國立臺中教育大學數學教育學系
在職進修教學碩士學位班碩士學位論文
指導教授：胡豐榮 博士
國小六年級學童真分數乘法概念
結構分析之研究
研究生：王俊凱 撰
中 華 民 國 九 十 八 年 六 月
國小六年級學童真分數乘法概念結構分析之研究
論 文 摘 要
本研究的主要目的是先編製一份真分數乘法計算試題，再利用試題關聯結構 分析法（IRS）對施測結果進行分析並形成結構圖，以探究國小六年級學童在真 分數乘法概念的結構圖。 參考國內外文獻及現行國小九年一貫數學課程，將真分數乘法細分成三個子 概念，分別為：真分數乘以整數、真分數乘以真分數以及真分數乘以帶分數。 本研究以雲林縣某國民小學一班六年級學童為研究對象，並於施測後利用試 題關聯理論之IRSP 電腦程式來分析筆測資料，繪製群體及各子概念的試題關聯 結構圖，希望能藉此得到學童在真分數乘法概念中所透露的訊息。本研究得到下 列結論： （1） 真分數乘法，若不包含約分概念：真分數乘以整數Î真分數乘以整 數：進位Î真分數乘以真分數Î真分數乘以帶分數：進位Î真分數 乘以帶分數。 （2） 真分數乘法，若包含約分概念：真分數乘以整數Î真分數乘以整數： 進位Î真分數乘以真分數Î真分數乘以帶分數Î真分數乘以帶分 數：進位。 最後根據研究結果提出若干建議，以作為教學者及未來研究時之參考。 關鍵詞：真分數乘法 試題關聯結構分析法 IThe Study on Structure Analysis of Elementary School Sixth
Graders’ Conceptualization of Common Fraction Multiplication
Thesis abstract
The purpose of this study is to create a set of calculational questions on common fraction multiplication. To form a structural graph based on the test outcome analyzed by the Item Relational Structure Analysis（IRS）, and probe into the congition structure of common fraction multiplication for sixth graders of elementary school.
The common fraction multiplication,bases on domestic and foreign references and the present math of the nine-year serial curriculum, is divided into three sub-concepts： common fraction is multiplied by the integer, common fraction is multiplied by the common fraction, and common fraction is multiplied by the mixed fraction.
The study was done on a class of sixer graders of an elementary school in Yunlin County. After taking the test, the IRSP computer program of Item Relational Structure Analysis Method was used to analyze the test outcome in order to form the group and sub-concept structural graph. According to the results, the study can obtain student’s information for common fraction multiplication. This study reached the following conclusion：
（1） common fraction multiplication, if it does not contain the concepts of reduction： common fraction is multiplied by the integer Î common fraction is multiplied by the integer, its integral number carries over Î common fraction is multiplied by the common fraction Î common fraction is multiplied by the mixed fraction, its integral number carries over Î common fraction is multiplied by the mixed fraction.
（2） common fraction multiplication, if it contains the concepts of reduction： common fraction is multiplied by the integer Î common fraction is multiplied by the integer, its integral number carries over Î common fraction is multiplied by the common fraction Î common fraction is multiplied by the mixed fraction Î common fraction is multiplied by the mixed fraction, its integral number carries over.
With the findings and the conclusion, the researcher proposes some suggestions that teachers and future studies can draw references to.
Keywords：common fraction multiplication, Item Relational Structure Analysis
目 次
第一章 緒論………
1
第一節 研究動機……… 1 第二節 研究目的與研究問題……… 4 第三節 名詞釋義……… 5 第四節 研究範圍與限制……… 6第二章 文獻探討………
7
第一節 分數的起源與意義……… 7 第二節 分數概念之發展……… 11 第三節 國小分數教材之分析……… 16 第四節 分數乘除法概念之研究……… 19 第五節 試題關聯結構分析法……… 27第三章 研究設計與實施………
37
第一節 研究結構……… 37 第二節 研究對象……… 38 第三節 研究工具……… 38 第四節 研究流程……… 56 第五節 資料處理……… 57第四章 研究結果與分析………
58
第一節 試題性質分析……… 58 第二節 試題關聯順序性係數分析……… 61 第三節 真分數乘法試題關聯結構圖之分析與討論……… 64 III第五章 結論與建議………
84 第一節 結論……… 84 第二節 建議……… 88參考文獻………
90 一、中文部分……… 90 二、英文部分……… 93附錄………
95 附錄一 國小學童真分數乘法計算預試試題……… 95 附錄二 試題檢核表……… 98 附錄三 國小學童真分數乘法概念評量專家效度調查問卷………… 99 附錄四 國小學童真分數乘法計算正式施測試題……… 104 IV表 目 次
表 2-1 分數教材之比較……… 16 表 2-2 A、B 組學生得分情形表……… 31 表 2-3 A、B 學生得分情形簡表……… 31 表 2-4 A、B 組學生試題得分排序表……… 32 表 2-5 A、B 組學生試題得分、人數排序表……… 32 表 2-6 試題i、j 答對與答錯人數統計表……… 35 表 2-7 試題順序性係數舉例……… 36 表 2-8 試題的順序關係 0-1 矩陣表舉例……… 36 表 3-1 預試之真分數乘以整數試題細目表……… 43 表 3-2 預試之真分數乘以真分數試題細目表……… 44 表 3-3 預試之真分數乘以帶分數試題細目表……… 45 表 3-4 預試之真分數乘以整數試題解題概念表……… 46 表 3-5 預試之真分數乘以真分數試題解題概念表……… 47 表 3-6 預試之真分數乘以帶分數試題解題概念表……… 48 表 3-7 預試試題的難度、鑑別度和Cronbach's α 值……… 52 表 3-8 正式施測之真分數乘以整數試題細目表……… 53 表 3-9 正式施測之真分數乘以真分數試題細目表……… 53 表 3-10 正式施測之真分數乘以帶分數試題細目表……… 54 表 3-11 正式施測之真分數乘以整數試題解題概念表……… 55 表 3-12 正式施測之真分數乘以真分數試題解題概念表……… 56 表 3-13 正式施測之真分數乘以帶分數試題解題概念表……… 57 表 4-1 正式施測試題之Cronbach’s α 之信度係數……… 60 表 4-2 正式施測試題之難度及鑑別度一覽表……… 62 表 4-3 真分數乘法試題關聯順序性係數一覽表……… 64 V表 4-4 真分數乘法順序性係數之0-1 矩陣表……… 65 表 4-5 真分數乘法試題關聯結構圖橫斷層面分析……… 66 表 4-6 「真分數乘法：不包含約分」之概念分析……… 69 表 4-7 「真分數乘法：分子和分母為倍數關係」之概念分析………… 71 表 4-8 「真分數乘法：分子與分母有1 個公因數」之概念分析………… 72 表 4-9 「真分數乘法：分子與分母有2 個公因數」之概念分析………… 74 表 4-10 「真分數乘法：分子與分母有3 個公因數」之概念分析………… 76 表 4-11 「真分數乘以整數：無進位」之概念分析……… 77 表 4-12 「真分數乘以整數：進位」之概念分析……… 79 表 4-13 「真分數乘以真分數」之概念分析……… 81 表 4-14 「真分數乘以帶分數：無進位」之概念分析……… 83 表 4-15 「真分數乘以帶分數：進位」之概念分析……… 84 VI
圖 目 次
圖 2-1 A、B 組學生試題關聯結構圖……… 34 圖 2-2 試題關聯結構圖舉例……… 37 圖 2-3 試題關聯結構圖之簡化舉例……… 38 圖 3-1 研究架構圖……… 39 圖 3-2 真分數乘法概念圖……… 41 圖 3-3 真分數乘法試題架構圖……… 42 圖 3-4 研究流程圖……… 58 圖 4-1 真分數乘法試題關聯結構圖……… 67 圖 4-2 「真分數乘法：不包含約分」之試題關聯結構圖……… 69 圖 4-3 「真分數乘法：分子和分母為倍數關係」之試題關聯結構圖…… 71 圖 4-4 「真分數乘法：分子與分母有1 個公因數」之試題關聯結構圖… 73 圖 4-5 「真分數乘法：分子與分母有2 個公因數」之試題關聯結構圖… 74 圖 4-6 「真分數乘法：分子與分母有3 個公因數」之試題關聯結構圖… 76 圖 4-7 「真分數乘以整數：無進位」之試題關聯結構圖……… 77 圖 4-8 「真分數乘以整數：進位」之試題關聯結構圖……… 79 圖 4-9 「真分數乘以真分數」之試題關聯結構圖……… 81 圖 4-10 「真分數乘以帶分數：無進位」之試題關聯結構圖……… 83 圖 4-11 「真分數乘以帶分數：進位」之試題關聯結構圖……… 85 VII! " # ! $ % $ " & # ' ( () ( (* ( ( (+(+ (+(' (+( (+() , ' + ( ( ( ( ( () ( (, ( ( ( ( ( ( + (+(+
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37
第三章
第三章
第三章
第三章
研究設計與實施
研究設計與實施
研究設計與實施
研究設計與實施
本章主要分為五部分。以下依序說明本研究的研究架構、研究對象、研究工 具、研究流程及資料處理。第一節
第一節
第一節
第一節
研究架構
研究架構
研究架構
研究架構
本研究依據研究目的與文獻資料，提出以下之研究架構，如圖 3-1 所示，以 利於描述整個研究過程： 圖 3-1 研究架構圖 國小真分數乘法教材 學童真分數乘法概念 編製真分數乘法試題 真分數乘法概念圖 預試並修定題目 正式施測 抽樣班級 IRS 分析 繪製試題關聯結構圖 試題細目表 解釋概念結構圖38
第二節
第二節
第二節
第二節
研究對象
研究對象
研究對象
研究對象
本研究是採用試題關聯結構分析法（IRS）來分析筆試資料，所以施測的對 象僅需要一個班級學童的人數。由於研究者任教於雲林縣某偏遠小學，全校僅 6 個班級，每個年級僅有一班。因此先以彰化縣某國民小學六年級二個班級的學童 共 54 人進行預試，而正式施測就以自己的任課班級學童共 25 人為受測對象，並 由研究者自己進行監考。施測前，研究者先說明評量目的與答題的方式，並強調 此評量表現並不影響學童在校成績。為提高學童答題的意願，故向學童說明若在 本測驗答對 20 題以上，將可獲得 3 個優良表現獎章，鼓勵學童認真作答。學童 作答時間約為一節課 40 分鐘。 此三個受測班級皆選用相同版本教材，而在教材的安排中，於五年級下學期 第一單元習得分數乘除以整數，於六年級上學期第二單元習得分數的乘法，第九 單元習得分數的除法，為了避免受測時學童是剛學習完的記憶知識，因此施測時 間選於六年級下學期初，也就是九十七年三月間進行。第三節
第三節
第三節
第三節
研究工具
研究工具
研究工具
研究工具
本研究使用的工具包括自編的「國小學童真分數乘法計算試題」，以及相關 的統計軟體等，茲說明如下： 一 一 一 一、、、、國小學童國小學童國小學童國小學童真真真真分數乘法計算試題分數乘法計算試題分數乘法計算試題分數乘法計算試題 （一）真分數乘法概念圖 研究者先行參考現行國民小學數學領域分數教材以及教師手冊內容，再參酌 分數乘法概念的相關研究文獻，配合學童的認知發展，架構出如圖 3-2 之真分數 乘法概念圖，並據以編製如圖 3-3 之真分數乘法試題架構圖。39 圖 3-2 真分數乘法概念圖 真 分 數 乘 以 整 數 ： 分 子 乘 法 、 進 位 真分數乘以整數：分子乘法 真 分 數 乘 以 真 分 數 ： 分 子 乘 法 、 分 母 乘 法 真 分 數 乘 以 帶 分 數 ： 帶 分 數 化 成 假 分 數 、 分 子 乘 法 、 分 母 乘 法 真 分 數 乘 以 帶 分 數 ： 帶 分 數 化 成 假 分 數 、 分 子 乘 法 、 分 母 乘 法 、 進 位 真 分 數 乘 以 整 數 ： 分 子 乘 法 、 約 分 真 分 數 乘 以 整 數 ： 分 子 乘 法 、 進 位 約 分 真 分 數 乘 以 真 分 數 ： 分 子 乘 法 、 分 母 乘 法 約 分 真 分 數 乘 以 帶 分 數 ： 帶 分 數 化 成 假 分 數 、 分 子 乘 法 、 分 母 乘 法 約 分 真 分 數 乘 以 帶 分 數 ： 帶 分 數 化 成 假 分 數 、 分 子 乘 法 、 分 母 乘 法 、 進 位 約 分
40 圖 3-3 真分數乘法試題架構圖 真分數乘以整數 真分數乘以真分數 真分數乘以帶分數 （帶分數化成假分數） 分子乘法 分子乘法 分母乘法 分子乘法 分母乘法 約 分 分 子 和 分 母 為 倍 數 關 係 分 子 和 分 母 有 一 個 公 因 數 分 子 和 分 母 有 二 個 公 因 數 分 子 和 分 母 有 三 個 公 因 數 約 分 分 子 和 分 母 為 倍 數 關 係 分 子 和 分 母 有 一 個 公 因 數 分 子 和 分 母 有 二 個 公 因 數 分 子 和 分 母 有 三 個 公 因 數 進位 （假分數化成帶分數） 約 分 分 子 和 分 母 為 倍 數 關 係 分 子 和 分 母 有 一 個 公 因 數 分 子 和 分 母 有 二 個 公 因 數 分 子 和 分 母 有 三 個 公 因 數 進位 （假分數化成帶分數）
41 （二）試題編製 本研究於編製預試試題時，為了解學生的知識結構，先編製真分數乘以整數 試題細目表（表 3-1）、真分數乘以真分數試題細目表（表 3-2）及真分數乘以帶 分數試題細目表（表 3-3）。共有 40 道題目，皆為選擇題。最後編製解題所需概 念表（表 3-4、表 3-5、表 3-6）完成命題。完整預試試題內容請參閱附錄一。 表 3-1 預試之真分數乘以整數試題細目表 學習概念 學習目標 題號 分子乘法 學童能運用分子乘以整數的技巧來解題。 1、2 分子乘法 約分 學童能運用分子乘以整數的技巧來解題。 學童能在分子與分母為倍數關係時，進行約分， 並求出最簡分數。 3、4、5 分子乘法 約分 學童能運用分子乘以整數的技巧來解題。 學童能算出分子與分母的公因數，進行約分，並 求出最簡分數。 6、7、8、9 分子乘法 進位 學童能運用分子乘以整數的技巧來解題。 學童能將計算結果化成帶分數。 10、11 分子乘法 約分 進位 學童能運用分子乘以整數的技巧來解題。 學童能算出分子與分母的公因數，進行約分，並 求出最簡分數。 學童能將計算結果化成帶分數。 12、13、14、 15 分母小於 10 學童在分母小於 10 的作答情形。 1、6、7、10 分母大於 10 學童在分母大於 10 的作答情形。 2、3、4、5、 8、9、11、12、 13、14、15
42 表 3-2 預試之真分數乘以真分數試題細目表 學習概念 學習目標 題號 分子乘法 分母乘法 學童能運用分子乘以分子、分母乘以分母的技巧 來解題。 16、17 分子乘法 分母乘法 約分 學童能運用分子乘以分子、分母乘以分母的技巧 來解題。 學童能在分子與分母為倍數關係時，進行約分， 並求出最簡分數。 18、19 分子乘法 分母乘法 約分 學童能運用分子乘以分子、分母乘以分母的技巧 來解題。 學童能算出分子與分母的公因數，進行約分，並 求出最簡分數。 20、21、22、 23、24、25 分母小於 10 學童在分母小於 10 的作答情形。 16、19、20、 23 分母大於 10 學童在分母大於 10 的作答情形。 17、18、21、 22、24、25
43 表 3-3 預試之真分數乘以帶分數試題細目表 學習概念 學習目標 題號 分子乘法 分母乘法 學童能運用分子乘以分子、分母乘以分母的技巧 來解題。 學童能進行帶分數和假分數的轉換。 26、27 分子乘法 分母乘法 約分 學童能運用分子乘以分子、分母乘以分母的技巧 來解題。 學童能進行帶分數和假分數的轉換。 學童能在分子與分母為倍數關係時，進行約分， 並求出最簡分數。 28、29、30 分子乘法 分母乘法 約分 學童能運用分子乘以分子、分母乘以分母的技巧 來解題。 學童能進行帶分數和假分數的轉換。 學童能算出分子與分母的公因數，進行約分，並 求出最簡分數。 31、32、33、 34 分子乘法 分母乘法 進位 學童能運用分子乘以分子、分母乘以分母的技巧 來解題。 學童能進行帶分數和假分數的轉換。 35、36 分子乘法 分母乘法 約分 進位 學童能運用分子乘以分子、分母乘以分母的技巧 來解題。 學童能進行帶分數和假分數的轉換。 學童能算出分子與分母的公因數，進行約分，並 求出最簡分數。 37、38、39、 40 分母小於 10 學童在分母小於 10 的作答情形。 26、28、31、 34、35、39、 分母大於 10 學童在分母大於 10 的作答情形。 27、29、30、 32、33、36、 37、38、40
44 表 3-4 預試之真分數乘以整數試題解題概念表 約分 題 號 試 題 答 案 分 母 在 十 以 下 分 母 在 十 以 上 倍 數 關 係 有 一 個 因 數 有 兩 個 因 數 有 三 個 因 數 進 位 倍 數 ： ( 幾 倍 ) 因 數 ： 1 × 2= 9 4 1 9 2 2 9 4 2 3 9 6 4 9 8 4 2 × 3= 13 3 1 13 3 3 2 13 1 3 13 9 4 13 6 3 3 × 5= 15 3 1 15 15 2 15 3 5 314 15 8 3 15(1 倍) 4 × 3= 18 3 1 18 9 2 2 1 3 6 1 3 4 18 1 2 9(2 倍) 5 × 6= 12 6 1 12 1 2 12 36 3 2 1 6 43 4 12(3 倍) 6 3 2 8× =1 3 42 3 2 83 6 84 5 8 1 2 7 × 3= 9 2 15 923 2 3 9 2 3 4 9 6 2 3 8 × 6= 27 3 1 27 18 2 9 6 3 27 3 6 4 3 2 4 3、9 9 × 7= 42 4 1 3 2 2 42 28 3 21 14 4 42 4 7 1 2、7、14 10 × 4= 7 4 1 7 16 2 7 1 3 7 2 2 4 7 4 4 3 11 × 9= 19 3 1 19 3 2 19 8 1 3 19 3 9 4 19 27 2 12 ×10= 15 4 1 3 2 2 2 15 4 10 3 15 40 4 3 2 1 5 13 × 6= 15 7 1 5 4 2 2 15 42 3 15 7 6 4 5 14 1 3 14 ×10= 16 6 1 16 12 3 2 16 6 10 3 4 3 3 4 16 60 3 2、4 15 × 4= 24 10 1 24 40 2 3 2 1 3 24 10 4 4 12 8 1 2 2、4、8
45 表 3-5 預試之真分數乘以真分數試題解題概念表 約分 題 號 試 題 答 案 分 母 在 十 以 下 分 母 在 十 以 上 倍 數 關 係 有 一 個 因 數 有 兩 個 因 數 有 三 個 因 數 進 位 倍 數 ： ( 幾 倍 ) 因 數 ： 16 × = 7 6 7 2 1 7 1 1 2 3 1 334 49 12 4 17 × = 16 3 4 3 142 64 9 3 64 1 4 4 1 2 18 × = 4 3 12 8 1 9 8 2 24 12 3 2 1 4 48 24 3 24(2 倍) 19 × = 9 6 4 2 1 3 1 2 12 1 3 36 12 4 4 3 1 12(3 倍) 20 × = 8 6 8 7 1 64 42 2 6 1 1 3 8 5 1 4 32 21 4 2 21 × = 5 4 15 12 1 75 48 2 75 3 3 25 16 41 3 3 22 × = 15 10 3 2 1 9 4 2 9 1 314 45 20 1 5 23 × = 8 2 7 6 1 56 3 2 14 3 3 7 3 3 4 56 12 2 2、4 24 × = 10 9 18 7 1 180 63 2 81 35 3 20 7 4 60 21 3 3、9 25 × = 9 4 14 6 1 63 12 2 126 24 3 28 27 4 21 4 4 2、3、6
46 表 3-6 預試之真分數乘以帶分數試題解題概念表 約分 題 號 試 題 答 案 分 母 在 十 以 下 分 母 在 十 以 上 倍 數 關 係 有 一 個 因 數 有 兩 個 因 數 有 三 個 因 數 進 位 倍 數 ： ( 幾 倍 ) 因 數 ： 26 × = 3 2 2 7 2 1 21 16 2 21 4 2 3 21 1 2 4 21 4 1 27 × = 4 1 1 12 5 1 3 1 2 48 1 3 48 25 4 48 5 1 3 28 × = 6 3 1 6 4 1 36 12 1 2 36 36 3 6 2 1 41 4 36(1 倍) 29 × = 2 1 3 14 2 1 28 14 2 14 1 3 3 28 2 3 4 2 1 4 14(2 倍) 30 × = 3 2 1 15 3 1 44 6 1 2 3 1 3 15 2 1 4 45 15 2 15(3 倍) 31 × = 7 3 1 8 5 1 56 15 1 2 28 25 3 28 1 4 56 50 2 2 32 × = 8 5 2 18 5 1 48 35 2 36 1 2 3 144 105 4 144 25 2 1 3 33 × = 4 3 3 18 3 1 24 15 2 72 45 3 72 9 3 4 8 5 4 3、9 34 × = 7 5 1 6 2 1 7 4 2 42 10 1 3 42 24 4 21 12 1 2、3、6 35 × = 7 6 1 7 6 1 49 78 2 49 36 1 3 49 29 1 4 49 1 1 3 36 × = 13 9 1 3 2 1 13 6 1 2 39 5 1 3 39 18 1 4 39 44 2 37 × = 9 2 2 15 11 1 135 220 2 45 44 3 135 22 2 4 27 17 1 4 5 38 × = 14 5 1 9 7 1 18 5 1 2 126 35 1 3 18 1 1 4 126 133 3 7 39 × = 6 5 1 6 4 1 9 2 1 2 36 44 3 36 20 1 4 18 4 1 1 2、4 40 × = 6 2 1 12 11 1 72 88 2 9 2 1 3 72 22 1 4 36 8 1 2 2、4、8
47 （三）選擇題命題指導原則（Haladyna,1999; Osterlind,1998） 1.內容要項 (1)每題應有確定目的：試題的編製，應落在確定的內容範圍向度與確定的 心智活動向度，如記憶、理解、批判思考或問題解決等。 (2)在確定的內容向度上，題與題間要互為獨立，尤其題組易發生相互依賴 的內容。 (3)試題中的內容取材，避免使用過度特定或過度一般性的材料。 (4)在心智活動向度上，凝聚在單一心智活動，而不是一連串的心智活動 (5)避免以眾人意見為基礎的答案，來形成的試題。 (6)避免佈設陷阱於試題之中，包括刻意的陷阱與無心的陷阱。 2.題幹要項 (1)使用有問題的題幹或是未完句。 (2)確定題幹的指示是非常清楚的。 (3)試題的中心概念出現在題幹，而不是在選項。 (4)題幹中避免無關的修飾語與冗長的贅語。 (5)使用肯定句，避免否定用語或除此以外的用語。 3.選項要項 (1)採用四選一的單選題，即題所列答案數目為四個。 (2)確定選項中只有一個是正確的。 (3)根據選項數目，變化正確所在的位置。 (4)文字力求淺顯簡短，題意明確，解題所依據的必要條件避免遺漏。 (5)保持選項內容的同質性。 (6)保持選項的長度一致性。 (7)避免「以上皆非」、「以上皆是」、「不知道」的答案。 (8)選項採用正面陳述，避免負面陳述。 (9)試題內容避免使用具有暗示性的字詞。
48 (10)應使所有選項具誘答力。 (11)應用考生典型的錯誤作為選項。 (12)避免使用幽默選項。 根據以上選擇題命題指導原則，另編製「試題檢核表」，提供命題者逐一檢 查其所命試題，以期提升命題品質。「試題檢核表」如附錄二所示。 （四）試題的信度 信度（reliability）又稱為可靠性，係指測驗結果的穩定性而言（郭生玉， 1989）。在本研究中，研究者以 Cronbach’s α 係數來求試題之內部一致性。 （五）試題的效度 效度(validity)又稱為正確性，是指一個測驗能夠正確地測量到所欲測量的能 力程度而言。本研究採內容效度及專家效度。 內容效度旨在有系統的檢查測驗內容是否適切，測驗內容是否包括充足的行 為樣本，在本研究中是以真分數乘法概念圖（圖 3-2）、真分數乘以整數試題細目 表（表 3-1）、真分數乘以真分數試題細目表（表 3-2）、真分數乘以帶分數試題 細目表（表 3-3）和解題所需概念表（表 3-4、表 3-5、表 3-6）作為檢驗內容效 度的依據。再將完成之試題初稿交由指導教授及五位實際參與數學科教學的國小 教師審查試題是否適合（審查表格請參閱附錄三），使試題內容具有專家效度。 二 二 二 二、、、、相關的統計軟體相關的統計軟體相關的統計軟體相關的統計軟體 本研究所使用之電腦軟體包括： （一）Microsoft Excel：計算每道試題的難易度及鑑別度。 （二）SPSS（10.0 for Windows）統計套裝軟體：進行筆試資料的信度及鑑別度 分析。 （三）IRSP：用來繪製群體受試者之試題關聯結構圖（郭伯臣、田聖才，1995）。
49 三 三 三 三、、、、預試結果預試結果預試結果預試結果 試題編製完成之後，以彰化縣某國民小學六年級二個班級的學童共 54 人進 行預試。預試結果如表 3-7，以 Cronbach’s α 係數來求試題之內部一致性，得到 α值為.971，是信度可接受的試題。並根據受試者之總分高低排序，取極端的 27% 為高分組及低分組，然後分別求出高低分組在每一個試題的答對率，以 PH和 PL 表示，再以 2 PH+PL 表示試題之難易度指數，難度大致集中在.4 到.9 之間。鑑別 度則以 PH-PL和 r(x)(y)作檢驗。 四 四 四 四、、、、編製正式施試試題編製正式施試試題編製正式施試試題編製正式施試試題 根據預試結果來選出正式施測題目，若遇相同之題型，則以難度較適中，鑑 別度較高為選取原則。最終選出 23 題為正式施測題目，可參考附錄四。而正式 施測試眷之試題細目表（表 3-8、表 3-9、表 3-10）及解題所需概念表（表 3-11、 表 3-12、表 3-13）臚列如下
50 表 3-7 預試試題的難度、鑑別度和 Cronbach's α 值 題號 高分組答 對百分比 PH 低分組答 對百分比 PL 難度 (PH+PL)/2 鑑別度 PH-PL r(x)(y) alpha if Item deleted 1 1.000 0.889 0.944 0.111 0.390** 0.971 2 1.000 0.778 0.889 0.222 0.551** 0.970 3 1.000 0.500 0.750 0.500 0.639** 0.970 4 1.000 0.111 0.556 0.889 0.851** 0.969 5 1.000 0.222 0.611 0.778 0.610** 0.970 6 1.000 0.389 0.694 0.611 0.676** 0.970 7 0.938 0.222 0.580 0.715 0.541** 0.971 8 1.000 0.222 0.611 0.778 0.834** 0.969 9 0.875 0.167 0.521 0.708 0.773** 0.970 10 1.000 0.722 0.861 0.278 0.592** 0.970 11 0.938 0.611 0.774 0.326 0.593** 0.970 12 1.000 0.389 0.694 0.611 0.893** 0.969 13 0.875 0.333 0.604 0.542 0.816** 0.969 14 1.000 0.222 0.611 0.778 0.820** 0.969 15 0.938 0.222 0.580 0.715 0.721** 0.970 16 0.938 0.500 0.719 0.438 0.613** 0.970 17 0.938 0.556 0.747 0.382 0.492** 0.971 18 1.000 0.444 0.722 0.556 0.855** 0.969 19 0.938 0.389 0.663 0.549 0.793** 0.969 20 1.000 0.389 0.694 0.611 0.849** 0.969 21 0.875 0.167 0.521 0.708 0.729** 0.970 22 1.000 0.000 0.500 1.000 0.833** 0.969 23 1.000 0.111 0.556 0.889 0.796** 0.969 24 0.938 0.000 0.469 0.938 0.672** 0.970 25 0.875 0.056 0.465 0.819 0.616** 0.970 26 0.938 0.444 0.691 0.493 0.794** 0.969 27 1.000 0.500 0.750 0.500 0.831** 0.969 28 1.000 0.500 0.750 0.500 0.741** 0.970 29 0.938 0.389 0.663 0.549 0.711** 0.970 30 0.875 0.333 0.604 0.542 0.688** 0.970 31 0.938 0.333 0.635 0.604 0.514** 0.971 32 0.875 0.111 0.493 0.764 0.572** 0.970 33 0.813 0.111 0.462 0.701 0.503** 0.971 34 0.813 0.056 0.434 0.757 0.531** 0.971 35 1.000 0.333 0.667 0.667 0.865** 0.969 36 1.000 0.333 0.667 0.667 0.865** 0.969 37 0.938 0.222 0.580 0.715 0.570** 0.971 38 0.813 0.111 0.462 0.701 0.567** 0.970 39 0.750 0.056 0.403 0.694 0.551** 0.971 40 0.750 0.056 0.403 0.694 0.566** 0.970
51 表 3-8 正式施測之真分數乘以整數試題細目表 學習概念 學習目標 題號 分子乘法 學童能運用分子乘以整數的技巧來解題。 1、 分子乘法 約分 學童能運用分子乘以整數的技巧來解題。 學童能在分子與分母為倍數關係時，進行約分， 並求出最簡分數。 2 分子乘法 約分 學童能運用分子乘以整數的技巧來解題。 學童能算出分子與分母的公因數，進行約分，並 求出最簡分數。 3、4、5、 分子乘法 進位 學童能運用分子乘以整數的技巧來解題。 學童能將計算結果化成帶分數。 6 分子乘法 約分 進位 學童能運用分子乘以整數的技巧來解題。 學童能算出分子與分母的公因數，進行約分，並 求出最簡分數。 學童能將計算結果化成帶分數。 7、8、9 分母小於 10 學童在分母小於 10 的作答情形。 3、 分母大於 10 學童在分母大於 10 的作答情形。 1、2、4、5、 6、7、8、9 表 3-9 正式施測之真分數乘以真分數試題細目表 學習概念 學習目標 題號 分子乘法 分母乘法 學童能運用分子乘以分子、分母乘以分母的技巧 來解題。 10 分子乘法 分母乘法 約分 學童能運用分子乘以分子、分母乘以分母的技巧 來解題。 學童能在分子與分母為倍數關係時，進行約分， 並求出最簡分數。 11 分子乘法 分母乘法 約分 學童能運用分子乘以分子、分母乘以分母的技巧 來解題。 學童能算出分子與分母的公因數，進行約分，並 求出最簡分數。 12、13、14 分母小於 10 學童在分母小於 10 的作答情形。 10、11、13 分母大於 10 學童在分母大於 10 的作答情形。 12、14
52 表 3-10 正式施測之真分數乘以帶分數試題細目表 學習概念 學習目標 題號 分子乘法 分母乘法 學童能運用分子乘以分子、分母乘以分母的技巧 來解題。 學童能進行帶分數和假分數的轉換。 15 分子乘法 分母乘法 約分 學童能運用分子乘以分子、分母乘以分母的技巧 來解題。 學童能進行帶分數和假分數的轉換。 學童能在分子與分母為倍數關係時，進行約分， 並求出最簡分數。 16 分子乘法 分母乘法 約分 學童能運用分子乘以分子、分母乘以分母的技巧 來解題。 學童能進行帶分數和假分數的轉換。 學童能算出分子與分母的公因數，進行約分，並 求出最簡分數。 17、18、19 分子乘法 分母乘法 進位 學童能運用分子乘以分子、分母乘以分母的技巧 來解題。 學童能進行帶分數和假分數的轉換。 20 分子乘法 分母乘法 約分 進位 學童能運用分子乘以分子、分母乘以分母的技巧 來解題。 學童能進行帶分數和假分數的轉換。 學童能算出分子與分母的公因數，進行約分，並 求出最簡分數。 21、22、23 分母小於 10 學童在分母小於 10 的作答情形。 15、19、22 分母大於 10 學童在分母大於 10 的作答情形。 16、17、18、 20、21、23
53 表 3-11 正式施測之真分數乘以整數試題解題概念表 約分 題 號 試 題 答 案 分 母 在 十 以 下 分 母 在 十 以 上 倍 數 關 係 有 一 個 因 數 有 兩 個 因 數 有 三 個 因 數 進 位 倍 數 ： ( 幾 倍 ) 因 數 ： 1 × 3= 13 3 1 13 3 3 2 13 1 3 13 9 4 13 6 3 2 × 3= 18 3 1 18 9 2 2 1 3 6 1 3 4 18 1 2 9(2 倍) 3 × 3= 9 2 15 923 2 3 9 2 3 4 9 6 2 3 4 × 6= 27 3 1 27 18 2 9 6 3 27 3 6 4 3 2 4 3、9 5 × 7= 42 4 1 3 2 2 42 28 3 21 14 4 42 4 7 1 2、7、14 6 × 9= 19 3 1 19 3 2 19 8 1 3 19 3 9 4 19 27 2 7 × 6= 15 7 1 5 4 2 2 15 42 3 15 7 6 4 5 14 1 3 8 ×10= 16 6 1 16 12 3 2 16 6 10 3 4 3 3 4 16 60 3 2、4 9 × 4= 24 10 1 24 40 2 3 2 1 3 24 10 4 4 12 8 1 2 2、4、8
54 表 3-12 正式施測之真分數乘以真分數試題解題概念表 約分 題 號 試 題 答 案 分 母 在 十 以 下 分 母 在 十 以 上 倍 數 關 係 有 一 個 因 數 有 兩 個 因 數 有 三 個 因 數 進 位 倍 數 ： ( 幾 倍 ) 因 數 ： 10 × = 7 6 7 2 1 7 1 1 2 3 1 334 49 12 4 11 × = 9 6 4 2 1 3 1 2 12 1 3 36 12 4 4 3 1 12(3 倍) 12 × = 5 4 15 12 1 75 48 2 75 3 3 25 16 41 3 3 13 × = 8 2 7 6 1 56 3 2 14 3 3 7 3 3 4 56 12 2 2、4 14 × = 9 4 14 6 1 63 12 2 126 24 3 28 27 4 21 4 4 2、3、6
55 表 3-13 正式施測之真分數乘以帶分數試題解題概念表 約分 題 號 試 題 答 案 分 母 在 十 以 下 分 母 在 十 以 上 倍 數 關 係 有 一 個 因 數 有 兩 個 因 數 有 三 個 因 數 進 位 倍 數 ： ( 幾 倍 ) 因 數 ： 15 × = 3 2 2 7 2 1 21 16 2 21 4 2 3 21 1 2 4 21 4 1 16 × = 2 1 3 14 2 1 28 14 2 14 1 3 3 28 2 3 4 2 1 4 14(2 倍) 17 × = 8 5 2 18 5 1 48 35 2 36 1 2 3 144 105 4 144 25 2 1 3 18 × = 4 3 3 18 3 1 24 15 2 72 45 3 72 9 3 4 8 5 4 3、9 19 × = 7 5 1 6 2 1 7 4 2 42 10 1 3 42 24 4 21 12 1 2、3、6 20 × = 13 9 1 3 2 1 13 6 1 2 39 5 1 3 39 18 1 4 39 44 2 21 × = 9 2 2 15 11 1 135 220 2 45 44 3 135 22 2 4 27 17 1 4 5 22 × = 6 5 1 6 4 1 9 2 1 2 36 44 3 36 20 1 4 18 4 1 1 2、4 23 × = 6 2 1 12 11 1 72 88 2 9 2 1 3 72 22 1 4 36 8 1 2 2、4、8
56
第
第
第
第四
四
四節
四
節
節
節
研究
研究
研究
研究流程
流程
流程
流程
本研究目的在於針對國小學童真分數乘法概念進行試題的編製與分析，為 了能順利並清楚的進行本研究，以下為本研究之研究流程，如圖3-4所示： 圖 3-4 研究流程圖 閱讀分數乘法相關文獻 分析國小真分數乘法教材 閱讀測驗相關文獻 真分數乘法概念圖 試題細目表 真分數乘法試題結構圖 編擬試題 試題檢核表 學科專家檢核 通過 不 通 過 預試並修訂題目 正式施測 結果分析 完成論文 形成 IRS 結構圖 不 符 合57
第
第
第
第五
五
五節
五
節
節
節
資料處理
資料處理
資料處理
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本研究主要採取量化研究的分析方式來探究學童在真分數乘法概念的知識 結構。在分析紙筆測驗資料時，先使用 Excel 試算軟體分析試題的難易度及鑑別 度，再使用 SPSS/PC 統計套裝軟體來分析試題的鑑別度及信度。接著，應用試 題關聯結構分析法，使用 IRSP 軟體繪製出試題關聯結構圖，以利分析群體受試 者之試題關聯結構圖。
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