在教學上的應用. 在這一章中，我們要討論如何將階層網路應用在差異化教學上，也就是要將前一章裡階層網路的相關名詞及特性，應用在實際的問題上。我們的應用主要是透過錯誤題分析，建立學生間的教學網路，來達到差異化教學的目的。另外，也將利用階層網路的理論，優化教學網路以得到最佳的網路關係。在倳倮倱中，我們要介紹錯誤題分析的基本內涵，並階層網路的相關名詞及特. 政治大. 性，應用在錯誤題分析上。. 立. 在倳倮倲中，我們則要建立起學生間教與學網路，以及其所對應的教學關係矩陣。. ‧ 國. 學. 在倳倮倳中，我們要建立一套優化網路的方法，以及判斷優化成效的依據。. ‧. 3.1. 錯誤題分析. sit. y. Nat. io. al. er. 我們假設在某次測驗中，一共有偭位學生參加，試題共有偮題。. n. 第偩位學生的答題狀況為. Ch. engchi U. v i n. Vi 倽倨vi1 , vi2 , . . . , vin 倩, vij ∈ 偛倰, 倱偝, ∀i 倽倱, 倲, . . . , m, j 倽倱, 倲, . . . , n 若vij 為滿達成倨偦偵偬偬偣偯偭偰偬健側偩偯偮倩，也就表示第偩位學生在第偪題為「全對」。若vij 為部份達成倨偰偡偲側偩偡偬偣偯偭偰偬健側偩偯偮倩，也就表示第偩位學生在第偪題為「部分答對」。若vij 為零達成倨偺健偲偯偣偯偭偰偬健側偩偯偮倩，也就表示第偩位學生在第偪題為「全錯」。. 接下來，我們將學生的答題狀況，轉換成倰與倱組成的矩陣Bi ，也就是要計算出Vi 的二元轉換倨偂偩偮偡偲偹偔偲偡偮偳偦偯偲偭倩Bi ，以利後續的分析。若第偩位學生在第偪題中全對，則令bij 倽倱，否則，令bij 倽倰。. 倱倴.

(22) 進一步來說，若偂i 為完全精確倨偆偵偬偬偁偣偣偵偲偡偣偹倩，即表示第偩位同學此次測驗為「滿分」；若偂i 為零精確倨做健偲偯偁偣偣偵偲偡偣偹倩，即表示第偩位同學此次測驗為「零分」。若Bi1 和 Bi2 二元相等倨偂偩偮偡偲偹偅偱偵偩偶偡偬健偮側倩，就表示第i1 位學生與第i2 位學生「二元轉換後」的答題狀況完全相同。. 最後，我們要定義出學生間的教學關係，也就是判定兩位學生間是否可以存. 政治大. 在教學關係的依據。. 立. 給定兩個二元轉換Bi1 及 Bi2 ，若 Bi1 和 Bi2 滿足：. ‧ 國. 學. 倱倮若bi1 j 倽倱倬則bi2 j 倽倱；倲倮存在k使得bi1 k 倽倰且 bi2 k 倽倱。. ‧. 也就是說，第i1 位學生全對的題目，第i2 位學生必定全對；且存在第i1 位學生. sit. y. Nat. 答錯的題目，第i2 位學生全對。. al. v i n. n. 點倨偣偨偩偬偤偲健偮偮偯偤健倩。. er. io. 在階層網路中，這即表示Bi2 為Bi1 的母節點倨偰偡偲健偮側偮偯偤健倩，即Bi1 為Bi2 的子節. Ch. U i e h n c g 以成為第i 位學生的「小老師」，第i 位學生可以成為第i 位學生的「小學生」。. 應用在教學上，我們認定第i2 位學生可以教第i1 位學生，也就是第i2 位學生可 1. 1. 2. 在下一節中，我們則是要定義出小老師與小學生間的教學關係矩陣。. 3.2. 教學關係矩陣. 同樣地，我們也要依據小老師與小學生間的教學關係，定義出教學關係矩陣。. 倱倵.

(23) 定義 3.2.1 教學關係矩陣 (Matrix of Teaching) 令 Ri1 倽倨ri1 1 , ri1 2 , . . . , ri1 m 倩，i1 倽倱, 倲, . . . , m。其中   倱, 若Bi1 是Bi2 的小學生 ri1 i2 倽 i2 倽倱, 倲, . . . , m  倰, o.w.. 倨倳倮倱倩. 我們稱 R 為教學關係矩陣。而先前定義的成功機率倨偰偲偯偢偡偢偩偬偩側偹偯偦偳偵偣偣健偳偳倩，就是「經過一位小老師教學. 政治大. 後，小學生能把答錯的某一題學會」的機率。. 立. 對於某位小學生而言，某一個答錯的題目，都可能由不只一位小老師來教學，因此該位學生學會某一題的機率，應該是「經過其所有的小老師教學後，能. ‧ 國. 學. 學會該題的機率」。. 而Bi 之作用轉換Ai ，就是第偩位學生「經過其所有的小老師教學後，所有答錯. ‧. 題目的學會機率」以及「原始答對題目」組合而成的矩陣。. sit. y. Nat. 依據常理判斷，每位擔任小老師的學生在教自己的小學生時，如果小學生的. io. 教學的品質，進而降低了小學生學會的機率。. n. al. er. 總數越多，那麼他花在單一小學生上的時間和精神就會越少，當然，也就會影響. v i n. 在線型轉換中，我們假設每位擔任小老師的學生教會自己任一位小學生的機. Ch. engchi U. 率，與該位學生的小學生總數成反比。. 在非線型轉換中，我們則是假設每位擔任小老師的學生教會自己任一位小學生的機率，與該位學生的小學生總數平方成反比。. 最後，給定一個二元轉換矩陣B及其對應的教學關係矩陣R，進步分數偓倨偂倬偒倩則表示「經過所有小老師的教學後，小學生把答錯的題目學會的機率總和」。很明顯的，我們的目的就是要讓進步分數能盡量增加，也就是說，進步分數是我們判定一個關係矩陣是否良好最重要的依據。因此，我們接下來就要介紹優化網路的方法。倱倶.

(24) 3.3. 網路優化方法. 在本節中，我們要介紹優化網路的方法。假設學生倱是學生倲的小老師，學生倲是學生倳的小老師，而且學生倱也是學生倳的小老師。在這種情況下，我們就可以嘗試移除學生倱與學生倳的教學關係，因為經由這樣的優化，可以簡化整個網路，而且學生倳依舊會有小老師來進行教學。因此我們決定採用這種方法來優化教學網路。. 政治大. 有了優化的方法，我們還需要一個檢驗優化方法成效的依據。. 立. 以小學生的角度而言，當然希望小老師的數量越多越好，因為這樣可以提高自己學會的機率。但是以小老師的角度而言，就希望小學生的數量越少越好，因. ‧ 國. 學. 為小學生越多，勢必會讓花費在每一個小學生的時間和精神上都減少，也就會影響到教會每個小學生的機率。. ‧. 因此，想要優化教學網路，一昧的增加小學生的小老師數量，或是反過來減. Nat. y. 少小老師的小學生數量，都不是最佳的方法。因此，我們就必須依據「進步分. sit. 數」的高低，來當作優化網路的判斷指標。. al. er. io. 在確定的優化的方式以及判斷指標後，我們就可以持續的進行優化以及判斷. n. 的動作，以得到最佳的教學網路。. Ch. engchi U. 倱倷. v i n.

(25) 第四章. 模擬結果. 在本章中，將說明利用偐偹側偨偯偮模擬所得到的數據，以及使用偍偡側偬偡偢分析數據相關性的結果，最後則是觀察模擬數據呈現出的現象，並解釋其所代表的意義。. 4.1. 模擬數據之結果及分析. 政治大. 我們在模擬數據時，主要考慮的變項有兩個，一個是成功機率p，另一個是成. 立. 功機率的變化是線性轉換或非線性轉換。. ‧ 國. 學. 我們將學生依照答對率分為兩組，若學生答對題數大於總題數的一半，則為高分組，否則為低分組。並設定高分組成功機率p為倰倮倸，低分組成功機率p為倰倮倵。. ‧. 成功機率的變化為線型轉換時，機率為 kp ；為非線型轉換時，我們設定機率為 kp2 。無論線型轉換或非線型轉換，我們都設定成功機率的最小值為倰倮倲。. Nat. sit. y. 另外，依據班級不同的特性，區分為「偁段班」、「偂段班」、「雙峰班」、「常態班」。偁段班答對率平均約為倷倰倥；偂段班答對率平均約為倳倰倥，；雙峰班. io. al. n. 均分佈。. er. 前倵倰倥答對率平均約為倷倰倥，後倵倰倥答對率平均約為倳倰倥；常態班則是由高至低平. Ch. engchi U. v i n. 我們設定學生數為倳倰人，題目數為倲倵題，每組不同的變項組合各模擬倱倰倰筆資料。我們主要分析的數據是以下三種資料：倱倮進步分數：教學後學生能夠進步的期望值。倲倮進步比率：將進步分數除以所有答錯題目的總和。倳倮連結數量：學生之間教與學關係的總連結數。然後，分別就以上三種資料，計算出倱倰倰筆資料的平均數以及標準差，比較原始機率以及轉換類型對各個資料的影響，以及使用偍偡側偬偡偢檢定優化前後是否具有顯著差異，預設的顯著水準α 倽倰.倰倵。偛倱倱偝倱倸.

(26) 首先，我們要討論的是進步分數。表倴倮倱债模擬數據偻進步分數. 機率. 優化前平均倯標準差優化後平均倯標準差. 假設檢定. 偰倭偶偡偬偵健. 偁段班、線型轉換. 倸倮倲倵倸倹倯倶倮倹倹倶倳. 倸倮倲倸倱倷倯倷倮倰倴倲倴. 偈倽倰. 偐倽倮倹倸倱倷. 偁段班、非線型轉換. 倸倮倲倰倰倳倯倶倮倶倵倸倶. 倸倮倲倳倷倲倯倶倮倶倹倸倰. 偈倽倰. 偐倽倮倹倶倸倹. 偂段班、線型轉換. 倸倮倱倶倲倵倯倶倮倸倹倷倹. 倸倮倲倲倶倰倯倶倮倹倷倶倷. 偈倽倰. 偐倽倮倹倴倸倵. 偂段班、非線型轉換. 倷倮倳倹倱倳倯倵倮倹倰倰倶. 倷倮倴倳倹倳倯倵倮倹倳倰倴. 偈倽倰. 偐倽倮倹倵倴倳. 雙峰班、線型轉換. 倴倶倮倸倲倶倱倯倱倰倮倲倷倶倸. 倴倷倮倳倷倰倴倯倱倰倮倴倳倷倹. 偈倽倰. 偐倽倮倷倱倰倶. 倴倵倮倰倸倴倷倯倹倮倷倶倸倲. 倴倵倮倶倵倶倸倯倹倮倷倱倱倱. 偈倽倰. 偐倽倮倶倷倸倳. 常態班、線型轉換. 倶倰倮倰倷倸倯倱倮倷倲倲. 倶倲倮倱倱倶倵倯倲倮倷倵倶倰. 偈倽倱. 偐倽倲倮倰倷倱倱偅倭倰倹. 常態班、非線型轉換. 倵倹倮倹倸倸倯倮倸倷倹倸. 倶倱倮倱倹倹倵倯倲倮倶倳倴倹. 偈倽倱. 偐倽倲倮倳倸倲倱偅倭倰倴. 立. 學 ‧. ‧ 國. 雙峰班、非線型轉換. 政治大. 根據表倴倮倱的資料，可以看出以下幾個特性：. y. Nat. n. al. er. io. 進步分數來的高，且差距非常明顯。. sit. 倱倮無論優化前或優化後，雙峰班與常態班的進步分數，都比偁段班與偂段班的. v i n. 倲倮在同類型的班級中，非線型轉換的進步分數較線型轉換的進步分數高，但差距並不明顯。. Ch. engchi U. 倳倮在假設檢定α 倽倰.倰倵下，只有常態班的兩組，所得到的結果是拒絕虛無假設，也就是優化前的平均和優化後的平均是具有顯著差異的。除此之外，結果都是接受虛無假設，也就是優化前的平均和優化後的平均不具有顯著差異。也就是說，優化只有在常態班有效果。. 接下來，我們要討論的是進步比率。根據表倴倮倲的資料，可以看出以下幾個特性：. 倱倮無論優化前或優化後，雙峰班與常態班的進步比率，都比偁段班與偂段班的進步比率來的高，且差距非常明顯。倱倹.

(27) 表倴倮倲债模擬數據偻進步比率. 機率. 優化前平均倯標準差優化後平均倯標準差. 假設檢定. 偰倭偶偡偬偵健. 偁段班、線型轉換. 倮倰倳倷倰倯倮倰倳倱倳. 倮倰倳倷倲倯倮倰倳倱倶. 偈倽倰. 偐倽倮倹倸倰倹. 偁段班、非線型轉換. 倮倰倳倶倸倯倰倮倰倳倰倰. 倮倰倳倶倹倯倮倰倳倰倲. 偈倽倰. 偐倽倮倹倷倰倶. 偂段班、線型轉換. 倮倰倱倵倵倯倮倰倱倳倱. 倮倰倱倵倶倯倮倰倱倳倳. 偈倽倰. 偐倽倮倹倴倸倵. 偂段班、非線型轉換. 倮倰倱倴倰倯倮倰倱倱倲. 倮倰倱倴倱倯倮倰倱倱倳. 偈倽倰. 偐倽倮倹倵倴倴. 雙峰班、線型轉換. 倮倱倲倴倷倯倮倰倲倸倳. 倮倱倲倶倲倯倮倰倲倸倹. 偈倽倰. 偐倽倮倷倱倶倷. 雙峰班、非線型轉換. 倮倱倲倰倲倯倮倰倲倶倳. 倮倱倲倱倷倯倮倰倲倶倲. 偈倽倰. 偐倽倮倶倸倱倸. 倮倲倰倰倰倯倲倮倳倸偅倭倱倵. 倮倲倰倶倸倯倮倰倰倶倸. 偈倽倱. 偐倽倵倮倰倵偅倭倱倹. 倮倲倰倰倰倯倲倮倹倷偅倭倱倵. 倮倲倰倴倰倯倮倰倰倶倳. 偈倽倱. 偐倽倸倮倸倷偅倭倱倰. 常態班、線型轉換. 立. 學. ‧ 國. 常態班、非線型轉換. 政治大. 倲倮在同類型的班級中，非線型轉換的進步比率較線型轉換的進步比率高，但差. ‧. 距並不明顯。. sit. y. Nat. 倳倮在假設檢定α 倽倰.倰倵下，只有常態班的兩組，所得到的結果是拒絕虛無假設，也就是優化前的平均和優化後的平均是具有顯著差異的。除此之外，結. n. al. 異。也就是說，優化只有在常態班有效果。. Ch. U i e h n c g 接下來，我們要討論的是連結數量。. er. io. 果都是接受虛無假設，也就是優化前的平均和優化後的平均不具有顯著差. v i n. 根據表倴倮倳的資料，可以看出以下幾個特性：. 倱倮無論優化前或優化後，雙峰班與常態班的連結數量，都比偁段班與偂段班的連結數量來的高，且差距非常明顯。倲倮偁段班與偂段班的連結數量都非常少，雙峰班的連結數量也不多，只有常態班的連結數量較多。倳倮在假設檢定α 倽倰.倰倵下，只有常態班的兩組，所得到的結果是拒絕虛無假設，也就是優化前的平均和優化後的平均是具有顯著差異的。除此之外，結. 倲倰.

(28) 表倴倮倳债模擬數據偻連結數量. 機率. 優化前平均倯標準差優化後平均倯標準差. 假設檢定. 偰倭偶偡偬偵健. 偁段班、線型轉換. 倲倮倴倴倯倲倮倸倵倰倹. 倲倮倴倳倯倲倮倸倱倱倴. 偈倽倰. 偐倽倮倹倸倰倱. 偁段班、非線型轉換. 倲倮倵倶倯倲倮倷倷倱倹. 倲倮倵倴倯倲倮倷倲倸倲. 偈倽倰. 偐倽倮倹倵倹倰. 偂段班、線型轉換. 倲倮倸倸倯倳倮倹倵倵倰. 倲倮倸倴倯倳倮倸倷倸倸. 偈倽倰. 偐倽倮倹倴倲倵. 偂段班、非線型轉換. 倲倮倸倰倯倴倮倱倴倱倴. 倲倮倷倶倯倳倮倹倹倲倷. 偈倽倰. 偐倽倮倹倴倴倶. 雙峰班、線型轉換. 倲倲倮倱倶倯倷倮倹倹倹倶. 倲倱倮倴倷倯倷倮倳倴倷倷. 偈倽倰. 偐倽倮倵倲倶倰. 雙峰班、非線型轉換. 倲倴倮倲倷倯倷倮倹倸倰倹. 倲倳倮倶倵倯倷倮倵倱倳倵. 偈倽倰. 偐倽倮倵倷倲倳. 倲倱倰倮倴倵倯倱倴倮倰倲倶倹. 倱倱倱倮倷倸倯倳倰倮倶倴倵倴. 偈倽倱. 偐倽倷倮倲倷偅倭倷倴. 倲倰倷倮倹倳倯倱倳倮倵倳倲倸. 倱倴倴倮倴倰倯倵倴倮倶倷倶倵. 偈倽倱. 偐倽倴倮倱倶偅倭倲倳. 常態班、線型轉換. 立. 學. ‧ 國. 常態班、非線型轉換. 政治大. 果都是接受虛無假設，也就是優化前的平均和優化後的平均不具有顯著差. ‧. 異。也就是說，優化只有在常態班有效果。. y. Nat. er. io. sit. 綜合以上三種資料的分析結果，我們可以得到以下的結論：. 倱倮在偁段班與偂段班中，由於學生同質性太高，因此不容易形成師生間的關係. n. al. v i n. 連結，導致連結數量非常少；雙峰班由於有程度較好與程度較差的兩組，所. Ch. engchi U. 以連結數量較多，但連結數量最多的還是常態班，因為學生的程度差異較大，因此叫容易形成師生間的連結關係。. 倲倮根據上一點，也可以推論偁段班與偂段班的進步分數與進步比率最低，雙峰班較高一些，而常態班最高的現象。因為若沒有形成師生間的關係連結，進步分數也沒有辦法提昇。倳倮我們的優化方法，只有在常態班裡有效果，這同樣可由上面的結果推得。因為如果原始的關係連結就很少，我們利用移除連結使分數進步的優化方法，就無法得到好的效果。倴倮我們的教學網路以及優化方法，在學生異質性高的班級中，可以得到較佳的效果。. 倲倱.

(29) 第五章. 結論. 由本論文的研究及模擬數據可以發現，在常態分佈的班級中，根據學生測驗的結果，再經由階層網路的分析所產生的教與學網路，透過這種網路使學生互相進行教與學活動後，學生的確能夠把部份未完全答對的題目學會。而經由本論文設計的優化方法，的確也能有效減低學生間的連結數量，並增加學會的機率。. 政治大. 透過這樣教與學網路的建立，可以讓每位學生知道有哪些同學可以成為他的. 立. 小老師，並且可以從自己小老師名單中，挑選最適合自己的一位，來進行教學活動。這也就達到了差異化教學的目的。. ‧ 國. 學. 當然，本論文的研究及模擬僅止於理論上的討論，未來若要再進一步研究，可以在教學現場實際操作，相信會有更貼近真實狀況的數據，也能夠做進一步的. ‧. 理論修正。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi U. 倲倲. v i n.

(30) 參考文獻偛倱偝教育部倮差異化教學倭補充資料倮偛偯偮偬偩偮健偝 163.22.185.1/school/data/pub/ 201307121552064.pdf倮偛倲偝教育部十二年國民基本教育網站倮十二年國民基本教育倭參、理念與目標倮偛偯偮偬偩偮健偝 http://12basic.edu.tw/Detail.php?LevelNo=43倮. 政治大. 偛倳偝偖倮偋倮偂偡偬偡偫偲偩偳偨偮偡偮倮 Graph Theory倮偍偣假偲偡偷倭偈偩偬偬倬倌偲偳側健偤偩側偩偯偮倬倱倹倹倷倮偛倴偝偕倮偓倮偒倮偂偯偮偤偹倬偊偯偨偮偁偤偲偩偡偮倻偍偵偲側偹倮 Graph Theory with Applications倮偎偯偲側偨倭. 立. 偈偯偬偬偡偮偤倬倱倹倷倶倮. ‧ 國. 學. 偛倵偝偒健偩偮偨偡偲偤偄偩健偳側健偬倮 Graph Theory倮偓偰偲偩偮偧健偲倬側偨偩偲偤健偤偩側偩偯偮倬倲倰倰倵倮偛倶偝偃偨偲偩偳假偯偤偳偩偬偡偮偤假偯偲偤偯偮偒偯偹偬健倮 Algebraic Graph Theory倮偓偰偲偩偮偧健偲倬倲倰倰倱倮. ‧. 偛倷偝偊偯偮偡側偨偡偮偌倮假偲偯偳偳偡偮偤偊偡偹偙健偬偬健偮倮 Graph Theory and Its Applications倮偃偒偃. sit. y. Nat. 偐偲健偳偳倬倱倹倹倸倮. io. al. er. 偛倸偝偆偲偡偮偫偈偡偲偡偲偹倮 Graph Theory倮偁偤偤偩偳偯偮偗健偳偬健偹偐偵偢偬偩偳偨偩偮偧偃偯偭偰偡偮偹倬倱倹倹倵倮偛倹偝偆偲偡偮偫偈偡偲偡偲偹倬偒偯偢健偲側做倮偎偯偲偭偡偮倬偡偮偤偄偯偲偷偩偮偃偡偲側偷偲偩偧偨側倮 Structural Models:. n. v i n. Ch. An Introduction to the Theory of Directed Graphs倮偗偩偬健偹倬偎健偷偙偯偲偫倬倱倹倸倵倮. U i e h n c g 偛倱倰偝偄偯偮偡偬偤偋偮偵側偨倮 The Art of Computer Programming: Fundamental Algorithms倮偁偤偤偩偳偯偮倭偗健偳偬健偹倬側偨偩偲偤健偤偩側偩偯偮倬倱倹倹倷倮偛倱倱偝偍偡側偨偗偯偲偫偳倮. 偔偷偯倭偳偡偭偰偬健側倭側健偳側倭偭偡側偬偡偢側側健偳側倲倮. 偛偯偮偬偩偮健偝 http://www.. mathworks.com/help/stats/ttest2.html倮偛倱倲偝偒健偭偵偳偒偡偤偵偒偡偬偵偣偡偔偡偮偡偳健倮偄偩偲健偣側健偤偧偲偡偰偨偳倭側偲偡偮偳偩側偩偯偮偭偡側偲偩偣健偳倮偛偯偮偬偩偮健偝 http://www.math.cornell.edu/~mec/Winter2009/RalucaRemus/Lecture2/ lecture2.html倮偛倱倳偝偒偯偮偡偬偤偌倮偒偩偶健偳側偔偨偯偭偡偳偈倮偃偯偲偭健偮倬偃偨偡偲偬健偳偅倮偌健偩偳健偲偳偯偮偡偮偤偃偬偩個偯偲偤偓側健偩偮倮 Introduction to Algorithms倮偍偉偔偐偲健偳偳偡偮偤偍偣假偲偡偷倭偈偩偬偬倬偳健偣偯偮偤健偤偩側偩偯偮倬倲倰倰倱倮. 倲倳.

(31) 偛倱倴偝偗偩偫偩偰健偤偩偡倮偔偲健健倨偤偡側偡偳側偲偵偣側偵偲健倩倬倲倰倱倳倮偛偯偮偬偩偮健偝 https://en.wikipedia.org/ wiki/Tree_(data_structure)倮. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi U. 倲倴. v i n.

(32) 附錄 Python程程式碼. import numpy as np import numpy.random as rn. 政治大. #original score & rate function def original(B,R):. 立. m,n = B.shape. ‧ 國. 學. Adj= B.copy()#教學過後的期望矩陣. ‧. P=np.zeros(m)#機率矩陣 for i in range(m):. Nat. if B[i].sum()>(1.0*n)/2:. io. v i n. n. al. er. P[i]=max(0.2,0.8/(R[:,i].sum()**2)). else:. sit. y. if R[:,i].sum()>0:. Ch. U i e h n c g #線型：p/(R[:,i].sum());非線型：p/(R[:,i].sum()**2) P[i]=max(0.2,0.5/(R[:,i].sum()**2)). else: P[i]=0 for i in range(m): for k in range(n): if B[i,k]==0:#i學生的第k題錯了 Adj[i,k]=1 for j in range(m): if R[i,j]==1 and B[j,k]==1: Adj[i,k]=(1-P[j])*Adj[i,k] if R[i].sum()>0: 倲倵.

(33) Adj[i,k]=max(0.2,(1-Adj[i,k])/R[i].sum()) else: Adj[i,k]=0. score=Adj.sum()-B.sum()#進步分數 rate= score/(m*n-B.sum())#進步比率 TotalR= R.sum()#連結數量 return score, rate, TotalR. 政治大. 立. #最佳化網路函式升冪. ‧ 國. 學. def best_networklow(B,R): BR=R.copy(). Bscore=original(B,R)[0]. ‧. #計算R要自乘幾次(t)才能成為零矩陣. y. Nat. io. er. t=0. sit. R0=R.copy(). for i in range(m):. al. n R0=R0*R t+=1. Ch. if R0.sum()==0:. engchi U. break. R1=R.copy() for k in range(1,t): R2=R1**(k+1)#降冪(t-k)、升冪(k+1) for i in range(m): for j in range(m): if R1[i,j]>0 and R2[i,j]>0: R1[i,j]=0. 倲倶. v i n.

(34) if original(B,R1)[0]>Bscore:. Bscore=original(B,R1)[0] BR=R1.copy(). Brate= Bscore/(m*n-B.sum()) TotalR= BR.sum() return (Bscore, Brate, TotalR). 政治大. 立. #最佳化網路函式降冪. ‧ 國. 學. def best_networkhigh(B,R): BR=R.copy(). Bscore=original(B,R)[0]. ‧. #計算R要自乘幾次(t)才能成為零矩陣. y. Nat. io. er. t=0. sit. R0=R.copy(). for i in range(m):. al. n R0=R0*R t+=1. Ch. if R0.sum()==0:. engchi U. break. R1=R.copy() for k in range(1,t): R2=R1**(t-k+1)#降冪(t-k+1)、升冪(k+1) for i in range(m): for j in range(m): if R1[i,j]>0 and R2[i,j]>0: R1[i,j]=0. 倲倷. v i n.

(35) if original(B,R1)[0]>Bscore:. Bscore=original(B,R1)[0] BR=R1.copy(). Brate= Bscore/(m*n-B.sum()) TotalR= BR.sum() return (Bscore, Brate, TotalR). 政治大. 立. #隨機矩陣. ‧ 國. 學. def random_matrix(m,n): A=np.mat(np.zeros((m, n))) for i in range(m):. ‧. for j in range(n):. Nat. y. if i<(1.0*m)/2:. else:. io. a=rn.normal(0.3,0.1). n. al. #a = (1.0/n)*(m-i). Ch. k=rn.random() if(k<a):. engchi U. A[i,j]=1 return A. times=100#模擬次數. BS_o=list() BS_l=list() BS_h=list() BR_o=list() 倲倸. er. sit. a=rn.normal(0.7,0.1). v i n.

(36) BR_l=list() BR_h=list() Brn_o=list() Brn_l=list() Brn_h=list() for time in range(times): B=random_matrix(30,25) m,n = B.shape#學生數、題數. 政治大. 立. R=np.mat(np.zeros((m, m))) #關係矩陣. ‧ 國. 學. for i in range(m): for j in range(m): if B[i].sum()<B[j].sum():. ‧. flag = 1. if B[i,k]==1 and B[j,k]==0:. sit. Nat. y. for k in range(n):. flag = 0. er. io. if flag ==1:. n. aR[i,j] v i l C=1 else: hengchi Un R[i,j]=0. BS_o.append(original(B,R)[0]) BS_l.append(best_networklow(B,R)[0]) BS_h.append(best_networkhigh(B,R)[0]) BR_o.append(original(B,R)[1]) BR_l.append(best_networklow(B,R)[1]) BR_h.append(best_networkhigh(B,R)[1]) Brn_o.append(original(B,R)[2]) Brn_l.append(best_networklow(B,R)[2]) Brn_h.append(best_networkhigh(B,R)[2]) 倲倹.

(37) print("Best score original:\n%s \n" % BS_o) print("Best score low:\n%s \n" % BS_l) print("Best score high:\n%s \n" % BS_h) print("Best rate original:\n%s \n" % BR_o) print("Best rate low:\n%s \n" % BR_l) print("Best rate high:\n%s \n" % BR_h) print("Best realtion number original:\n%s \n" % Brn_o). 政治大. print("Best realtion number low:\n%s \n" % Brn_l). print("Best realtion number high:\n%s \n" % Brn_h). 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi U. 倳倰. v i n.

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