研究目的

分數單元佔據數學領域如此重要的地位，且學生將分數學習好確實不容 易。Behr, Lesh, Post and Silver(1983)指出切割、辨別單位量與等價是了解分數的 基本思考工具(引自劉祥通，2004)。有鑒於此，研究者將探討學習分數的開始-真分數，其包含四個概念：等分、單位分數、單位量、等值分數，研究學生在

分數學習的一開始，是否掌握基本的概念，為往後學習的基礎，並比較學生學 習分數是否因不同的地區而其表現有所不同。希望老師在教學上注意兒童是否 發展了這些必要的概念，在設計活動上，能著重學生基本概念的建立而有所助 益。

基於上述，本研究的目的如下：

一、探討不同地區學童在分數概念的表現情形

1.研究臺中市國小四年級學童在分數概念的表現情形。

2.研究臺中縣國小四年級學童在分數概念的表現情形。

3.比較臺中市和臺中縣國小四年級學童在分數概念的表現情形。

二、探討國小四年級學童在不同分數概念表現情形 1.研究學童在等分概念表現情形。

2.研究學童在單位分數表現情形。

3.研究學童在等值分數表現情形。

4.研究學童在單位量表現情形。

第三節 名詞釋義

(一)國小四年級學童

指的是九十六學年度入學之學齡兒童，在民國九十九學年度是國民小學四 年級學生，所接受的數學教科書是以教育部公布之民國九十二年版「國民中小 學九年一貫課程綱要-數學學習領域」為依據。

(二)分數概念

分數涵蓋很多意義，本研究針對真分數之等分、等值分數、單位量、單位 分數四個概念來探討。

(三)等值分數

一種獲得等值分數的方法是，將東西分割後，幾塊看成是一份，就可獲得

是分數概念之下的一個子概念(Behr, Wachsmuth, post,1988)。將一個給予的 量分割，分割後的一部份和原來的量做比較，這原來的量就是單位量(引自呂玉

(引自呂玉琴等，2009)。本研究探討的概念是用分數符號表示單位分數，其內容 物為一個或不只一個個物。例如：一個蛋糕平分成4 份，其中一份蛋糕是幾個。

(七)連續量

要找出指定分數的部分量時，需將物件作人為切割或者是透過測量才能得 到指定的量為連續量，具有稠密性(引自呂玉琴等，2009)。例如：將一個披薩切 成相等的4 塊。

(八)離散量

物件呈現離散的狀態，每個物件是獨立的呈現，是利用「數數」的方式，

一個一個的數算獨立物件找出指定的量而獲得結果，不需經由切割，這樣的物 件就是離散量(引自呂玉琴等，2009)。例如一包糖果有 6 顆，

3

1包有幾顆？將糖

果一顆一顆的分配，就可以找到 3

1包糖果有2 顆。

第四節 教材分析

本節就九年一貫數學領域課程綱要分析國小二到四年級分數單元內容。

根據教育部九年一貫數學課程綱要，在國民小學的階段，劃分為三階段的目 標：第一階段(一至三年級)能掌握數、量、形的概念；第二階段(四至五年級)能熟 練非負整數的四則與混合計算，培養流暢的數字感；在小學畢業前，能熟練小數 與分數的四則計算、能利用常用數量關係，解決日常生活的問題、能認識簡單幾 何形體的幾何性質、並理解其面積與體積公式、能報讀簡單統計圖形並理解其概 念。而分數的學習，是屬於數與量的部份，是其四大子題「整數」、「量與實測」、

「有理數」和「估算」裡的「有理數」部分。分數課程的安排則是自二年級開始 編入學習。茲按照年級來區分，國小二至四年級所要達成的目標如下：

一、國小二年級

2-n-10 能在平分的情境中，認識分母在 12 以內的單位分數，並比較不同單

位分數的大小。

概念。

第五節 研究限制

一、本研究是在探討四年級學生真分數之等分、等值分數，單位量、單位 分數四個概念的認知，受限於個人能力、時間之限制，研究範圍只以抽樣臺中 市四個國小共四個班級和臺中縣三個國小共四個班級為範圍，在推論方面有所 限制，因此不宜做過多的推論。

二、研究工具：研究用的試卷為研究者根據教育部公佈之國民中小學九年 一貫數學學習領域綱要在低、中年級學童應學習的能力指標，並改編呂玉琴教 授等人(2009)編製之試題，可能因主觀因素而有所影響，故在推論方面有所限制。

第二章 文獻探討

第一節 分數的意義

欲了解分數，首先就「分數」字面上的意義來看：分數一詞是起源於拉丁 文，有「分開」的意思(羅鴻翔譯，Heddeus，1980)。

探究分數的起源，係來自分東西時，當東西無法以原來的型態分配時，就 要透過切割東西來分配(呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩，2009)。羅鴻翔(1980) 也提到，分數是用來解決整數無法解決的問題。甯自強(1995)則更進一步說明：

分數在解決確定不滿一個單位量的量底數值問題(引自甯自強，1995)。

而關於分數的定義，學者也都提出了看法：

Russel 認為分數 n

m的定義：當xn=ym 時，存在 x 與 y 之關係，

n

m的關係是 一對一的，而且m 與 n 都不為 0(引自劉秋木，民 85)。

楊瑞智(2000)分析國小數學教材有關分數的問題情境，得出國小分數教材概 念的意義有：1.部分/全體；2.子集/集合；3.乘法運算元；4.對同一量，用不同分 數表示；5.整數相除結果；6.數線上一點；7.平均；8.相當的意義；9.比率；10.

機率。

呂玉琴等人(2009)將分數概念的意義分為六種：

1.部份/全部(這是分數一開始的涵義)：指的是一個連續量的物品等分後的幾 部分。

2.子集/集合：指的是一個離散量的物品等分後的幾部分。

3.商的意義：兩數相除。

4.數的意義：數線上一點代表的數。

5.比的意義：它是兩個集合(離散量)或兩量(連續量)比較的結果。

6.運算子的意義：可視為是一種操作或函數。

林碧珍(1990)定義分數為：

1.部分/整體模式：某區域的一部分，為連續量。

2.子集合/集合模式：集合中的部分集合，為離散量。

3.數線模式：數線上的一個數值。

4.商模式：整數相除的結果。

5.比值模式：相比的結果。

劉祥通(2004)認為分數概念是一種過程概念。他提出一個分數符號有多重的 意義：

1.部分占整體的量。舉例說明，例如分數 5

4，表示1 個物件等分成 5 份，拿

出其中4 份的量。

2.代表二量之間的比值。

3.測量。

4.一種轉換的結果，放大了 4 倍又縮小 5 1倍。

接下來我們看在數學課程標準裡，對分數下的定義：

首先是八十二年版數學課程標準：

1.操作：在具體物上進行「分的活動」，重視操作模型與分數符號之聯結。

2.部分/全部：包含連續量與離散量之情境。

3.數線上的數值。

4.整數相除的結果。

5.比或比值。

6.表示量的大小。

接著是教育部九十二年頒布的國民中小學數學課程綱要數學學習領域中關 於有理數的涵義：

1.平分的意涵：

藉由學生在生活中與人相處時，所發展出的公平感，以此來引入分數「平 分」、「公平」的概念及化解學習上的認知衝突比較容易，也可以提高學生的理 解度。

2.測量的意涵；

低年級的教材裡引入了長度的測量，在用個別單位度量時，可以藉由剩下 的部分「餘數」，來發展小數與分數概念。其中測量和測量單位的強調，可以調 和「部分/全體」的意涵與帶分數認知衝突。

3.比例的意涵：

比的原理，是一種平分方式，因此學生容易接受。利用比的方式可以幫助 學生解題，而比值概念則可以幫助學生解決關於比例問題。

4.部分/全體的意涵：

部分/全體是在分數學習上一個很重要的概念，但由於學生深受到學習真分 數的影響，在學習假分數或帶分數就會產生阻礙，此時，藉由單位的強調來解 決學生產生的認知衝突。

從探討上述文獻可以得知，分數的概念和數學的其他相關單元，彼此的概 念是互相牽繫的。而隨著分數各種不同的應用情境，其意義與思考類型就不同，

但仍有其相關(甯自強，1993；楊瑞智，2000)。

第二節 分數的表徵

由於分數的概念是很抽象的，所以表徵系統就顯得很重要，並且在運思概 念中被大量的運用。

分數的表徵即是：「在分數學習過程中，從接收訊息開始，透過思考將訊息 內化，轉換成另一種形式呈現思考的結果，並和他人溝通。」(張春興，1989；

蔡玄修，2007；張熙明，2007)

Lesh, Post, and Behr(1987a)認為表徵是需藉由語言、文字、操作，將概念內

化的一種符號系統(張春興，1989；蔡玄修，2007)。 結構網絡愈穩固(王美仁，2009)。Brenner、Herman、Ho and Zimmer(1999)、Dreyfus and Eisenberg(1996)將表徵系統的轉譯方式分為兩類，同時呂玉琴(1991b)也提出 表徵系統對分數概念的影響(王美仁，2009；李玉瀅，2009；蔡玄修，2007；Piaget, Inhelder & Szeminska, 1960)：

1.系統內的轉換： 在(呂玉琴，1991b；王美仁，2009；蔡玄修，2007)。

Lesh, Behr 和 Post(1987)表示，若在不同的表徵系統間，學生依然可以正確 處理的話，就表示學童已經能夠理解一個完整的概念了(呂玉琴，1991；林碧珍，

1990)。而思考的活動，就在轉譯的過程中發生(劉祥通，2004)。

當我們在解題時，進到了一個解題步驟，就表示一個思考活動正在進行，

而當在進行思考活動時，就會運用到思考的材料以利進行解題；如果我們要順 利進行到下一個解題步驟，那麼就必須要利用到前一個解題思考活動所生成的 結果，來成為接下來這個思考活動的材料；而表徵的功能，就是在溝通前一個

步驟和下一個步驟，如此解題活動才能順利進行(蔣治邦，1994)。

Lesh, Post, and Behr(1987b)提出表徵系統的交互模式。在這個模式裡，總共 有五種不同的表徵，分別是「圖形」、「語言」、「書寫符號」、「實物情境」、「操 作物」。表徵和表徵之間彼此會產生交互作用以及轉換。當學生在學習數學和解 決問題時，就會運用到這五種不同的表徵，並且用以表達想法和概念。如果學 生遇到不一樣的問題，或是不同難易度的問題，學生就會有不同的思考，當然 所用到的表徵就會不一樣。如果學生對概念有一定的熟悉度，這些表徵就可以 被自由的轉換，同時，不管學生是運用了哪一種表徵，他都能夠很清楚的來表 達概念 (李玉瀅，2009；林芳玉，2004；林碧珍，1990；林美如，2007；黃芳玉，

2003；張熙明，2006；蔡玄修，2007)。

由上述文獻可知，不同的分數概念問題所運用到的知識及認知結構也就不 同，我們可以從學生在面對問題情境時，運用的何種表徵來理解其對概念的了 解，並可以知道學生目前的概念發展階段，當然如果學生在表徵間轉換流暢，

由上述文獻可知，不同的分數概念問題所運用到的知識及認知結構也就不 同，我們可以從學生在面對問題情境時，運用的何種表徵來理解其對概念的了 解，並可以知道學生目前的概念發展階段，當然如果學生在表徵間轉換流暢，