100高中程式競賽決賽試題 高中組

臺北市一

臺北市一

臺北市一

臺北市一 OO 學年度高級中等學校電腦程式設計競賽決賽試題

學年度高級中等學校電腦程式設計競賽決賽試題

學年度高級中等學校電腦程式設計競賽決賽試題

學年度高級中等學校電腦程式設計競賽決賽試題

(高中組

高中組

高中組

高中組)

說明 說明 說明 說明：：：： 1. 本試卷共有四題，每題 25 分。 2. 請記得隨時備份自己的程式。

試題

試題

試題

試題：

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1. 合影隊型

合影隊型

合影隊型

合影隊型

問題敘述

問題敘述

問題敘述

問題敘述

酷酷鯊是一支新成立的棒球隊，共有 N 位球員。球隊裡原本氣氛融洽，大家 都是好麻吉，同心協力爭取年度總冠軍。然而，最近一連串的比賽不順利，球員 間開始出現摩擦。今天，棒球聯盟邀請了總統夫人到場開球。總統夫人是酷酷鯊 隊的球迷，因此她希望能和全體球員合影留念。拍照時，球員們會站成一列。為 了避免尷尬，球隊經理希望在安排拍照的隊型時，不要讓彼此有芥蒂的球員站在 一起。 舉例來說，如果有五位球員 A, B, C, D, E，其中 A 和 B 不願意站在一起，C 和 D 不願意站在一起，那麼 ABCDE 和 ABCED 不是適當的隊型，而 ACBDE 和 CADEB 則都是適當的隊型。 現在請你撰寫一個程式，協助球隊經理在總統夫人蒞臨之前，排出一個適當 的合影隊型吧！

輸入

輸入

輸入

輸入說明

說明

說明

說明

第一行為球員人數 (N)，N ≤ 15。（球員代號從 A 開始編起。） 第二行為有摩擦的球員配對數 (M)，M ≤ 50。 第三行開始，每一行有兩個字元，代表有摩擦的兩個球員代號。兩個字元間 以一個空格隔開。

輸出說明

輸出說明

輸出說明

輸出說明

請輸出以字典遞增排序方式的第一個適合隊型。如果沒有任何適合隊型，請 輸出 No Solution。計算時間不得超過 2 秒鐘。

輸入範例一

輸入範例一

輸入範例一

輸入範例一

5 2 A B C D

輸出範例一

輸出範例一

輸出範例一

輸出範例一

ACBDE

輸入範例二

輸入範例二

輸入範例二

輸入範例二

4 4 A B C D C A C B

輸出範例二

輸出範例二

輸出範例二

輸出範例二

No Solution

2.

Knapsack 解密問題

解密問題

解密問題

解密問題

在一個基於 subset sum 問題的實驗性公開金鑰密碼系統中, 某 甲想要加密一些文字資料給某乙, 甲取得乙的公開金鑰如右圖 共有 29 個 32 位元的整數, 其中第一個整數 p 為質數, 連同第 二個到第二十九個整數 a0 ~ a27 可以用來加密四個 ASCII 文字 資料, 由於每一個 ASCII 編碼的位元組只有 7 個位元是有意義 的, 我們將四個文字資料以 28 個位元 m27 ~ m0表示, 其中 mi_{∈{0,1}且 m}27 ~ m21代表第一個字元, …, m6 ~ m0代表第四個字 元, 密文 0 27 * mod i i i j c m a p = =

∑

, 其中 x mod p 代表整數 x 除以 p 的 餘數, 這個系統中加密鑰匙 ai是以下列方法計算的: * mod i i a ₌s b p, b = , 0 1 0 1 ( j) 1 mod i i j i b b k p = − =

∑

+ + , i=1,2,…,27, 其中 k0 ~ k27∈{0,1}及 s 為祕密參數, 請設計一個演算法將右圖中密文 cj對應的訊息解出,

以上例而言(test2.txt), 解回的 ASCII 文字為“Biometrics (or biometric authentic cation) .... under surveillance.”, 測試檔案 test1.txt 解回的文字為“HelloWorld”。 已知 ai及 p, 由 ci解出 mi是一個已知的 NP 問題, 雖然在此例子中只有 28 個 ai, 暴 力破解困難度還不算太高,一般實際應用中至少有 1024 個 ai, 當然所使用的質數 p 也就至少有 1024 個位元, 本題中不希望你使用暴力破解, 所以要求你的程式能夠 p=3019271449 a[0]= 965341323 a[1]=2896023969 a[2]=1807435166 … a[25]= 2235759 a[26]= 969812841 a[27]= 974284359 c[0]= 629263857 c[1]= 636887368 c[2]= 525742329 … c[85]= 78690518 c[86]=1997428695 c[87]=1128693140

注意 注意 注意 注意:如果你沒有解出 mi但是計算出 b0, b1,…, b27的話也可以得到部份分數: 1. 基本上如果你求出 b0, b1,…, b27, 就可以很快地解密 c0, c1, …, cn; 也就是需要由 s, ai, 及ai=s* modbi p解出 bi。 2. 這個工作在一般整數群中可以很容易地修改求最大公因數 gcd(s,p) 的演算法, 找到 t 滿足 t s* ₌1 om dp, 將上式左右兩側乘上 t 可得t*a =i t s b b* * i= i modp, 即可由此式計算 bi。 3. 例如: p=23, s=5 可用右圖的輾轉 相除法求 gcd(23, 5)=1, 如右圖 所示, 進一步可以求出 t=14, 滿 足14*5₌1 mod 23 4. 注意兩個 32 位元整數的乘積需要 64 位元才能表示 5. 因為目前使用的質數 p 太小, 使得目前這個系統的設計幾乎沒有安全性, 由 a0, a1,…, a27中就可以很快地推得 s, 所以你不需要知道任何祕密就可以解出訊息, 請注意每一組測試資料使用的 s 是不一樣的。

3. 資訊不完全之數字盤遊戲

資訊不完全之數字盤遊戲

資訊不完全之數字盤遊戲

資訊不完全之數字盤遊戲

數字盤是一個流傳很久也很受歡迎的遊戲，在方形盤裡通常會有一些標有數字的 方塊及一個空格，與空格上下或左右相鄰的方塊可以移到空格處，而原來位置會 變成空格，也就是說方塊移動規則是只能上下或左右移動。例如在 2x2 的數字盤 遊戲我們若要將圖(i)中的數字盤變成圖(ii)中的數字盤的一種方式之一是經由圖(iii) 中的 6 次移動而達成： 數學老師明斯基別出心裁地設計了一個 NxN 數字盤玩法是：例如當 N=4 時，在原 本應該要有編號 1 至 15 的 15 個方塊在其中，明斯基老師會任意地將其中的幾個 數字方塊用星號方塊取代(每個星號方塊變成都是一模一樣的)，要學生莫菲將一個 隨意給定的數字盤初始盤面(如圖(iv)所示，其中數字方塊 2 與 10 分別由星號方塊 取代)移動到另一個指定的目標盤面(如圖(v)所示)。 23 = 4 * 5 + 3 …
5 = 1 * 3 + 2 …  3 = 1 * 2 + 1 … 3 2 = 2 * 1 + 0 最後整除時的除數即 為最大公因數 *(-1)+3可得到 -5 = -2 * 3 + 1 … 4
*2+4可得到 2 * 23 = 9 * 5 + 1 移項可得 -9 * 5 = 1 - 2 * 23 亦即 (23-9) * 5 = 1 + 3 * 23亦即 14 * 5 = 1 + 3 * 23

請來幫莫菲找出，當隨意給定一個 NxN 數字盤初始盤面，同時其中的幾個數字方 塊是用星號方塊取代時，移到另一個指定的目標盤面所需的最少移動次數。 程式輸入 程式輸入 程式輸入 程式輸入 程式輸入為一個隨意給定 NxN (N≤5)數字盤初始盤面(例如圖(iv))與指定的目標盤 面(例如圖(v))： 1 2 3 b 6 8 4 s s 1 2 3 4 s 6 s 8 b 上述第一行代表初始盤面(圖(iv))，第二行代表目標盤面。其中字母 s 代表星號方 塊、字母 b 代表盤面上的空格，輸入數字或字母字時以空白鍵隔開。 程式輸出 程式輸出 程式輸出 程式輸出 程式輸出為一整數，代表由初始盤面到目標盤面所需最少移動次數；若無法移動 至目標盤面則程式輸出-1。程式必須在 30 秒內執行完成。 【 【 【 【範例範例範例範例 一一一一】】】】 輸入資料 輸入資料 輸入資料 輸入資料 1 2 3 b 6 8 4 s s 1 2 3 4 s 6 s 8 b 輸出資料 輸出資料 輸出資料 輸出資料 7 【 【 【 【範例二範例二範例二範例二】】】】 輸入資料 輸入資料 輸入資料 輸入資料 b 1 3 4 5 2 6 8 9 10 7 12 13 14 11 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 b 輸出資料 輸出資料 輸出資料 輸出資料 6

4. 因式分解

因式分解

因式分解

因式分解

給任一個整數，將之因式分解是很常見的問題，但是不是可以將任一個整數 a 因 式分解成一個整數 b 的連乘積(意即 b 連乘 m 次後等於 a)，就成為另一個更有趣的 問題。例如：(1) 若 a=1024，那可能 b=4, m=5 也有可能 b=2, m=10; (2) 若 a=99， 那 b=99, m=1。針對這樣的問題，一個遊戲規則如下：給定一個絕對值不為 1 的整 數 a，將 a 因式分解成 b 的 m 次方，m 越大獎金越高，為了拿最高獎金，需要找到 最大的 m 值，請你寫個程式來達成這個目標。(請注意：a, b 可以為負整數) Input： 一個測試檔(檔名為 in.txt)，內每一列有 1 個整數(即 a)，0 代表輸入資料結束。 Output： 對每筆測試資料依上述的說明求得 a=bm，並使得 m 為最大，然後產生一輸出檔(檔 名為 out.txt)，輸出檔中每一列對應一筆輸入檔的資料，格式為：先產生編號(如 範例所示，依序為(1) (2) (3) …)，再輸出兩個數字，其第一個數是 b，第二個 數是 m(b 與 m 中間以逗點隔開)。

Sample Input file: 21

34359738368 -25

0

Sample output file: (1) 21, 1

(2) 2, 35 (3) -25, 1