定期考優良試題推介
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學年度上學期高二第二次定期考
教育部高中數學學科中心試題研發小組
報告撰寫：國立新竹高中褚雨蓓老師、國立新竹女中張寶文老師 指導教授：國立臺灣師範大學數學系陳昭地教授、洪有情教授、張幼賢教授、 朱亮儒教授 小組成員：臺北市立建國高中曾政清老師、國立基隆女中沈燈賢老師、 臺北市立北一女中蘇麗敏老師、國立武陵高中謝文斌老師、 國立新竹高中褚雨蓓老師、國立新竹女中張寶文老師、 國立竹南高中李政豐老師、國立臺中一中李吉彬老師、 國立員林高中黃駿耀老師、國立北港高中蕭民能老師、 國立新豐高中王人傑老師、國立臺南一中蕭健忠老師、 國立高師大附中歐志昌老師前言
依照99 課綱的編排順序，本次定期考範圍以數學Ⅲ中的「直線與圓」為主， 然部分學校調整教學順序為「平面向量」以求有更多工具討論「直線與圓」，這使 得原本不甚容易的試題蒐集工作更為棘手；在此，數學學科中心衷心廣邀全國 各校上網分享定期考試題，學科中心會依學校特性選出約16 所學校，並將試題 交由試題研發小組成員討論研究，挑選出可供教師們參考的優良試題，達到互 相切磋、交流的目的。 有鑑於各校考試範圍差異甚大，此次選題範圍除「直線與圓」外，尚包含三 角測量的範疇。綜觀本次17 校試題，教師們在命題時對重要試題與觀念上頗有 共識，唯新穎創意試題的比例稍低，值得大家關注。此外，部份試題的語句敘述 仍須酌予修正，期盼各位先進在命題時皆能重視語句敘述的邏輯性與完整性， 例如： 若題型為單選題，則敘述宜為「下列何者正確？」 若題型為多選題，則敘述宜為「下列哪些選項是正確的？」 選擇題的敘述結尾「為？」，宜完整敘述「為何？」 填充題之敘述「試求…」，建議改以「則…」較佳。 選題工作僅針對個別題目設計提供教師們做為命題參考，無法顧及做為整 份試卷需考量的難易度、鑑別度等因素，期盼教師們運用本資料時多加思量；而 選題過程難免疏漏，若有任何問題，仍請各位先進不吝指教。
A. 基礎重要試題
1. (多選)在坐標平面上S x: 2y22x4y k 0, 請選出下列正確之選項 (1) 若k 0, 則 S 為一圓 (2) 若k 5, 則 S 為一點 (3) 若k 5, 則 S 無圖形 (4) 若 S 為一圓, 其圓心為
1, 2
(5) 若圓和 x 軸相切, 則k1 參考答案：(1)(2)(5) 出處：金門高中(義民高中、馬祖高中等校亦有類似題) 修題建議：選項(5)的敘述宜修改為：「若 S 為一圓且和 x 軸相切, 則k 1」。 2. (多選)由四條直線x4y15 0, x y 5 0,x y 3 0, 2x y 15 0 ，所圍 成四邊形區域ABCD如右圖(一)，則下列何者正確？ (A) 直線AB之方程式為x4y15 0 (B) 滿足四邊形區域(含邊界)的聯立不等式為 4 15 0 5 0 3 0 2 15 0 x y x y x y x y (C)
x y,
為ABCD四邊形區域(含邊界)上的點，則 1 2 y x 的最大值為 4 3 (D)
x y,
為ABCD四邊形區域(含邊界)上的點，則 2 2 x y 的最小值為17 (E) 若A點為目標函數y ax 在ABCD四邊形區域(含邊界)上取得最大值之唯 一點，則 2 1 4 a 參考答案：(A)(E) 出處：北一女中(基隆女中等校亦有類似題) 修題建議：題目敘述修改用字為：「…，則下 列哪些選項是正確的？」 3. 過兩點A
2,1
﹐B
3, 4 且圓心在y軸上的圓方程式為＿＿＿＿＿＿＿﹒參考答案： 2 ( 10)2 85 3 9 x y 出處：基隆女中(新店高中等校亦有類似題) 4. (計算題)某航空公司想利用A﹐B兩型飛機飛航一新航線﹐A型飛機每天可 載 50 名乘客﹐B型飛機每天可載 80 名乘客﹔A型飛機每架需要有 2 名技師 維修﹐B型飛機每架也需要有 2 名技師維修﹔A型飛機每架 4 億元﹐B型飛 機每架 9 億元﹒若該航線每日最少需載客 400 名﹐而基於營運成本考量﹐最 多只能聘用 12 名技師﹐問該公司要買A﹐B兩型飛機各幾架最為省錢﹐且 又符合需要﹖(需列出不等式組,目標函數及作圖求解) 參考答案：買 A 型飛機 2 架，B 型飛機 4 架，成本最省為 44 億元。 出處：基隆女中(新店高中、新竹女中等校亦有類似題) 5. 設 A( 2 , 1 )、B(3,3)，若線段AB與 L :2xmy2m5相交，求 m 的範 圍為＿＿＿＿＿。 參考答案：m3 或 m 11 出處：竹北高中(安樂高中、基隆女中、義民高中、臺中二中等校亦有類似題) 修題建議：題目敘述修改用字為：「…，若AB與直線 L :2xmy2m5相 交，則 m 的範圍為＿＿＿＿＿。」 6. 坐標平面上
10, 4
處有一點光源，將圓C x: 2y28x8y28 0 投射在 y 軸上，則其在 y 軸上的陰影長度為＿＿＿。 參考答案：5 2 出處：竹北高中 修題建議：題目敘述修改用字為：「…，將圓C x: 2y28x8y28 0 投射 在 y 軸上的影長為＿＿＿。」7. (多選)已知 x2＋y2－ax＋by＋14＝0 與直線 x－2y＝3c 相切於
5,1 ，則下列何者正確？
(A) a＝6 (B) b＝10 (C) c＝1 (D)半徑＝20 (E)圓心為
3,5 參考答案：(A)(C)(E)出處：義民高中(弘文高中、建國高中、基隆女中、竹北高中等校亦有類似題) 修題建議： 1. 題目敘述修改用字為：「已知圓 x2＋y2－ax＋by＋14＝0 與…，則下列 哪些選項是正確的？」 2. 選項敘述修改用字為：「(D)半徑為 20」。 8. (多選)在坐標平面上﹐下列哪些條件恰可決定一圓﹖ (1)過 (1,1),( 1,1), 且圓心在 x 軸上 (2)過 (1,1),( 1,1), 且圓心在y軸上 (3) (3,0),( 1, 2),(5, 1) 三點 (4)過 (5,0),( 5,0),(0,5),(4, 3) 四點 (5)圓心在直線 2x y 上，且與 x 軸, y 軸均相切3 參考答案：(1)(4) 出處：新竹女中 修題建議：題目敘述修改用字為：「…, 下列各選項的條件哪些恰可決定一 圓？」。 9. 坐標平面上﹐已知圓C x: 2y24x6y k 0與 x 軸相切﹒ (1)實數 k 之值為 ﹒ (2)若圓 C 又與直線y mx 相切﹐其中m0﹐則 m 值為 ﹒ 參考答案：(1) 4 (2) 12 5 出處：新竹女中 說明：題目設計圓C同時與x軸及直線y mx 相切，可利用已知的斜角觀念 解題，避免涉及課綱順序中尚未提及的「點至直線距離公式」。 10. (單選)設 A(1,0)、B(3,5), 若AB與直線kx y 2 0相交，則 k 的整數值有幾個 (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 參考答案：(A) 出處：弘文高中(竹北高中、基隆女中、安樂高中、臺中二中等校亦有類似題) 修題建議： 1. 題目敘述修改用字為：「…，則共有幾個 k 值為整數？」。 2. 選項最後宜加上單位：「個」。
A
P
C
B
Q
D
11. 滿足不等式 x0，y0，x2y，3x 4y20 之格子點
x y,
有＿＿＿個﹒ （x﹐y 均為整數之點
x y,
稱為格子點） 參考答案：12 出處：義大高中(金門高中、竹北高中等校亦有類似題) 12. 橋面上有一圓拱形建築﹐共有 7 根垂直支柱（如圖）﹒其中圓拱的寬度 40 AB 公尺﹐相鄰支柱間距離都是 5 公尺﹐正中支柱CD10公尺﹒ (1)求圓弧 AB 所在之圓的半徑=__________﹒ (2)求最左邊支柱PQ的長度=__________﹒ 參考答案：(1) 25 (2) 5 出處：新竹女中 修題建議： 1. 為避免疑慮，題目敘述宜加註為：「橋面上有一圓拱形建築（即AB 為圓的一部分）﹐…」 2. 題目敘述修改用字為：「……正中支柱CD之長為 10 公尺﹒則 (1)圓弧 AB 所在之圓的半徑為________公尺﹒ (2)最左邊支柱PQ的長度為________公尺﹒ 」 3. 為避免看圖猜測PQ為CD的一半，第(2)小題可改為： 「(2)自左邊起第二根支柱PQ的長度為＿＿＿公尺﹒」， 則答案為5 21 15 。 如此，本題幾可視為新穎試題。 13. 坐標平面上有兩條平行直線。它們的x截距相差 8，y截距相差 6。則這兩條 平行直線的距離為__________. 參考答案：24 5 出處：竹南高中 14. 一直線的斜率為－2，且在兩軸的截距和為 10，則直線 L 的方程式為______ _. 參考答案：6x+3y=20出處：義大高中(新店高中、竹北高中等校亦有類似題) 15. 在x0，y0，x2y50，4x y 60條件下，求 (1)4x y 最大值為_______. (2)x2y2最大值為_______. 參考答案：(1) 60 (2) 625 出處：義大高中(建國高中、新店高中、基隆女中等校亦有類似題) 修題建議：題目敘述修改用字為：「…條件下，則…」。 16. (單選)小白、小玉、阿聖相約要測量金門高中操場上旗竿的高度, 三人在操場 上 與 旗 竿 距 離 相 同 的 相 異 三 點 A, B, C 測 得BAC30, ABC105, 45 ACB , BC4公尺, 且由 A 點測得旗竿頂端的仰角為60, 則旗竿的高 度為下列何者？ (1)16 (2)8 (3) 4 3 3 (4)4 3 (5)4 公尺 參考答案：(4) 出處：金門高中(臺中二中等校亦有類似題) 修題建議：條件宜更精簡，避免學生混淆。 17. 設A
5,6 ，B
2,0
，C
1, 2
為坐標平面上的三點，若P k k
, 1
為 ABC 內部一點，則實數 k 的範圍為___________. 參考答案： 3 5 1 k 出處：義民高中(北一女中等校亦有類似題) 18. (單選)坐標平面上 5 條直線L a x y b1: 1 1 0，L a x y b2: 2 2 0， 3: 3 3 0 L a x y b ，L a x y b4: 4 4 0，L a x y b5: 5 5 0，其圖形如圖(二)， 下列各數中何者最大？ (1) a1 (2) a2 (3) a3 (4) a4 (5) a5參考答案：(4) 出處：新竹高中(基隆女中、忠信高中等校亦有類似題) 修題建議：題目敘述修改用字為：「…，則下列各數中何者最大？」。 19. 在坐標平面上若不等式| | 2 | | 4x y 的圖形面積為 A 周長為 L 求數對
A L,
________. （提示：分x y, 0；x0, y0；x0, y0﹐及x0, y0四種情況討 論 。） 參考答案：(16,8 5) 出處：竹南高中 修題建議：題目敘述修改用字為：「在坐標平面上，若不等式| | 2 | | 4x y 的 圖形面積為 A，周長為 L，則數對…」。 20. (單選)圓 2 2 2 4 0 x y x y 內接 12 邊形的面積為 (A) 15 (B) 15 2 (C) 15 3 (D) 30. 參考答案：(A) 出處：弘文高中 修題建議：題目敘述修改用字為：「…內接正十二邊形…」。 21. (單選)設 O 為原點，P 為圓x2y24x8y 4 0上之一點，且 OP之長為整 數，此種 P 有幾點？ (A) 18 (B) 16 (C) 14 (D) 12 參考答案：(B) 出處：弘文高中(新竹女中等校亦有類似題) 修題建議： 1. 題目敘述修改用字為：「…，P 點在圓x2y24x8y 4 0上，且 OP 長為整數，則滿足上述條件的 P 點有多少個？」 2. 選項最後宜加上單位：「個」。 22. 在坐標平面 上， 2 2 4 2 0 x y x y 所表示的區域為 R .(1) 作圖表示區域 R . (2) 若
x y,
R, 求3x y 的最大值與最小值。 參考答案：(1) (2) 最大值為2 10，最小值為2 5 出處：弘文高中 修題建議：題目敘述修改用字為：「(2) 若點
x y,
在區域 R 內, 則…」。 23. 若一直線過點( 4 , 6) 且不過第一象限，若與兩座標軸所成的三角形面積為 2，則此直線方程式為＿＿＿＿＿＿＿. 參考答案：9x4y12 0 出處：義大高中(竹北高中、弘文高中、建國高中等校亦有類似題) 修題建議：題目敘述修改用字為：「設一直線…，若與兩坐標軸所圍成的 …」。B. 新穎創意試題
24. 已知
a b,
為圓C x: 2y24x2y 4 0上的點，求(a1)2 (b 3)2的最大 值＿＿＿。 參考答案：64 出處：金門高中 修題建議：題目敘述修改用字為：「…，則(a1)2 (b 3)2的最大值為＿ ＿ 。」。 25. 郭和 想測量風景區大佛的高度，首先他在與佛頂部仰角恰為30的地面 A 點 處做上記號，接著面對著佛像前進 30 公尺到仰角恰為45的 B 點，則繼續前 進 公尺後可與佛頂部仰角恰為60。 參考答案：10 3 出處：安樂高中(新店高中等校亦有類似題) 說明：題目設計能讓學生體會到測量高處標的物時，距離愈近，仰角愈大。 26. 有一家客運公司對於連續假期，擬出甲、乙兩種方案來紓解返鄉旅客，甲方 案每趟的人事成本為 5000 元，而其餘的成本為 5000 元，可得利潤 30000 元； 而乙方案每趟的人事成本為 7000 元，而其餘的成本為 13000 元，可得利潤 50000 元 ， 現 預 算 為 ： 總 成 本 不 得 超 過 510000 元 ， 人 事 成 本 不 得 超 過 201000 元，問甲、乙兩方案要各跑多少趟才可以得到最大利潤？而最大利潤 為多少元？ 參考答案：甲方案跑 15 趟、乙方案跑 18 趟才能得到最大利潤為 1350000 元 出處：建國高中(金門高中、馬祖高中等校亦有類似題) 27. 矩形 ABCD 中，對角線AC的斜率與AD的斜率相乘為 1，且CD3, AD4， 則CD的斜率為＿＿＿＿＿(兩個答案)。 參考答案：2 或 1 2 出處：臺中二中 28. 媽媽拿了 120 元給小寶到市場買橘子和蘋果，若橘子每顆 12 元，蘋果每顆 16 元，媽媽要求小寶購買的橘 子 數量至少為蘋果的 2 倍，而且橘子和蘋果至少各買一顆，試以上述條件描繪聯 立不等式之圖形。若媽媽說「兩種水果的總量必須最多，而剩下的錢就當作 小寶的零用錢」，請問小寶該如何購買才能使橘子和蘋果的總數量最多，而 且可以拿到最多的零用錢？（水果數量必須為整數） 參考答案： 12 16 120 2 1 1 x y x y x y ； 小寶須購買橘子 8 顆、蘋果 1 顆，零用錢最多為 8 元 出處：竹北高中 修題建議：題目原始數據易以猜測得到答案，即只買一顆蘋果，其餘買橘子。 建議修改數據為：「媽媽拿了 160 元給小寶到市場買橘子和蘋果， 若橘子每顆 10 元，蘋果每顆 15 元，媽媽要求小寶購買的蘋果數 量至少為橘子的 3 倍，而且橘子和蘋果至少各買一顆，…」， 則答案為 10 15 160 3 1 1 x y y x x y ，
小寶須購買橘子 2 顆、蘋果 9 顆，零用錢最多為 5 元。 29. 長方形 ABCD 中A
1, 2 ,B
3,5 ，D 在第二象限內且 1 2 AB BC，求 D 之坐 標＿＿＿＿＿。 參考答案：
5,6
出處：新竹高中 修題建議：題目敘述修改用字為：「…，則 D 點坐標為＿＿＿＿＿。」。 30. 如圖，以原點 O 為圓心的兩同心圓 C1, C2其半徑分別為 1 與 2，設點 C 在 C1 上，點 A, B 在 C2上，且四邊形OABC是平行四 邊形，求cos AOC ＿＿＿＿＿。 參考答案： 1 4 出處：臺中二中 修題建議： 1. 題目敘述修改用字為：「…，則 cos AOC ＿＿＿＿＿。」。 2. 圖形中連接OA。31. (多選)如右圖(三)中，BAC 30 , BCA60，ACD為正三角形，且直 線AC斜率為 1，若直線AB BC CD DA, , , 之斜率
(A) m m1 2 1 (B) m2 m4 (C) m1 2 3 (D) m1m2 0 (E) m1m30。 參考答案：(A) (B) (C) (D) 出處：北一女中 修題建議：題目敘述修改用字為：「…，則下列哪些選項是正確的？」。 32. 如附圖，正方形 ABCD 靠在 x、y 軸上，其中 A 在 x 軸上，B 在 y 軸上。已知
7,0
A 、B
0, 24
，若 B 點沿 y 軸下滑 4 單位至B' 0, 20
時，A 點也沿著 x 軸 往右滑至 A'，則 C 點在正方形滑動後的坐標為＿＿＿＿＿。 參考答案：(20,35) 出處：安樂高中 33. (多選)坐標平面上四條斜直線圍出一矩形，四線斜率分別為 m1、m2、m3、m4且 m1 m2 m3 m4，則下列選項何者正確？ (1) m1 × m2 ＝－1； (2) m2 × m3 ＝－1； (3) m1＋m2＋m3＋m4＝0； (4) m1 × m2 × m3 × m4 ＝1 (5) m2＜0 且 m3＞0。 參考答案：(2)(4)(5) 出處：新店高中 修題建議：題目敘述修改用字為：「…，則下列哪些選項是正確的？」。 34. (多選)聯立不等式
e
dy
cx
b
ay
x3
的圖形如右，則： (A) a0 (B) b0 (C) c0 (D) d 0 (E) e0 參考答案：(C)(E)出處：竹北高中 修題建議：題目敘述修改用字為：「…，則下列哪些選項是正確的？」。
C. 建議避免出現或可待討論改善之試題
1. 自高為h之山頂，測得遠處地平線的俯角為α，求地球之半徑 .(以h及 α的三角函數表達之) 參考答案： cos 1 cos hα α 修題建議：配合課綱未提到「球面與直線的關係」。 2. 兩圓C1:x2 y2 36與C2:(x4)2 y2 9，求兩圓外公切線之斜率為___ ______ 參考答案： 3 7 7 修題建議：配合課綱 47 頁提到「備註 3.2 不含兩圓的關係」。 3. tan2θsec2θ_______ 參考答案：1修題建議：配合課綱 47 頁提到「備註 2.1cot , sec , cscθ θ θ置於數學甲 I、數學 乙 I」。
