國立臺灣師範大學附屬高級中學 102 學年度第一學期高一第二次期中考 數資班數學科試卷 p.1
範圍：數學（一）2-1～2-4，初中數學競賽教程第 7~12 講 ※得分超過 100 分時以 100 分計※ 一、多重選擇題（18 分，每題全對得 6 分，只錯一個選項得 4 分，錯兩個選項得 2 分，其餘得 0 分） 1. ( ) 設 f (x)為三次實係數多項式，且知複數 1＋i 為 f (x)＝0 之一解。試問下列哪些敘述是正確的？(A) f ( 1－i )＝0 (B) f ( 2＋i ) ≠ 0 (C) 恰有一實數 x 滿足 f (x)＝x
(D) 沒有實數 x 滿足 f (x3)＝0 (E) 若 f (3)＞0 且 f (4)＜0，則 f (1)＞0 且 f(7)＜0 2. ( ) 下列哪些選項是正確的？( 其中 a, b, c, d 皆複數) (A) 若a bi c di ，則 a = c 且 b = d (B)若a2b2 0，則 a = b = 0 (C)若a a ，則 a 必為實數 (D)若 c + d, cd 皆實數，則c d (E)若a c b c ，則a b 3. ( ) 下列哪些選項是正確的？( 其中 a 為整數) (A) a5a必為 5 的倍數 (B) a9a必為 9 的倍數 (C) 奇數的平方除以 8 必餘 1 (D)123456789不是平方數 (E)x2y2z2u2v2 252有全為奇數的解 [初中教程第 12 講] 二、填充題（共50 分，每格 5 分，除第 2, 8,9 題有部分給分外，其餘題目全對才給分） 1. 多項式方程式 3x3＋5x2＋4x－2=0 的所有根為＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿(三解)。(此題全對才給分) 2. 設 a 是實數，x2－( 1＋2i ) x＋( ai－6 )＝0 有一實根，則 a =________________ (兩解)。 3. 多項式不等式(x1) (102 x2) (11 x3) (21 x4)220的解為＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 4. 已知複數 z 的實部為 2，而 的虛部為 ，則 z =＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 5. 設deg f(x)3，已知 f(x)除以x1, x2 2x3的餘式分別為5,2x1，試求 f(x)除以(x1)(x2 2x3)之 餘式為＿＿＿＿＿＿＿＿。 6. 分式不等式＜1 的解為＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 7. 設 a，b，c 都是整數，若方程式 x4＋ax3＋bx2＋cx＋4＝0 有四個相異有理根，則數對(a，b，c) =______________。 (※請翻至背面繼續作答※) p.2 8. 分式方程式＋－－＝0 的解為 x =________________ (兩解)。
9. 若 2 32 4 6, 37 xy xy x y xy 則x y _____________ (兩解)。 [初中教程第 7 講] 10. 用 1，2，…，9 這九個數字（每個數字恰用一次）排出能被 11 整除的最大的九位數為 _______________。 [初中教程第 10 講] 三、計算證明題（共32 分） 1. 設 f (x)＝2x4－7x3＋x2－11x＋13＝2 ( x－2 )4＋a ( x－2 )3＋b ( x－2 )2＋c ( x－2 )＋d，求： (1) 數對 (a, b, c, d ) (2) f (x) 除以 ( x－2 )2的餘式 (3) f ( 2.001 ) 的近似值(四捨五入到小數第三位) (12 分) 2. 設 , , 為三次方程式x32x23x 4 0之三根，求下列各式之值： (1) (3)(3)(3) (2) (α＋β) (β＋γ)＋(β＋γ) (γ＋α )＋(γ＋α ) (α＋β) (8 分) 3. 設 f (x)＝2x5－5x3＋3，g (x)＝6x4－3，試證：在 0 與 1 之間有一實數 c，使得 f (c)＝g (c)。 (6 分) 4. 證明：對所有自然數 n， 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 3 n 恆成立。 (6 分) [初中教程第 9 講] (加分題)設 f (x) 為實係數多項式且滿足 f (3 − i) = 7 − 3i, f (2) = 2，求 f (x) 除以(x − 2)(x2 −6x + 10) 的餘式。 (8 分)
國立臺灣師範大學附屬高級中學 102 學年度第一學期高一第二次期中考 數資班數學科答案卷
※得分超過 100 分時以 100 分計※ 班級＿＿＿ 座號＿＿ 姓名＿＿＿＿＿＿＿ 一、多重選擇題（18 分，每題全對得 6 分，只錯一個選項得 4 分，錯兩個選項得 2 分，其餘得 0 分） 1. 2. 3.二、填充題（共50 分，每格 5 分） 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 三、計算證明題（共32 分） 1. 2. 3. 4 加分題
國立臺灣師範大學附屬高級中學 102 學年度第一學期高一第二次期中考 數資班數學科答案卷
※得分超過 100 分時以 100 分計※ 班級＿＿＿ 座號＿＿ 姓名＿＿＿＿＿＿＿ 一、多重選擇題（18 分，每題全對得 6 分，只錯一個選項得 4 分，錯兩個選項得 2 分，其餘得 0 分） 1. 2. 3. ABE C ACD二、填充題（共50 分，每格 5 分，除第 2, 8,9 題有部分給分外，其餘題目全對才給分） 1. 1, 1 3 i 2. 6 4 3. x 2 x 3 x 1 4. 2 2i 5. x24 6. 2 x 4 7. (0, 5,0) 8. 1 4 9. 10 10. 987652413 三、計算證明題（共32分） 1. (1) (9,7, 27, 29) (2) 27 25 (3) 29.027 x 2. (1) 14 (2) 7 3. 略 4. 略 加分題 x2 9x12
