多階平行機台工件不允許等待之流程式生產排程

國立交通大學

工業工程與管理學系碩士班

碩士論文

多階平行機台工件不允許等待之流程式

生產排程

No-Wait Flowshop Scheduling with

Multi-Stage Parallel Machines

研究生：曾秀文

指導教授：許錫美 博士

多階平行機台工件不允許等待之流程式

生產排程

No-Wait Flowshop Scheduling with Multi-Stage Parallel

Machines

研究生：曾秀文

Student：Shiu-Wen Tseng

指導教授：許錫美 博士

Advisor：Dr. Hsi-Mei Hsu

國立交通大學

工業工程與管理學系

碩士論文

A Thesis

Submitted To Department Engineering and Management College of Management

National Chiao Tung University

In Partial Fulfillment of the Requirements

For the Degree of Master

in

Industrial Engineering

June 2010

Hsin-Chu, Taiwan, Republic of China

多階平行機台工件不允許等待之流程式生產排程

研究生：曾秀文

指導教授：許錫美 博士

國立交通大學工業工程與管理學系

摘要

本研究探討在多階段中有多部平行等效機台的生產系統，工件不允許等待之

流程式生產排程問題（簡稱 NWF-P）。NWF-P 生產線是指在流程式生產線中，

工件一旦進入生產線，不允許有待機的情形發生。本研究根據此問題的特性，以

最小化總排程時間為目標，提出三個禁忌搜尋演算法(TS1、TS2 與 TS3)，求解

各工件佔用機台的優序。TS1 是以傳統隨機方式挑選工件找出鄰近解，TS2 是依

據各工件與前一排序相鄰的工件在各機台的閒置時間，做為工件被挑選的機率，

TS3 是針對階段一的平行機台為考量找出鄰近解。TS3 的求解時間較 TS1 與 TS2

小，且能求得較小的總排程時間。權衡總排程時間與機台利用率，本研究提出決

定各階段最適機台數量的方法。

關鍵字：No-Wait、流程式生產、平行機台、總排程時間、禁忌搜尋法

No-Wait Flowshop Scheduling with Multi-Stage Parallel

Machines

Student : Shiu-Wen Tseng Advisor : Dr. Hsi-Mei Hsu

Department of Industrial Engineering and Management

National Chiao Tung University

Abstract

This research deals with the problem of N jobs on parallel machines in S

successive stages with the constraint that a job after being processed by the first

stage’s machine is not allowed the waiting time between two consecutive operations.

We call this problem as no-wait flowshop with parallel machines scheduling problem

(NWF-P). The objective is to find a schedule that would minimize the makespan. First,

considered the machine idle times, we propose an initial solution, named Revised

MDA1 and Revised MDA2, for jobs schedule and the assignment of jobs to machines

in all stages. Then based on the proposed initial solution, three tabu search algorithms,

named TS1, TS2 and TS3, are developed. We evaluate the performances of TS1, TS2

and TS3. with 640 scenarios for experiments. It shows that TS3 is superior to TS1 and

TS2 in makespan values and computational time. Finally, considered the tradeoff

between machine utilization rates and makespan values, we propose a method to

determine the machine numbers in each stage.

致謝

本論文得以順利完成，首先要感謝我的指導教授許錫美博士不厭其煩的指導

與督促。在研究過程中，每當遇到瓶頸，老師總能有效的啟發我的想法，點破思

考盲點。老師教導我正確的研究精神，在老師的諄諄教誨下，使我在做研究過程

中受益良多。同時也感謝巫木程教授和彭德保教授，在論文口詴期間給予我寶貴

的意見。向以上各位老師至上最高的敬意。

在研究所兩年中，感謝學長冠宏，時時關心我的論文進度，研究夥伴佩芸、

邦豪、曉嚴、浩翰、宗賢、晏生、富驊，研究室學弟妹們。在撰寫論文過程中遇

到困難，都能不吝惜的給予幫忙，因為有了你們的陪伴與支持，我才能在撰寫論

文的這段期間有充實且溫馨的時光。因為有你們，這兩年將成為我永遠的回憶。

我也要感謝我的爸爸、媽媽、哥哥與姐姐，全力的支持我、鼓勵我，讓我能

全心的做研究。特別感謝爸媽在我求學階段的這十幾年來對我的栽培。謹以此論

文獻給我最敬愛的家人。

曾秀文 2010.6

于 新竹交大

目錄

摘要... i

Abstract ... ii

致謝... iii

圖目錄... vi

表目錄... vii

第一章 緒論... 1

1.1 研究背景與動機... 1

1.1.1 No-Wait Flowshop(NWF)生產線 ... 2

1.1.2 No-Wait Flowshop with Identical Parallel(NWF-P)生產線 ... 3

1.2 研究目的... 4

1.3 研究基本假設... 4

1.4 論文架構... 5

第二章 文獻回顧... 7

2.1 NWF (No-Wait Flowshop)相關文獻... 7

2.2 平行機台排程(Identical Parallel Machines Scheduling)相關文獻 ... 10

2.2.1 單階平行機台排程... 10

2.2.2 多階平行機台排程... 10

2.3 NWF-P 相關文獻 ... 12

2.4 本研究與過去不同的地方... 14

第三章 問題描述與求解方法... 15

3.1 問題定義... 15

3.2 符號定義... 16

3.3 問題特性... 17

3.3.1 問題複雜度... 17

3.3.2 解的表達方式... 17

3.4 禁忌搜尋法... 18

3.4.1 起始解... 18

3.4.1.1 起始解演算法之設計概念... 19

3.4.1.2 起始解演算法之執行步驟... 24

3.4.1.3 範例說明... 27

3.4.2 鄰近解... 35

3.4.2.1 TS1 的鄰近解搜尋法 ... 35

3.4.2.2 TS2 的鄰近解搜尋法 ... 37

3.4.2.3 TS3 的鄰近解搜尋法 ... 39

3.4.3 禁忌列表... 42

3.4.4 終止條件... 43

3.5 排程結果... 44

第四章 模擬分析... 46

4.1 案例說明... 46

4.2 績效評估... 50

4.2.1 起始解之績效評估... 51

4.2.2 禁忌搜尋法之績效評估... 54

第五章 平行機台績效之評估... 57

5.1 平行機台績效之評估方法... 57

5.2 評估平行機台績效之案例說明... 57

第六章 結論與未來研究方向... 60

6.1 結論... 60

6.2 未來研究方向... 61

參考文獻... 62

附錄 A ... 65

附錄 B ... 72

圖目錄

圖 1. 1 工件在 NWF 的加工甘特圖 ... 2

圖 1. 2 工件在 NWF-P 的加工甘特圖 ... 3

圖 1. 3 論文架構... 5

圖 2. 1 遞增與遞減工件圖示... 7

圖 3. 1 NWF-P 總排程時間 ... 15

圖 3. 2 各階段最早開始加工時間間隔示意圖... 19

圖 3. 3 Revised MDA1 示意圖 ... 21

圖 3. 4

J

1

為第一個加工優序工件示意圖 ... 22

圖 3. 5

J

2

為第一個加工優序工件示意圖 ... 22

圖 3. 6

J

3

為第一個加工優序工件示意圖 ... 22

圖 3. 7

J

4

為第一個加工優序工件示意圖 ... 22

圖 3. 8 Revised MDA2 示意圖 ... 23

圖 3. 9 Modified MDA1 流程圖 ... 25

圖 3. 10 Modified MDA2 流程圖 ... 26

圖 3. 11 Revised MDA1 之加工甘特圖 ... 31

圖 3. 12 Revised MDA2 之加工甘特圖 ... 34

圖 3. 13 任意兩點交換法移步後示意圖... 35

圖 3. 14 任意三點交換法移步後示意圖... 36

圖 3. 15 任意四點交換法移步後示意圖... 36

圖 3. 16 插入式變動法移步後示意圖... 37

圖 3. 17 兩點間工作互換法示意圖... 37

圖 3. 18 工件之閒置時間示意圖... 39

圖 3. 19 機台內工件互換法示意圖... 39

圖 3. 20 機台內工件法示意圖... 40

圖 3. 21 機台間工件互換法示意圖... 40

圖 3. 22 機台間工件插入法示意圖... 41

圖 3. 23 禁忌名單之資料結構示意圖... 42

圖 3. 24 禁忌搜尋法流程圖... 43

圖 3. 25 演算法架構示意圖... 44

圖 4. 1 起始加工優序之甘特圖... 47

圖 4. 2 TS1 之最終加工優序甘特圖 ... 47

圖 4. 3 TS2、TS3 之最終加工優序甘特圖 ... 48

表目錄

表 1. 1 NWF 工件加工時間(分) ... 2

表 1. 2 NWF-P 工件加工時間(分)-1 ... 3

表 2. 1 No-Wait Flowshop 相關文獻彙整 ... 9

表 2. 2 平行機台排程相關文獻彙整... 11

表 2. 3 No-Wait Flowshop with Parallel Machines 相關文獻彙整 ... 13

表 3. 1 NWF-P 工件加工時間(分)-2 ... 18

表 3. 2 NWF-P 工件加工時間(分)-3 ... 27

表 3. 3 閒置時間對應之工件抽取機率表... 38

表 3. 4 Revised MDA1 工件投料時間表範例 ... 44

表 3. 5 Revised MDA1 機台閒置時間表範例 ... 45

表 4. 1 NWF-P 加工時間表(分)-4 ... 46

表 4. 2 TS1 工件之投料時間表 ... 47

表 4. 3 TS1 之機台閒置時間表 ... 48

表 4. 4 TS2、TS3 工件之投料時間表 ... 48

表 4. 5 TS2、TS3 之機台閒置時間表 ... 49

表 4. 6 加工優序之總排程時間對照表... 49

表 4. 7 各種演算法與 Revised MDA 之求解結果(n=50，Class1) ... 52

表 4. 8 各種演算法與 Revised MDA 之求解結果(n=200，Class1) ... 52

表 4. 9 演算法於不同工件數之優勢百分比... 53

表 4. 10 演算法於不同工件數之 t 檢定 ... 53

表 4.11 TS1、TS2 與 TS3 之求解結果(n=50，Class1) ... 54

表 4.12 TS1、TS2 與 TS3 之求解結果(n=200，Class1) ... 54

表 4. 13 TS 演算法於不同工件數之總排程時間優勢百分比 ... 55

表 4. 14 TS 演算法於不同工件數之總排程時間 t 檢定 ... 55

表 4. 15 TS 演算法於不同工件數之求解時間優勢百分比 ... 56

表 5. 1 機台評估資訊表... 58

表 5. 2

m

₁

=

2,

m

₂

=

2,

m

₃



3,

m

₄



3

平均機台利用率... 58

表 5. 3

m

₁

=

2,

m

₂

=

2,

m

₃

=

2,

m

₄



3

平均機台利用率 ... 58

表 5. 4

m

₁

=

2,

m

₂

=

2,

m

₃



3,

m

₄



2

平均機台利用率 ... 58

表 A. 1 n=50 之各種演算法結果 ... 65

表 A. 2 n=100 之各種演算法結果 ... 67

表 A. 3 n=150 之各種演算法結果 ... 68

表 A. 4 n=200 之各種演算法結果 ... 70

表 B. 1 n=50 之各種演算法結果 ... 72

表 B. 2 n=100 之各種演算法結果 ... 75

表 B. 3 n=150 之各種演算法結果 ... 77

第一章 緒論

1.1 研究背景與動機

排程(Scheduling)是生產管理上重要的課題，因為生產系統的資源有限，好

的排程可以提昇資源的利用率及訂單達交率。

排程問題依照工件在生產環境中的加工特性分成不同的形態，其中流程式生

產(Flowshop)是生產環境中最常見的加工型態，是指工件經過加工機台的順序皆

相同。在現實產業中，此生產型態是存在於以大量製造為主的產業。

流程式生產型態中，有些生產線因為物料特性或品質要求等因素，工件在加

工過程中不允許有待機(No-Wait)的情形發生。此種生產型態稱之為「不允許等待

之流程式生產」(No-Wait Flowshop，NWF)。

NWF 的範圍存在於食品製造業、鋼鐵業、電子業與半導體業中；以半導體

業為例，晶圓製造的蝕刻製程需要將晶圓投入酸槽中作業，以進行蝕刻的化學反

應，而酸槽是以流線式排列，作業完畢後再以機器手臂迅速將晶圓移動到下一個

酸槽作業，由於酸槽內化學反應的作業時間需要很準確，否則會造成不良品，因

此一旦進入酸槽，作業過程中就不能有任何待機的情形發生，為了要確保工件不

會有待機的情形，業界會以較長的投料間隔再進行投料，造成機台閒置，浪費產

能。

因訂單需求增加，許多加工階段會有多部等效平行機台。以半導體業為例，

晶圓製造中，清洗化學光阻常使用濕式清洗設備，某種濕式清洗設備分為三階

段，其中在第一階段中設置了三部平行等效機台，其他階段皆為單部機台。此種

生產線不僅包含 No-Wait Flowshop 的特性，還包含了平行等效機台的特性，稱

之為「平行等效機台不允許等待之流程式生產排程」(No-Wait Flowshop with

Identical Parallel Machines，NWF-P)。以下將介紹 NWF 與 NWF-P 生產線的排程

特性。

1.1.1 No-Wait Flowshop(NWF)生產線

不允許等待流程式生產(NWF)與流程式生產(Flowshop)不同處在於 NWF 排

程問題中，工件在加工過程中不允許有等待的情形，因此加工可能會延遲投料，

避免等待的情形發生。

以下舉例說明 NWF 排程問題的生產特性。假設在 NWF 生產線有 4 個工件，

依序在 4 部機台上加工，各工件在各機台上的加工時間如表 1.1。

表 1. 1 NWF 工件加工時間(分)

加工

時間

1

M

M

₂

M

3

M

4

1

J

3

6

2

2

2

J

2

2

5

2

3

J

3

3

4

4

4

J

2

2

6

3

假設工件的加工優序為

J

₁



J

₂



J

₃



J

₄

時，工件加工的甘特圖如圖 1.1 所示。

M1

M2

M3

J1

J1

J1

J2

J2

J2

J3

J3

J3

時間(分)

5

10

15

20

25

M4

J1

J2

J3

J4

J4

J4

J4

30

圖 1. 1 工件在 NWF 的加工甘特圖

為了確保

J

2

在

M 加工完後可馬上到

1

M 加工，因此

2

J 需要延遲 4 分鐘才能

2

於

M 投料，才可使

₁

J

₂

在第 9 分鐘時於

M 加工；同樣的，

₂

J

₃

也必頇延遲 1 分鐘

於

M 投料，才可使

1

J

3

能在第 16 分鐘時於

M

3

加工。這種延遲是因為 no-wait 的

特性，造成

M 機台的閒置。根據 NWF 的特性，工件必頇經過所有機台加工，

₁

且機台加工工件的順序與工件的投料順序相同，此現象與一般的 flowshop 排程

問題相同。

工件

機台

1.1.2 No-Wait Flowshop with Identical Parallel(NWF-P)生產線

前面所介紹的 NWF 生產線中，工件在每階段都只有一部機台可加工，沒有

選擇機台加工的問題；然而有些生產線，在某些階段可能因為工件加工特性，所

以設置多部平行機台，讓某些機台忙碌時，還有其他機台可進行加工。因此

NWF-P 特性的生產線，是階段中有多部平行等效機台時，讓工件在其中一部機

台上加工。因為 NWF-P 特性，所以工件要在有平行機台的階段挑選一部機台加

工。工件要在具平行機台階段挑選機台，階段機台數與挑選機台的變化提高了計

算各工件在各機台起始時間與結束時間的難度，且總排程時間未必是最後加工工

件的完工時間。綜合以上所述，NWF-P 排程問題是具有解題難度與複雜度。

以下舉例說明 NWF-P 排程問題的生產特性。假設在 NWF-P 生產線有 4 個

工件，依序在 3 部機台上加工，而第一與第三階段皆有 2 部平行機台，第二階段

有 3 平行部機台，各工件在各機台上的加工時間如表 1.2。

表 1. 2 NWF-P 工件加工時間(分)-1

加工

時間

1

M

M

₂

M

3

1

J

2

8

3

2

J

4

12

3

3

J

3

11

9

假設工件的加工優序為

J

₁



J

₃



J

₂

時，工件加工的甘特圖如圖 1.2 所示。

M1(1)

M1(2)

M2(1)

J1

J1

J2

J2

J3

J3

時間(分)

5

10

15

20

M3(1)

M3(2)

J1

J2

J3

25

M2(2)

M2(3)

圖 1. 2 工件在 NWF-P 的加工甘特圖

工件

機台

平行機台造成解的表達困難，假如工件

J

3

在階段一挑選第一部機台進行加

工，則會在第 2 分鐘投料，第 25 分鐘完工；但假如在階段一挑選第二部機台進

行加工，則會在第 0 分鐘投料，第 23 分鐘完工，因此挑選不同機台機工會有不

同解的產生，且總排程時間為工件

J

₃

的完工時間 23 分鐘，因此要隨時更新最後

階段每部機台的完工時間。

目前 NWF-P 的相關研究皆在探討兩階段具平行機台的 NWF 排程問題。

Sriskandarajah[23]探討二階段問題，其中第一階段是單一機台，第二階段有多部

平行機台的情境；Liu 等人[17]探討兩階段皆具有一部以上平行機台的情形；朱

馨吟[25]探討三階段中第一階段具有平行機台的情形，第二、第三階段為單一機

台。目前欠缺探討一般化多階段且各階段有多階平行等效機台的 NWF-P 排程問

題之文獻。本論文針對上述問題，以最小化總排程時間為目標，提出一 NWF-P

排程問題的演算法。

1.2 研究目的

NWF 排程問題之複雜度為 NP-hard、 平行機台排程問題之複雜度亦為

NP-hard，因此皆無法在有限時間內求出最佳解，而 NWF-P 問題比 NWF 與單階

平行機台排程問題更具一般性，因此本研究亦屬於 NP-hard 問題。

本研究在探討 NWF-P 排程問題，以最小化總排程時間為目標，利用禁忌搜

尋法，提出一套適合 NWF-P 排程問題的演算法，以決定工件的加工優序。

1.3 研究基本假設

本研究主要探討 NWF-P 排程問題，基本假設如下：

(1) 已知工件總數。

(2) 已知階段總數。

(3) 已知各階段機台數。

(4) 平行機台為等效(Identical)設備。

(5) 所有工件之間彼此獨立，不具任何優先順序的限制。

(6) 所有工件在一開始即可進行加工。

(7) 不考慮機台故障的問題。

(8) 不考慮機台的整備時間。

(9) 工 件 在 各 機 台 的 加 工 時 間 皆 已 知 ， 且 為 一 個 常 數 ( 稱 為 確 定 性 排 程 ，

Deterministic Scheduling)。

(10) 同一時間每部機台只能處理一個工件，工件在同一時間也只能在一部機台上

加工，各機台加工中的工件加工完後才可下機。

1.4 論文架構

本論文架構如圖 1.3 所示。

模擬分析

平行機台績效評估

結束

開始

文獻回顧

求解方法

NWF

Identical

Parallel

Machines

_NWF-P

單階 多階

圖 1. 3 論文架構

本論文各章內容如下：

第一章 緒論

介紹研究背景、研究動機、研究目的、假設與架構。

第二章 文獻探討

探討過去有關 NWF、平行機台排程與 NWF-P 之相關研究。

第三章 求解方法

說明問題定義、符號定義，並從 NWF-P 問題特性中設計起始解演算法，再

以禁忌搜尋法發展兩個鄰近解搜尋法，分別稱為 TS1 與 TS2。

第四章 模擬分析

設計數個 NWF-P 案例，評估演算法績效。

第五章 平行機台績效評估

根據演算法結果，進行平行機台評估，供決策者做參考。

第六章 結論與未來研究方向

討論研究結果，及未來研究方向。

第二章 文獻回顧

本研究目的是發展一套演算方法來解決 NWF-P 排程問題。故本章將依序回

顧 NWF、平行機台排程及 NWF-P 排程問題的相關文獻。

2.1 NWF (No-Wait Flowshop)相關文獻

Gilmore 等人[12]將二部機台的 NWF 排程問題轉換成旅行者銷售問題

(Traveling Salesman Problem，TSP)。將工件視為旅行者必頇經過的城市，兩兩工

件之間的投料間隔時間視為兩兩城市之間的距離，找出最佳的路線(工件加工順

序)，以最短路線(最短總排程時間)為目標走過所有城市(加工完所有工件)。而

Reddi 等人[20]與 Goyal[13]延伸 Gilmore 的概念，近一步將 m 部機台，n 個工件

的 NWF 轉化成 TSP 問題。其中 Reddi 是從第一部機台來考慮總排程問題，因此

以兩兩工件在第一部機台所產生的閒置時間(delay time)視為兩兩城市之間的距

離；而 Goyal 則是從最後一部機台來考慮總排程問題，因此是以兩兩工件在最後

一部機台所產生的閒置時間視為兩兩城市間的距離。目標同樣是找出 TSP 問題

中的最短路徑來達到最短總排程時間。

Gangadharan 等人[10]探討 m 部機台的 NWF 排程問題，目標是最小化總排

程時間。方法是先將工件依照各階段的加工時間特性分為遞增與遞減，加工時間

有遞增特性的工件放在序列的前半部，特性越明顯的排在越前面，而加工時間有

遞減特性的工件則放在序列的後半部，特性越明顯的排在越後面，如圖 2.1。將

工件加工時間遞增特性越明顯的排在越前面，工件加工時間遞減特性越明顯的排

在越後面，可縮短排程的時間，達到總排程時間最短的目的。

M1

M2

M3

Ji

Ji

Ji

Jk

Jk

Jk

Jj

Jj

Jj

時間(分)

. . .

. . .

加工時間遞增的工件

_{加工時間遞減的工件}

圖 2. 1 遞增與遞減工件圖示

Rajendran [19] 探討 m 部機台的 NWF 排程問題，目標是最小化總排程時間。

方法是先將工件依照各階段的加工時間特性分成遞增與遞減兩群，先將加工時間

有遞增特性的工件依照總流程時間長短排入序列中，總流程時間較短者優先排入

加工序列中，之後再以插入的方法，依序將加工時間有遞增特性的工件插入序列

中，而工件插入的位置則是以能有最小總排程時間的位置為插入點，依照此方式

排完所有工件。

Allahverdi 等人[2]探討 m 部機台的 NWF 排程問題，目標是最小化總排程時

間與最小化總完工時間(total completion time)。針對此雙目標問題，將兩個目標

值分別給予一個權重：



與

1





(

0







1

)，將目標值與權重相乘後得到一個 W

值，解的優劣就由 W 值決定。而提出的演算法是首先給一個起始序列，再將起

始序列中相鄰的兩個工件組成一個 block，假如有剩餘的工件，也視為一個

block。將第一個 block(

J

_i

、

J )排列成

_j

J

_i



J 與

_j

J 

_j

J

_i

，並比較此兩種排序，選

取 W 值較小者，再將之後的 block 插入序列中，在選擇插入點時，會計算 W 值，

找出使 W 值最小的插入點，直到排完所有工件。

Dipak[8]探討 m 部機台的 NWF 排程問題，目標是最小化總排程時間。方法

是先計算每個工件的總流程時間，並依遞減予以排序作為起始排序。接著將起始

排序中的第一個加工工件依序往後面位置插入，還有將第一個加工工件以後的工

件逐一排入第一個加工工件前，並找出此兩種情形中最小總排程時間的序列。將

找出的序列中前兩個工件(

J

_i

、

J )排列成

_j

J

_i



J 與

_j

J 

_j

J

_i

，並比較此兩種排序

的總排程時間，選取總排程時間較小者，之後再將序列中相鄰兩個工件當成一組

block 插入新的序列中，在選擇插入點時，會計算總排程時間，找出能使總排程

時間最小的位置為插入點，依照此方式排完所有工件。

許多啟發式演算法是先獲得一個起始解，再利用插入或是交換等方法進行起

始解的改善，但是這些方法無法跳出局部解，容易在搜尋最佳解的過程中收斂在

局部最佳解(local optimum)中而停止，因此無法找到最佳解。因此之後許多學者

提出了巨集式演算法(metaheuristic algorithm)來求解 m 部以上機台的 NWF 排程

問題，以最小化總排程時間為目標[1,9,22,18,4]。Aldowaisan [1]等人是應用模擬

退火法(simulated annealing)與基因演算法(Genetic Algorithm)，Fink 等人[9]則是

應用禁忌搜尋法(Tabu Search, TS )，Shyu 等人[22]則是應用螞蟻演算法(Ant

Colony Optimization, ACO) ， Pan[18] 等 人 則 應 用 離 散 粒 子 群 演 算 法 (Discrete

Particle Swarm Optimization, DPSO)，Liu[4]等人則是應用混合式粒子群最佳化演

算法(Hybrid Particle Awarm Optimization, HPSO)。

上述 No-Wait Flowshop 相關文獻彙整如表 2.1。

表 2. 1 No-Wait Flowshop 相關文獻彙整

作者

情境

目標

方法

研究結果與貢獻

Gilmore 等人

[12]

二部機台

NWF

最小化總

排程時間

轉換成 TSP 網路問

題

最先將 NWF 排程

問題架構成 TSP

模型

Reddi 等人

[20] &

Goyal[13]

多部機台

NWF

最小化總

排程時間

TSP 網路問題

將 NWF 排程問題

架構成 TSP 模型

Gangadharan

等人[10]

多部機台

NWF

最小化總

排程時間

依工件在各階段加

工時間遞增遞減特

性排序

處理較大型問題

時，解的品質較差

Rajendran

[19]

多部機台

NWF

最小化總

排程時間

依工件在各階段加

工時間特性及配合

插入法排序

演算法的求解時

間過長，穩定性不

足

Allahverdi 等

人[2]

多部機台

NWF

最小化總

排程時間

與最小化

總完工時

間

將起始序列中相鄰

兩工件組成一個

block，再將 block 依

序插入新序列中

與 Rajendran[19]比

較，此演算法有較

優的解

Dipak[8]

多部機台

NWF

最小化總

排程時間

將工件依總流程時

間遞減作為起始序

列，再從起始序列中

相鄰兩工件組成一

個 block，再將 block

依序插入新序列中

與 Rajendran[19]、

Allahverdi[2]比

較，此演算法有較

優的解

2.2 平行機台排程(Identical Parallel Machines Scheduling)相關文獻

2.2.1 單階平行機台排程

由於單階的平行機台排程問題為 NP-hard，所以大多學者都是研究如何找出

此問題的近似最佳解，並以最小化總排程時間為目標。此類型問題最早由

Graham[14]提出以 LPT(Longest Processing Time First Rule)演算法求解，方法是將

總加工時間最長的工件優先排入加工序列中。

Coffman 等人 [6] 提出 Multifit 演 算 法進 行 問 題 求 解 ， 方 法 是 根 據 裝 箱

(Bin-Packing)問題中的 FFD(First Fit Decreasing)法則，將工件的加工時間依照遞

減排序排入加工序列中。

Ghomi 等人[11]提出 PIA(Pairwise Interchange Algorithm，PIA)演算法，方法

是在工件的加工序列都排定後，找出最長總加工時間的機台與最短總加工時間的

機台，將最長總加工時間機台上的其中一個工件與最短總加工時間機台上的其中

一個工件交換，以成對交換的方法改善解。

2.2.2 多階平行機台排程

Johnson[15]探討兩、三階平行機台排程問題。將三階轉化為二階問題，三階

方法是將三階段中階段一與階段二的作業時間加總，轉化成兩階段問題中階段一

的作業時間；階段二與階段三的作業時間加總，轉化成兩階段問題中階段二的作

業時間，接下來選擇最短的作業時間，若最短作業時間是發生在階段一，則優先

處理此工件；若最短作業時間是發生在階段二，則最後處理此工件，依此步驟直

到所有工件排入加工序列中。

Dannenbring [7]以 Johnson 提出方法為基礎，發展多階段平行機台排程問題

的演算法，將多階段平行機台排程問題轉化成兩階段平行機台排程問題。方法是

將所有工件依照工件在每階段的加工時間特性分成兩類，分別當成工件在階段一

與階段二的作業時間，接下來選擇最短的作業時間，若最短作業時間是發生在階

段一，則優先處理此工件；若最短作業時間是發生在階段二，則最後處理此工件，

依此步驟直到所有工件排入加工序列中。

有許多學者將平行機台排程問題加入更多條件，例如：機台整備時間、訂單

交期時間、搬運時間等，使問題更符合實際情形，但與本研究的議題無關，故在

此不進行討論。

上述平行機台排程相關文獻彙整如表 2.2。

表 2. 2 平行機台排程相關文獻彙整

作者

情境

目標

方法

研究結果與貢獻

Graham[14]

單階平行機

台排程問題

最 小 化 總

排程時間

最 長 總 加 工 時 間 工

件先排

Worst case

bound=1.333

Coffman 等

人[6]

單階平行機

台排程問題

最小化總

排程時間

運用裝箱問題的方

法(FFD)於平行機台

排程問題中

其 Worst case

bound 較

Graham[14]好

Ghomi 等人

[11]

單階平行機

台排程問題

最小化總

排程時間

藉著最長完工時間

機台上之作業與最

短完工時間機台上

之作業交換，來減少

總排程時間

表現比

Graham[14]與

Coffman 等人[6]

好

Johnson[15]

多階平行機

台排程問題

最小化總

排程時間

最 短 作 業 時 間 發 生

在階段一，則優先處

理此工件；若最短作

業 時 間 發 生 在 階 段

二，則優先處理此工

件

將三階段平行機

台排程問題轉化

成兩階段

Dannenbring

[7]

多階平行機

台排程問題

最小化總

排程時間

以 Johnson 提出方法

為基礎，將多階段平

行 機 台 排 程 問 題 轉

化 成 兩 階 段 平 行 機

台排程問題

將 m 階段平行機

台排程問題轉化

成兩階段

2.3 NWF-P 相關文獻

雖然具平行機台的 NWF 排程問題逐漸受到重視，但目前 NWF-P 的相關研

究都是在探討兩階段具平行機台的 NWF 排程問題，以下文獻目標皆是探討最小

化總排程時間。

Sriskandarajah[23]探討階段一是單一機台，階段二有多部平行機台的情境，

提出的演算法是先使用隨機的排序方式，之後再將工件依階段二的加工時間以遞

減方式排序，決定工件的加工序列。

Liu 等人探討兩階段其中一個階段具有一部以上平行機台的情形，提出「最

少誤差演算法(Least Deviation Algorithm，LDA)」[17]，隔年延伸為探討兩階段皆

具有一部以上平行機台的情形，並提出「最小誤差演算法(Minimum Deviation

Algorithm，MDA)」[24]。兩個演算法的概念都是計算每階段最早可開始加工時

間的間隔，方法是在第一個工件開始加工後，由工件在機台上的加工時間計算出

階段一與階段二最早可對下一個工件加工的機台，並計算兩個階段的最早可開始

加工時間的間隔 t，如圖 2.2 所示。找出工件在階段一的加工時間與 t 差距最小的

工件，指定為下一個加工工件。

M1(1)

M2(2)

Ji

Ji

Jj

Jj

時間(分)

第一階段最早可對下一個工件開始加工時間

兩階段最早可開始加工時間間隔

M1(2)

M2(1)

第二階段最早可對下一個工件開始加工時間

t

圖 2. 2 兩階段之最早加工時間間隔(t)圖示

朱 馨 吟 [25] 探 討三 階段 中 階段 一具 有一 部以 上 平行 機台 的情 形， 提 出

Modified MDA 演算法，演算法是以機台觀點出發，依據各機台的最早開始可對

下一個工件開始加工的時間之間隔，尋找可以符合此間隔的工件來產生排程序

列。

Chang 等人[5]探討考慮整備與搬運時間的兩階段 NWF-P 排程問題，方法首

先是先將此問題視為 NWF，將工件在階段一的加工時間視為工件在階段一的整

備時間與加工時間之和減去階段二的整備時間，接下來將工件在階段二的加工時

間視為工件在階段二的搬運時間與加工時間之和除以階段二的機台數，再扣掉階

段一的搬運時間。利用兩個階段的加工時間特性將工件分成兩群，第一群為階段

一加工時間小於階段二加工時間的工件，並依階段一的加工時間遞增排序；第二

群為階段一加工時間小於階段二加工時間的工件，並依階段二加工時間遞減排

序，再將第一群排在第二群的前面，即可獲得工件的加工序列。

上述 No-Wait Flowshop with Parallel Machines 相關文獻彙整如表 2.3。

表 2. 3 No-Wait Flowshop with Parallel Machines 相關文獻彙整

作者

情境

目標

方法

研究結果與貢獻

Sriskandarajah

[23]

兩階段

NWF-P

最小化總排

程時間

先以隨機的排

序方式，再將階

段二的加工時

間以遞減方式

排序

證明 worst case

bound 為 3-1/m（m

為機台數），而方法

的 worst case bound

為 2

Liu 等人

[17,24]

兩階段

NWF-P

最小化總排

程時間

使加工工件能

符合機台間隔

之空閒時間

兩階段皆為平行機

台的排程問題唯一

提出的啟發式演算

法

朱馨吟[25]

三階段

NWF-P

最小化總排

程時間

使加工工件能

符合機台間隔

之空閒時間

新的研究領域：考慮

三階段中第一階段

具有平行機台

Chang 等人[5]

考慮整備

時間與搬

運時間的

兩階段

NWF-P

最小化總排

程時間

先將問題視為

NWF 找出工件

的加工序列，再

將工件指派到

機台上

新的研究領域：考慮

兩階段 NWF-P 的整

備時間與搬運時間

2.4 本研究與過去不同的地方

本研究探討多階段 NWF-P 排程問題，在各階段有單一或多部平行等效機

台，是過去文獻中未討論到的議題。由於最小化總排程時間的單階平行機台排程

問題為 NP-hard，而本研究將平行機台的階段數增加，複雜度也相對提高。

Liu 等人[17,24]所探討的兩階段 NWF-P 排程問題只考慮到兩階段機台間之

閒置區間，此問題只需要考慮到工件在階段一的加工時間與機台閒置區間。但多

階段的 NWF-P 排程問題中，需要考慮到所有階段的加工時間與各階段機台間之

閒置區間，而且閒置區間會受到工件在上一個階段加工時間的影響，所以增加了

本研究問題的困難度。

第三章 問題描述與求解方法

3.1 問題定義

本 研 究 探 討 的 NWF-P 排 程 問 題 定 義 如 下 ： 已 知 n 個 獨 立 的 工 件

1

2

{ ,

,...,

i

,...,

N

}

J



J J

J

J

需加工，所有工件必頇依序在第 1,2,…,s 階段進行加工，且各

工件在加工過程中不允許有待機的情形發生。各階段有單一或多部平行等效機台，

工件進入有多部平行等效機台的階段時，可選階段中任一部可加工的機台進行加工

作業。工件

J

_i

在各階段的加工時間為

p ，

_ij

i



1, 2,...,

n

，

j



1, 2,...,

s

。以總排程時間

(Makespan)最小化為目標，求解工件最適加工優序

J

_



{

j

_

₍₁₎

,

j

_

₍₂₎

,...,

j

_

_{( )}

_i

,...,

j

_

_{( )}

_n

}

。

J

_

是指工件被選入加工的優先順序，

j

_

_{( )}

_i

表示排在加工優序第 i 個的工件。其中，

總排程時間是指工件在階段一之最早開始加工時間到工件在最後一個階段 s 之最大

完工時間的總長度。

NWF-P 問題與 NWF 問題不同。NWF 問題中沒有選擇機台加工的問題，而在

NWF-P 問題中，工件要在有平行機台的階段中挑選一部機台加工，挑選機台的變化

提高了計算各工件在各機台起始時間與結束時間的難度，可能造成工件在各機台的

加工優序與投料順序不一致，且排程完工時間未必是最後投料工件的完工時間。以

圖 3.1 為例，加工優序為

J

₁



J

₂



J

₃

，但投料順序是

J

₁



J

₃



J

₂

，且總排程時間

是

J

2

的完工時間，而非最後加工優序工件

J

3

的完工時間。因此必頇隨時更新並記錄

最後一階段每部機台的完工時間，最大者為總排程時間。

M1(1)

M1(2)

M2

J1

J1

J2

J2

J3

J3

5

10

15

20

M3(1)

M3(2)

J1

J2

J3

25

M4(1)

M4(2)

J1

J3

J2

圖 3. 1 NWF-P 總排程時間

3.2 符號定義

s

： 階段數。

n

： 工件數。

J

： 所有工件之集合，

J



{ ,

J J

1

2

,...,

J

i

,...,

J

n

}

。

y

m

： 階段

y

的機台數。(

y



1, 2,...,

s

)

( )

y h

M

： 階段

y

的第 h 部機台。(

y



1, 2,...,

s

；

h



1, 2,...,

m

y

)

iy

p

： 工件

i

在階段

y

的加工時間。(

i



1, 2,..., ;

n y



1, 2,...,

s

)

J



：

(1)

(2)

( )

( )

{

,

,...,

i

,...,

n

}

J

_



j

_

j

_

j

_

j

_

：已排定之工件加工優序。此加工優序不

等於工件投料時間，而是指工件被選入加工的優先順序，

j

_

_{( )}

_i

表示排在

加工優序第

i

個的工件。

( )

p

s

： 排 入 加 工 優 序 第

p

個 工 件 後 剩 餘 待 排 工 件 之 集 合 。

(

s

(0)



{ ,

J J

1

2

,...,

J

i

,...,

J

n

}

；

s

( )

p



s

(

p



1)

\

j



( )

p

；

p



1, 2,...,

n

)

( )p

yhj

a

_

： 階 段

y

第 h 部 機 台 可 對 加 工 優 序 第

p

個 工 件 開 始 加 工 的 時 間 。

(

y



1, 2,...,

s

；

h



1, 2,...,

m

_y

；

p



1, 2,...,

n

)

( )p

yj

t



： 階 段

y

最 早 可 對 加 工 優 序 第

p

個 工 件 開 始 加 工 的 時 間 。

( )p

min{

1

( )p

,

2

( )p

,...,

y ( )p

}

yj

y j

y j

ym j

t

_



a

_

a

_

a

_

，(

y



1,2,...,

s

；

p



1,2,...,

n

)

( )p

i

yj

t



： 未排序之工件

i

若為加工優序第

p

個工件時，於階段

y

之實際最早開始

加工的時間。(

y



1, 2,...,

s

；

i



s

₍

_p

_

₁₎

；

p



1, 2,...,

n

)

( )p

i

yj

T



： 未排序之工件

i

若為加工優序第

p

個工件時，於階段

y

之實際開始加工

時間。(

y



1, 2,...,

s

；

i



s

(

p



1)

；

p



1, 2,...,

n

)

d

：

排程完工時間＝階段 s 各機台完工時間最大值。

( 1) ( 1) ( 1)

1

2

max{

,

,...,

}

p p s p

s j

s j

sm j

d

a

a

a

     



q

w

： 第

q

個閒置區段權重。(

q



1, 2,...,

s



1

)

( )p

i

j

C



： 未排序之工件

i

若為加工優序第

p

個工件之衡量準則。(

i



s

( )

p

)

k

i

ST

_

： 第 k 次迭代的解中，工件

i

的開始加工時間。

k

i

FT

_

： 第 k 次迭代的解中，工件

i

的完成加工時間。

k

i

I

_

：

第 k 次迭代的解中，工件

i

於階段一的閒置時間。

(

i



1, 2,...,

n



1

)

3.3 問題特性

3.3.1 問題複雜度

本研究是 NWF 排程問題與平行機台的延伸。Rock[21]已證明 NWF 排程問題在

二階以上之複雜度為 NP-hard；平行機台排程問題亦為 NP-hard[16]。並且 Liu[17]指

出在兩階段的 NWF 排程問題中，其中一階段具有平行機台的排程問題為 NP-hard。

因此，本研究的階段數增加，更具一般性，所以複雜度亦屬於 NP-hard。

一般 NWF 排程問題，每階段皆為單一機台，沒有選擇機台加工的問題，而在

本研究之 NWF-P 問題中，階段中有單一或是多部平行機台的情形，工件要在有平

行機台的階段中挑選一部機台加工，選擇不同加工機台會造成不同的排程結果，因

此挑選機台變得很重要，而階段機台數與挑選機台的變化提高了工件在各機台起始

時間與結束時間，增加問題的複雜度與困難度。

3.3.2 解的表達方式

本研究所求得的工件加工優序，以

k

J

_

表示，

{

₍₁₎

,

₍₂₎

,...,

_{( )}

}

k k k k

n

J

_



j

_

j

_

j

_

。其中

k

J

_

表示 TS 演算法中第 k 次迭代所得到的解，稱為工作序列 k。當 k=0，則

0

J

_

表示起始

序列，即為起始解所排出的加工優序序列。而

( ) k i

j

_

則表示

k

J

_

中，加工優序為第 i 個

的工件。

3.4 禁忌搜尋法

本研究採用禁忌搜尋法(Tabu Search；TS)來解決 NWF-P 排程問題。禁忌搜尋法

是一種解決組合最佳化問題的鄰近搜尋法，是由目前解在鄰域進行搜尋，利用記憶

架構，將搜尋過的解紀錄在禁忌名單中，以避免重複性的搜尋，使搜尋效率提高。

等到搜尋完整個鄰域後，選擇一個最佳方式逐漸逼近最佳解。禁忌搜尋法由四個主

要部份組成：

(1). 起始解

(2). 鄰近解

(3). 禁忌列表

(4). 終止條件

本研究提出三個禁忌搜尋法，分別命名為 TS1、TS2 與 TS3，並以四階段為例，

說明演算法的概念、執行與評估。三個演算法相異部分在「鄰近解的搜尋方式｣。以

下針對禁忌搜尋法的四大部分說明本研究所提出的演算法。

3.4.1 起始解

本章節依序介紹起始解演算法之設計概念、執行步驟與範例說明。以下舉例說

明起始解設計概念，假設生產線有 4 個工件，依序在 4 部機台上加工，而每階段各

有二部平行機台，各工件加工時間如表 3.1：

表 3. 1 NWF-P 工件加工時間(分)-2

1

M

M

₂

M

3

M

4

1

J

5

7

4

5

2

J

₈

₃

₆

₃

3

J

₇

₉

₆

₄

4

J

₄

₈

₈

₇

加工

時間

工件

機台

3.4.1.1 起始解演算法之設計概念

好的起始解能讓演算法更快速的搜尋到最佳解，不僅能縮短演算法的計算時

間，更能提高解的品質。起始解的設計概念來自 Liu[24]的 MDA 演算法，MDA 僅

使用於兩階段的 NWF-P 情形，本研究將其概念延伸至多階段 NWF-P 問題中，並提

出兩種起始解演算法，分別稱為 Revised MDA1 與 Revised MDA2。Revised MDA1

是以各階段「理想加工時間差距｣為考量依據、Revised MDA2 則是以各階段「閒置

時間｣為考量依據，以下詳細介紹起始解演算法之構想：

A. Revised MDA1

Revised MDA1 是找出每階段最早開始加工時間間隔，讓工件的加工時間能盡量

填滿此間隔時間，如圖 3.2 所示，以達到縮短投料間隔時間為目的。在此研究中將

工件在各階段的加工時間與該階段最早可開始加工時間間隔之差距，稱為「理想加

工時間差距｣，而理想加工時間差距所處位置對總排程時間的影響程度不同，越後面

階段的影響越重要，因此本研究對各階段的理想加工時間差距給予不同的權重，將

工件在各階段所得到的理想加工時間差距乘上對應權重相加後，以準則最小值的工

件為下一個排序之工件。

M1(1)

M2(2)

Ji

Ji

Jj

Jj

時間(分)

階段一最早可對

下一個工件開始

加工時間

相鄰階段最早可開始加工時間間隔

M1(2)

M2(1)

階段二最早可對

下一個工件開始

加工時間

M3(2)

M3(1)

M4(2)

M4(1)

Jj

Jj

Ji

Ji

階段三最早可對

下一個工件開始

加工時間

階段四最早可

對下一個工件

開始加工時間

圖 3. 2 各階段最早開始加工時間間隔示意圖

(1) 定義不同階段的理想加工時間差距權重：

理想加工時間差距所處位置對總排程時間的影響程度不同，越後面階段的影響

越重要，因此本研究對不同階段所產生的理想加工時間差距給予不同的權重，定

義階段

q

之理想加工時間差距權重如式子(1)所示：

=1, 2,...,

1

1

2

...

(

1)

q

q

w

q

s

s





  



(1)

因此在本例中，

w

1



0.17

，

w

2



0.33

，

w

3



0.5

。

(2) 定義各階段對第 p 個加工優序工件最早可開始加工時間：

在排入工件前，必頇要找出各階段中各機台開始加工的時間，以決定第 p 個

加工優序工件的投料時間。定義

( )p

yhj

a



為階段 y 中第 h 部機台可對第

p

個加工優

序工件開始加工的時間。

( )p

yhj

a



，

h



1, 2,...

m

y

之最小值即為第 y 階段對第 p 個加

工優序工件最早可開始加工的時間，如式子(2)所示：

(p)

m i n {

1

(p )

, . . . ,

p( )

, . . . ,

y p( )

}

y j

y

j

y h j

y m

j

h

t

_



a

_

a

_

a

_

(2)

(3) 未排序之工件 i 若為加工優序第 p 個工件時，於各階段之最早開始加工的時間：

找出各階段最早可開始加工時間後，因為工件最早開始加工時間會受到前階段

加工時間的影響，因此在式子(2)中各階段的最早開始加工時間不一定等於工件

在各階段實際最早可開始加工時間，因此定義

( )p

i

yj

t



，記錄未排序之工件 i 若為加

工優序第 p 個工件時，於階段 y 的完工時間(即 y+1 階段實際最早開始加工的時

間)。首先定義工件 i 在階段一實際最早開始加工時間為式子(2)所定義的時間，

時間如式子(3)；之後各階段的實際最早開始加工時間為前一階段實際最早開始

加工時間與此階段作業時間之和，與此階段最早可開始加工時間取最大值，即為

此階段之實際最早開始加工時間，如式子(4)、圖 3.3 所示。

( ) ( )

1

p

1

p

i

j

j

t

t







(3)

(p)

max{

1

(p)

,

(p)

}

2, 3, 4

i

i

yj

y

j

iy

yj

t

t

p

t

y















(4)

M1(1)

M1(2)

M2(1)

5

10

15

20

M2(2)

M3(1)

25

Jk

Jk

Jk

M3(2)

M4(1)

M4(2)

Jk

Jj

Jj

Jj

Jj

30

_時間(分)

Ji

Ji

Ji

Ji

M1(1)

M1(2)

M2(1)

5

10

15

20

M2(2)

M3(1)

25

Jk

Jk

Jk

M3(2)

M4(1)

M4(2)

Jk

Jj

Jj

Jj

Jj

30

( ) ( ) 2 p 2 p i j j

t

_



t

_ ( ) ( ) 3 p 3 p i j j

t

_



t

_ ( ) 4j p

t

_

時間(分)

( ) ( )

1

1

2

.

p p

i

j

i

j

a

t

_



p



t

_

Ji

Ji

Ji

Ji

( ) ( ) 1 p 1 p i j j

t

_



t

_

t

2j_{( )}p

t

3j( )p

t

4j( )p ( ) 3 p i j

t

_ 4 ( )p i j

t

_ ( ) 2 p i j

t

_ ( ) ( )

1

1

2

.

p p

i

j

i

j

b

t

_



p



t

_ ( ) ( ) 1 p 1 p i j j

t

_



t

_ ( ) 4 p i j

t

_

圖 3. 3 Revised MDA1 示意圖

(4) 計算工件在各階段的理想加工時間差距：

以表 3.1 為例說明：

在排程之初，所有階段的最早開始時間均為 0(

(1)

1

j

=0

t

_

、

(1)

2

j

=0

t

_

、

(1)

3

j

=0

t

_

、

(1)

4

j

=0

t



)，若

J

1

為加工優序第一個工件，造成階段二差距時間為 5 分鐘，階段三差

距時間為 12 分鐘，階段四差距時間為 16 分鐘，如圖 3.4；若

J

2

為加工優序第一個

工件，造成階段二差距時間為 8 分鐘，階段三差距時間為 11 分鐘，階段四差距時間

為 17 分鐘，如圖 3.5；若

J

3

為加工優序第一個工件，造成階段二差距時間為 7 分鐘，

階段三差距時間為 18 分鐘，階段四差距時間為 24 分鐘，如圖 3.6；若

J

₄

為加工優

序第一個工件，造成階段二差距時間為 4 分鐘，階段三差距時間為 12 分鐘，階段四

差距時間為 20 分鐘，如圖 3.7。因此計算階段 y 差距時間為

|

1

₍p₎

(

₍p₎

) |

i

y

j

yj

iy

t

_

_



t

_



p

。

M1(1)

M1(2)

M2(1)

時間(分)

5

10

15

20

M2(2)

M3(1)

25

J1

J1

J1

差距5分鐘

差距2分鐘

M3(2)

M4(1)

M4(2)

J1

差距16分鐘

圖 3. 4

J

1

為第一個加工優序工件示意圖

M1(1)

M1(2)

M2(1)

時間(分)

5

10

15

20

M2(2)

M3(1)

25

差距8分鐘

差距11分鐘

M3(2)

M4(1)

M4(2)

差距17分鐘

J2

J2

J2

J2

圖 3. 5

J

2

為第一個加工優序工件示意圖

M1(1)

M1(2)

M2(1)

時間(分)

5

10

15

20

M2(2)

M3(1)

25

差距7分鐘

差距16分鐘

M3(2)

M4(1)

M4(2)

差距22分鐘

J3

J3

J3

J3

圖 3. 6

J

3

為第一個加工優序工件示意圖

M1(1)

M1(2)

M2(1)

時間(分)

5

10

15

20

M2(2)

M3(1)

25

差距4分鐘

差距12分鐘

M3(2)

M4(1)

M4(2)

差距20分鐘

J4

J4

J4

J4

圖 3. 7

J

₄

為第一個加工優序工件示意圖

(5) 選擇第 p 個加工優序工件的準則：

將工件在各階段理想加工時間差距的權重相加後，以衡量準則(

( )p

i

j

C



)最小值的

工件為下一個排序的工件，在此四階段的例子中，定義工件之衡量準則

( )p

i

j

C



為：

( ) ( ) ( )

3

1

1

(

)

p p p

i

i

j

y

j

yj

iy

y

y

C

_

t

_

_

t

_

p

w













(5)

本研究要探討多階段平行機台排程問題，因此具有 s 階段之工件衡量準則

( )p

i

j

C



，

i



s

(

p



1)

，

p



1, 2,...,

n

為：

( ) ( ) ( )

1

1

1

(

)

p p p

s

i

i

j

y

j

yj

iy

y

y

C

_

t

_

t

_

p

w

















(6)

其中，

1

₍p₎

1

₍p₎

i

j

j

t

_



t

_

(3)

(p)

max{

1

(p)

,

(p)

}

2, 3,...,

i

i

yj

y

j

iy

yj

t

_



t

_

_



p

t

_

y



s

(4)

B. Revised MDA2

Revised MDA2 是考慮階段中所有機台的閒置時間，讓工件的加工時間能盡量填

滿機台的閒置時間，以達到縮短投料間隔時間為目的。將工件在各階段所得到的閒

置時間相加後，以準則最小值的工件為下一個排序之工件。

概念同 Revised MDA1 之(2)、(3)、(4)，並計算各階段實際開始加工時間，如式

子(7)、(8)，圖 3.8 所示，紀錄階段一延遲投料的時間點，並更新其餘階段實際開始

加工時間點。

( ) ( ) ( )

1

1

1

1

2

(

, 0)

p p p

s

i

i

i

y

j

iy

yj

y

T

_

t

Min t

_

_

p

_

t

_



 







(7)

(p) 1 (p)

2, 3,...,

i

i

y

y

ij

T

T

p

y

s











(8)

M1(1) M1(2) M2(1) 5 10 15 20 M2(2) M3(1) Jk Jk Jk M3(2) M4(1) M4(2) Jk Jj Jj Jj Jj 時間(分) Ji Ji M1(1) M1(2) M2(1) 5 10 15 20 M2(2) M3(1) Jk Jk Jk M3(2) M4(1) Jk Jj Jj Jj Jj () 2jp t t3j(p) t4j(p) 時間(分) () () 1 1 2 . p p i j i j a t p t Ji Ji () () () 1 p 1 p 1 p i i j j j t t T t2j(p) t3j(p) t4j(p) () () 1 1 2 . p p i j i j b t p t () () 1 p 1 p i j j t t () () 1 1 2 Min( p p, 0) 0 i j i j t p t   M1(1) M1(2) M2(1) 5 10 15 20 M2(2) M3(1) Jk Jk Jk M3(2) M4(1) M4(2) Jk Jj Jj Jj Jj () () 2 p 2 p i j j t t t3j(p) t4j(p) 時間(分) Ji Ji () () 1 p 1 p i j j t t () () 1 1 2 Min( p p, 0) 2 i j i j t p t  1 (p) i j T

圖 3. 8 Revised MDA2 示意圖