行政院國家科學委員會補助專題研究計畫成果報告
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※ 利用位能場作三維空間之路徑規劃 ※
※ Path Planning of 3D Objects Using Potential Fields ※
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計畫類別：個別型計畫
計畫編號：NSC 89－2213－E－009－103
執行期間：88 年 8 月 1 日至 89 年 7 月 31 日
計畫主持人：莊 仁 輝 副教授
本成果報告包括以下應繳交之附件：
□赴國外出差或研習心得報告一份
□赴大陸地區出差或研習心得報告一份
□出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份
□國際合作研究計畫國外研究報告書一份
執行單位：國立交通大學資訊科學研究所
中 華 民 國 八十九 年 十 月 十 日
行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告
利用位能場作三維空間之路徑規劃
Path Planning of 3D Objects Using Potential Fields
計畫編號：NSC 89-2213-E-009-103
執行期限：88 年 8 月 1 日至 89 年 7 月 31 日
主持人：莊仁輝 國立交通大學資訊科學研究所
一、中文摘要 路徑規劃的目的在於使行進的物體在自由空 間中由起點到達終點且在過程中不與障礙物發生 任何碰撞，本計劃則是在探討如何利用位能場模型 做三維物體的路徑規劃。我們是以廣義位能場模型 來代表三維空間中的障礙物與移動物體，該模型假 設任何三維物體的周界均勻地帶著正電荷，藉由障 礙物對移動物體的推斥力來調整移動物體的位置 與姿勢，以安全地避開障礙物並且不與之發生碰 撞。而在路徑規劃問題中，在空間中最容易發生碰 撞的部分稱為瓶頸，本計劃的目的就是要利用位能 場模型來協助物體通過瓶頸。由實驗的結果看來， 本計劃的路徑規劃演算法，除了能協助三維物體順 利通過障礙物間的瓶頸部分，物體在移動過程中所 形成的路徑亦是極為平順的。此一位能場模型由於 具有解析形式，是一個兼具效率與實用的模型。 關鍵詞：路徑規劃、廣義位能場模型、避碰 AbstractThe purpose of path planning is to move a robot from start position to destination with no collision with any obstacles. In this project, we consider the path planning of 3D objects based on a generalized potential model which assumes that the boundary of every 3D object is uniformly charged. According to the proposed approach, the repulsive force and torque between the moving object and the obstacles due to the above model are used to modify the position and orientation of the object, respectively, so as to keep the moving object away from the obstacle. For a path planning problem, the places where the moving object are most likely to collide with obstacles are bottlenecks in the free space. The goal of the proposed approach is to help the 3D object to avoid the obstacles near the bottleneck regions using potential field. According to the simulation results, a 3D object can indeed move through the bottleneck region safely and smoothly. Finally, the proposed potential field is analytically tractable which makes the path planning efficient and practical.
Keywords: path planning, generalized potential model,
collision avoidance 二、緣由與目的 所謂的路徑規劃是指對於在空間中的可移動 物體，使其能夠在我們給定的起點後開始移動，並 且安全避開所有的障礙物，找到一條所費時間最少 的路徑，以到達所指定的目的地(參考[1][2])。路 徑規劃在工業界應用極廣，如[3]所述，它大大的降 低工作人員對機器在運作時所下達指令要求的詳 細程度。如無人搬運車，我們只要給它終點即可， 不必詳細的指示其該於何處轉向的細微問題。在製 造業上，機器可以自行組裝產品，而且檢查是否接 合，順序有否顛倒等，無須事先詳細的指示。 在路徑規劃這領域上，目前已經有相當多的 研究成果，可以用來解決各種不同類型的問題，這 些方法有的是直接在工作空間來進行，有的則是將 問題轉換到組態空間上。而這些路徑規劃的方法大 致上可分為以下五大類：骨架法(skeleton)，細胞切 割法(cell decomposition)，數學規劃法(mathematical programming)，次要目的圖形法(subgoal graph)， 以及本計劃的位能場模型法。當然，這五種方法彼 此之間並不是互斥的，有些路徑規劃的方法(如[4]) 就可以被歸納在兩種類別以上。底下我們會對這幾 種類型做概略性的介紹，尤其與本計劃相關的位能 場部分，而對於這幾種類型的介紹，可以在[2]與[5] 中找到更為詳盡的資料。 骨架法－將自由空間轉換成為由一些一維線 段所組成的網路，所要找的路徑就被侷限在這網路 中，因此路徑規劃問題變成了圖形搜尋的問題(參 見[6])。在這方法下，路徑規劃通常分成三步驟： 首先將物體自開始位置移到位於骨架上的一點，接 著在將物體自目的地移到骨架上的一點，最後透過 這骨架的網路，用一些線段將這兩點連接起來。 細胞切割法－將空間分割成若干小區域，每 一個區域稱為一個細胞，並且計算出這些細胞之間 連接的關係。尋找一條由起點到目的地的演算法通 常分成兩個步驟：首先找出起點與目的地所在細胞 位置，然後找一條細胞串列將這兩細胞連接起來， 則此串列即為所要的路徑(參見[7]-[11])。 數學規劃法－若利用一些組態參數不等式來 達到避開障礙物的要求，路徑規劃的問題就變成數 學最佳化的問題(參見[2])。也就是找一條從起點到 目的地組態的曲線，而且必須是有著最短的長度。 然而這最佳化問題可能是非線性的，而且有很多不 等式，所以常用數值方法來幫助尋找最佳的解。 次要目的圖形法－所謂的次要目的地，在組 態空間中是指空間中的重要組態(參見[3])，在工作 空間中則是一些重要的中途站，可以用以幫助找到
安全的路徑。在路徑規劃的過程中，並不是每一個 次要目的地都必須經過，通過與否完全視情況而 定。這是一個分成兩個階段的路徑規劃演算法，分 為全域規劃與局部規劃。一個包含次要目的地的空 間是由全域規劃所產生，而局部規劃則是用來確認 每一個次要目的地的可達性(reachability)。與細胞 分割法相似的是，兩個次要目的地之間也可以應實 際情況需要再細分更多的次要目的地。 應用位能場模型－運用一純量(scalar)函數稱 之為位能場，利用這個推斥的位能函數來保持物體 跟障礙物中間的安全距離，以它們的 gradient 當 作推斥力,以隨時調整物體的狀態, 來保持一個不 會跟障礙物發生碰撞的路徑。位能函數必須符合以 下一些特性：在靠近障礙物時有較大的值，極小值 則是出現在目的地的位置，是故移動物體至於起始 位置後，可以順著位能場較小之方向移動，並避開 障礙物而到達目的地。 在以位能場模型為基礎的方法中有不同的函 數，如在[12]的立方(cubic)函數，[13]以及[14]中則 各自使用了不同的人工位能場(artificial potential) 函數。用位能場模型來做路徑規劃有著計算量較低 的好處，但是卻有可能發生因為位能場的局部最小 值而導致物體落入該陷阱中，產生不正確的結果。 除非移動物體是一個點並且障礙物都是凸體，否則 位能場模型並不適合單獨的用來做全域規劃。位能 場模型最好的應用是在局部規劃上。一個簡單的局 部規劃例子，如在[15]中用了由 Yukawa 函數(參見 [16])所定義的 superquadric 人工位能場模型。而本 計劃則是經由推廣二維空間中的牛頓位能場模型 (參見[17][18])來進行路徑規劃。 大部分基於二維工作空間的路徑規劃演算法 無法直接延伸到三維空間來，而本計劃所使用的路 徑規劃演算法卻是由二維空間直接推廣而來的(參 見[17][19])。我們的動機是探討一個以位能場為基 礎的三維物體路徑規劃演算法，希望它如同在二維 空間一般，可以有效率且正確地執行路徑規劃的工 作，並且在移動的過程中是平滑順暢的。 三、結果與討論 在本計劃中，我們發展出一套以位能場為基 礎的三維物體路徑規劃演算法，利用廣義的位能場 模型來達到避碰的效果，此廣義位能場模型簡述如 下(詳見[19])：假設 r 是空間中的一點，與 r'之間的 位能為 1/|r-r’|m，S 是一個任意的表面，則 r 因為 S 所造成的位能大小可用(1)式表示 其中 R 是 r 與 S 中某一點 r'間的距離。經由一連串 的推導，我們可以得到：S 作用在點 r 的推斥力可 以用解析方法經由計算底下式子的 gradient 求得， 圖一 一個二維空間的例子 此推斥力就被我們的演算法用來調整物體的狀 態，以保持其與障礙物之間的安全距離。 底下我們以一個二維的例子來說明我們所採 用的路徑規劃演算法，至於三維空間中的作法只是 它的直接推廣 (我們的演算法主要是針對物體在 環境中較狹小區域附近的行為，來規劃避碰的路 徑， 此區域我們稱之為瓶頸，如圖一(a)的虛線)， 演算法的做法是將物體的第一個骨架點移到瓶頸 的中心，在該骨架點被限制在瓶頸上作上下移動的 條件下，利用障礙物對物體產生的排斥力跟力矩， 調整物體的位置跟角度，以達到位能極小的狀態， 接著依序對每個骨架點都做同樣的動作，直到最後 一個骨架點也通過瓶頸為止。由圖一(b)可以看出， 此演算法所得到的路徑是安全而且平滑的。演算法 的詳細步驟如下： 1.從第一個骨架點開始。 2.在該骨架點被限制在瓶頸上作上下移動的 條件下，利用物體所受到的力跟力矩，調 整物體的位置跟角度，以達到位能極小的 狀態。 3.若該點為最後一個骨架點，則結束演算 法。 4.在不發生碰撞的情況下，將下一個骨架點 平移到瓶頸中心，接著重複步驟 2。 (若有碰撞發生，在兩骨架點間嘗試插入另 一個骨架點，讓移動距離小一點，再重新 試過，) 5.如果上述移動距離若小於某一臨界值而仍 有碰撞發生，就視同物體無法通過這個瓶 頸，而結束演算法。 在以下的的模擬結果中，我們假設障礙物是 一個個的多面體，而移動物體則是由一組取樣點來 代表以計算(1)，再透過上述的演算法求得一條安 全且平滑的物體路徑，以通過障礙物間的瓶頸。 在圖二的例子中，一個長方體從右上移動到 左下，通過一個長方形平面的瓶頸，物體有十一個 骨架點，路徑規劃的過程中沒有插入額外的骨架 點。而在圖三這個 L 型物體通過 V 型瓶頸的例子 中， 圖(b)是選擇 A,B,C 當作骨架點的實驗結果， 過程中有五個骨架點被插入，圖(c)跟(d)則是在說 明，即使
,
∫
SR
dS
m(1)
2
≥
m
(2) tan 1 ) , , ( 2 2 2 1 z y x y xz z z y x + + = Φ −圖二 一個路徑規劃的例子 圖三 L 型物體通過 V 型瓶頸的例子 選取不同組的骨架點，我們的演算法仍然可以完成 路徑規劃，如圖(c)是用 A,D,C 做骨架點，圖(d)是 用 A,E,C 做骨架點，稍微不同的是，需要插入的骨 架點數目，可能視需要而有所差別。 以上兩個結果其實是二維的例子直接加上一 個厚度而來的，基本上物體的動作只能說是二維的 動作。在圖四中我們把場景其中兩個垂直平面打開 來，結果可以看出物體有個扭動的動作，確實凸顯 了三維的效果。而圖五則是一個 720 度螺旋形狀的 物體通過一個很小的長方形瓶頸的例子。 接著是兩個多瓶頸的例子，如圖六所示，物 體只使用一個骨架點，來通過一個狹長的通道，此 圖四 一個凸顯三維效果的例子 圖五 螺旋形物體通過長方形瓶頸的例子 圖六 一個多瓶頸的例子 圖七 一個場景較複雜的多瓶頸例子 通道是用一個個的截面當作瓶頸，從不同角度來觀 察實驗結果(圖略)，物體都能維持在通道的中間。 圖七同樣是多瓶頸的例子，只是場景較複雜，是一 個 Y 型圓管，可以從結果看出，在兩個圓管交接 處，除了改變行進方向外，由於空間較寬廣，物體 由原先的直立，做了一個扭動而躺平的動作，接著 維持這樣的狀態繼續往前走。 以上的模擬結果顯示出，利用我們所提出的 路徑規劃演算法，可以確實地為一個三維物體在具 有障礙物的空間中找出一條避碰的路徑以通過瓶 頸，而且物體在移動的過程中是很平滑順暢的，又 由於這個位能場模型是可以用解析方法計算出來 的，所以這個演算法在規劃避碰路徑方面可算是很 有效率的方法。另外，我們的這個演算法也可以跟 目 前 已 經 發 表 的 全 域 演 算 法 如 probabilistic roadmap 方法相結合，提供它們在較難通過的區域 附近的路徑規劃。 不可諱言地，我們的演算法還有一些尚待研 究的問題，例如取樣點的數目。由於我們的移動物 體是用一組取樣點來代表，所以當我們取樣點的個 數太少時，可能會造成不能精確偵知碰撞的不正確 結果(未在報告中顯示出)，另一方面，當取樣點的 數目越多時，物體通過瓶頸所花費的時間就越久。
因此究竟要如何對移動物體進行取樣，才能達到既 快速又正確的結果，是一個重要的課題。另外，本 計劃的瓶頸定義方式是從二維空間的路徑規劃的 定義而來的，在計劃中我們都假設瓶頸為一平面， 並且假設已經由別的方法求得。但事實上，在三維 空間中瓶頸的定義到目前為止都還沒有明確的定 論，例如同樣的障礙物對於不同大小形狀的移動物 體而言將有著截然不同的瓶頸觀念，而有待進一步 的研究。 四、計劃成果自評 位能場模型在電腦視覺，影像處理等領域中 已有許多方面的應用，例如：物體的骨架抽取，物 體的比對與辨識等。而在路徑規劃這領域上，首先 要面對的是如何對多瓶頸的障礙物環境找出一套 有系統的演算法。接下來，除了本計劃中所提及的 單一剛體的路徑規劃外，還可研究如何對有關節的 物體，如機械手臂來進行路徑規劃，甚至還可以再 進一步考慮同時有兩個以上移動物體的問等等。諸 如此類的應用不勝枚舉，足以證明這是一個兼具理 論與實用的模型，而我們在下年度計劃中正是要探 討機械手臂的路徑規劃問題。 五、參考文獻
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