100學年度高二上第二次定期考

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定期考優良試題推介

─ 100

學年度上學期高二第二次定期考

教育部高中數學學科中心試題研發小組

報告撰寫:國立新竹高中褚雨蓓老師、國立新竹女中張寶文老師 指導教授:國立臺灣師範大學數學系陳昭地教授、洪有情教授、張幼賢教授、      朱亮儒教授 小組成員:臺北市立建國高中曾政清老師、國立基隆女中沈燈賢老師、 臺北市立北一女中蘇麗敏老師、國立武陵高中謝文斌老師、 國立新竹高中褚雨蓓老師、國立新竹女中張寶文老師、 國立竹南高中李政豐老師、國立臺中一中李吉彬老師、 國立員林高中黃駿耀老師、國立北港高中蕭民能老師、 國立新豐高中王人傑老師、國立臺南一中蕭健忠老師、 國立高師大附中歐志昌老師

前言

依照99 課綱的編排順序,本次定期考範圍以數學Ⅲ中的「直線與圓」為主, 然部分學校調整教學順序為「平面向量」以求有更多工具討論「直線與圓」,這使 得原本不甚容易的試題蒐集工作更為棘手;在此,數學學科中心衷心廣邀全國 各校上網分享定期考試題,學科中心會依學校特性選出約16 所學校,並將試題 交由試題研發小組成員討論研究,挑選出可供教師們參考的優良試題,達到互 相切磋、交流的目的。   有鑑於各校考試範圍差異甚大,此次選題範圍除「直線與圓」外,尚包含三 角測量的範疇。綜觀本次17 校試題,教師們在命題時對重要試題與觀念上頗有 共識,唯新穎創意試題的比例稍低,值得大家關注。此外,部份試題的語句敘述 仍須酌予修正,期盼各位先進在命題時皆能重視語句敘述的邏輯性與完整性, 例如:   若題型為單選題,則敘述宜為「下列何者正確?」   若題型為多選題,則敘述宜為「下列哪些選項是正確的?」   選擇題的敘述結尾「為?」,宜完整敘述「為何?」   填充題之敘述「試求…」,建議改以「則…」較佳。   選題工作僅針對個別題目設計提供教師們做為命題參考,無法顧及做為整 份試卷需考量的難易度、鑑別度等因素,期盼教師們運用本資料時多加思量;而 選題過程難免疏漏,若有任何問題,仍請各位先進不吝指教。

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A. 基礎重要試題

1. (多選)在坐標平面上S x: 2y22x4y k 0, 請選出下列正確之選項 (1) 若k 0, 則 S 為一圓 (2) 若k 5, 則 S 為一點 (3) 若k  5, 則 S 無圖形 (4) 若 S 為一圓, 其圓心為

1, 2

(5) 若圓和 x 軸相切, 則k1 參考答案:(1)(2)(5) 出處:金門高中(義民高中、馬祖高中等校亦有類似題) 修題建議:選項(5)的敘述宜修改為:「若 S 為一圓且和 x 軸相切, 則k 1」。 2. (多選)由四條直線x4y15 0, x y  5 0,x y  3 0, 2x y 15 0 ,所圍 成四邊形區域ABCD如右圖(一),則下列何者正確? (A) 直線AB之方程式為x4y15 0 (B) 滿足四邊形區域(含邊界)的聯立不等式為 4 15 0 5 0 3 0 2 15 0 x y x y x y x y                    (C)

x y,

ABCD四邊形區域(含邊界)上的點,則 1 2 y x   的最大值為 4 3 (D)

x y,

ABCD四邊形區域(含邊界)上的點,則 2 2 xy 的最小值為17 (E) 若A點為目標函數y ax 在ABCD四邊形區域(含邊界)上取得最大值之唯 一點,則 2 1 4 a    參考答案:(A)(E) 出處:北一女中(基隆女中等校亦有類似題)   修題建議:題目敘述修改用字為:「…,則下 列哪些選項是正確的?」 3. 過兩點A

2,1

B

 

3, 4 且圓心在y軸上的圓方程式為_______﹒

(3)

參考答案: 2 ( 10)2 85 3 9 xy  出處:基隆女中(新店高中等校亦有類似題) 4. (計算題)某航空公司想利用AB兩型飛機飛航一新航線﹐A型飛機每天可 載 50 名乘客﹐B型飛機每天可載 80 名乘客﹔A型飛機每架需要有 2 名技師 維修﹐B型飛機每架也需要有 2 名技師維修﹔A型飛機每架 4 億元﹐B型飛 機每架 9 億元﹒若該航線每日最少需載客 400 名﹐而基於營運成本考量﹐最 多只能聘用 12 名技師﹐問該公司要買AB兩型飛機各幾架最為省錢﹐且 又符合需要﹖(需列出不等式組,目標函數及作圖求解) 參考答案:買 A 型飛機 2 架,B 型飛機 4 架,成本最省為 44 億元。 出處:基隆女中(新店高中、新竹女中等校亦有類似題) 5. 設 A( 2 , 1 )、B(3,3),若線段AB與 L :2xmy2m5相交,求 m 的範 圍為_____。 參考答案:m3 或 m 11 出處:竹北高中(安樂高中、基隆女中、義民高中、臺中二中等校亦有類似題)   修題建議:題目敘述修改用字為:「…,若AB與直線 L :2xmy2m5相 交,則 m 的範圍為_____。」 6. 坐標平面上

10, 4

處有一點光源,將圓C x: 2y28x8y28 0 投射在 y 軸上,則其在 y 軸上的陰影長度為___。 參考答案:5 2 出處:竹北高中 修題建議:題目敘述修改用字為:「…,將圓C x: 2y28x8y28 0 投射 在 y 軸上的影長為___。」

7. (多選)已知 x2+y2-ax+by+14=0 與直線 x-2y=3c 相切於

 

5,1 ,則下列何

者正確?

(A) a=6 (B) b=10 (C) c=1 (D)半徑=20 (E)圓心為

 

3,5 參考答案:(A)(C)(E)

(4)

出處:義民高中(弘文高中、建國高中、基隆女中、竹北高中等校亦有類似題)   修題建議:     1. 題目敘述修改用字為:「已知圓 x2+y2-ax+by+14=0 與…,則下列 哪些選項是正確的?」 2. 選項敘述修改用字為:「(D)半徑為 20」。 8. (多選)在坐標平面上﹐下列哪些條件恰可決定一圓﹖ (1)過 (1,1),( 1,1), 且圓心在 x 軸上 (2)過 (1,1),( 1,1), 且圓心在y軸上 (3) (3,0),( 1, 2),(5, 1)  三點 (4)過 (5,0),( 5,0),(0,5),(4, 3)  四點 (5)圓心在直線 2x y  上,且與 x 軸, y 軸均相切3 參考答案:(1)(4) 出處:新竹女中 修題建議:題目敘述修改用字為:「…, 下列各選項的條件哪些恰可決定一 圓?」。 9. 坐標平面上﹐已知圓C x: 2y24x6y k 0與 x 軸相切﹒ (1)實數 k 之值為    ﹒ (2)若圓 C 又與直線y mx 相切﹐其中m0﹐則 m 值為    ﹒ 參考答案:(1) 4 (2) 12 5 出處:新竹女中   說明:題目設計圓C同時與x軸及直線y mx 相切,可利用已知的斜角觀念 解題,避免涉及課綱順序中尚未提及的「點至直線距離公式」。 10. (單選)設 A(1,0)、B(3,5), 若AB與直線kx y  2 0相交,則 k 的整數值有幾個 (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 參考答案:(A) 出處:弘文高中(竹北高中、基隆女中、安樂高中、臺中二中等校亦有類似題) 修題建議: 1. 題目敘述修改用字為:「…,則共有幾個 k 值為整數?」。 2. 選項最後宜加上單位:「個」。

(5)

A

P

C

B

Q

D

11. 滿足不等式 x0,y0,x2y,3x  4y20 之格子點

x y,

有___個﹒   (x﹐y 均為整數之點

x y,

稱為格子點)   參考答案:12 出處:義大高中(金門高中、竹北高中等校亦有類似題) 12. 橋面上有一圓拱形建築﹐共有 7 根垂直支柱(如圖)﹒其中圓拱的寬度 40 AB 公尺﹐相鄰支柱間距離都是 5 公尺﹐正中支柱CD10公尺﹒ (1)求圓弧 AB 所在之圓的半徑=__________﹒ (2)求最左邊支柱PQ的長度=__________﹒ 參考答案:(1) 25 (2) 5 出處:新竹女中 修題建議: 1. 為避免疑慮,題目敘述宜加註為:「橋面上有一圓拱形建築(即AB 為圓的一部分)﹐…」 2. 題目敘述修改用字為:「……正中支柱CD之長為 10 公尺﹒則 (1)圓弧 AB 所在之圓的半徑為________公尺﹒ (2)最左邊支柱PQ的長度為________公尺﹒ 」 3. 為避免看圖猜測PQCD的一半,第(2)小題可改為: 「(2)自左邊起第二根支柱PQ的長度為___公尺﹒」,   則答案為5 21 15 。   如此,本題幾可視為新穎試題。 13. 坐標平面上有兩條平行直線。它們的x截距相差 8,y截距相差 6。則這兩條 平行直線的距離為__________. 參考答案:24 5 出處:竹南高中 14. 一直線的斜率為-2,且在兩軸的截距和為 10,則直線 L 的方程式為______ _. 參考答案:6x+3y=20

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出處:義大高中(新店高中、竹北高中等校亦有類似題) 15. 在x0,y0,x2y50,4x y 60條件下,求 (1)4x y 最大值為_______. (2)x2y2最大值為_______. 參考答案:(1) 60 (2) 625 出處:義大高中(建國高中、新店高中、基隆女中等校亦有類似題) 修題建議:題目敘述修改用字為:「…條件下,則…」。 16. (單選)小白、小玉、阿聖相約要測量金門高中操場上旗竿的高度, 三人在操場 上 與 旗 竿 距 離 相 同 的 相 異 三 點 A, B, C 測 得BAC30, ABC105, 45 ACB   , BC4公尺, 且由 A 點測得旗竿頂端的仰角為60, 則旗竿的高 度為下列何者? (1)16 (2)8 (3) 4 3 3 (4)4 3 (5)4 公尺 參考答案:(4) 出處:金門高中(臺中二中等校亦有類似題) 修題建議:條件宜更精簡,避免學生混淆。 17. 設A

 

5,6 ,B

2,0

C

1, 2

為坐標平面上的三點,若P k k

, 1

ABC內部一點,則實數 k 的範圍為___________. 參考答案: 3 5 1 k 出處:義民高中(北一女中等校亦有類似題) 18. (單選)坐標平面上 5 條直線L a x y b1: 1   1 0,L a x y b2: 2   2 0, 3: 3 3 0 L a x y b   ,L a x y b4: 4   4 0,L a x y b5: 5   5 0,其圖形如圖(二), 下列各數中何者最大? (1) a1 (2) a2 (3) a3 (4) a4 (5) a5

(7)

參考答案:(4) 出處:新竹高中(基隆女中、忠信高中等校亦有類似題) 修題建議:題目敘述修改用字為:「…,則下列各數中何者最大?」。 19. 在坐標平面上若不等式| | 2 | | 4xy的圖形面積為 A 周長為 L 求數對

A L,

 ________. (提示:分x y, 0x0, y0x0, y0﹐及x0, y0四種情況討 論 。) 參考答案:(16,8 5) 出處:竹南高中   修題建議:題目敘述修改用字為:「在坐標平面上,若不等式| | 2 | | 4xy  的 圖形面積為 A,周長為 L,則數對…」。 20. (單選)圓 2 2 2 4 0 xyxy 內接 12 邊形的面積為 (A) 15 (B) 15 2 (C) 15 3 (D) 30. 參考答案:(A) 出處:弘文高中 修題建議:題目敘述修改用字為:「…內接正十二邊形…」。 21. (單選)設 O 為原點,P 為圓x2y24x8y 4 0上之一點,且 OP之長為整 數,此種 P 有幾點? (A) 18 (B) 16 (C) 14 (D) 12 參考答案:(B) 出處:弘文高中(新竹女中等校亦有類似題) 修題建議: 1. 題目敘述修改用字為:「…,P 點在圓x2y24x8y 4 0上,且 OP 長為整數,則滿足上述條件的 P 點有多少個?」 2. 選項最後宜加上單位:「個」。 22. 在坐標平面 上, 2 2 4 2 0 x y x y        所表示的區域為 R .

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(1) 作圖表示區域 R . (2) 若

x y,

R, 求3x y 的最大值與最小值。 參考答案:(1)     (2) 最大值為2 10,最小值為2 5        出處:弘文高中 修題建議:題目敘述修改用字為:「(2) 若點

x y,

在區域 R 內, 則…」。 23. 若一直線過點( 4 , 6) 且不過第一象限,若與兩座標軸所成的三角形面積為 2,則此直線方程式為_______. 參考答案:9x4y12 0 出處:義大高中(竹北高中、弘文高中、建國高中等校亦有類似題) 修題建議:題目敘述修改用字為:「設一直線…,若與兩坐標軸所圍成的 …」。

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B. 新穎創意試題

24. 已知

a b,

為圓C x: 2y24x2y 4 0上的點,求(a1)2 (b 3)2的最大 值___。 參考答案:64 出處:金門高中 修題建議:題目敘述修改用字為:「…,則(a1)2 (b 3)2的最大值為_ _ 。」。 25. 郭和 想測量風景區大佛的高度,首先他在與佛頂部仰角恰為30的地面 A 點 處做上記號,接著面對著佛像前進 30 公尺到仰角恰為45的 B 點,則繼續前 進 公尺後可與佛頂部仰角恰為60 參考答案:10 3 出處:安樂高中(新店高中等校亦有類似題) 說明:題目設計能讓學生體會到測量高處標的物時,距離愈近,仰角愈大。 26. 有一家客運公司對於連續假期,擬出甲、乙兩種方案來紓解返鄉旅客,甲方 案每趟的人事成本為 5000 元,而其餘的成本為 5000 元,可得利潤 30000 元; 而乙方案每趟的人事成本為 7000 元,而其餘的成本為 13000 元,可得利潤 50000 元 , 現 預 算 為 : 總 成 本 不 得 超 過 510000 元 , 人 事 成 本 不 得 超 過 201000 元,問甲、乙兩方案要各跑多少趟才可以得到最大利潤?而最大利潤 為多少元? 參考答案:甲方案跑 15 趟、乙方案跑 18 趟才能得到最大利潤為 1350000 元 出處:建國高中(金門高中、馬祖高中等校亦有類似題) 27. 矩形 ABCD 中,對角線AC的斜率與AD的斜率相乘為 1,且CD3, AD4, 則CD的斜率為_____(兩個答案)。 參考答案:2 或 1 2  出處:臺中二中 28. 媽媽拿了 120 元給小寶到市場買橘子和蘋果,若橘子每顆 12 元,蘋果每顆 16 元,媽媽要求小寶購買的橘 子 數

(10)

量至少為蘋果的 2 倍,而且橘子和蘋果至少各買一顆,試以上述條件描繪聯 立不等式之圖形。若媽媽說「兩種水果的總量必須最多,而剩下的錢就當作 小寶的零用錢」,請問小寶該如何購買才能使橘子和蘋果的總數量最多,而 且可以拿到最多的零用錢?(水果數量必須為整數) 參考答案: 12 16 120 2 1 1 x y x y x y             ;        小寶須購買橘子 8 顆、蘋果 1 顆,零用錢最多為 8 元 出處:竹北高中 修題建議:題目原始數據易以猜測得到答案,即只買一顆蘋果,其餘買橘子。 建議修改數據為:「媽媽拿了 160 元給小寶到市場買橘子和蘋果, 若橘子每顆 10 元,蘋果每顆 15 元,媽媽要求小寶購買的蘋果數 量至少為橘子的 3 倍,而且橘子和蘋果至少各買一顆,…」,  則答案為 10 15 160 3 1 1 x y y x x y             ,

(11)

     小寶須購買橘子 2 顆、蘋果 9 顆,零用錢最多為 5 元。 29. 長方形 ABCD 中A

 

1, 2 ,B

 

3,5 ,D 在第二象限內且 1 2 ABBC,求 D 之坐 標_____。 參考答案:

5,6

出處:新竹高中 修題建議:題目敘述修改用字為:「…,則 D 點坐標為_____。」。 30. 如圖,以原點 O 為圓心的兩同心圓 C1, C2其半徑分別為 1 與 2,設點 C 在 C1 上,點 A, B 在 C2上,且四邊形OABC是平行四 邊形,求cos AOC _____。 參考答案: 1 4  出處:臺中二中 修題建議:   1. 題目敘述修改用字為:「…,則 cos AOC _____。」。 2. 圖形中連接OA

31. (多選)如右圖(三)中,BAC  30 , BCA60,ACD為正三角形,且直 線AC斜率為 1,若直線AB BC CD DA, , , 之斜率

(12)

(A) m m1 2  1 (B) m2 m4 (C) m1  2 3 (D) m1m2 0 (E) m1m30。 參考答案:(A) (B) (C) (D) 出處:北一女中 修題建議:題目敘述修改用字為:「…,則下列哪些選項是正確的?」。 32. 如附圖,正方形 ABCD 靠在 x、y 軸上,其中 A 在 x 軸上,B 在 y 軸上。已知

7,0

AB

0, 24

,若 B 點沿 y 軸下滑 4 單位至B' 0, 20

時,A 點也沿著 x 軸 往右滑至 A',則 C 點在正方形滑動後的坐標為_____。 參考答案:(20,35) 出處:安樂高中 33. (多選)坐標平面上四條斜直線圍出一矩形,四線斜率分別為 m1、m2、m3、m4且 m1  m2  m3  m4,則下列選項何者正確? (1) m1 × m2 =-1; (2) m2 × m3 =-1; (3) m1+m2+m3+m4=0; (4) m1 × m2 × m3 × m4 =1 (5) m2<0 且 m3>0。 參考答案:(2)(4)(5) 出處:新店高中 修題建議:題目敘述修改用字為:「…,則下列哪些選項是正確的?」。 34. (多選)聯立不等式

e

dy

cx

b

ay

x3

的圖形如右,則: (A) a0 (B) b0 (C) c0 (D) d 0 (E) e0 參考答案:(C)(E)

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出處:竹北高中 修題建議:題目敘述修改用字為:「…,則下列哪些選項是正確的?」。

C. 建議避免出現或可待討論改善之試題

1. 自高為h之山頂,測得遠處地平線的俯角為α,求地球之半徑 .(以hα的三角函數表達之) 參考答案: cos 1 cos α  修題建議:配合課綱未提到「球面與直線的關係」。 2. 兩圓C1:x2  y2 36與C2:(x4)2 y2 9,求兩圓外公切線之斜率為___ ______ 參考答案: 3 7 7  修題建議:配合課綱 47 頁提到「備註 3.2 不含兩圓的關係」。 3. tan2θsec2θ_______ 參考答案:1

修題建議:配合課綱 47 頁提到「備註 2.1cot , sec , cscθ θ θ置於數學甲 I、數學 乙 I」。

數據

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參考文獻

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