臺中縣市國小四年級學童分數概念表現情形

國立臺中教育大學數學教育學系

國小教師在職進修教學碩士班碩士論文

指導教授：胡豐榮 博士

鄭博文 博士

臺中縣市國小四年級學童分數概念

表現情形

研 究 生：李淑婷 撰

中 華 民 國 一 { { 年 六 月

謝 辭

感謝指導教授胡豐榮老師、鄭博文老師兩年來悉心的指導，讓我得 以順利的完成論文；也感謝口試委員辛俊德老師、許天維老師、鄭裕篤 老師給予論文修改上的建議，謝謝老師們的辛苦與付出。 感謝呂玉琴教授願意提供測量工具讓我使用。雖然我不是您的學 生，也未曾和您碰過面，您卻願意花時間看過我的題目並在電話中給予 試題上的建議與修正，並教導我從事研究應有的態度，由衷的感謝您， 謝謝！ 感謝大學同學同時也是同事的佳芸，在我考上研究所之後，從找指 導教授開始、這兩年當中的課業問題、到論文的生產，一直的麻煩你， 而你也不斷的提供意見給我。尤其是每當電腦又出狀況時，你總是會伸 出援手解救；遇到瓶頸與不順利時，也能聽得到你的安慰。讓我在這個 階段有一個很好的依靠，好友，謝啦！ 謝謝同班同學們，這兩年大家一起焦慮、一起歡笑、一同分享，能 和你們當同學，我真的覺得很開心！ 謝謝思均、大小成、小華、兆軒、阿榮、殷誠，這段時間我的紓壓 你們功不可沒。 最後，謝謝我的家人，在背後默默的支持與鼓勵！ 李淑婷 謹誌 中華民國一百年六月

摘 要

本研究以分數概念測驗試題進行施測，將分數概念分為四個部份，分 別是：等分分數、單位分數、等值分數、單位量。將研究結果進行量化分 析，探討臺中縣市國小四年級學童在分數概念表現情形。 本研究結果如下： 一、學童判斷等分問題時，不了解分數符號所代表「平分」的意義。 二、學童回答分數問題時，易根據分子或分母數值回答。 三、學童在比較分數大小時，易根據分母的數值來判斷。 四、四年級學童在單位分數概念表現最好，等值分數概念最差。 五、臺中市學童以單位分數問題表現最好，等值分數表現最差；臺中縣學 童以等分概念、單位分數表現較好，以單位量表現較差。 六、單位分數、單位量概念，臺中市學童表現的比臺中縣學童好。等分分 數、等值分數，臺中市學童和臺中縣學童表現沒有明顯不同。 關鍵字：等分分數、單位分數、等值分數、單位量

Abstract

The study is to investigate the fourth-graders’ understanding of equal-sharing, unit fraction, equivalence fraction and unit quantity in Taichung City and Taichung County.

The conclusions are as follows：

1.When solving the problems of equal-sharing, they do not understand the meaning of equal-sharing.

2.When answering the questions of fraction, they tend to judge directly from the numbers of numerator or denominator.

3.When comparing many fractions, students may judge from the numbers of denominators.

4.For the fourth-graders, they are doing the best in the concept of unit fraction. And, the performance is the worst when dealing with equivalence fraction problems.

5.The performance of Taichung City students are the best in the concept of unit fractions and the worst in the equivalence fraction problems, while the performance of Taichung County students are the best in equal-sharing and unit fraction problems and the worst in the concept unit quantity.

6.When they are solving problems of unit fraction and unit quantity, the performance of Taichung City students are better than that of Taichung County students. When doing equal-sharing and equivalence fraction problems, there is no significant difference between students from the two groups.

目 次

第一章 緒論

... .1 第一節 研究動機...1 第二節 研究目的………...2 第三節 名詞釋譯………...3 第四節 教材分析……… ..5 第五節 研究限制………...7

第二章 文獻探討

………..…….. 9 第一節 分數的意義………. ……….9 第二節 分數的表徵……….11 第三節 分數概念的發展……….13 第四節 分數相關概念之實徵性研究……….15

第三章 研究方法

……….………..27 第一節 研究架構……….27 第二節 研究對象……….28 第三節 研究工具……….28

第四章 研究結果與討論

………..……….35 第一節 臺中市國小四年級學童分數概念表現情形…………...…..35 第二節 臺中縣國小四年級學童分數概念表現情形………...47 第三節 比較臺中縣市國小四年級學童分數概念表現情形……...58

第五章 結論與建議

………..…………...63 第一節 結論……….…63 第二節 建議……….…65

參考文獻

……….….…...67

附錄一 正式施測工具

……….……….……..71

表 次

表3-1 研究對象有效樣本數………..……..……..28 表3-2 預試試題高低分組過率及難度分析………..…...….…30 表3-3 預試試題高低分組過率及鑑別度分析………..…....……31 表3-4 預試試題 Pearson 相關值………..…..…..…32 表3-5 預試試題難度、鑑別度、相關………..…....………33 表3-6 試題雙向細目分析表……….…...…..…34 表4-1 臺中市學童等分概念題型作答百分比統計表………..……36 表4-2 臺中市學童等分題型答題統計表………....…..……37 表4-3 臺中市學童單位分數題型作答百分比統計表………..…38 表4-4 臺中市學童單位分數題型答題統計表……….…………...…..…40 表4-5 臺中市學童等值分數題型作答百分比統計表………..…41 表4-6 臺中市學童等值分數題型答題統計表………..……43 表4-7 臺中市學童單位量題型作答百分比統計表……….….44 表4-8 臺中市學童單位量題型答題統計表………...46 表4-9 臺中縣學童等分概念題型作答百分比統計表………..47 表4-10 臺中縣學童等分題型答題統計表………..……..…49 表4-11 臺中縣學童單位分數題型作答百分比統計表…………..…..…49 表4-12 臺中縣學童單位分數題型答題統計表………..………..…51 表4-13 臺中縣學童等值分數題型作答百分比統計表………....…52 表4-14 臺中縣學童等值分數題型答題統計表………....…54 表4-15 臺中縣學童單位量題型作答百分比統計表………..…..…55 表4-16 臺中縣學童單位量題型答題統計表………..………..…57 表4-17 臺中縣市學童等分題型答題統計表………..……..…58 表4-18 臺中縣市學童等分概念獨立樣本 t 檢定摘要表…………...…58

表4-19 臺中縣市學童單位分數題型答題統計表………59 表4-20 臺中縣市學童單位分數獨立樣本 t 檢定摘要表………...……59 表4-21 臺中縣市學童等值分數題型答題統計表………...…………...60 表4-22 臺中縣市學童等值分數獨立樣本 t 檢定摘要表………...……60 表4-23 臺中縣市學童單位量題型答題統計表………...…………...…60 表4-24 臺中縣市學童單位量獨立樣本 t 檢定摘要表………...………61

圖 次

圖2-1 平分成相同份數但不等量……….………….…..17 圖2-2 正確的 3 1 ……….……….…..…17 圖2-3 錯誤的 3 1 ………..…...…18 圖2-4 圈出的部份佔多少？…………...………...….…...23 圖2-5 學童將圖形的 2 1 塗上顏色……….……...…23 圖2-6 塗上顏色的部份是佔多少……….…...….23 圖2-7 學童回答將圖形塗上 4 2 ……….………….…….…...24 圖2-8 學童回答將圖形塗上 3 1 ……….………...….…...…24 圖2-9 學童回答圈出圖形的 3 1 ……….…...……....…25 圖3-1 研究架構圖………27

第一章 緒論

本章主要在說明研究動機、研究目的，且針對研究中會運用到的名詞做釋 義，並進行教材分析，最後的部份則是此研究的運用限制。

第一節 研究動機

根據國民中小學九年一貫課程綱要，可得知分數概念涵蓋範圍非常廣，應 用也很廣泛，包括平分、測量、比例、比率、比值、部分/全體等概念，可見得 分數和許多數學重要的概念關聯非常密切，而這些包含的部份都是學生所必須 要學習到的概念。數學的概念是彼此相通的，所以當學生對分數有了基本的認 知之後，才能發展其他以分數為基礎的相關概念。 學習分數的重要性可以從以下幾位學者的研究中看出： 劉秋木(1996)認為：在國小數學學習階段，分數是頂石，但也是往後學習的 基石。同時他也提到，因著分數應用的不同，而有其不同的意義，因此在教學 上有一定程度的複雜度和難度，所以要讓學生能夠理解分數，運用在生活情境 中來解決生活問題就顯得相當重要。

Behr, Lesh, Post and Silver(1983)的研究強調分數的重要，認為學生建立良好 分數概念，更能處理日常生活中的問題；且幫助學童發展智能及理解其他數學 相關概念(楊瑞智，2000；劉祥通，2004)。 呂玉琴(1991a)指出，運用不同的分數概念用到的認知結構也就不同，因此， 學童欲發展完備的分數相關概念時，整個的學習過程是需要花時間以及付出努 力的。 劉祥通(2004)說到分數概念用了不同的形式「存在」在分數問題中的不同面 向裡，雖是如此，這些概念間仍然是彼此相關的。由此可知，分數看似只是一

個獨立的單元，但卻是有其舉足輕重的地位存在數學當中，並且其概念有相當 的聯繫性存在。 再進而分析九年一貫數學學習領域的能力指標，第二階段(國小四、五年級) 關於分數的能力指標，在數與量主題中佔有相當份量，可見得分數的學習在這 階段的重要。 雖然分數概念佔據國民小學階段數學課程中這麼重要的部份，但是學生在 學習數學過程中，第一次碰到兩個整數並置的情形，學生要能熟悉分數計算， 仰賴對整數的精熟；但整數的計算經驗卻又會干擾分數的學習(教育部，2003)。 學生在學習分數時，需要重新建構複雜的數結構(劉祥通，2004)，以及就如 Kieren(1988)所認為的，分數和整數用到的心像圖不同(鄭振初，2006)，因此有 不少研究者認為學習分數困難的地方是在於學童不能運用已經學會的「數數」 方法來學習(引自鄭振初，2006)。因此在小學數學的課程中，不僅是學生面臨到 最大的學習挑戰，而且也是老師在教學上最具挑戰性的主題---「分數」。 因此可以見得，學習分數的重要性及其困難。 研究顯示，學生在做數學題時會盡量不使用到分數來求解(引自呂玉琴， 1991)，確實在教學經驗過程中，發現學生對於分數的學習比學習其他數學概念 還要感到困難、陌生，並且學習成就普遍低落，尤其是在具體到抽象的這一段 過程中，學生更覺徬徨。

第二節 研究目的

分數單元佔據數學領域如此重要的地位，且學生將分數學習好確實不容 易。Behr, Lesh, Post and Silver(1983)指出切割、辨別單位量與等價是了解分數的 基本思考工具(引自劉祥通，2004)。有鑒於此，研究者將探討學習分數的開始-真分數，其包含四個概念：等分、單位分數、單位量、等值分數，研究學生在

分數學習的一開始，是否掌握基本的概念，為往後學習的基礎，並比較學生學 習分數是否因不同的地區而其表現有所不同。希望老師在教學上注意兒童是否 發展了這些必要的概念，在設計活動上，能著重學生基本概念的建立而有所助 益。 基於上述，本研究的目的如下： 一、探討不同地區學童在分數概念的表現情形 1.研究臺中市國小四年級學童在分數概念的表現情形。 2.研究臺中縣國小四年級學童在分數概念的表現情形。 3.比較臺中市和臺中縣國小四年級學童在分數概念的表現情形。 二、探討國小四年級學童在不同分數概念表現情形 1.研究學童在等分概念表現情形。 2.研究學童在單位分數表現情形。 3.研究學童在等值分數表現情形。 4.研究學童在單位量表現情形。

第三節 名詞釋義

(一)國小四年級學童 指的是九十六學年度入學之學齡兒童，在民國九十九學年度是國民小學四 年級學生，所接受的數學教科書是以教育部公布之民國九十二年版「國民中小 學九年一貫課程綱要-數學學習領域」為依據。 (二)分數概念 分數涵蓋很多意義，本研究針對真分數之等分、等值分數、單位量、單位 分數四個概念來探討。 (三)等值分數

一種獲得等值分數的方法是，將東西分割後，幾塊看成是一份，就可獲得 一個新的分數，得到的分數值和原來的分數值相等，這兩個分數就是互為等值 分數(引自呂玉琴等，2009)。例如：一個蛋糕平分成 8 塊，其中的 4 塊是 8 4 個蛋 糕；如果把兩塊看成是一份，全部的8 塊就是 4 份，每 2 塊就是一份 ，4 塊是 2 份，也就是 4 2 個，所以 8 4 和 4 2 是等值的。 另一個獲得的方法是將東西分割之後，得到的每一塊再分割，所得到的新 分數和原分數的值相等，這兩個分數就是互為等值分數(引自呂玉琴等，2009)。 例如：一個蛋糕平分成8 塊，其中的 4 塊是 8 4 個蛋糕，再將每一塊平分成兩小塊， 全部的八塊變成十六塊，四塊變成八塊，所以 8 4 和 16 8 等值。但若基準單位量不 同，單位分量的大小就會不一樣，則 8 4 和 4 2 這兩個分數不見得一定會相等。 (四)等分 將所給的離散量或連續量分成每一個部份都一樣大、一樣多(引自呂玉琴 等，2009)。連續量的問題情境，通常是利用幾何圖形來做分割活動，例如；一 個圓平分成八份，每一份是 8 1 個圓。離散量的問題情境，是以集聚單位為單位量 來做細分活動，例如：一袋彈珠有六顆，平分給三個人，每個人得到 3 1 袋。 (五)單位量

是分數概念之下的一個子概念(Behr, Wachsmuth, post,1988)。將一個給予的 量分割，分割後的一部份和原來的量做比較，這原來的量就是單位量(引自呂玉 琴等，2009)。例如：一顆蘋果平分成 3 份，當我們說到 3 1 顆蘋果時，一顆蘋果 就是單位量。 (六)單位分數 簡單的來說，分母是大於1 的正整數，分子是 1，這樣的分數稱為單位分數

(引自呂玉琴等，2009)。本研究探討的概念是用分數符號表示單位分數，其內容 物為一個或不只一個個物。例如：一個蛋糕平分成4 份，其中一份蛋糕是幾個。 (七)連續量 要找出指定分數的部分量時，需將物件作人為切割或者是透過測量才能得 到指定的量為連續量，具有稠密性(引自呂玉琴等，2009)。例如：將一個披薩切 成相等的4 塊。 (八)離散量 物件呈現離散的狀態，每個物件是獨立的呈現，是利用「數數」的方式， 一個一個的數算獨立物件找出指定的量而獲得結果，不需經由切割，這樣的物 件就是離散量(引自呂玉琴等，2009)。例如一包糖果有 6 顆， 3 1 包有幾顆？將糖 果一顆一顆的分配，就可以找到 3 1 包糖果有2 顆。

第四節 教材分析

本節就九年一貫數學領域課程綱要分析國小二到四年級分數單元內容。 根據教育部九年一貫數學課程綱要，在國民小學的階段，劃分為三階段的目 標：第一階段(一至三年級)能掌握數、量、形的概念；第二階段(四至五年級)能熟 練非負整數的四則與混合計算，培養流暢的數字感；在小學畢業前，能熟練小數 與分數的四則計算、能利用常用數量關係，解決日常生活的問題、能認識簡單幾 何形體的幾何性質、並理解其面積與體積公式、能報讀簡單統計圖形並理解其概 念。而分數的學習，是屬於數與量的部份，是其四大子題「整數」、「量與實測」、 「有理數」和「估算」裡的「有理數」部分。分數課程的安排則是自二年級開始 編入學習。茲按照年級來區分，國小二至四年級所要達成的目標如下： 一、國小二年級 2-n-10 能在平分的情境中，認識分母在 12 以內的單位分數，並比較不同單

位分數的大小。 在二年級對於分數教學重點有下列幾項：1.利用學生對公平及平分的直覺， 從比較容易的對分(一半)、對分再對分(四分之ㄧ)開始；2.先從 2 1 、 4 1 、 8 1 等 較容易平分的量開始學習，然後再學習 3 1 、 5 1 、…、 12 1 等一般分母的單位分 數。3.學會分數的說法，並知道該分數代表的意義；4.運用推理來得知分數的 大小。 二、國小三年級： 3-n-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問 題。 三年級的教學重點為：1.藉由具體情境或活動來掌握分數的概念，學會分數 的記號並理解運用分數記號來記錄同分母分數的比較與加減的方式。(不限於真分 數)；2.運用連續量與離散量的情境學會平分，並能說明分子、分母的意義；3.比 較同分母分數的大小；4.了解部分與全體的關係。 三、國小四年級 4-n-06 能在平分情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。 4-n-07 能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數的互換，並進 行同分母分數的比較、加、減與非帶分數的整數倍的計算。 4-n-08 能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分數與 小數的互換。 四年級的教學重點：1.此時進入到分數教學的重要課題就是理解分數的「整 數相除」意涵，先學習比較簡單的等分除的平分情境，包含出現有餘數與無餘數 的情況，而包含除的測量情境待進入五年級再學習；2.在同分母的情形之下，利 用單位分數的點數，與整數的計算完全連結；3.認識真分數、假分數、帶分數的 意義並學會轉換，理解分子除以分母的商與餘數的關係，並學會之間的加減運 算；4.以常用的 2、4、5、8、10、100 或 1000 為分母的分數，來理解等值分數的

概念。

第五節 研究限制

一、本研究是在探討四年級學生真分數之等分、等值分數，單位量、單位 分數四個概念的認知，受限於個人能力、時間之限制，研究範圍只以抽樣臺中 市四個國小共四個班級和臺中縣三個國小共四個班級為範圍，在推論方面有所 限制，因此不宜做過多的推論。 二、研究工具：研究用的試卷為研究者根據教育部公佈之國民中小學九年 一貫數學學習領域綱要在低、中年級學童應學習的能力指標，並改編呂玉琴教 授等人(2009)編製之試題，可能因主觀因素而有所影響，故在推論方面有所限制。

第二章 文獻探討

第一節 分數的意義

欲了解分數，首先就「分數」字面上的意義來看：分數一詞是起源於拉丁 文，有「分開」的意思(羅鴻翔譯，Heddeus，1980)。 探究分數的起源，係來自分東西時，當東西無法以原來的型態分配時，就 要透過切割東西來分配(呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩，2009)。羅鴻翔(1980) 也提到，分數是用來解決整數無法解決的問題。甯自強(1995)則更進一步說明： 分數在解決確定不滿一個單位量的量底數值問題(引自甯自強，1995)。 而關於分數的定義，學者也都提出了看法： Russel 認為分數 n m 的定義：當xn=ym 時，存在 x 與 y 之關係， n m 的關係是 一對一的，而且m 與 n 都不為 0(引自劉秋木，民 85)。 楊瑞智(2000)分析國小數學教材有關分數的問題情境，得出國小分數教材概 念的意義有：1.部分/全體；2.子集/集合；3.乘法運算元；4.對同一量，用不同分 數表示；5.整數相除結果；6.數線上一點；7.平均；8.相當的意義；9.比率；10. 機率。 呂玉琴等人(2009)將分數概念的意義分為六種： 1.部份/全部(這是分數一開始的涵義)：指的是一個連續量的物品等分後的幾 部分。 2.子集/集合：指的是一個離散量的物品等分後的幾部分。 3.商的意義：兩數相除。 4.數的意義：數線上一點代表的數。 5.比的意義：它是兩個集合(離散量)或兩量(連續量)比較的結果。 6.運算子的意義：可視為是一種操作或函數。

林碧珍(1990)定義分數為： 1.部分/整體模式：某區域的一部分，為連續量。 2.子集合/集合模式：集合中的部分集合，為離散量。 3.數線模式：數線上的一個數值。 4.商模式：整數相除的結果。 5.比值模式：相比的結果。 劉祥通(2004)認為分數概念是一種過程概念。他提出一個分數符號有多重的 意義： 1.部分占整體的量。舉例說明，例如分數 5 4 ，表示1 個物件等分成 5 份，拿 出其中4 份的量。 2.代表二量之間的比值。 3.測量。 4.一種轉換的結果，放大了 4 倍又縮小 5 1 倍。 接下來我們看在數學課程標準裡，對分數下的定義： 首先是八十二年版數學課程標準： 1.操作：在具體物上進行「分的活動」，重視操作模型與分數符號之聯結。 2.部分/全部：包含連續量與離散量之情境。 3.數線上的數值。 4.整數相除的結果。 5.比或比值。 6.表示量的大小。 接著是教育部九十二年頒布的國民中小學數學課程綱要數學學習領域中關 於有理數的涵義：

1.平分的意涵： 藉由學生在生活中與人相處時，所發展出的公平感，以此來引入分數「平 分」、「公平」的概念及化解學習上的認知衝突比較容易，也可以提高學生的理 解度。 2.測量的意涵； 低年級的教材裡引入了長度的測量，在用個別單位度量時，可以藉由剩下 的部分「餘數」，來發展小數與分數概念。其中測量和測量單位的強調，可以調 和「部分/全體」的意涵與帶分數認知衝突。 3.比例的意涵： 比的原理，是一種平分方式，因此學生容易接受。利用比的方式可以幫助 學生解題，而比值概念則可以幫助學生解決關於比例問題。 4.部分/全體的意涵： 部分/全體是在分數學習上一個很重要的概念，但由於學生深受到學習真分 數的影響，在學習假分數或帶分數就會產生阻礙，此時，藉由單位的強調來解 決學生產生的認知衝突。 從探討上述文獻可以得知，分數的概念和數學的其他相關單元，彼此的概 念是互相牽繫的。而隨著分數各種不同的應用情境，其意義與思考類型就不同， 但仍有其相關(甯自強，1993；楊瑞智，2000)。

第二節 分數的表徵

由於分數的概念是很抽象的，所以表徵系統就顯得很重要，並且在運思概 念中被大量的運用。 分數的表徵即是：「在分數學習過程中，從接收訊息開始，透過思考將訊息 內化，轉換成另一種形式呈現思考的結果，並和他人溝通。」(張春興，1989； 蔡玄修，2007；張熙明，2007)

化的一種符號系統(張春興，1989；蔡玄修，2007)。 對於同一個概念，不只是只有一種表達的方式，可以用不同的表徵來呈現。 例如，我們可以用語言表徵來表示「二分之一個披薩」，也可用文字符號「二分 之一個披薩」，「 2 1 」等來表徵想法(蔣治邦，1994)。 而欲了解學生在數學概念上的學習是如何，我們可以從表徵轉換形式的過 程來了解；同樣的，我們可以知道學生的對分數的概念愈能掌握的話，其認知 結構網絡愈穩固(王美仁，2009)。Brenner、Herman、Ho and Zimmer(1999)、Dreyfus and Eisenberg(1996)將表徵系統的轉譯方式分為兩類，同時呂玉琴(1991b)也提出 表徵系統對分數概念的影響(王美仁，2009；李玉瀅，2009；蔡玄修，2007；Piaget, Inhelder & Szeminska, 1960)：

1.系統內的轉換： 這是符號在表徵系統內的轉換。例如，可以將 5 1 轉換成0.2；或者可以將 2 1 轉 換成 4 2 或 6 3 等，這兩種轉換用到的思考模式是不一樣的(呂玉琴，1991b)。 2.系統間的轉換： 這是以不同的方式來表示分數，例如透過圖畫的方式，畫出半個圓來表示 2 1 ，這樣的方式就是屬於表徵系統間的轉譯。不同系統間的轉換，有其難易度存 在(呂玉琴，1991b；王美仁，2009；蔡玄修，2007)。

Lesh, Behr 和 Post(1987)表示，若在不同的表徵系統間，學生依然可以正確 處理的話，就表示學童已經能夠理解一個完整的概念了(呂玉琴，1991；林碧珍， 1990)。而思考的活動，就在轉譯的過程中發生(劉祥通，2004)。 當我們在解題時，進到了一個解題步驟，就表示一個思考活動正在進行， 而當在進行思考活動時，就會運用到思考的材料以利進行解題；如果我們要順 利進行到下一個解題步驟，那麼就必須要利用到前一個解題思考活動所生成的 結果，來成為接下來這個思考活動的材料；而表徵的功能，就是在溝通前一個

步驟和下一個步驟，如此解題活動才能順利進行(蔣治邦，1994)。

Lesh, Post, and Behr(1987b)提出表徵系統的交互模式。在這個模式裡，總共 有五種不同的表徵，分別是「圖形」、「語言」、「書寫符號」、「實物情境」、「操 作物」。表徵和表徵之間彼此會產生交互作用以及轉換。當學生在學習數學和解 決問題時，就會運用到這五種不同的表徵，並且用以表達想法和概念。如果學 生遇到不一樣的問題，或是不同難易度的問題，學生就會有不同的思考，當然 所用到的表徵就會不一樣。如果學生對概念有一定的熟悉度，這些表徵就可以 被自由的轉換，同時，不管學生是運用了哪一種表徵，他都能夠很清楚的來表 達概念 (李玉瀅，2009；林芳玉，2004；林碧珍，1990；林美如，2007；黃芳玉， 2003；張熙明，2006；蔡玄修，2007)。 由上述文獻可知，不同的分數概念問題所運用到的知識及認知結構也就不 同，我們可以從學生在面對問題情境時，運用的何種表徵來理解其對概念的了 解，並可以知道學生目前的概念發展階段，當然如果學生在表徵間轉換流暢， 就表示學生的概念達到精熟，已經可以很清楚的表達了。

第三節 分數概念的發展

甯自強(1993)提出兒童分數概念發展有五個層次，是其觀察兒童對分數的運 思方式所提出，兒童在不同的階段有不一樣的運思與特質，各層次如下(蔡玄修， 2007；張熙明，2007；林天麒，2009)： 1.了解分數概念之前 此層次的兒童還未具有分數的真正概念。 缺乏「部份－整體」的概念。 兒童以直覺的思考方式進行數的活動，只是將東西做分割，而無法正確將 東西等分成一樣大或一樣多。 2.起始單位分數 起始單位分數不是我們所說的單位分數，學童知道分數符號，但是並不了

解分數符號的真正涵義，尚未有正確的概念。 以分數 2 1 舉例來說，此階段的學童認為 2 1 就是一份和兩份的意思。 當學童遇到單位分數相加的問題時，如 3 1 ＋ 3 1 會是多少？學童的答案是 6 2 ， 直接把分子和分子相加，分母和分母相加求得答案(甯自強，1997a)。 3.加法性分數與單位分數 學童在此階段已真正具有分數的概念。 學童具有部分-全體運思。 對於單位分數內容物是單一個的問題情境已會做運算，但複數個的問題情 境還不會處理(甯自強，1997a)。 當兒童遇到單位分數相加的問題時，學童已能掌握其概念，回答出正確答 案，如 4 1 ＋ 4 1 ，會回答是 4 2 。 4.巢狀分數(甯自強，1997b) 可以透過「部分中的份數」來解題。 學童的運思方式進入到測量運思階段。 教學時，可以在單位分數的內容物是複數個的情境中引導，此階段學童已 能應付。 當學童達到巢狀分數概念階段時，學童可以初步了解等值分數的意涵。 5.有理數概念 此階段兒童思考較彈性，具有等值分數概念。 學童能進行不同分母、不同分子的分數大小比較。 Piaget et al.(1960)提出的兒童分數概念發展(引自林天麒，2009；張熙明， 2007；蔡玄修，2007)： 1.四歲到四歲半 此時期的兒童，沒有辦法將分割物分成是相等的兩半，尚缺乏部分整體的

概念。 而欲要分割不同形狀的物品，對兒童來說，最困難的是正方形，接著是圓 形，以長方形是最容易的。 2.四歲到六歲 此時期的兒童，有將物品分一半的能力，但能力有限。 3.六歲到七歲 此時期兒童在具體操作期，會用三等分的方法來分割物品，而且知道物體 經分割後，其每一部分合起來的量會和原來的量是一樣的，顯示兒童具有整體 的保留概念。 4.十歲左右 此時期的兒童會六等分物品，其所用的方法是先採用三分法，再將分出來 的每一等份用二分法再分一次，就可得到六個等分的部份。 分數概念既然是一種過程概念，因此需引導學生在分數概念的學習路程中 去經歷，才能將各種概念內化(劉祥通，2004)。而了解學童分數概念的階段性發 展，體認前一階段是後一階段的基礎，才能設計教材與幫助學童學習。

第四節 分數相關概念之實證性研究

一、等分概念 等分是分數的基礎，連續量的等分不僅是兒童最容易接受的概念，同時也 是教學的起點（劉秋木，1996）。所以一開始學習分數時，先要學習的概念就是 「平分」、「等分」，因為分東西是不是「公平」，對學童來說是一個重要的經驗， 同時也是日常生活中會使用到的語言，所以教師要藉由學童的生活經驗介紹「平 分」的概念。而之後的部份/全體或子集/集合的概念，都以「等分」為基本概念 (呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩，2009)。

概念發展五階段(許紋菁，2008；謝淡宜，2008)： 階段一：兒童只可以了解何謂分享。 階段二：兒童可以將東西切割，但是切割後的每一塊並不一樣大小。 階段三：兒童能將東西等分，但能力僅限於平分成偶數塊，但不包含割數 為奇數塊。也就是先學會分成「兩」份，接著是分割成「四」、「八」、「十六」 塊的偶數份數。 階段四：達到此階段能力的兒童已能分割偶數塊及奇數塊(奇數塊的分割概 念，是從較簡單數字開始，一開始學會的奇數等分割數是質數，如等分成「三」、 「五」、「七」塊，接著才是會等分成「九」、「十五」塊)。 階段五：兒童會將東西等分割以不同的方式進行。 由此可知，兒童在不同的階段有其應發展的能力。 從呂玉琴(1993)研究二年級學童中顯示，學生常見的等分的錯誤類型有： 1.研究發現部份學童不暸解「平分」的意義，以致分東西時沒有將東西平分 或分得一樣多。 2.認為 n 1 就是將東西分成 n 堆中的一堆，但未將東西平分，每一堆的個數不 一樣多；有的學童甚至認為一堆裡有n 個東西就是平分成 n 堆。 3.將不同大小的量分成個數相同的兩份，但這兩份裡的總量並不一樣多。 不只是二年級的學生，兒童等分概念的不完備，我們也可以在Bergeron and Herscovics(1987)研究國小三年級學童在面對分數板的問題時，仍有大部分三年 級的學生只注意到分數板分割的塊數，而忽略每一塊要相等(詹婉華、呂玉琴， 2004)。 在國內，同樣是對中年級學童作分數概念的研究，可以從游政雄、呂玉琴 (2003) 在 探 討 臺 灣 北 部 地 區 國 小 中 年 級 學 童 分 數 概 念 之 研 究 中 發 現 ， 有 17.1%~25.4%的中年級學童在判斷是否等分的問題時，只注意到要分割成幾塊， 而沒有在意每一塊的大小要一樣。例如把一塊蛋糕切成六塊，學童認為這六塊 蛋糕可以不用切成一樣的大小，認為只要分成六塊就是平分成六塊，也就是學

童只是分東西而不是平分東西。 同樣地，許紋菁(2007)利用筆試前測和訪談的方式，運用圖形檢測中年級學 童等分分數概念，歸納出了常見的錯誤想法： 1.不了解平分的意義：學童只將東西分成 4 份就認為是平分，而這 4 份不管 有沒有一樣多。 2.受到視覺的影響：平分圖形時，認為面積以及形狀都要一樣才算是等分。 3.運用錯誤的策略：只將物品分成個數相同的兩份，但未考慮是不是一樣多。 如圖圖2-1： 圖2-1 平分成相同份數但不等量 4.不了解分數符號代表的意義：認為 3 1 就是 3 份其中的一份，而不管每一份 是不是等量。 林碧珍(1990)以分數概念測驗工具研究國小五、六年級共 424 名學生以及抽 訪12 人做深入了解，在等分概念上，發現有 22%的學生認為平面圖形的等分， 就是等分之後的每一塊面積和形狀都要相同。 而欲要增進學生對分數的理解，鄭振初(2006)提到可以藉由圖形方式讓學童 表達概念。如圖2-2：黑色部份是圖形的 3 1 。 圖2-2 正確的 3 1_{(引自鄭振初，2006)} 而同時他也提出學生有可能的錯誤概念，例如：為圖形塗上 3 1 的部份，學生

可能的答案如圖2-3： 圖2-3 錯誤的 3 1 (引自鄭振初，2006) 這樣的結果顯示學生畫出的數量是根據分母值畫出來的。 像這樣以多樣化的方式來呈現概念，讓學生表達想法，在教學上就顯得很 重要。 就目前數學領域課程是根據課程綱要所設計的，分數教材的安排是從分餅 的方法讓學生判斷是否分的公平、是否有平分，接下來藉由離散量的情境，引 入分數詞 2 1 、 4 1 、 8 1 ，在圓形圖形上，劃分 2 1 、 4 1 、 8 1 ，以圓形的方式引入，貼 近學生生活經驗，學生比較容易理解平分的概念。並讓學生親自操作，利用摺 圓形圖卡的方式，摺出簡單的二等分與四等分，讓學生親自體驗、觀察是否平 分。而在教材內容的設計上，均已將圖形等分好，再讓學生做判斷，這樣的方 式，引導學生只注意分割數，而忽略了平分的概念。 由上述文獻可知，學童在等分概念上，常見的錯誤想法： 1.對於平分的意義不盡了解，認為只要將東將西分割就是等分，而不知道要 將東西分的一樣大、一樣多。 2.受到圖形的影響，對於兩個圖形面積相等，但是形狀不一樣的情況，學童 會因為圖形的形狀而認為不一樣大小。 3.不了解分數符號的意義，認為只要分成和分母相同的份數就是等分了。 4.只在意平分之後的個數，而忽略了量的大小是否相同。 二、單位分數 Mack(1990)的研究中顯示，學生可以運用直覺和推理解決和生活相關的分 數問題，但這和面對抽象符號問題時，所用到的知識是不同的，所以學童常會

犯錯(引自劉秋木，1996)。舉例來說，兒童可以從生活經驗中知道一個蛋糕平分 成三塊比一個蛋糕平分成五塊可以得到的比較多。但是如果問他們 3 1 和 5 1 哪一個 大，他們則會回答 5 1 大，顯示兒童無法對分數符號的大小作判斷。 甯自強(1997a，1997b)對單位分數的做了以下的解析： 分數的活動包含兩個步驟，一是單位分量的製作，二是單位分量的重複。 所謂的單位分數就是利用分割份數和1 來命名而成的。 「單位分量」是指將單位量等分割後所得到的部份量。以 5 1 為例，表示將物 品等分成五份，而這五份每一份都是相等的量，再取五份中一份的意思。 以下分為兩個部份來探討： 1.首先是「起始單位分數」： 起始單位分數不是我們所說的單位分數，學生在此時還不了解分數的意義。 此階段學童缺乏「部分－整體」運思。 舉例來說，學童認為 5 1 的意思是五份和一份；而在做加法運算時會將 5 1 ＋ 5 1 的結果認為是 10 2 。 2.其次是「單位分數」： 此階段學童有「部分－整體」運思。 學童此時已能了解同樣大小的四份之中的一份是 4 1 ，以及 4 3 是代表3 個 4 1 的 意思。 甯自強(1997a，1997b)以單位分數內容物的使用情境來區分，有以下的情況： 1.在離散量的情境下，有單位分數內容物是單一的與單位分數內容物是複數 個兩種。 2.內容物的性質是連續的。 3.單位分數內容物不是整數個的。

4.單位分數內容物的個數是未知的。 當兒童具有「加法性分數」的概念，表示學童具有部份-整體運思，此時他 們能辨別單位分量與單位量(甯自強，1997a)。 而當兒童具有「整合性的巢狀數」概念時，遇到 3 1 + 3 1 的題目時，他回答的 答案不會再是 6 2 ，而是 3 2 。當老師在教學的引導時，可以在連續量與離散量的情 境中布題(甯自強，1997b)。 三、等值分數 等值分數是比例概念的基礎(引自劉秋木，1996)，也是學習分數的基本概 念，更是學習代數運算的基礎(陳雅芬，2003)，所以等值分數的學習需要穩固。 而洪素敏、楊德清、蔡秋鳳(2007)在「等值分數補救教學之研究」中發現學生若 缺乏分數基本概念與單位量的概念，會在處理等值分數問題時皆無法有效的解 決問題。 甯自強(1997b)指出等值分數是透過比較產生的結果，他提到有兩種比較的 方式：一種是兩個分數所指的數量是相同的；另一種是比值的關係，兩個分數 的比值是相同的。 從分數的內容觀點來看，若不計分割活動的作用，等值分數概念的暸解相 當於在整數上具備了合成性巢狀數的保留概念(引自甯自強，1997b)。 而關於等值分數的問題，以單位分數內容物為複數個物離散量的情境是最 為簡易，因為學童不需要再另外分割來獲得所需的公共單位(commeasure unit)(引 自甯自強，1997b)。 彭海燕(1998)提出兒童等值分數概念發展的先後次序： 1.兒童會將東西等分成和分母值一樣的塊數。 2.兒童會將東西等分的份數是分母值的因數或倍數。 3.知道如何處理全部中的部份。 4.會用分數符號表示部份量。

5.兒童能不受圖形形狀的影響，而能正確判斷面積相同、形狀不同的圖形仍 是相等的。 6.會處理分割數不是分母整數倍的問題。 Behr 等人(1984) 探討國小四年級學生在等值分數的表現情形，提出了學生 等值分數的錯誤思考類型，研究的方式是以兩個不同的分數去比較，有三種情 況：「分子相同、分母不同」、「分母相同、分子不同」、「分子分母皆不相同」這 三種。第一種情況，學童在解題時，會只注意到分母，直接以分母的數值比較 大小，分母大者，認為此分數就比較大；第二種情況，學童在解題時，會只注 意到分子，直接以分子的數值比較大小，分子大者，認為此分數就比較大，雖 然回答正確，但是無法真正了解學生是否真正懂得分數的概念；第三種情況， 學童在解題時，會以整數比大小的方式來比較分數大小，若該分數的分子與分 母比另一個分數的分子與分母都還要小，則認為此分數比另一分數小(林芳玉， 2004) Behr 等人(1984)在研究中發現學生在學習等值分數概念時之所以會出現用 分子、分母數值來回答問題，像這樣的迷思，其主要的原因是學生受到整數的 學習的影響(引自林芳玉，2004)。 雖然等值分數概念在分數教材中佔的部份不多，但是等值分數在國小數學 概念有其重要性，因為等值分數的相關概念，是學習分數的基礎(引自陳雅芬， 2003)。所以不能小看等值分數的重要性，教學上，要引導學生將等值分數的概 念學習好。 四、單位量概念 分數概念是兩個量相比較的結果，若比較的基準量不同，答案也會不同。 所以，在教學上，在分數概念的引導，應要強調單位量(呂玉琴等，2009)。 呂玉琴(1994)指出，確認單位量是面對分數問題時，是最先要做的工作。而 判斷單位量正確與否會影響答案(洪繼賢、劉祥通，2004)。 首先，就單位量（以一個量為基本單位）與單位數（有幾個的基本單位量）

來辨別。舉例說明：例如，有6 顆蘋果，在這裡的單位就是「顆」，單位量是「1」， 單位數是「6」(臺灣省國民學校教師研習會，1996；洪繼賢、劉祥通，2004)。

Behr, Wachsmuth and Post (1988)指出，在處理單位量的分數概念題型時，面 對不同的情境－連續量和離散量，所運用到的知識就不相同。在連續量的情境 當中，學童比較可以清楚的澄清概念，因為連續量被等分後的每一個部份仍是 連續量，不會改變。例如將一條蛋糕等分成三份，學生清楚的看到等分後的結 果。而在離散量的情境當中，學生要將全部的內容物視做一個整體的單位量， 而每一個被分出來的部份裡，是一個一個個別的物品，物品和物品間沒有連結 在一起，學生也要將等分之後的每一份裡的物品看作是一部份，這對學生來說 有其困難性。例如將15顆糖果平分成5份，在這每一份裡都有3顆糖果，困難處 就在於學生要將這3顆糖果看作是一個部份。所以當要求學生取出15顆糖果的 3 2 時，學生會受到分子的影響，只會根據分子的數值而取出和分子一樣的2顆糖果 (游政雄、呂玉琴、吳宏毅、劉世能，2003：黃志敘、楊德清，2007)。 連續量的情境，有時可看成離散量的情境(引自劉祥通，2004)。例如：一條 七公尺長的彩帶，可以將七公尺看成是七個一公尺的合成，這樣的情境相當於 「一盒糖果有七顆」，在這裡，離散了連續量(劉祥通，2004)。 要了解分數必須要完全掌握單位量的概念(引自劉祥通，2004)。 林碧珍(1990)在「從圖型表徵與符號表徵之間的轉換探討國小學生的分數概 念」研究中，利用試題施測及學生面談的資料分析，提出學生在分數常犯的錯 誤類型及學生解題的思考方式： 1.只注意部份：學生忽略全部的量才是單位量，而以部分量當單位量。 舉例說明，例如圖 2-4：圈出的部份佔多少？ 當學生看到左邊的那兩堆蘋果被圈起來，所以在回答題目時，只有注意到 左邊的那兩堆蘋果，而忽略了右邊那ㄧ堆蘋果，也就是忽略了三堆蘋果才是全 部的單位量，因而回答 6 4 。

圖2-4 圈出的部份佔多少？(引自林碧珍，1990) 2.以分母的值當作是全部個數。 舉例說明，如圖2-5：將圖形的 2 1 塗上顏色 學生可以看到的所有球，但不認為所有的球才是單位量，因為只注意到分 數分母的數值，認為分母是2，而圈出和分母相同的的兩顆球數來代表單位量， 再從這兩顆去找出答案，而只將一顆塗上顏色。如圖2-5： 圖2-5 學童將圖形的 2 1 塗上顏色(引自林碧珍，1990) 3.分成兩部分：學童將全體分成兩個部份，認為答案是這兩部份相比較的結 果。 例如，圖2-6 塗上顏色的部份是佔了多少？學生會將圖形分成有塗顏色的部 份有四個正方形和沒塗顏色的部份有五個正方形，所以認為有塗上顏色的是佔 5 4 ，而不是將整個圖形九個正方形當作是整體量來回答。 圖2-6 塗上顏色的部份是佔多少(引自林碧珍，1990)

4.只注意分子：受到分子的影響，解題時只看分子的數值，但是並沒有考慮 到整體量。 例如，將圖2-7 的 4 2 塗上顏色，學生只注意到這個分數的分子數值，而只將 兩塊塗上顏色，忽略了全部八塊才是單位量。 圖2-7 學童回答將圖形塗上 4 2 (引自林碧珍，1990) 5.只注意分母：受到分母的影響，解題時只看分母的數值，但是並沒有考慮 到整體量。 將全部的 3 1 塗上顏色。只注意到分母，受到分母的影響，只有將三塊塗上顏 色，而沒有考慮到全部六塊才是單位量。如圖2-8： 圖2-8 學童回答將圖形塗上 3 1 (引自林碧珍，1990) 6.忽略整體，只注意分子和分母的數：學生認為分母值就是代表全部，分子 的值就是全部中的部份，忽略整體量。 例如圈出圖形的 3 1 ，學生將將圖形的三塊區分出來和分母數值相等，再圈出 這三塊裡的一塊和分子相等的數值，認為這樣即是答案。如圖2-9：

圖2-9 學童回答圈出圖形的 3 1 (引自林碧珍，1990) 要了解分數必須完全掌握單位量的概念，但是學生常指出錯誤的單位量(劉 祥通，2003)。所以學生在解題時，特別是分數的問題，最常發生的錯誤解題方 式是只注意到題目所給的數字，然後再根據題目的要求，直接比較分數的大小 來解題。以 2 1 和 3 1 來說，學童很容易看到分數就直接進行比較，而沒有注意到題 目所給的單位量，所以直接回答 2 1 ＞ 3 1 。洪繼賢、劉祥通(2004)指出像這樣的情 境有兩種題型，第一個題型，題目有出現單位量：「小天買了 2 1 打原子筆，買了 3 1 打鉛筆，他買的筆哪一種比較多？」；第二種題型，題目沒有出現單位量：「小 晴買了 2 1 箱蘋果，小天買了 3 1 盒柳丁，請問誰買的水果數較多？」。以第二個題 型難度更高、更容易犯錯，學童直接忽略題目所指的單位量是不同的，因此， 學童能否回答出正確答案關鍵在於單位量的辨認(洪繼賢、劉祥通，2004)。所以， 無論處理何種意義的分數問題最重要的一件事就是確認單位量(呂玉琴，1996a)。 游政雄、呂玉琴(2002)在「臺灣北部地區國小學童的分數單位量概念」研究 中也發現：1.學童在處理「內容物不只一個，以全部內容當單位量問題」時，會 誤將一個內容物當單位量；遇到無法以整數個再分的問題時，學童自己改變題 目，讓自己可以回答，運用增加或減少內容物的方式，讓數量變成自己可以處 理的整數個。2. 學童在處理「內容物不只一個，以一個內容物當單位量問題」 時，會有全部的量就是單位量的迷思。 綜合文獻可知，學童在學習單位量的概念時，常見的錯誤想法有：

1.忽略單位量：只以部份量當做是單位量，忽略全部的量。

2.解題時受到分子分母的影響，而回答與分子或分母相同的數值。

3.當問題情境是兒童無法解決時，兒童會更改題目到自己可以回答的情況來 解決問題。

五、連續量與離散量

Behr,Wachsmuth and Post(1988)指出在學習分數概念時，所運用的概念和知 識在連續量與離散量的情境上並不會相同。連續量所分出來的每一個部份仍然 是個別的連續量，這對學生來說比較容易理解。而在離散量的情境當中，學生 要將全部的內容物視做一個整體的單位量，而每一個被分出來的部份裡，是一 個一個個別的物品，物品和物品間沒有連結在一起，學生也要將等分之後的每 一份裡的物品看作是一部份，這對學生來說有其困難性。例如將15 顆糖果平分 成5 份，在這每一份裡都有 3 顆糖果，困難處就在於學生要將這 3 顆糖果看作 是一個部份。所以當要求學生取出15 顆糖果的 3 2 時，學生會受到分子的影響， 只會根據分子的數值而取出和分子一樣的 2 顆糖果(游政雄、呂玉琴、吳宏毅、 劉世能，2003：黃志敘、楊德清，2007)。因此，學生會在離散量解題時，答題 狀況比連續量的題型還要差，因此產生迷思概念。

第三章 研究方法

本研究主要是探討國民小學四年級學童是否將分數最基礎的概念精熟，以 及最常犯錯的概念是哪一個部份，並了解學童在不同的情境表現情形。接著比 較臺中縣市的學童，在分數的學習上，是否因地區的差異而有所不同。本章共 分為三節，分別是研究架構、研究對象與研究工具。

第一節 研究架構

本研究根據九年ㄧ貫課程數學學習領域分數單元，並蒐集相關文獻，編製試 題，再根據受試者作答情形統計與分析，探討臺中縣市國小四年級學童在等分、 單位分數、單位量、等值分數四個概念的表現情形。本研究架構如圖3-1： 圖 3-1 研究架構圖 分析分數單元內容 閱讀相關文獻 編製分數單元測驗試題 討論測驗試題適切性 預試 1 修 正 試 題 正式施測 分析資料 提出研究報告 預試 2

第二節 研究對象

根據相關研究指出，分數概念是學生學習分數的基礎，而國小四年級學童 已學過基本的概念，因此本研究之對象以國民小學四年級學童，研究對象以地 區劃分，分成臺中市地區與臺中縣地區。臺中市地區是以臺中市四間學校四個 班級，臺中縣地區是以三間學校四個班級，隨機抽取班級施測。以筆試測驗方 式進行，收集資料以了解學生對題目的難易度，及其表現的錯誤類型予以分析 比較。共計216 名為施測對象，刪除有遺漏值的共 5 人，全部樣本數為 211 人。 臺中市地區有 107 人，其中男生 60 人，女生 47 人；臺中縣地區有 104 人，其 中男生50 人，女生 54 人。受訪樣本人數分析如表 3-1： 表3-1 研究對象有效樣本數 地 區 臺中市 臺中縣 男 生 60 50 女 生 47 54 合 計 107 104

第三節 研究工具

根據文獻探討結果，參考呂玉琴等(2009)在「國小分數與小數的教學、學習 與評量」一書中的試題，進行編修成為本研究之測驗工具。本研究所使用的工 具包括紙筆測驗及spss 統計軟體。透過測驗，藉以了解學生在分數概念的表現。

壹、研究工具的編製

本測驗的試題編製是研究者參考有關分數概念的研究文獻、呂玉琴等(2009) 書中試題及國民小學數學教材內容編製而成。 預試試題分為兩大部分，第一部份是選擇題，為第一題至第十二題；第二 個部份是非選擇題，為第十三題至第二十七題。 一、進行預試 本測驗於民國九十九年十月進行第一次預試。進行第一次預試之前，先請 四年級一個班級試做試題，修正題目文字敘述之不適切性、題意的表達、試題 版面排版，原試題設計三十題，經刪除不適切題目後，題數為二十七題。 第一次預試的樣本是臺中市國小四年級學童，共計59 人，刪除無效試卷後， 有效樣本55 人。 本測驗於民國九十九年十一月進行第二次預試。第二次預試的樣本是臺中 市國小四年級學童，共計58 人，刪除無效試卷後，有效樣本 56 人。 因本測驗並非速度測驗，故研究者請擔任預試班級的教師進行施測時，給 予學生足夠的時間，以完成答題為原則。 二、預試試題品質分析 (一)信度 本實驗之計分方式為回答是正確答案給一分，回答錯誤不計分，根據得分 進行信度分析，所得的Cronbach α 值為.910，為高信度，所以本測驗的信度可以 接受。 (二)難易度分析 分別計算每一受試者兩個部份的得分，得分在前 27%為高分組，以 PH 表 示；得分在後27%為低分組，以 PL 表示。本試卷的難度是以高分組通過率加低 分組通過率的平均來表示。本測驗難度值平均為.61 與.67，結果如表 3-2：

表3-2 預試試題高低分組過率及難度分析 題 號 低分組通過率 高分組通過率 難 度 t 1 4.8 36.8 .21 t 2 52.4 94.7 .74 t 3 61.9 100 .81 t 4 9.5 94.7 .52 t 5 28.6 89.5 .59 t 6 95.2 100 .97 t 7 76.2 100 .88 t 8 23.8 94.7 .60 t 9 47.6 68.4 .58 t 10 4.8 21.1 .13 t 11 81 100 .91 t 12 14.3 73.7 .44 t 13 73.3 94.1 .84 t 14 60 88.2 .74 t 15 33.3 88.2 .61 t 16 6.7 88.2 .47 t 17 80 94.1 .87 t 18 73.3 94.1 .84 t 19 100 29.4 .65 t 20 100 41.2 .71 t 21 73.3 100 .87 t 22 13.3 94.1 .54 t 23 13.3 82.4 .48 t 24 100 11.8 .56 t 25 6.7 88.2 .48 t 26 60 94.1 .77 t 27 40 100 .70 (三)鑑別度分析 本試題的鑑別度分析，先求高分組的答對率及低分組的答對率，分別以 PH 及PL 表示，以 D 表示鑑別度，則 D=PH-PL。結果如表 3-3：

表3-3 預試試題高低分組過率及鑑別度分析 題 號 低分組通過率 高分組通過率 鑑別度 t 1 4.8 36.8 .32 t 2 52.4 94.7 .42 t 3 61.9 100 .38 t 4 9.5 94.7 .85 t 5 28.6 89.5 .61 t 6 95.2 100 .04 t 7 76.2 100 .24 t 8 23.8 94.7 .71 t 9 47.6 68.4 .21 t 10 4.8 21.1 .16 t 11 81 100 .19 t 12 14.3 73.7 .59 t 13 73.3 94.1 .21 t 14 60 88.2 .28 t 15 33.3 88.2 .55 t 16 6.7 88.2 .82 t 17 80 94.1 .14 t 18 73.3 94.1 .21 t 19 100 29.4 -.71 t 20 100 41.2 -.59 t 21 73.3 100 .27 t 22 13.3 94.1 .81 t 23 13.3 82.4 .69 t 24 100 11.8 -.88 t 25 6.7 88.2 .82 t 26 60 94.1 .34 t 27 40 100 .60 (四)相關 預試試題相關值如表3-4：

表3-4 預試試題 Pearson 相關值 題 號 Pearson 相關 題 號 Pearson 相關 t 1 .352(**) t 15 .527*** t 2 .455(***) t 16 .661*** t 3 .477(***) t 17 .296* t 4 .761(***) t 18 .257 t 5 .534(***) t 19 8.395** t 6 .271(*) t 20 .348** t 7 .430(***) t 21 .293* t 8 .567(**) t 22 .671** t 9 .213 t 23 .528*** t 10 .260 t 24 .257 t 11 .350(**) t 25 .594** t 12 .583(***) t 26 .280* t 13 .354(**) t 27 .599*** t 14 .271(*) *p＜.05 **p＜.01 ***p＜.001 三、試題編修 本試題先就試題的難易度、鑑別度審試題目，再根據相關值進行試題刪除 與編修。因此，修改第六題、第七題、第十一題，第十七題；更改第十九題、 第二十題題型；第九題、第十題、第十八題、第二十四題刪除。如表3-5：

表3-5 預試試題難度、鑑別度、相關 原題號 新題號 難度 鑑別度 相關 t 1 1 0.208 0.32 .352** t 2 2 0.7355 0.423 .455*** t 3 3 0.8095 0.381 .477*** t 4 4 0.521 0.852 .761*** t 5 5 0.5905 0.609 .534*** t 6 6 0.976 0.48 .271* t 7 7 0.881 0.238 .430*** t 8 8 0.5925 0.709 .567** t 9 0.58 0.208 .213 t 10 0.1295 0.163 .260 t 11 9 0.905 0.19 .350** t 12 10 0.44 0.594 .583*** t 13 11 0.837 0.208 .354** t 14 12 0.741 0.282 .271* t 15 13 0.6075 0.549 .527*** t 16 14 0.4745 0.815 .661*** t 17 15 0.8705 0.141 .296* t 18 0.837 0.208 .257 t 19 16 0.647 -0.706 .395** t 20 17 0.706 -0.588 .348** t 21 18 0.8665 0.267 .293* t 22 19 0.537 0.808 .671** t 23 20 0.4785 0.691 .528*** t 24 0.559 -0.882 .257 t 25 21 0.4745 0.815 .594** t 26 22 0.7705 0.341 .280* t 27 23 0.70 0.60 .599*** *p＜.05 **p＜.01 ***p＜.001

四、正式施測試題雙項細目分析表 表3-6 正式施測試題分析表 情境 概 念 連續量 離散量 各子題概念數 等 分 2、11、13 1、6 5 單位分數 3、12、15 5、21 5 等值分數 8、14、17 7、19、20 6 單 位 量 10、16、22、23 4、9、18 7 各情境題數 13 10 23

貳、統計軟體

本研究所使用的電腦軟體為 SPSS 12.0 版本，用來進行筆試資料的分析統 計，並以獨立樣本t 檢定來比較不同地區在分數概念測驗表現之差異。

第四章 研究結果與討論

本章共分成三節，第一節描述臺中市國小四年級學童在分數概念的答題表 現情形；第二節描述臺中縣國小四年級學童在分數概念的表現情形；第三節比 較臺中縣市國小四年級學童在分數概念的表現情形。 本研究依分數概念的類型分成四個類別，分別是分數的等分概念、單位分 數、等值分數、單位量。其中等分概念的測驗題型是以多樣內容物以及圖形的 等分來了解學童分數的等分概念。試題題型分為選擇題與非選擇題兩個部份。 選擇題有三題，分別為第一題、第二題及第六題；非選擇題有兩題，分別為第 十一題與第十三題。單位分數的試題題型分為選擇題與非選擇題兩個部份：選 擇題有二題，分別為第三題及第五題；非選擇題有三題，分別為第十二題與第 十五題及第二十一題。等值分數的測驗設計，是針對學生在學習等值分數之前 的先備知識著手，主要是要了解學生在學習等值分數之前，是否具備了學習等 值分數所應具有的知識。試題題型分為選擇題與非選擇題兩個部份：選擇題有 三題，分別為第七題及第八題；非選擇題有四題，分別為第十四題、第十七題、 第十九題與第二十題。單位量的試題題型分為選擇題與非選擇題兩個部份：選 擇題有三題，分別為第四題、第九題及第十題；非選擇題有四題，分別為第十 六題、第十八題、第二十二題與第二十三題。 依據學童答題的狀況，將搜集到的資料進行整理、歸納及分析。並以答對 率及作答情形分別來分析臺中市、臺中縣學童在四個分數概念類型的表現情形。

第一節 臺中市國小四年級學童分數概念表現情形

本研究接受筆試測驗的臺中市學童共有107 人，男生人數為 60 人，女生人 數為47 人。

壹、等分概念

茲將臺中市學童在等分概念題型作答情形統計如表4-1，並分題解釋如下：

表4-1 臺中市學童等分概念題型作答百分比統計表 選 項 1 2 3 4 第 一 題 選答百分比 12.0 28.7 40.7* 18.5 選 項 1 2 3 4 第 二 題 選答百分比 88.0* 2.8 8.3 0.9 答 案 1 2 5 其他 第 六 題 回答百分比 14.8 8.3 51.9* 25.0 答 案 是 不是 第十一題 回答百分比 14.8 85.2* 答 案 是 不是 第十三題 回答百分比 27.8 72.2* *表答案正確者 一、臺中市學童第一題選答情形 第一題的答對率 40.7％，其中認為物品只要有分成三堆就是平分成 3 1 的有 12.0％；而三堆中只有其中一堆的糖果數和其他兩堆不一樣，認為這樣也是平分 的有 28.7％；而認為平分成三堆，其中一堆要有 3 個的有 18.5％。由答題情況 可以得知，學生對於多樣物品等分成三堆，每一堆的內容物要一樣多的概念並 不是很清楚。答錯的學生中，有 48.4％認為雖然其中一堆的內容物個數和其他 兩堆不一樣，但有兩堆的內容物個數是一樣的，這也是等分。 二、臺中市學童第二題選答情形 第二題的答對率 88.0％，學生在圖形分割的概念上，表現的比多樣物品等 分成幾等份的概念還要清楚許多。有2.8％的學生只看到目前蛋糕切的樣子，認 為蛋糕只要繼續切，蛋糕就是等分成五份，並沒有考慮到分割的塊數。8.3％的 學生認為把蛋糕分成五塊，就是等分成五份了，沒有考慮到每一塊蛋糕是否一 樣大小；0.9％的學生認為題目說是等分成五份，就認為是等分成五份，沒有判 斷圖形並考慮到大小是否會相同。答錯的學生中，有 69.2％認為分成五塊就是

等分成五份了。 三、臺中市學童第六題選答情形 第六題的答對率 51.9％。有 14.8％的學生認為圖形橫向分割成三等分其中 一份會比圖形縱向分割的還要大；有8.3％的學生認為圖形縱向分割成三等分其 中一份會比圖形橫向分割的還要大；25.0％的學生因為圖形的不同，而認為無法 比較大小。答錯的學生中，有 66.7％認為比較圖形的大小時，需要是相同的圖 形才可以比較，不同的圖形不能比較，學生沒有「等積異形」的概念。 四、臺中市學童第十一題選答情形 第十一題的答對率 85.2％，知道圖形雖然劃分成三份但是並沒有等分成三 等分，大部分學生回答的理由是：「大小不同」、「不平均」、「沒有平分」、「三個 大小不同」、「灰色的部份比較多」；有14.8％的學生認為圖形分成三份就是等分 成三等分了，而每一份不需要一樣大小，顯示部分兒童對圖形的等分概念並不 完備；還有的學童認為圖形沒有平分是因為「灰色部份是佔全部圖形的 2 1 」。 五、臺中市學童第十三題選答情形 第十三題的答對率72.2％，能判斷圖形雖畫分成四份，但這四份並不相等， 因此不為等分，大部分學童的回答是：「沒有平分」、「不平均」「每一個部份大 小都不都一樣」、「有的小、有的大」、「四個大小不同」。而有27.8％的學童認為 只要劃分成四份，這樣的圖形就是等分了，沒有考慮到分割後每一塊並不一樣 大小。與第十一題作對照，學童答對率降低，顯示第十一題答對的兒童中，仍 有部分的學童並不完全了解圖形的等分概念。 六、討論： 表4-2 臺中市學童等分題型答題統計表 題 號 二 十一 十三 一 六 情 境 連 續 量 離 散 量 答對百分比 88.0 85.2 72.2 40.7 51.9 平 均 81.8 46.3 總 平 均 67.6

1.在分數的等分概念測驗中，情境可以分為連續量及離散量。連續量的情境 有三題，其答對率為81.8％；離散量的情境有兩題，其答對率為 46.3％； 臺中市的學童在等分概念答對率為67.6％。 2.由學童在等分題型的回答表現可得知，缺乏等分概念的學童是以分母的數 值來判斷，認為物品切割成三份，而其中一份就是 3 1 ，學童不會檢驗切割 之後的每一份是否都相等。 3.學童在等分概念上的判斷，是以圖形等分的概念(第二題、第六題、第十 一題、第十三題)表現優於多樣物品等分的概念(第一題)，而圖形的等分 中，以等積異形的概念較為困難，受到視覺的影響，認為形狀不一樣就是 不相等。 4.等分的情境中，以連續量的表現優於離散量的表現。

貳、單位分數

茲將臺中市學童在單位分數題型作答情形統計如表 4-3，並分題解釋如下： 表 4-3 臺中市學童單位分數題型作答百分比統計表 選 項 1 2 3 4 第 三 題 選答百分比 0.9 88.9* 2.8 7.4 選 項 1 2 3 4 第 五 題 選答百分比 3.7 75.9* 14.8 5.6 答 案 是 不是 第十二題 回答百分比 21.3 78.7 * 答 案 1 2 4 其他 第十五題 回答百分比 13.0 54.6 * 17.0 15.4 答 案 1 2 3 其他 第二十一題 回答百分比 14.0 66.4* 17.8 1.8 *表答案正確者

一、臺中市學童第三題選答情形 有 88.9％的學童在遇到單位分數相加時，能將「1」獨立運作；而有 7.4％ 的學童數概念還停留在內嵌階段，遇到 3 1 ＋ 3 1 這樣的問題時，直接將1 和 1 相加， 得到2，3 和 3 相加，得到 6，而回答 6 2 。 二、臺中市學童第五題選答情形 對於單位分數內容物是複數個的問題，有 75.9％的學童數概念達到分割性 巢狀分數概念。而有3.7％的學童，根據題目分數的分子來回答問題，因此回答 為1 顆；14.8％的學童，根據題目分數的分母來回答問題，因此回答為 4 顆，可 以看出，學童受分母的影響比受分子的影響為深。 三、臺中市學童第十二題選答情形 有78.7％的學童能判斷黑色的部份不是全部圖形的 3 1 ，顯示學童知道單位分 數中，所劃分的每一塊都要一樣大。學童說出的理由為「因為其中一塊比較大」、 「大小不一樣」、「不平均」、「沒有平分」、「黑色的部份是 4 1 」、「黑色的部份跟大 的白色部分不一樣」、「其中一塊比較大」、「大的三角形可分成兩塊」 認為圖形是平分的有 21.3％，這樣的學童只看到圖形切割成三份，就認為 其中一塊就是 3 1 ，而沒有考慮到每一塊的大小要一樣。而有的學童認為圖形沒有 平分的原因是，黑色的有一塊，白色的有兩塊，所以黑色的部份是佔全部圖形 的 2 1 。 四、臺中市學童第十五題回答情形 此題題型為單位分數內容物是多個，有 54.6％的學童能正確回答，顯示學 童的數概念達到分割性。回答「1」的學童，顯示其深受分數分子影響，認為 4 1 瓶 就是 1 杯的有 13％；而有 17％的學童，受到分數分子的影響，認為 4 1 瓶就是4

杯；共有 30％的學童直接根據分數的分子或分母來回答，並未將多個內容物做 等分，再取其中一份。 五、臺中市學童第二十一題回答情形 能正確塗上兩塊的有66.4％；受到分數 3 1 的分子「1」影響而塗一塊有 14％； 受到分數 3 1 的分母「3」影響而塗三塊有 17.8％。 六、第五題與第十五題比較 第五題題型為選擇題，答對率為 75.9％；第十五題題型為非選擇題，答對 率為 54.6％，較第五題的答對率下降。題型的變換，學童的答對率跟著變化， 顯示學童在單位分數內容物為多個時，其概念並非完全具備，多數學童受到整 數知識的影響而根據分數的分子分母回答問題。 七、第十五題與第二十一題比較 同樣是非選擇題的題型，第十五題是連續量情境，學童答對率為 54.6％； 第二十一題是離散量的情境，學童答對率為 66.4％，答對率比第十五題略高。 學童在單位分數內容物為多個時，離散量的情境表現的比連續量的情境好。 八、單位分數題型回答情形 表4-4 臺中市學童單位分數題型答題統計表 題 號 三 十二 十五 五 二十一 情 境 連 續 量 離 散 量 答對百分比 88.9 78.7 54.6 75.9 66.4 平 均 74.1 71.2 總平均 72.7 1.在分數的單位分數概念測驗中，情境可以分為連續量及離散量。連續量的 情境有三題，其答對率為74.1％；離散量的情境有兩題，其答對率為 71.2 ％；兩個情境的題型表現的差不多。臺中市的學童在單位分數概念答對率 為72.7％。 2.學童在單位分數相加的題型表現得較好，顯示大部分的學童已能將「1」

脫離全體獨立運作。 3.單位分數的內容物是多個時，學童在運算時會忽略單位量，而根據分數的 分子或分母來回答問題。 4.根據圖形的分割份數來判斷，認為切割成三份，其中一份就是 3 1 ，學童未 考慮到切割後的每一個份數並不相等。

叁、等值分數

茲將臺中市學童在等值分數題型作答情形統計如表4-5，並分題解釋如下： 表 4-5 臺中市學童等值分數題型作答百分比統計表 選 項 1 2 3 4 第 七 題 選答百分比 27.1 56.1* 15.0 2.8 選 項 1 2 3 4 第 八 題 選答百分比 70.1* 20.6 3.7 6.5 答 案 1 2 5 其他 第十四題 回答百分比 30.8 62.6* 6.5 0.1 答 案 3 1 4 1 5 1 12 1 其他 第十七題 回答百分比 10.3 4.7 19.6 40.2* 25.2 答 案 1 2 4 其他 第十九題 回答百分比 6.5 10.3 76.6* 6.9 答 案 1 2 4 其他 第二十題 回答百分比 10.6 62.6* 26.8 0 *表答案正確者 一、第七題選答情形 本題的答對率為56.1％，學童能在等分成八份的圓中，正確的取出 4 1 ，也就 是兩塊。回答選項 1 的有 27.1％，顯示學童只考慮到問題中的分子，深受分子

數值的影響，而選擇一塊；有 15％的學童受到分母數值的影響，而選擇選項 3 為四塊。答錯的學生中有 42.1％只看分數的分子或分母數值，顯示學童的分數 概念不清。 二、第八題選答情形 有70.1％的學童在還未學習 2 1 = 4 2 之前，不會因為分母的數值大就認為該分 數就比較大，而會運用方法做出正確的判斷， 2 1 比 4 1 還要大。有20.6％的學童在 同分子不同分母的比較當中，學生忽略相同的分子部分，而只以分母來比較兩 個分數的大小，認為4 比 2 大，所以 4 1 比 2 1 大。 三、第十四題回答情形 有62.6％的學童能將一個等分成十份的圓平分成五份，再取五份中的一份； 有 37.4％的學童要將兩個兩個分成一堆，再將一份中的兩個視一體為一份，在 同時變換單位的過程上有困難，因此在這當中有 30.8％的學童認為取一份就是 取一個，因此只塗一塊；有6.5％的學童認為取五份就是取五個，因而塗上五塊。 四、第十七題回答情形 有 40.2％的學童能將整個圓的其他部分區分成和甲一樣大小，並正確判斷 甲是十二份裡的其中一份，而回答 12 1 ；有10.3％的學童只看甲、乙、丙這三塊， 沒有考慮到整個圓，認為甲是甲、乙、丙三塊中的一塊，所以回答 3 1 ；有 4.7％ 的學童只考慮到左半圓，左半圓有四塊，甲是四塊中的一塊，回答 4 1 ，沒有考慮 到整個圓以及左半圓的部份並沒有每一塊都一樣大小；有 19.6％的學童考慮到 整個圓，因而回答 5 1 ，但是並沒有考慮到每一塊大小不一樣，圓並沒有等分成五 等分。 五、第十九題回答情形