分數概念的發展

甯自強(1993)提出兒童分數概念發展有五個層次，是其觀察兒童對分數的運 思方式所提出，兒童在不同的階段有不一樣的運思與特質，各層次如下(蔡玄修，

2007；張熙明，2007；林天麒，2009)：

1.了解分數概念之前

此層次的兒童還未具有分數的真正概念。

缺乏「部份－整體」的概念。

兒童以直覺的思考方式進行數的活動，只是將東西做分割，而無法正確將 東西等分成一樣大或一樣多。

2.起始單位分數

起始單位分數不是我們所說的單位分數，學童知道分數符號，但是並不了

解分數符號的真正涵義，尚未有正確的概念。 4.巢狀分數(甯自強，1997b)

可以透過「部分中的份數」來解題。

Piaget et al.(1960)提出的兒童分數概念發展(引自林天麒，2009；張熙明，

2007；蔡玄修，2007)：

1.四歲到四歲半

此時期的兒童，沒有辦法將分割物分成是相等的兩半，尚缺乏部分整體的

概念。

而欲要分割不同形狀的物品，對兒童來說，最困難的是正方形，接著是圓 形，以長方形是最容易的。

2.四歲到六歲

此時期的兒童，有將物品分一半的能力，但能力有限。

3.六歲到七歲

此時期兒童在具體操作期，會用三等分的方法來分割物品，而且知道物體 經分割後，其每一部分合起來的量會和原來的量是一樣的，顯示兒童具有整體 的保留概念。

4.十歲左右

此時期的兒童會六等分物品，其所用的方法是先採用三分法，再將分出來 的每一等份用二分法再分一次，就可得到六個等分的部份。

分數概念既然是一種過程概念，因此需引導學生在分數概念的學習路程中 去經歷，才能將各種概念內化(劉祥通，2004)。而了解學童分數概念的階段性發 展，體認前一階段是後一階段的基礎，才能設計教材與幫助學童學習。

第四節 分數相關概念之實證性研究

一、等分概念

等分是分數的基礎，連續量的等分不僅是兒童最容易接受的概念，同時也 是教學的起點（劉秋木，1996）。所以一開始學習分數時，先要學習的概念就是

「平分」、「等分」，因為分東西是不是「公平」，對學童來說是一個重要的經驗，

同時也是日常生活中會使用到的語言，所以教師要藉由學童的生活經驗介紹「平 分」的概念。而之後的部份/全體或子集/集合的概念，都以「等分」為基本概念 (呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩，2009)。

Pothier and Sawada(1983)研究幼稚園到小學三年級學童，提出學童切分能力

概念發展五階段(許紋菁，2008；謝淡宜，2008)：

階段一：兒童只可以了解何謂分享。

階段二：兒童可以將東西切割，但是切割後的每一塊並不一樣大小。

階段三：兒童能將東西等分，但能力僅限於平分成偶數塊，但不包含割數 為奇數塊。也就是先學會分成「兩」份，接著是分割成「四」、「八」、「十六」

塊的偶數份數。

階段四：達到此階段能力的兒童已能分割偶數塊及奇數塊(奇數塊的分割概 念，是從較簡單數字開始，一開始學會的奇數等分割數是質數，如等分成「三」、

「五」、「七」塊，接著才是會等分成「九」、「十五」塊)。

階段五：兒童會將東西等分割以不同的方式進行。

由此可知，兒童在不同的階段有其應發展的能力。

從呂玉琴(1993)研究二年級學童中顯示，學生常見的等分的錯誤類型有：

1.研究發現部份學童不暸解「平分」的意義，以致分東西時沒有將東西平分 或分得一樣多。

2.認為 n

1就是將東西分成 n 堆中的一堆，但未將東西平分，每一堆的個數不

一樣多；有的學童甚至認為一堆裡有n 個東西就是平分成 n 堆。

3.將不同大小的量分成個數相同的兩份，但這兩份裡的總量並不一樣多。

不只是二年級的學生，兒童等分概念的不完備，我們也可以在Bergeron and Herscovics(1987)研究國小三年級學童在面對分數板的問題時，仍有大部分三年 級的學生只注意到分數板分割的塊數，而忽略每一塊要相等(詹婉華、呂玉琴，

2004)。

在國內，同樣是對中年級學童作分數概念的研究，可以從游政雄、呂玉琴 (2003) 在 探 討 臺 灣 北 部 地 區 國 小 中 年 級 學 童 分 數 概 念 之 研 究 中 發 現 ， 有 17.1%~25.4%的中年級學童在判斷是否等分的問題時，只注意到要分割成幾塊，

而沒有在意每一塊的大小要一樣。例如把一塊蛋糕切成六塊，學童認為這六塊 蛋糕可以不用切成一樣的大小，認為只要分成六塊就是平分成六塊，也就是學

童只是分東西而不是平分東西。

同樣地，許紋菁(2007)利用筆試前測和訪談的方式，運用圖形檢測中年級學 童等分分數概念，歸納出了常見的錯誤想法：

1.不了解平分的意義：學童只將東西分成 4 份就認為是平分，而這 4 份不管 有沒有一樣多。

2.受到視覺的影響：平分圖形時，認為面積以及形狀都要一樣才算是等分。

3.運用錯誤的策略：只將物品分成個數相同的兩份，但未考慮是不是一樣多。

如圖圖2-1：

圖2-1 平分成相同份數但不等量

4.不了解分數符號代表的意義：認為 3

1就是 3 份其中的一份，而不管每一份 是不是等量。

林碧珍(1990)以分數概念測驗工具研究國小五、六年級共 424 名學生以及抽 訪12 人做深入了解，在等分概念上，發現有 22%的學生認為平面圖形的等分，

就是等分之後的每一塊面積和形狀都要相同。

而欲要增進學生對分數的理解，鄭振初(2006)提到可以藉由圖形方式讓學童 表達概念。如圖2-2：黑色部份是圖形的

3 1。

圖2-2 正確的 3

1(引自鄭振初，2006)

而同時他也提出學生有可能的錯誤概念，例如：為圖形塗上 3

1的部份，學生

可能的答案如圖2-3：

犯錯(引自劉秋木，1996)。舉例來說，兒童可以從生活經驗中知道一個蛋糕平分

甯自強(1997a，1997b)對單位分數的做了以下的解析：

分數的活動包含兩個步驟，一是單位分量的製作，二是單位分量的重複。

甯自強(1997a，1997b)以單位分數內容物的使用情境來區分，有以下的情況：

1.在離散量的情境下，有單位分數內容物是單一的與單位分數內容物是複數 個兩種。

2.內容物的性質是連續的。

3.單位分數內容物不是整數個的。

4.單位分數內容物的個數是未知的。 為簡易，因為學童不需要再另外分割來獲得所需的公共單位(commeasure unit)(引 自甯自強，1997b)。

5.兒童能不受圖形形狀的影響，而能正確判斷面積相同、形狀不同的圖形仍 是相等的。

6.會處理分割數不是分母整數倍的問題。

Behr 等人(1984) 探討國小四年級學生在等值分數的表現情形，提出了學生 等值分數的錯誤思考類型，研究的方式是以兩個不同的分數去比較，有三種情 況：「分子相同、分母不同」、「分母相同、分子不同」、「分子分母皆不相同」這 三種。第一種情況，學童在解題時，會只注意到分母，直接以分母的數值比較 大小，分母大者，認為此分數就比較大；第二種情況，學童在解題時，會只注 意到分子，直接以分子的數值比較大小，分子大者，認為此分數就比較大，雖 然回答正確，但是無法真正了解學生是否真正懂得分數的概念；第三種情況，

學童在解題時，會以整數比大小的方式來比較分數大小，若該分數的分子與分 母比另一個分數的分子與分母都還要小，則認為此分數比另一分數小(林芳玉，

2004)

Behr 等人(1984)在研究中發現學生在學習等值分數概念時之所以會出現用 分子、分母數值來回答問題，像這樣的迷思，其主要的原因是學生受到整數的 學習的影響(引自林芳玉，2004)。

雖然等值分數概念在分數教材中佔的部份不多，但是等值分數在國小數學 概念有其重要性，因為等值分數的相關概念，是學習分數的基礎(引自陳雅芬，

2003)。所以不能小看等值分數的重要性，教學上，要引導學生將等值分數的概 念學習好。

四、單位量概念

分數概念是兩個量相比較的結果，若比較的基準量不同，答案也會不同。

所以，在教學上，在分數概念的引導，應要強調單位量(呂玉琴等，2009)。

呂玉琴(1994)指出，確認單位量是面對分數問題時，是最先要做的工作。而 判斷單位量正確與否會影響答案(洪繼賢、劉祥通，2004)。

首先，就單位量（以一個量為基本單位）與單位數（有幾個的基本單位量）

來辨別。舉例說明：例如，有6 顆蘋果，在這裡的單位就是「顆」，單位量是「1」，

單位數是「6」(臺灣省國民學校教師研習會，1996；洪繼賢、劉祥通，2004)。

Behr, Wachsmuth and Post (1988)指出，在處理單位量的分數概念題型時，面 對不同的情境－連續量和離散量，所運用到的知識就不相同。在連續量的情境 當中，學童比較可以清楚的澄清概念，因為連續量被等分後的每一個部份仍是 連續量，不會改變。例如將一條蛋糕等分成三份，學生清楚的看到等分後的結 果。而在離散量的情境當中，學生要將全部的內容物視做一個整體的單位量，

而每一個被分出來的部份裡，是一個一個個別的物品，物品和物品間沒有連結 在一起，學生也要將等分之後的每一份裡的物品看作是一部份，這對學生來說 有其困難性。例如將15顆糖果平分成5份，在這每一份裡都有3顆糖果，困難處 就在於學生要將這3顆糖果看作是一個部份。所以當要求學生取出15顆糖果的

3 2

時，學生會受到分子的影響，只會根據分子的數值而取出和分子一樣的2顆糖果 (游政雄、呂玉琴、吳宏毅、劉世能，2003：黃志敘、楊德清，2007)。

連續量的情境，有時可看成離散量的情境(引自劉祥通，2004)。例如：一條 七公尺長的彩帶，可以將七公尺看成是七個一公尺的合成，這樣的情境相當於

「一盒糖果有七顆」，在這裡，離散了連續量(劉祥通，2004)。

要了解分數必須要完全掌握單位量的概念(引自劉祥通，2004)。

林碧珍(1990)在「從圖型表徵與符號表徵之間的轉換探討國小學生的分數概 念」研究中，利用試題施測及學生面談的資料分析，提出學生在分數常犯的錯 誤類型及學生解題的思考方式：

1.只注意部份：學生忽略全部的量才是單位量，而以部分量當單位量。

1.只注意部份：學生忽略全部的量才是單位量，而以部分量當單位量。