6- 機率
【83】同時擲兩枚均勻的硬幣，連續擲兩次，問至少有一次出現一正面一反面的機率為多少？ (A)0 (B) 4 1 (C) 2 1 (D) 4 3 (E)1 【解答】(D) 【詳解】 (，)，(，)，(，)，(，)，一正一反之機率 P 4 2 2 1 C22．( 2 1 )2 C12． 2 1 ． 2 1 4 1 2． 4 1 4 3 ，選(D) 【84】林先生和陳小姐一起到遊樂場玩打靶遊戲。林先生射擊命中靶的機率是 5 2 ，陳小姐的機 率是 2 1 。林先生先射，陳小姐後射；林先生射中與否不會影響陳小姐的命中率。若他們 兩人向靶各射一次，問只有陳小姐射中的機率為多少？ 。 【解答】 10 3 【詳解】 林先生不中的機率 1 5 2 5 3 ，陳小姐中的機率 2 1 ∵ 兩人射中與不中為獨立事件，∴ 只有陳小姐射中的機率 5 3 2 1 10 3 【86-1】有一種丟銅板的遊戲，其規則為：出現正面的則繼續丟，出現反面就出局，那麼連續 丟 5 次後還可繼續丟的機率為 ( 2 1 )5 32 1 。某班有 40 名學生，每人各玩一局，設班 上至少有一人連續丟 5 次後還可繼續丟的機率為 p，則 (A) 0.4 p 0.5 (B) 0.5 p 0.6 (C) 0.6 p 0.7 (D) 0.7 p 0.8 (E) 0.8 p 0.9 【解答】(D) 【詳解】 不能連續丟 5 次後再繼續之機率為 32 31 ∴ 班上至少有一人連續丟 5 次後還可繼續丟的機率 p 1 ( 32 31 )40 log ( 32 31 )40 40 (log 31 log 32) 40 (1.4914 1.5051) 0.548 1 0.452∴ 0.4518 < 0.452 < 0.4533 ∴ 0.283 ( 32 31 )40 0.284 0.716 p 0.717 ∴ 正確為(D) 【86-2】某人上班有甲、乙兩條路線可供選擇，早上定時從家裡出發，走甲路線有 10 1 的機率 會遲到，走乙路線則有 5 1 的機會遲到。無論走哪一條路線，只要不遲到，下次就走 同一條路線，否則就換另一條路線。假設他第一天走甲路線，則第三天也走甲路線 的機率為 。 【解答】 100 83 【詳解】 第一天 第二天 第三天 第一天 第二天 第三天 甲 甲 甲 → 10 9 10 9 100 81 ；甲 乙 甲 → 10 1 5 1 100 2 ∴ 第三天也走甲路線之機率為 100 81 100 2 100 83 【87】設事件 A 發生的機率為 2 1 ，事件 B 發生的機率為 3 1 ，若以 p 表事件 A 或事件 B 發生的 機率，則 p 值的範圍為何？(A) p 6 1 (B) 6 1 < p 3 1 (C) 3 1 p 2 1 (D) 2 1 p 6 5 (E) p 6 5 【解答】(D) 【詳解】 P (A B) P (A) P (B) P (A B) ∴ P (A B) P (A) P (B) p 2 1 3 1 6 5 …… 又 A A B 且 B A B P (A B) P (A)且 P (A B) P (B) p 2 1 且 p 3 1 ∴ p 2 1 …… 由知 2 1 p 6 5
【88】擲 3 粒公正骰子，問恰好有兩粒點數相同的機率為 。 【解答】 3 6 90 【詳解】 2 粒相同之機率 3 3 2 6 5 6 C 3 6 90 【89】設 P1表示丟 2 個公正硬幣時，恰好出現 1 個正面的機率，P2表示擲 2 個均勻骰子， 恰好出現 1 個偶數點的機率，P3表示丟 4 個公正硬幣時，恰好出現 2 個正面的機率。 試問下列選項何者為真？(A) P1 P2 P3 (B) P1 P2 > P3 (C) P1 P3 < P2 (D) P1 P3 > P2 (E) P3 > P2 > P1 【解答】(B) 【詳解】 P1 C 2 1( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 1 ，P2 C 2 1 ( 2 1 )( 2 1 ) 2 1 ，P3 C 4 2( 2 1 )2 ( 2 1 )2 8 3 ∴ P1 P2 > P3 【90】從 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中，任取兩相異數，則其積為完全立方數的機率為 。 【解答】 12 1 【詳解】 乘積為立方數的有(1，8)，(2，4)，(3，9) ∴ 所求機率為 36 3 12 1 【91-1】有一群體有九位成員，其身高分別為（單位：公分）160，163，166，170，172，174， 176，178，180，此九人的平均身高為 171 公分。今隨機抽樣 3 人，則抽到 3 人的平 均身高等於母體平均身高的機率為 。（化成最簡分數） 【解答】 28 1 【詳解】 x 160，163，166，170，172，174，176，178，180 x 171 11， 8， 5， 1，1，3，5，7，9 從 x 171 中，任取三數，其和為 0 者有 8 3 5， 8 1 7， 8 1 9 三種 所求機率 9 3 3 C 84 3 28 1
【92】金先生在提款時忘了帳號密碼，但他還記得密碼的四位數字中，有兩個 3，一個 8， 一個 9，於是他就用這四個數字隨意排成一個四位數輸入提款機嘗試。請問他只試一 次就成功的機率有多少？答： 。（化成最簡分數） 【解答】 12 1 【詳解】 (3，3，8，9)組成四位數的情形有 ! 2 ! 4 12 種 所求機率 12 1 【93】從 1，2，…，10 這十個數中隨意取兩個，以 p 表示其和為偶數之機率，q 表示其和為 奇數之機率。試問下列哪些敘述是正確的？(1) p q 1 (2) p q (3) | p q | 10 1 (4) | p q | 20 1 (5) p 2 1 【解答】(1)(4) 【詳解】 p 10 2 5 2 5 2 C C C 45 20 9 4 （構成兩數和為偶數：二偶或二奇） q 10 2 5 1 5 1 C C C 45 25 9 5 （構成兩數和為奇數：一偶或一奇） (1) p q 9 4 9 5 9 9 1 (2) p q (3) | p q | | 9 4 9 5 | 9 1 10 1 (4) | p q | | 9 4 9 5 | 9 1 20 1 (5) p 9 4 2 1 【94】台北銀行最早發行的樂透彩(俗稱小樂透)的玩法是「42 選 6」：購買者從 01~42 中任選 六個號碼，當這六個號碼與開出的六個號碼完全相同(不計次序)時即得頭獎；台北銀行 曾考慮改發行「39 選 5」的小小樂透：購買者從 01~39 中任選五個號碼，如果這五個 號碼與開出的五個號碼完全相同(不計次序)則得頭獎。假設原來的小樂透中頭獎的機率 是 R，而曾考慮發行的小小樂透中頭獎的機率是 r。試問 r R 比值最接近下列哪個選項？ (1) 3 (2) 5 (3) 7 (4) 9 (5) 11 【解答】(4) 【詳解】 42 39 6 5 1 1 , R r C C 642 39 5 37 38 39 40 41 42 82 720 9 35 36 37 38 39 9 120 C r R C
【95】在右圖的棋盤方格中﹐隨機任意取兩個格子.選出的兩個格子不在同行（有無同列無所 謂）的機率為(1) 1 20 (2) 1 4 (3) 3 4 (4) 3 5 (5) 4 5. 【解答】(5) 【詳解】 4 4 4 2 1 1 16 2 4 5 C C C P C 【98】甲、乙、丙三所高中的一年級分別有 3 ，4， 5 個班級。從這12個班級中隨機選取 班參加國文抽考，再從未被抽中的11個班級中隨機選取一班參加英文抽考。則參加 抽考的兩個班級在同一所學校的機率最接近以下哪個選項？ (1) 21% (2) 23% (3) 25% (4) 27% (5) 29%。 【解答】(5) 【詳解】 兩個班級在同一所學校的機率 3 2 12 2 1 ( ) 22 C P C 甲 ， 4 2 12 2 1 ( ) 11 C P C 乙 ， 5 2 12 2 5 ( ) 33 C P C 丙 ， 知所求機率 ( ) ( ) ( ) 19 29% 66 P甲 P乙 P丙 ≒ 。 【100】高三甲班共有 20 位男生、15 位女生，需推派 3 位同學參加某項全校性活動。班會中 大家決定用抽籤的方式決定參加人選。若每個人中籤的機率相等，則推派的三位同學中 有男也有女的機率為________。 【解答】 90 119 【詳解】 所求 = P(1 男 2 女) + P(2 男 1 女) 20 15 20 15 1 2 2 1 35 3 90 119 C C C C C 。 【101- 1】箱中有編號分別為 0，1，2，…，9 的十顆球。隨機抽取一球，將球放回後，再隨機 抽取一球。請問這兩球編號相減的絕對值為下列哪一個選項時，其出現的機率最大？ (1) 0 (2) 1 (3) 4 (4) 5 (5) 9。 【解答】(2)
【詳解】 依題意列表，( ,a b)(第 1 球, 第 2 球)， |a b | 0 (0, 0)，(1, 1)，(2, 2)，…，(9, 9)，共 10 組 |a b | 1 (0, 1)，(1, 0)，(1, 2)，(2, 1)，(2, 3)，(3, 2)，(4, 3)，(3, 4)，…，(8, 9)， (9, 8)，共9 2 18 組 |a b | 4 (0, 4)，(4, 0)，(1, 5)，(5, 1)，…，(5, 9)，(9, 5)，共 6 2 12 組 |a b | 5 (0, 5)，(5, 0)，(1, 6)，(6, 1)，…，(4, 9)，(9, 4)，共 5 2 10 組 |a b | 9 (0, 9)，(9, 0)，共1 2 2組 故以|a b | 1，機率 18 9 10 10 50 P 最大，故選(2)。 【101- 2】坐標空間中，在六個平面 14 13 x ， 1 13 x ，y1，y 1，z 1及z 4所圍成的 長方體上隨機選取兩個相異頂點。若每個頂點被選取的機率相同，則選到兩個頂點的距 離大於 3 之機率為 。（化成最簡分數） 【解答】3 7 【詳解】 六個平面所截之長方體為右圖， 8 點任取兩點有C28 28個線段， 線段長有 1，2，3， 5， 10 ， 13 ， 14 ， 其中 12 條稜線，長度都 3 。 其中 4 條，邊長(1, 2)對角線 53。 故長度 3 的共 28 12 4 12 ， 故兩點距離大於 3 的機率 8 2 12 12 3 28 7 p C 。 【102】袋子裡有 3 顆 白 球 ， 2 顆 黑 球 。 由 甲 、 乙 、 丙 三 人 依 序 各 抽 取 1 顆 球 ， 抽 取 後 不 放 回。若 每 顆 球 被 取 出 的 機 會 相 等，請 問 在 甲 和 乙 抽 到 相 同 顏 色 球 的 條 件 下 ， 丙 抽 到 白 球 之 條 件 機 率 為 何 ？ (1) 1 3 (2) 5 12 (3) 1 2 (4) 3 5 (5) 2 3 【解答】(3)
【詳解】 ( | ) P 丙抽到白球 甲乙相同顏色球 ( ) ( ) P P 甲乙相同顏色且丙白球 甲乙相同顏色球 3 2 1 2 1 3 1 5 4 3 5 4 3 3 2 1 3 2 2 2 1 3 2 5 4 3 5 4 3 5 4 3 ﹐故選(3)﹒ 【乙 85】已知編號為 1，2，…，10 的十盞路燈中，有三盞是故障的，則編號 4 與編號 5 都是 故障的機率為 。 【解答】 15 1 【詳解】 《方法 1》1，2，…，10 盞燈中有 3 盞是壞的 其可能情形總數，即樣本空間總數 n(S) C1 03 120 令事件 A 表 4，5 及另一盞是壞的事件，則 n(A) C18 8， ∴ 所求之機率為 120 8 15 1 《方法 2》每盞燈好與壞機率各半 今知三盞是壞的，其機率為 C1 03 ( 2 1 )3．C77( 2 1 )7 在此條件下，4，5 是壞的，其機率為 C81( 2 1 )2( 2 1 )．C77( 2 1 )7 故所求 10 10 3 10 8 1 ) 2 1 ( ) 2 1 ( C C 15 1 【乙 86】袋中有七個相同的球，分別標示 1 號、2 號、…、7 號。若自袋中隨機取出四個球 （取出之球不再放回），則取出之球上的標號和為奇數的機率為 。 【解答】 35 16 【詳解】 1，2，3，4，5，6，7 中，奇數 4 個，偶數 3 個 4 數和為奇數，則必為 3 偶 1 奇或 1 偶 3 奇 ∴ 其機率 7 4 4 3 3 1 4 1 3 3 ) 4! ( ) 4! ( P C C C C 35 16
【乙 87】擲三枚相同且均勻的銅板一次，則在至少出現一個正面條件下，恰好出現兩個正面 的 機率為 。 【解答】 7 3 【詳解】 令 A 表至少出現一正面之事件 P (A) 1 ( 2 1 )3 8 7 令 B 表恰好出現二正面事件，則 B A P (A B) P (B) C32( 2 1 )3 8 3 所求 P (B | A) ) ( ) ( A P B A P 3 8 7 8 7 3 【乙 88】當使用一儀器去測量一個高為 70 單位長的建築物 50 次，所得數據為 測量值 68 單位長 69 單位長 70 單位長 71 單位長 72 單位長 次 數 5 15 10 15 5 根據此數據推測，假如再用此儀器測量該建築物三次，則三次測得的平均值為 71 單位長的機率為 。 【解答】 125 9 【詳解】 ∵ 三次測得平均值為 71 單位長的組合方式有 (69，72，72)，3 種；(70，71，72)，6 種； (71，71，71)，1 種 又∵ 69 單位長的機率為 10 3 ，70 單位長的機率為 10 2 71 單位長的機率為 10 3 ，72 單位長的機率為 10 1 故三次測得平均為 71 單位長的機率為 3 10 3 10 1 10 1 6 10 2 10 3 10 1 1 10 3 10 3 10 3 1000 72 125 9 【乙 89】某班有 50 位同學，其中男生有 30 位，女生 20 位。某次導師要抽 5 位同學留下打掃 環 境，依性別按人數比例做分層抽樣，則班上男同學張志明被抽中的機率是 。 【解答】 10 1
【詳解】 依照分層抽樣比例：男生抽 3 位，女生抽 2 位 ∴ 所求機率為 30 3 29 2 1 1 C C C ． 28 29 5 14 29 ． ． ． 10 1 【乙 90】某課外活動社團共有 20 位同學參加，已知其中高一、高二、高三同學所占比例分別 為 55％、25％、20％。若由該社團中任選兩人，則此兩人是不同年級學生的機率 。 【解答】 190 119 【詳解】 20 55％ 11，20 25％ 5，20 20％ 4 20 2 11 1 4 1 4 1 5 1 5 1 11 1 C C C C C C C 【乙 92】樂透是由 1～42 個號碼開出 6 個號碼，請問開出的 6 個號碼都是偶數的機率，最接 近下 列哪一個值？(1) 2 1 (2) 42 6 (3) 3 2 1 (4) 12 1 (5) 6 2 1 【解答】(5) 【詳解】 1 到 42 個號碼中有 21 個偶數，故開出的 6 個號碼都是偶數的機率為 42 6 21 6 C C 37 38 39 40 41 42 16 17 18 19 20 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 6 2 1 【乙 93-1】某校要從高一的「忠、孝、仁、愛」四個班級中隨機選取一個班級進行數學抽測。 考慮甲、乙兩種抽樣方法：甲方法是從四個班級的導師中隨機選取一人， 被選中 導師的班級為抽測班級；乙方法是從所有高一學生中隨機選取一名學生，被選中 學生的班級為抽測班級。若各班人數都不相同，其中「愛」班人數最多。則下列 敘述有哪些是正確的？ (1) 甲方法中，每位高一學生被抽測的機率相等 (2) 乙方法中，每位高一學生被抽測的機率相等 (3) 甲方法中，四個班級被抽測的機率相等 (4) 乙方法中，四個班級被抽測的機率相等 (5) 「愛」班被抽測的機率，使用甲方法較使用乙方法高 【解答】(1)(3) 190 119
【詳解】 甲法 : 每班抽中機率相等每個同學被抽中機率亦相等 乙法 : 班級人數多者被抽測的機率較大 故以乙法愛班同學被抽中之機率較大 【乙 93-2】阿貴和阿美及其他 8 名同學共 10 名學生輪到本周擔任值日生。本周 5 個上課日 每天從尚未當過的同學中抽籤選出 2 位輪值。則阿貴和阿美同一天擔任值日生 的機率為？ (以最簡分數表示) 【解答】1 9 【詳解】 先分組再分週一至週五 8 6 4 2 2 2 2 2 10 8 6 4 2 2 2 2 2 2 5! (2, 2, 2, 2) 5! 4! 1 (2, 2, 2, 2, 2) 5! 9 5! 5! C C C C p C C C C C 【 乙 9 4】 根 據 過 去 長 期 統 計 資 料 顯 示 ： 某 公 司 推 銷 員 的 年 資 x (年 )， 與 每 次 推 銷 成 功 的 機 率 y(x )， 滿 足 下 列 關 係 式 ： 3 3 2 ( ) 1 2 x x y x ( 1)化 簡 r(x )＝ ) ( 1 ) ( x y x y ， 並 說 明 r(x )的 值 隨 x 增 大 而 增 大 (即 r(x )為 遞 增 函 數 )。 ( 2)說 明 年 資 8 年 (含 ) 以 上 的 推 銷 員 ， 每 次 推 銷 不 成 功 的 機 率 小 於 4 %。 【詳解】 (1) 3 3 3 3 2 2 2 2 ( ) 1 2 1 2 2 8 2 x x x x x x y x 3 3 2 ( ) 8 2 2 2 ( ) 2 2 1 ( ) 8 2 1 8 2 x x x x x x x y x r x y x 因 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3 2 2 ( )1 ( 2) x x x x x x r x r x 即r x( )為遞增函數 (2)每次推銷不成功的機率1 ( ) 1 2 8 8 2 8 2 x x x y x 8 8 8 1 1 1 (8) 4% 8 2 264 33 25 y
【乙 96-1】某地區 12 歲以上人口中吸煙的比率為 28％。今將 12 歲以上人口區分為中老年、 青壯年及青少年三類，所佔比率各為 30％、45％及 25％。已知中老年與青壯年人 口中吸煙的比率各為 25％與 30％，請問青少年人口中吸煙的比率為多少？選出正確 的 選項：(1) 24％ (2) 28％ (3) 32％ (4) 36％ (5) 40％ 【解答】2 【詳解】 請青少年人口吸煙的比率為 x％， 依題意 30％×25％＋45％×30％＋25％×x％＝28％， 解得 x＝28 【乙 96-2】某棒球比賽有實力完全相當的甲乙丙丁四隊參加，先將四隊隨機抽籤分成兩組比 賽，兩組的勝隊再參加冠亞軍決賽。如右圖：根據過去的紀錄，所有隊伍比賽時各隊獲 勝的機率均為 0.5。則冠亞軍決賽由甲、乙兩隊對戰的機率為 （四捨五入到小數三位）。 【解答】1 6 【詳解】 先將甲排入，乙在第一場比賽不遇到 甲的機率為2 3 ，故所求機率為 2 3 × 1 2 × 1 2 ＝ 1 6 【乙 97-1】有一個不公正的骰子﹐投擲的時候﹐二點﹑三點﹑四點﹑五點和六點出現的機率 都是log ( )10 3 2 ﹐今以a表 10 3 log ( ) 2 ﹐以b表投擲的時候一點出現的機率﹐請選出正確 的選項﹒(1)a0 (2)a1 (3) 1 6 b (4) log ( )10 4 3 b (5)ab﹒ 【解答】(1)(3)(4)(5) 【詳解】 (1)(2) log103 2 a ﹐∵1 3 10 2
∴log 1 log10 103 log 1010 0 1
2 a
﹒
(3) 6 6 6 6
10 10 10 10
3 3 729 1
log log ( ) log log 10
2 2 64 6 a 1 6 a ﹐又5 1 1 5 1 5 6 a b b a ﹐即 1 6 b ﹒ (4) 10 10 5 10 10 3 320 4
1 5 log 10 log ( ) log log
2 243 3
b a ﹒
(5)a b a (1 5 )a 6a 1 log ( )3 6log 10log 729log 1 0 a b﹒
30％ x％ 45％ 中老年 吸煙人口 青壯年 吸煙人口 青少年 吸煙人口 30％ 25％
【乙 97-2】從集合{ 0 a b a c ﹐b﹐c為 0﹐1﹐2 或 3}中隨機抽取一個矩陣﹐其行列式為 0 的機 率等於____________﹒（化為最簡分數） 【解答】 7 16 【詳解】 a ﹐ b ﹐ c 各可從 0﹐1﹐2﹐3 中任選一數n(樣本空間)4364 其次﹐ 0 a b ac c (0 0) a b n n c ( b 任意選且ac0) 4 (423 )2 4 7﹐ 故機率 4 7 7 64 16 ﹒ 【乙 98-1】某實驗室欲評估血液偵測老年癡呆症技術的誤判率﹙即偵測錯誤的機率﹚﹒共有 760 人接受此血液偵測技術實驗﹐實驗前已知樣本中有 735 人未患老年癡呆症﹒實驗後﹐血液 偵測判斷為未患老年癡呆症者有 665 人﹐其中真正未患老年癡呆症有 660 人﹒試問此血液偵 測技術的誤判率為__________﹒（化成最簡分數） 【解答】 2 19 【詳解】 由右表得所求 5 75 2 760 19 ﹒ 【乙 98-2】箱子裡有 30 顆紅球﹐20 顆藍球﹒小明從箱子中隨機抽出 1 顆球﹐記錄球的顏色後 放回﹒重複此動作 5 次﹐並依序記錄﹒下列各選項都是小明可能呈現的紀錄﹐試問哪一 選項發生的機率最大？ (1)紅紅紅紅紅 (2)藍藍藍藍藍 (3)紅紅藍紅紅 (4)紅藍紅藍紅 (5)藍紅紅藍紅﹒ 【解答】(1) 【詳解】 (1)( )3 5 243 5 3125﹐(2) 5 2 32 ( ) 5 3125﹐(3) 4 3 2 162 ( ) 5 5 3125﹐ (4)( ) ( )3 3 2 2 108 5 5 3125﹐(5) 3 2 3 2 108 ( ) ( ) 5 5 3125﹐ 實驗前 實驗後 有病 沒病 合計 有病 20 75 95 沒病 5 660 665 合計 25 735
【乙 100-1】符號P C( )代表事件C發生的機率﹐符號P C D( | )代表在事件D發生的條件下﹐事件 C發生的 機率﹒今設A B, 為樣本空間中的兩個事件﹐已知P A( )P B( )0.6﹒請選出正 確的選項﹒ (1)P A( B)1 (2)P A( B)0.2 (3)P A B( | )1 (4)P A B( | )P B A( | ) (5)A﹐B是獨立事件﹒ 【解答】(4) 【詳解】 題意 P(A) = P(B) = 0.6﹐ (1)(2) P A( B) = P(A) + P(B) −P A( B) = 0.6 + 0.6 −P A( B) = 1.2 −P A( B)﹐ 但題目中並未提及AB﹐所以P A( B)之值是否為 0.2 不得而知﹐ 這表示P A
B
之值也不一定為1﹐故選項(1)(2)皆不合﹒ (3) ( | ) ( ) ( ) P A B P A B P B ﹐但P A( B)之值未知﹐所以P A B( | )之值也不能確定﹐故不合﹒ (4) ( | ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) P A B P A B P A B P B A P B P A ﹒（∵P A( )P B( )）����� (5)因為P A( B)P A P B( ) ( )之值不確定﹐所以P A( B)P A P B( ) ( )不一定成立﹐ 表示A﹐B二事件不一定獨立﹒ 【乙 100-2】某種疾病有甲﹑乙﹑丙三種檢測方法﹒若受檢者檢測反應為陽性﹐以符號「」 表示﹐反之則記為「」﹒一個受檢者接受三種檢測方法呈現之結果共有A1, , A8 八種不同的可能情況﹐例如事件A 表示該受檢者以三種方法檢測反應皆為陽性﹐1 其餘類推（如下表）﹕ 1 A A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 方法甲 方法乙 方法丙 以P A( 1), , P A( 8)分別代表事件A1, , A 發生之機率﹒請問下列哪些選項是正確的﹖ 8 (1)P A( 1A2)P A( 1)P A( 2) (2)以方法乙檢測結果為陽性的機率是P A( 1)P A( 2)P A( 4)P A( 6)(3)以方法甲與方法乙檢測﹐結果一致的機率是P A( 1)P A( 2) (4)以方法甲﹑乙﹑丙檢測﹐結果一致的機率是P A ﹒ ( 1) 【解答】(1)(2) 【詳解】 依題意知事件A ﹐1 A2﹐…﹐A 為樣本空間 S 的所有基本事件﹐ 8 這表示 1 2 ... 8 , 1 , 8, i j A A A S A A i j i j ﹐因為每種檢驗都有 ﹐兩種情況﹐ 三種檢驗方式共有 3 2 8種情況﹒（如同擲三個硬幣） (1)P A( 1A2)P A( 1)P A( 2)P A( 1A2) P A( 1)P A( 2)P( ) P A( 1)P A( 2)﹒ (2)若乙檢測結果為陽性的事件為B﹐ 1 2 4 6 1 2 4 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P B P A A A A P A P A P A P A ﹒ （∵A ﹐1 A2﹐A4﹐A6兩兩積事件為空事件）﹒ (3)設方法甲與方法乙檢驗結果一致的事件為 C ﹐ 則P C( )P A( 1A2A7A8)P A( 1)P A( 2)P A( 7)P A( 8)﹐故不合﹒ (4)設方法甲﹑乙﹑丙檢驗結果一致的事件為D﹐則P D( ) P A( 1A )8 P A( )1P A( )8 ﹐ 故不合﹒ 【乙 100-3】某訓練班招收 100 名學員﹐以報到先後順序賦予 1 到 100 的學號﹒開訓一個月之 後﹐班主任計畫從 100 位學員中抽出 50 位來參加時事測驗﹒他擬定了四個抽籤方案﹕ 方案一﹕在 1 到 50 號中﹐隨機抽出 25 位學員﹔同時在 51 到 100 號中﹐也隨機抽出 25 位學員﹐共 50 位學員參加測驗 方案二﹕在 1 到 60 號中﹐隨機抽出 32 位學員﹔同時在 61 到 100 號中﹐也隨機抽出 18 位學員﹐共 50 位學員參加測驗 方案三﹕將 100 位學員平均分成 50 組﹔在每組 2 人中﹐隨機抽出 1 人﹐共 50 位學員參 加測驗 方案四﹕擲一粒公正的骰子﹕如果出現的點數是偶數﹐則由學號是偶數的學員參加測 驗﹔ 反之﹐則由學號是奇數的學員參加測驗 請選出正確的選項﹒ (1)方案一中﹐每位學員被抽中的機率相等 (2)方案二中﹐每位學員被抽中的機率相等 (3)方案三中﹐每位學員被抽中的機率相等 (4)方案四中﹐每位學員被抽中的機率相等﹒ 【解答】(1)(3)(4) 【詳解】 (1)方案一中﹐每位學員被抽中的機率皆為 25 1 50 2﹒ (2)方案二中﹐前 1～60 號學員被抽中的機率為 32 8 60 15﹐
後 61～100 號學員被抽中的機率為 18 9 4020﹐ 所以並非每位學員被抽中的機率一樣﹐故不合﹒ (3)方案三中﹐均分 50 組﹐每組 2 人﹐各組隨機抽一人﹐所以每人被抽中的機率皆為 1 2﹒ (4)方案四中﹐擲公正骰子出現偶數點與奇數點的機率一樣﹐ 所以編號為偶數號或奇數號的學員﹐因為兩者人數相同﹐ 所以每人被抽中的機率一樣﹐皆為 1 2﹒ 【乙100-4】某校數學複習考有 400 位同學參加﹐評分後校方將此 400 位同學依總分由高到低 排序﹕前100 人為A組﹐次100 人為B組﹐再次100 人為 C 組﹐最後100 人為D組﹒ 校方進一步逐題分析同學答題情形﹐將各組在填充第一題（考排列組合）和填充第二題 （考空間概念）的答對率列表如下﹕ A組 B組 C 組 D組 第一題答對率 100% 80% 70% 20% 第二題答對率 100% 80% 30% 0% 請選出正確的選項﹒ (1)第一題答錯的同學﹐不可能屬於B組 (2)從第二題答錯的同學中隨機抽出一人﹐此人屬於B組的機率大於 0.5 (3)全體同學第一題的答對率比全體同學第二題的答對率高 15% (4)從 C 組同學中隨機抽出一人﹐此人第一﹑二題都答對的機率不可能大於 0.3 ﹒ 【解答】(3)(4) 【詳解】 (1)B組中第一題答對率並非 100%﹐表示也有人答錯﹒ (2)設第二題答錯的事件為W ﹐ 則 1 20% 4 ( | ) 1 1 1 1 0% 20% 70% 100% 4 4 4 4 P B W 0 . 2 2 0 . 5 0 0 . 2 0 . 7 1 1 9 ﹐故不合﹒ (3)全體同學中﹐ 第一題答對率為1100% 1 80% 1 70% 1 20%67.5%﹐
第二題答對率為1 100% 1 80% 1 30% 1 0% 52.5% 4 4 4 4 ﹐ 所以 67.5% 52.5% 15% ﹒ (4)因為第一題與第二題考題內容互不影響﹐ 所以兩者答對與否是互不影響的﹐ 而從 C 組同學中任抽一人兩題都答對的機率為 70% 30% 21% 0.3 ﹒ （註﹕排列組合題與空間概念題如果有互相影響﹐ C 組同學答對第二題的 機率只有 30%﹐答對第一﹑二題的機率頂多也只有 30%﹐故本敘述正確﹒） 故選(3)(4)﹒ 【甲 86】擲三粒均勻骰子一次，則在至少出現一粒 4 點的條件下，其點數和為偶數的機率為。 【解答】 91 46 【詳解】 令 A 表至少出現一粒 4 點之事件 P(A) 1 ( 6 5 )3 216 91 令 B 表點數和為偶數的事件，則 P ( A B ) 3 6 1 3 3 2 6 2 C 3 3 1 6 ) 3 3 2 2 ( C 216 46 4 3粒皆
2粒4，另一粒為
2或6 1粒4，另
2粒和為偶 所求 P( B | A ) ) ( ) ( A P B A P 91 46 【說明】本題為條件機率。 【甲 87】甲、乙兩人各擲一均勻骰子，約定如下：乙得 6 點時乙就贏；兩人同點時（非 6 點）， 甲贏；其餘情形，則以點數多者為贏。則甲贏的機率為 。 【解答】 9 5 【詳解】 甲同點贏之機率： 2 5 1 6 C 36 5 ，甲非同點而贏之機率： 2 6 2 6 C 36 15 ∴ 甲贏之機率 36 5 36 15 9 5【甲 89】袋中有六個乒乓球，分別編號為 1，2，3，4，5，6。每次自袋中隨機抽取一球， 然後將袋中編號為該球號碼之因數或倍數者一併自袋中取出（例如第一次抽中 2 號球 ，則將 1 號、2 號、4 號、6 號四球皆取出），再進行下一次的抽取。試問最後一次抽取 時，袋中只剩 5 號球的機率是多少？ (A) 18 7 (B) 18 9 (C) 18 11 (D) 18 13 (E) 18 15 【解答】(A) 【詳解】 依據題意抽球號碼為 2，3，4，6 第一次抽 2 號，第二次抽 3 號 6 1 ． 2 1 12 1 第一次抽 3 號，第二次抽 2 號或 4 號 6 1 ． 3 1 ．2 9 1 第一次抽 4 號，第二次抽 3 號或 6 號 6 1 ． 3 1 ．2 9 1 第一次抽 6 號，第二次抽 4 號 6 1 ． 2 1 12 1 ∴ 所求機率 12 1 9 1 9 1 12 1 36 14 18 7 【甲 90】假設有一種特製的骰子，其六個面上的點數各為 2，3，4，5，6，7。現在同時投擲 兩顆公正的這種骰子，則其點數和為幾點時機率最大？ (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 10 【解答】(D) 【詳解】 兩個骰子點數和為 {4，5，6，…，14} 設骰子 X 的點數為 x，骰子 Y 的點數為 y P(x y 4) P(x y 14) 6 1 6 1 36 1 P(x y 5) P(x y 13) 6 1 6 1 2 36 2 P(x y 6) P(x y 12) 6 1 6 1 3 36 3 P(x y 7) P(x y 11) 6 1 6 1 4 36 4 P(x y 8) P(x y 10) 6 1 6 1 5 36 5 P(x y 9) 6 1 6 1 6 36 6
【甲 91-1】醫療主管機關在持續追蹤某傳染病多年後，發現如果體檢受檢人感染該傳染病， 就一定可以檢測出來。但是卻有 4％的機率，將一不患該傳染病之受檢者誤檢為患 有該病。已知全部男性人口中有 0.2％的機率患有此病。現於兵役體檢時進行檢測， 若該梯次役男共有十萬人受檢，而且某役男被告知患有該病。請問下列哪些敘述為 真？(1)該役男確實染病的機率大於 3％ (2)該役男確實染病的機率大於 4％ (3)該役男確實染病的機率大於 5％ (4)該役男確實染病的機率大於 90％ 【解答】(1)(2) 【詳解】 由貝氏定理：設 A 是患此病事件，A'是不患此病事件，B 表驗出確實患此病事件 則 P(A) 0.2％，P(A' ) 99.8％，P(B | A' ) 4％，P(B | A) 1 P(B) P(B | A)P(A) P(B | A' )P(A' ) 4.192％ P(A | B) ) ( ) ( ) | ( B P A P A B P ％ ％ 192 . 4 2 . 0 1 4.77％，故選(1)(2) 【甲 91-2】袋中有七個白球，若干個黑球。今從袋中一次取出兩個球，已知此兩球同為白球的 機率是 22 7 。請問袋中有幾個黑球？ 【解答】有 5 個黑球 【詳解】 令黑球有 x 個，則 7 2 7 2 x C C ) 6 )( 7 ( 42 x x 22 7 (x 7)(x 6) 132 x2 13x 90 0 (x 18)(x 5) 0 x 5
【甲 92】彩票公司每天開獎一次，從 1、2、3 三個號碼中隨機開出一個。開獎時，如果開出 的號碼和前一天相同，就要重開，直到開出與前一天不同的號碼為止。如果在第一天 開出的號碼是 3，則在第五天開出號碼同樣是 3 的機率是 （以最簡分數表示）。 【解答】 8 3 【詳解】 ∴ 第 5 天開出 3 的機率 16 6 8 3 【甲 94-1】宴 會 在 場 的 5 0 位 賓 客 有 人 偷 了 主 人 的 珠 寶 ， 由 於 賓 客 身 上 都 沒 有 珠 寶 ， 而 且 他 們 都 不 承 認 偷 竊 。 警 方 決 定 動 用 測 謊 器 ， 並 且 只 問 客 人 一 個 問 題 ：「 你 有 沒 有 偷 珠 寶 ？ 」。 已 知 若 某 人 說 謊 ， 則 測 謊 器 顯 示 他 說 謊 的 機 率 為 9 9 ％ ； 若 某 人 誠 實 ， 則 測 謊 器 顯 示 他 誠 實 的 機 率 是 90％ 。 下 列 敘 述 何 者 正 確 ： (1 ) 設 竊 賊 只 有 一 人 。 當 賓 客 受 測 時 ， 測 謊 器 顯 示 賓 客 說 謊 的 機 率 大 於 1 0 ％ 。 ( 2)設 竊 賊 只 有 一 人 。 當 測 謊 器 顯 示 一 賓 客 說 謊 時 ， 該 賓 客 正 是 竊 賊 的 機 率 大 於 5 0 ％ 。 (3) 設 竊 賊 只 有 一 人 ， 當 測 謊 器 顯 示 一 賓 客 誠 實 時 ， 該 賓 客 卻 是 竊 賊 的 機 率 小 於 2 0 ％ 。 (4)當 測 謊 器 顯 示 一 賓 客 說 謊 時 ， 該 賓 客 是 竊 賊 的 機 率 ， 並 不 因 竊 賊 人 數 多 少 而 改 變 。 【解答】(1)(3) 【詳解】 (1)竊賊 1 人，不是竊賊 49 人 P(顯示說謊) 1 99 49 10 589 10 50 100 50 100 5000 100 (2)P( 真竊賊 說謊 ) 1 99 ( ) 50 100 99 50 1 99 49 10 ( ) 589 100 50 100 50 100 P P 真竊賊 說謊 (3)P( 真竊賊 誠實 ) 1 1 ( ) 50 100 1 0.2 1 1 49 90 ( ) 4411 50 100 50 100 P P 真竊賊 誠實
【甲 94-2】全 班 男 女 生 共 5 1 人 ， 票 選 畢 業 旅 行 的 目 的 地 ， 每 人 限 投 一 票 ， 結 果 如 右 表 。 現 以 簡 單 隨 機 抽 樣 ， 抽 出 兩 人 ， 若 這 兩 人 都 是 女 生 ， 則 這 兩 人 都 想 去 墾 丁 的 機 率 是 0 . （ 以 四 捨 五 入 取 到 小 數 兩 位 ）。 女 男 墾 丁 10 10 澎 湖 6 10 花 東 9 6 【解答】0.15 【詳解】 10 2 25 2 90 3 0.15 25 24 20 C P C 【甲 94-3】袋 中 有 三 個 一 樣 大 小 的 球 ， 分 別 標 示 10 分 、 20 分 、 30 分 。 重 複 自 袋 中 取 出 一 球 後 放 回 ， 記 錄 得 分 並 累 加 ， 其 中 取 出 各 球 之 機 率 皆 相 等 。 求 抽 三 次 後 總 分 為 6 0 分 的 機 率 。 遊 戲「 過 三 十 」的 規 則 是 重 複 抽 球，直 到 總 得 分 大 於 或 等 於 30 分 後 停 止 ， 總 得 分 恰 為 3 0 分 者 輸 ， 超 過 30 分 者 贏 。 求 贏 得 此 遊 戲 之 機 率 。 【解答】(1) 7 27 (2) 11 27 【詳解】 (1)三次總分 60 的情形 20，20，20 → ( 1 3 ) 3＝ 1 27 10，20，30 → 3!( 1 3 ) 3＝ 6 27 機率＝ 1 27 ＋ 6 27 ＝ 7 27 (2) 贏：總得分剛超過 30 分 ( 1 3 ) 3 ×2＝ 2 27 ( 1 3 ) 2 ×3＝1 3 ＝ 9 27 機率＝ 2 27 ＋ 9 27 ＝ 11 27 【甲 95-1】擲一枚均勻硬幣 4 次，恰好出現 n 次正面的機率記為 an；擲一枚均勻硬幣 8 次， 恰好出現 n 次正面的機率記為 bn。試問以下哪些選項是正確的？ (1) a2＝ 1 2 (2) a2＝b4 (3) b2＝b6 (4) a3＞b3 (5) b0 , b1 , b2 , … , b8中的最大值是 b4 【解答】(3)(4)(5)
【詳解】 由機率的定義：an＝ C4n 24 ，bn＝ C8n 28 由獨立事件的重複試驗： an＝C 4 n 1 2 4－n 1 2 n ＝C4n 1 2 4 ， bn＝C 8 n 1 2 8－n 1 2 n ＝C8n 1 2 8 (1) a2＝C 4 2 1 2 4 ＝3 8 (2) b4＝C 8 4 1 2 8 ＝ 35 128 ≠a2 (3) b2＝C 8 2 1 2 8 ＝C86 1 2 8 ＝b6 (4) a3＝C 4 3 1 2 4 ＝1 4 ，b3＝C 8 3 1 2 8 ＝ 7 32 ＜a3 (5) 要比較 b0 , b1 , b2 , … , b8的大小， 就是要比較 C 8 0 , C81 , C82 , … , C88 的大小 由實際算 C80＝C88＝1，C1＝C8 87＝8，C82＝C86＝28，C83＝C85＝56，C84＝70 或由巴斯卡定理得 C84 最大 b4最大 【甲 95-2】不透明箱內有編號分別為 1 至 9 的九個球， 每次隨機取出一個， 記錄其編號後 放回箱內；以 P (n)表示前 n 次取球的編號之總和為偶數的機率。已知存在常數 r , s 使 得 P ( n＋1 )＝r＋sP ( n )對任意正整數 n 都成立，則 r＝ ，s＝ 。 （化成最簡分數） 【解答】r＝5 9 ，s＝－ 1 9 【詳解】 前 n 次取球的編號之總和為偶數， 第 n＋1 次取得偶數編號 ───前 n 次取球的編號之總和為奇數， 第 n＋1 次取得奇數編號 ───P ( n＋1 )＝P (n) ×4 9 ＋〔1－P (n)〕× 5 9 ＝5 9 － 1 9 P (n) ∴ r＝ 5 9 ，s＝－ 1 9 【甲 96】某公司共有 6 個工廠，各工廠的產量都一樣，且所生產的產品都放進同一倉庫中。 由過去的經驗知道，第 k 個工廠的產品不良率為 k 50 ，其中 k＝1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,6，為了檢 驗倉庫中這一批產品的品質，從倉庫中任意抽出一件，若為不良品，則此不良品是來自 第五個工廠的機率為＝ 。（化成最簡分數） 【解答】 5 21
【詳解】 ∵各工廠的產量相同 ∴抽到第 k 個工廠的產品之機率為1 6 所求機率為 P（來自第五工廠 | 不良品）＝ 1 6 × 5 50
k＝1 6 （1 6 × k 50 ） ＝ 5 6×50 21 6×50 ＝ 5 21 【甲 97】甲﹑乙﹑丙三人參加一投擲公正銅板的遊戲﹐每一局三人各擲銅板 1 次；在某局中﹐ 當有一人投擲結果與其他二人不同時﹐此人就出局且遊戲終止；否則就進入下一局﹐並 依前述規則繼續進行﹐直到有人出局為止﹒試問下列哪些選項是正確的？ (1)第一局甲就出局的機率是1 3 (2)第一局就有人出局的機率是 1 2 (3)第三局才有人出局 的機率是 3 64 (4)已知到第十局才有人出局，則甲出局的機率是 1 3 (5)該遊戲在終止前， 至少玩了六局的機率大於 1 1000﹒ 【解答】(3)(4) 【詳解】 (1)╳；第一局甲就出局的情形為甲正乙反丙反 或 甲反乙正丙正 機率 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 4 P ﹒ (2)╳；第一局就有人出局的機率 P甲出局 或 乙出局 或 丙出局的機率 1 1 1 3 4 4 4 4 ﹐ 或P 1 P(沒人出局) 1 P (三正或三反) 1 (1 1) 3 8 8 4 ﹒ (3)○；第三局才有人出局的機率 1 1 3 3 4 4 4 64 P ﹒ (4)○； 9 9 1 1 ( ) 1 4 4 1 3 3 ( ) 4 4 P ﹒ (5)╳；P 1 P(玩一局 或 二局 或 三局 或 四局 或 五局) 2 3 4 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 [ ( ) ( ) ( ) ] 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 3 1 [1 ( ) ] 1 1 1 4 4 1 ( ) 1 4 1024 1000 1 4 ﹐ 或 P (至少玩六局) P (前五局皆平手) ( )1 5 1 4 1024 ﹒【甲 98-1】擲一均勻硬幣﹐若連續三次出現同一面就停止﹒設﹕a為恰好投擲三次停止的機率﹔ b為在第一次是反面的情況下﹐恰好在第四次停止的條件機率﹔c為在第一﹑二次都是反 面的情況下﹐恰好在第五次停止的條件機率﹒則下列哪一個選項是正確的？ (1)a b c (2)a b c (3)a b c (4)a b c (5)a b c﹒ 【解答】(5) 【詳解】 a p(正正正)+ p (反反反) ( )1 3 ( )1 3 1 2 2 4 ﹐ b ( ) ( ) p p 反正正正 反 4 1 ( ) 1 2 = = 1 8 2 ﹐ 5 2 1 ( ) ( ) 2 1 = 1 ( ) ( ) 8 2 p c p 反反正正正 反反 ﹐∴ a b c ﹐故選(5)﹒ 【甲 98-2】已知丟某枚銅板﹐其出現正面的機率為p﹐出現反面的機率為(1 p)﹐將此枚銅 板丟擲n次﹐在丟擲過程中﹐正面第一次出現時﹐可得獎金1元﹐正面第二次出現時﹐ 可再得獎金2元﹐正面第三次出現時﹐可再得獎金3元﹐以此類推﹒試問下列哪些選項是 正確的？(1)若n次丟擲中出現正面k次﹐總共得到獎金1( 2 ) 2 k k 元 (2)丟擲銅板第二次 之後﹐累計得獎金1元的機率為2(pp2) (3)總共得到獎金2元的機率為 2 2 ( 1) (1 ) 2 n n n p p (4)總共得到獎金1( 2 ) 2 n n 元的機率為 1 ( n n) n p p ﹒ 【解答】(2)(4) 【詳解】 (1)╳：總獎金 1 2 3 ( 1) 2 k k k ﹒ (2)○：所求C12 p (1 p)2(pp2)﹒ (3)╳：不可能得到獎金 2 元﹐∴機率為 0﹒ (4)○：∵1 2 3 ( 1) ( 1)( 1 1) 1( 2 ) 2 2 n n n n n 代表恰出現n1次正面 ∴機率 1 1 (1 )1 ( 1 ) n n n n n C p p n p p ﹒ 【甲 99-1】一個抽獎活動依排隊順序抽獎﹐輪到抽獎的人有一次抽獎機會﹐抽獎方式為丟擲一 枚公正銅板﹐正面為中獎﹐反面為沒中獎﹒獎品有三份﹐活動直到三份獎品都被抽中為止﹒則 在排第四位的人可以抽獎的情況下﹐排第五位的人可以抽獎的條件機率為﹒（化成最簡分數） 【解答】11 14
【詳解】 所求 4 4 4 4 4 1 2 3 3 3 3 3 1 2 11 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 11 16 2 2 2 1 1 1 7 14 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 8 C C C C 【甲 99-2】不透明箱中置有編號分別為 1、2、3、6、8 的球各一顆﹒同時自箱中隨機取出 三顆球﹐則此三球編號之和大於 14 的機率為下列哪一個選項？ (1)1 5 (2) 3 10 (3) 2 5 (4) 1 2 (5) 3 5﹒ 【解答】(2) 【詳解】 大於 14 之組合有(1, 6,8)﹐(2, 6,8)﹐(3, 6,8)3 個﹐∴所求 5 3 3 3 10 C ﹐故選(2)﹒ 【甲 100- 1】將 1﹐2﹐3﹐4 四個數字隨機填入右下方2 2 的方格中﹐每個方格中恰填一數字﹐ 但數字可重複使用﹒試問事件「A方格的數字大於B方格的數字﹑且 C 方格的數字大於 D方格的數字」的機率為多少？ (1) 1 16 (2) 9 64 (3) 25 64 (1) 9 256 (1) 25 256 ﹒ 【解答】(2) 【詳解】 (1)就A B, 兩格而言﹐數字相等的機率為 4 1 16 4﹒ （A B, 各有四種填法﹐若AB﹐則只有(1, 1)﹐(2, 2)﹐(3, 3)﹐(4, 4)等四種） (2)表示AB的機率為1 1 3 4 4 ﹐這其中AB與AB兩種情況發生機會相同﹐ 所以AB的機率為1 3 3 2 4 8﹐同理 CD的機率為 3 8﹒ (3)AB與 CD互不影響﹐所以 ( ) ( ) ( ) 3 3 9 8 8 64 P AB且CD P AB P CD ﹐ 【甲 100- 2】某手機公司共有甲﹑乙﹑丙三個生產線﹐依據統計﹐甲﹑乙﹑丙所製造的手機中 分別有 5%﹐3%﹐3%是瑕疵品﹒若公司希望在全部的瑕疵品中﹐由甲生產線所製造的比 例不得超過 5 12﹐則甲生產線所製造的手機數量可占全部手機產量的百分比至多為 __________%﹒ 【解答】30
【詳解】 設生產出瑕疵品的事件為B﹐甲生產線生產全部產量的 x %﹐乙生產線生產全部產量 的y%﹐丙則為(100 x y)%﹐ 依題意 ( ) ( ) ( ) P B P B P B 甲 甲 % 5% % 5% % 3% (100 )% 3% x x y x y 5 5 5 5 3 (300 3 3 ) 2 300 12 x x x y x y x 60x 10x 1500 50x 1500 x 30 ﹐ 表示甲生產線產量最多為全部的 30%﹒
