高精密度雙軸鐵心式永磁同步伺服線性馬達定位平台之控制器設計與性能分析
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(2) 摘要 本研究提出了適應性增量式滑動模式控制(AISMC)應用於雙軸式的鐵心 式永磁伺服同步線性馬達，以建立高精密度之雙軸運動控制平台。AISMC 之特色為在設計時會考慮過去的控制量輸入以降低滑動模式控制(SMC)的 抖振現象，以及利用適應控制來即時估測與補償系統的不確定項，以達到提 升系統精確度之目的。 為了建立出高精密度之雙軸運動平台，本研究會先運用磁場導向定理 (field-orented control)將驅動馬達之三項控制電流轉換為 d-q 軸控制電流，並 將其與線性馬達之磁推力方程式和機械模型整合後得出雙軸線性馬達平台 的動態方程式。然而在馬達運作中會遭遇到許多外在干擾，諸如摩擦力、漣 波效應及系統內部參數之變異量等，我們將這些干擾統稱為系統的不確定項 並將其納入雙軸線性馬達平台的動態方程式內做考量，以建立出較為精細的 動態方程式。依據上述所建立之系統動態方程式便可設計出高階控制器，在 控制器設計階段我們會先設計 SMC，由於其結構簡單和強健性高因此很適 合用於線性馬達這類系統不確定性較多的系統中，但其缺點為在順滑模態時 的抖振現象，為改善此現象我們設計了 AISMC，其特色為在設計控制器時 會考慮過去的控制量輸入，藉此抑制抖振現象，並利用適應控制來補償系統 的不確定性，以提升雙軸運動平台之精密度。 在實驗階段我們會先分別對 X 軸與 Y 軸做獨立控制，以分析出 SMC 及 依照其缺點來改良之 AISMC 的效能差異，透過定位控制及追跡控制之實驗 結果分析可發現 AISMC 可有效的抑制抖振現象並且擁有較高的精確度，因 此在雙軸同動追圓之實驗中我們便採用 AISMC 作為主要之控制器。 關鍵詞：高精密度雙軸運動控制平台、鐵芯式永磁同步伺服線性馬達、可變 結構控制、適應控制 i.
(3) Abstract In this research, we proposed an adaptive incremental sliding mode control(AISMC) to achieve a two-axis high precision motion control platform. The features of AISMC are considering previous control action to reduce chattering phenomenon from sliding mode control(SMC) and compensating system uncertainties instantly to increase system accuracy by adaptive control. To establish a two-axis high precision motion control platform, we will transfer three phase control currents to d-q axis control currents by field-oriented control, then integrate electromagnetic force of linear motor with mechanical model to get system dynamic equation of the two-axis linear motor platform. The linear motor will suffer some external disturbances during working such like friction force, ripple force and system uncertainties. We will integrate those disturbances, like system uncertainties, and consider them in the system dynamic equation of two-axis linear motor platform. Then, the controller design will be based on the system dynamic equation. Frist, we design SMC, its simple structure and high robustness are quite suitable for linear motors which have many system uncertainties. However, the disadvantage of SMC is chattering phenomenon, and AISMC is designed to overcome it. The characteristics of AISMC are taking previous control action into account to suppress chattering phenomenon, and compensating system uncertainties by adaptive control to enhance precision accuracy of two-axis high precision motion control platform. In experimental section, first the X axis and Y axis will be experimented ii.
(4) separately to analyze the performance of SMC and AISMC. According to the experimental results of position control and tracking control, AISMC has better precision accuracy and is able to suppress chattering phenomenon. On the basis of above experimental results, we choose AISMC to be the main controller of the two-axis high precision motion control platform for tracking circle trajectory. Keywords：Two-axis high precision motion control platform, Linear permanent magnet iron core synchronous motor, Variable structure control, Adaptive control. iii.
(5) 誌謝 隨著畢業論文的完成也意味著碩士生涯即將接近尾聲了，在這三年的期 間中學習到了許多，不僅是對於專業領域上有更深入的研究與了解，在個人 的表達能力、團隊合作及解決問題的能力上也有卓越的進步，是非常充實的 碩士生涯。 在這段時間中首先要感謝我的指導教授 陳美勇 博士，感謝老師提供了 良好的學習環境以及充沛的研究資源，且在我研究中遇到瓶頸時適時的給予 建議與幫助，並帶我去國外參與國際研討會，讓我的視野更加寬闊。接著要 感謝我的口試委員 練光祐 博士、 黃安橋 博士及 李敏凡 博士，感謝三位 口試委員於百忙之中仍抽空認真且細心的審查我的論文，並給予我相當多寶 貴的建議及需要更正的地方，讓我的論文能更加的完整與嚴謹。 在精密運動控制實驗室中，首先要感謝我的兩位直屬學長 盧建勳 及 楊東諺 ，感謝兩位學長細心的教導與經驗的傳承，讓我的研究能更加順利。 並感謝 希哲、哲勝、秉剛、昀翰四位學長於生活及研究中的幫助。也感謝 同儕的 智翔、高遠、煒騰、一豪以及學弟 威任、敬棋、維斌在這段期間中 互相的鼓勵與競爭，讓我激發了許多研究中的新靈感，並在遇到困難時仍能 積極以對不輕易放棄。 最後我要感謝我的家人在我求學的這二十多年來對我的栽培及照顧，並 給予我經濟上的支援讓我能專心地致力於學業，若沒有家人的支持我也就不 會有今日的成就，非常的感謝你們。. 林玠虢 精密運動控制實驗室 2015/8/17. iv.
(6) 目錄 摘要 ....................................................................................................................... i Abstract ................................................................................................................. ii 誌謝 ..................................................................................................................... iv 目錄 ...................................................................................................................... v 圖目錄 ................................................................................................................. viii 表目錄 .................................................................................................................. xv 第一章. 緒論 ...................................................................................................... 1. 1.1. 前言 ..................................................................................................... 1. 1.2. 文獻回顧 ............................................................................................. 3. 1.3. 研究動機與目的 ................................................................................. 9. 1.4. 本研究之貢獻 ..................................................................................... 9. 1.5. 論文架構 ........................................................................................... 10. 第二章. 理論基礎 .............................................................................................. 12. 2.1 線性馬達簡介 .................................................................................... 12 2.1.1. 線性馬達之驅動方式 ........................................................... 13. 2.1.2. 線性馬達與滾珠導螺桿之驅動系統性能比較 ................... 14. 2.1.3. 鐵心式永磁同步線性馬達的動態模型 ............................... 15. 2.2 線性馬達的外部干擾 ......................................................................... 19 2.2.1. 摩擦力 ................................................................................... 19. 2.2.2. 漣波效應 ............................................................................... 22. 2.3 高階控制理論之介紹 ......................................................................... 22 2.3.1. Lyapunov 理論 ...................................................................... 23 v.
(7) 第三章. 2.3.2. Barbalat’s lemma ................................................................... 24. 2.3.3. 可變結構控制理論(Variable Structure Control Theory) ...... 24. 2.3.4. 適應控制(Adaptive Control) ................................................. 26. 控制器設計 .......................................................................................... 28. 3.1 系統模型建立 ..................................................................................... 28 3.2 控制器設計 ......................................................................................... 30 3.2.1 滑動模式控制器(SMC) .......................................................... 30 3.2.2 適應性增量式滑動模式控制(AISMC).................................. 41 3.2.3 系統之有限時間之收斂分析 ................................................. 45 第四章. 實驗設備 .............................................................................................. 48. 4.1 伺服控制迴路系統架構 ..................................................................... 48 4.2 高精密度四軸龍門式式線性馬達平台 ............................................. 49 4.3 鐵心式永磁同步伺服線性馬達 ......................................................... 50 4.4 驅動器 ................................................................................................. 51 4.5 光學尺 ................................................................................................. 52 4.6 資料擷取卡(DAQ) .............................................................................. 54 4.7 控制器 ................................................................................................. 54 第五章. 實驗結果 .............................................................................................. 55. 5.1 X 軸線性馬達之定位控制、追跡控制與強健性測試 ..................... 56 5.1.1 X 軸線性馬達之定位控制 ........................................................ 56 5.1.2 X 軸線性馬達之追跡控制與強健性測試 .............................. 60 5.2 Y 軸線性馬達之定位控制、追跡控制與強健性測試 ....................... 67. vi.
(8) 5.2.1 Y 軸線性馬達之定位控制 ........................................................ 67 5.2.2 Y 軸線性馬達之追跡控制與強健性測試 .................................. 71 5.3 XY 雙軸同動之圓軌跡追跡控制效能分析 ...................................... 78 第七章. 結論與未來展望 ................................................................................ 94. 參考文獻 ............................................................................................................ 96. vii.
(9) 圖目錄 圖 1-1. 準確性與精確性示意圖 .......................................................................... 2. 圖 1-2. 線性感應馬達結構圖 .............................................................................. 3. 圖 1-3. 適應性反推滑動模式控制方塊圖 .......................................................... 3. 圖 1-4. 摩擦力與漣波效應之估測 ...................................................................... 4. 圖 1-5. 適應性模糊滑動模式控制方塊圖 ............................................................ 5. 圖 1-6. 摩擦力估測響應圖 .................................................................................... 5. 圖 1-7. 用靜態摩擦力補償器之弦波響應圖 ........................................................ 6. 圖 1-8. 用 LuGre Model 補償器之弦波響應圖 .................................................... 6. 圖 1-9. 倒傳遞類神經滑動模式控制方塊圖 ........................................................ 7. 圖 1-10 倒傳遞類神經結構圖 ................................................................................ 7 圖 1-11 雙軸動態追跡控制響應圖 ...................................................................... 8 圖 1-12 XY 平台結構 ............................................................................................ 8 圖 1-13 GMS 模型 ................................................................................................. 8 圖 1-14 XY 平台動態圓軌跡追跡響應 ................................................................ 8 圖 2-1. 旋轉馬達與線性馬達之關係 ................................................................ 12. 圖 2-2. 線性馬達邊端效應................................................................................. 13. 圖 2-3. 三相電流輸入驅動線性馬達之示意圖 ................................................ 13. 圖 2-4. 線性馬達................................................................................................. 14. 圖 2-5. 滾珠導螺桿............................................................................................. 14. 圖 2-6. 線性馬達控制方塊圖............................................................................. 18. 圖 2-7. 線性馬達定子與動子之接觸面 ............................................................ 19. 圖 2-8. 靜摩擦力特性曲線圖............................................................................. 20. 圖 2-9. 刷毛模型示意圖..................................................................................... 21. 圖 2-10 理想與實際的磁場分布曲線圖 ............................................................ 22 viii.
(10) 圖 2-11 漣波效應與速度之關係圖 .................................................................... 22 圖 2-12 順滑模式控制示意圖............................................................................. 25 圖 2-13 理想與實際的順滑平面上的狀態軌跡圖 ............................................ 26 圖 2-14 符號函數................................................................................................. 26 圖 2-15 梯度下降法示意圖................................................................................. 27 圖 3-1. X-Y 雙軸鐵芯式永磁同步線性馬達結構示意圖................................ 29. 圖 3-2. 滑動模式控制方塊圖............................................................................. 33. 圖 3-3. 飽和函數................................................................................................. 33. 圖 3-4. 滑動平面之邊界層................................................................................. 34. 圖 3-5. SMC 之系統響應 ................................................................................... 34. 圖 3-6. FTSMC 之系統響應器 .......................................................................... 35. 圖 3-7. 適應性 PI 控制器於邊界層運作之示意圖 ........................................... 35. 圖 3-8. SMC 之系統響應圖 ............................................................................... 36. 圖 3-9. Adaptive Fuzzy PI Sliding Mode Control 之系統響應圖 .................... 36. 圖 3-10 CRVC 模擬結果 ..................................................................................... 37 圖 3-11 雙尺度滑動平面示意圖......................................................................... 38 圖 3-12 SMC 實驗結果 ....................................................................................... 39 圖 3-13 DSMC 實驗結果 .................................................................................... 39 圖 3-14 SMC 模擬結果 ....................................................................................... 40 圖 3-15 ISMC 模擬結果 ...................................................................................... 40 圖 3-16 適應性增量式滑動模式控制方塊圖 .................................................... 45 圖 3-17 單位回授控制方塊................................................................................. 45 圖 3-18 疊代學習控制方塊圖............................................................................. 46 圖 4-1. 伺服控制迴路系統架構圖 .................................................................... 48. 圖 4-2. 四軸龍門式伺服馬達平台系統結構示意圖 ........................................ 49 ix.
(11) 圖 4-3. 四軸龍門式伺服馬達平台 .................................................................... 49. 圖 4-4. 雙軸鐵心式同步伺服線性馬達 ............................................................ 50. 圖 4-5. QR 線性滑軌結構圖 .............................................................................. 51. 圖 4-6. ELMO 驅動器外觀及接腳圖 ................................................................ 51. 圖 4-7. Copley 驅動器外觀及接腳圖 ................................................................ 52. 圖 4-8. 穿透型光學尺......................................................................................... 53. 圖 4-9. 反射型光學尺......................................................................................... 53. 圖 4-10. RENISHAW 光學尺 .............................................................................. 53. 圖 4-11. 美商國家儀器型號 PXIe-6363 資料擷取卡 ........................................ 54. 圖 5-1. X 軸 5mm 定位實驗之系統響應圖 ...................................................... 56. 圖 5-2. X 軸 5mm 定位實驗之位置的穩態誤差 .............................................. 57. 圖 5-3. X 軸 5mm 定位實驗 SMC 控制量 ........................................................ 57. 圖 5-4. X 軸 5mm 定位實驗 AISMC 控制量 .................................................... 57. 圖 5-5. X 軸 10mm 定位實驗之系統響應圖 .................................................... 58. 圖 5-6. X 軸 10mm 定位實驗之位置穩態誤差 ................................................ 58. 圖 5-7. X 軸 10mm 定位實驗 SMC 控制量 ...................................................... 58. 圖 5-8. X 軸 10mm 定位實驗 AISMC 控制量 .................................................. 59. 圖 5-9. X 軸正弦波(振幅 5mm、頻率 0.1Hz)追跡實驗之系統響應圖 .......... 60. 圖 5-10 X 軸正弦波(振幅 5mm、頻率 0.1Hz)追跡實驗之位置穩態誤差 ...... 61 圖 5-11 X 軸正弦波(振幅 5mm、頻率 0.1Hz)追跡實驗 SMC 控制量 ........... 61 圖 5-12 X 軸正弦波(振幅 5mm、頻率 0.1Hz)追跡實驗 AISMC 控制 ........... 61 圖 5-13 X 軸正弦波(振幅 5mm、頻率 0.1Hz、負載 2kg)追跡實驗之系統響 應圖......................................................................................................... 62 圖 5-14 X 軸正弦波(振幅 5mm、頻率 0.1Hz、負載 2kg)追跡實驗之位置穩 態誤差..................................................................................................... 62 x.
(12) 圖 5-15 X 軸正弦波(振幅 5mm、頻率 0.1Hz、負載 2kg)追跡實驗 SMC 控制 量............................................................................................................. 63 圖 5-16 X 軸正弦波(振幅 5mm、頻率 0.1Hz、負載 2kg)追跡實驗 AISMC 控 制量......................................................................................................... 63 圖 5-17 X 軸正弦波(振幅 5mm、頻率 0.1Hz、負載 5kg)追跡實驗之系統響 應圖......................................................................................................... 63 圖 5-18 X 軸正弦波(振幅 5mm、頻率 0.1Hz、負載 5kg)追跡實驗之位置穩 態誤差..................................................................................................... 64 圖 5-19 X 軸正弦波(振幅 5mm、頻率 0.1Hz、負載 5kg)追跡實驗 SMC 控制 量............................................................................................................. 64 圖 5-20 X 軸正弦波(振幅 5mm、頻率 0.1Hz、負載 5kg)追跡實驗 AISMC 控 制量......................................................................................................... 64 圖 5-21 X 軸正弦波(振幅 10mm、頻率 0.3Hz)追跡實驗之系統響應圖 ........ 65 圖 5-22. X 軸正弦波(振幅 10mm、頻率 0.3Hz) 追跡實驗之位置穩態誤差 . 65. 圖 5-23. X 軸正弦波(振幅 10mm、頻率 0.3Hz) 追跡實驗 SMC 控制量 ....... 66. 圖 5-24. X 軸正弦波(振幅 10mm、頻率 0.3Hz) 追跡實驗 AISMC 控制量 .. 66. 圖 5-25. Y 軸 5mm 定位實驗之系統響應圖...................................................... 68. 圖 5-26. Y 軸 5mm 定位實驗之位置穩態誤差.................................................. 68. 圖 5-27. Y 軸 5mm 定位實驗 SMC 控制量 ....................................................... 68. 圖 5-28. Y 軸 5mm 定位實驗 AISMC 控制量 ................................................... 69. 圖 5-29. Y 軸 10mm 定位實驗之系統響應圖.................................................... 69. 圖 5-30. Y 軸 10mm 定位實驗之位置穩態誤差................................................ 69. 圖 5-31. Y 軸 10mm 定位實驗之 SMC 控制量 ................................................. 70. 圖 5-32. Y 軸 10mm 定位實驗之 AISMC 控制量 ............................................. 70. 圖 5-33. Y 軸正弦波(振幅 5mm、頻率 0.1Hz)追跡實驗之系統響應圖 ......... 71 xi.
(13) 圖 5-34. Y 軸正弦波(振幅 5mm、頻率 0.1Hz)追跡實驗之位置穩態誤差 ..... 72. 圖 5-35. Y 軸正弦波(振幅 5mm、頻率 0.1Hz)追跡實驗 SMC 控制量 ........... 72. 圖 5-36. Y 軸正弦波(振幅 5mm、頻率 0.1Hz)追跡實驗 AISMC 控制量 ...... 72. 圖 5-37 Y 軸正弦波(振幅 5mm、頻率 0.1Hz、負載 1kg)追跡實驗之系統響 應圖......................................................................................................... 73 圖 5-38 Y 軸正弦波(振幅 5mm、頻率 0.1Hz、負載 1kg)追跡實驗之位置穩 態誤差..................................................................................................... 73 圖 5-39. Y 軸正弦波(振幅 5mm、頻率 0.1Hz、負載 1kg)追跡實驗 SMC 控制 量............................................................................................................. 74. 圖 5-40. 圖 5-40 Y 軸正弦波(振幅 5mm、頻率 0.1Hz、負載 1kg)追跡實驗 AISMC 控制量 ....................................................................................... 74. 圖 5-41 Y 軸正弦波(振幅 5mm、頻率 0.1Hz、負載 4kg)追跡實驗之系統響 應圖......................................................................................................... 74 圖 5-42 Y 軸正弦波(振幅 5mm、頻率 0.1Hz、負載 4kg)追跡實驗之位置穩 態誤差..................................................................................................... 75 圖 5-43. Y 軸正弦波(振幅 5mm、頻率 0.1Hz、負載 4kg)追跡實驗 SMC 控制 量............................................................................................................. 75. 圖 5-44. Y 軸正弦波(振幅 5mm、頻率 0.1Hz、負載 4kg)追跡實驗 AISMC 控 制量......................................................................................................... 75. 圖 5-45. Y 軸正弦波(振幅 10mm、頻率 0.3Hz)追跡實驗之系統響應圖 ....... 76. 圖 5-46. Y 軸正弦波(振幅 10mm、頻率 0.3Hz)追跡實驗之位置穩態誤差 ... 76. 圖 5-47. Y 軸正弦波(振幅 10mm、頻率 0.3Hz)追跡實驗 SMC 控制量 ......... 77. 圖 5-48. Y 軸正弦波(振幅 10mm、頻率 0.3Hz)追跡實驗 AISMC 控制量 .... 77. 圖 5-49. 圓軌跡(5mm、0.1Hz)追跡 X 軸系統輸出響應圖 .............................. 79. 圖 5-50. 圓軌跡(5mm、0.1Hz)追跡 X 軸位置穩態誤差 .................................. 79 xii.
(14) 圖 5-51. 圓軌跡(5mm、0.1Hz)追跡 X 軸控制量 .............................................. 79. 圖 5-52. 圓軌跡(5mm、0.1Hz)追跡 Y 軸系統輸出響應圖 .............................. 80. 圖 5-53. 圓軌跡(5mm、0.1Hz)追跡 Y 軸位置穩態誤差 .................................. 80. 圖 5-54. 圓軌跡(5mm、0.1Hz)追跡 Y 軸控制量 .............................................. 80. 圖 5-55. 圓軌跡(5mm、0.1Hz)追跡雙軸系統輸出響應圖 ............................... 81. 圖 5-56. 圓軌跡(5mm、0.1Hz、負載 4kg)追跡 X 軸系統輸出響應圖 ........... 82. 圖 5-57. 圓軌跡(5mm、0.1Hz、負載 4kg)追跡 X 軸位置穩態誤差 ............... 82. 圖 5-58. 圓軌跡(5mm、0.1Hz、負載 4kg)追跡 X 軸控制量 ........................... 82. 圖 5-59. 圓軌跡(5mm、0.1Hz、負載 4kg)追跡 Y 軸系統輸出響應圖 ........... 83. 圖 5-60. 圓軌跡(5mm、0.1Hz、負載 4kg)追跡 Y 軸位置穩態誤差 ............... 83. 圖 5-61. 圓軌跡(5mm、0.1Hz、負載 4kg)追跡 Y 軸控制量 ........................... 83. 圖 5-62. 圓軌跡(5mm、0.1Hz、負載 4kg)追跡雙軸系統輸出響應圖 ............ 84. 圖 5-63. 圓軌跡(10mm、0.1Hz)追跡 X 軸系統輸出響應圖 ............................ 84. 圖 5-64. 圓軌跡(10mm、0.1Hz)追跡 X 軸位置穩態誤差 ................................ 85. 圖 5-65. 圓軌跡(10mm、0.1Hz)追跡 X 軸控制量 ............................................ 85. 圖 5-66. 圓軌跡(10mm、0.1Hz)追跡 Y 軸系統輸出響應圖 ............................ 85. 圖 5-67. 圓軌跡(10mm、0.1Hz)追跡 Y 軸位置穩態誤差 ................................ 86. 圖 5-68. 圓軌跡(10mm、0.1Hz)追跡 Y 軸控制量 ............................................ 86. 圖 5-69. 圓軌跡(10mm、0.1Hz)追跡雙軸系統輸出響應圖 ............................. 86. 圖 5-70. 圓軌跡(5mm、0.3Hz)追跡 X 軸系統輸出響應圖 .............................. 87. 圖 5-71. 圓軌跡(5mm、0.3Hz)追跡 X 軸位置穩態誤差 .................................. 87. 圖 5-72. 圓軌跡(5mm、0.3Hz)追跡 X 軸控制量 .............................................. 88. 圖 5-73. 圓軌跡(5mm、0.3Hz)追跡 Y 軸系統輸出響應圖 .............................. 88. 圖 5-74. 圓軌跡(5mm、0.3Hz)追跡 Y 軸位置穩態誤差 .................................. 88. 圖 5-75. 圓軌跡(5mm、0.3Hz)追跡 Y 軸控制量 .............................................. 89 xiii.
(15) 圖 5-76. 圓軌跡(5mm、0.3Hz)追跡雙軸系統輸出響應圖 ............................... 89. 圖 5-70. 圓軌跡(10mm、0.3Hz)追跡 X 軸系統輸出響應圖 ............................ 90. 圖 5-71. 圓軌跡(10mm、0.3Hz)追跡 X 軸位置穩態誤差 ................................ 90. 圖 5-72. 圓軌跡(10mm、0.3Hz)追跡 X 軸控制量 ............................................ 90. 圖 5-73. 圓軌跡(10mm、0.3Hz)追跡 Y 軸系統輸出響應圖 ............................ 91. 圖 5-74. 圓軌跡(10mm、0.3Hz)追跡 Y 軸位置穩態誤差 ................................ 91. 圖 5-75. 圓軌跡(10mm、0.3Hz)追跡 Y 軸控制量 ............................................ 91. 圖 5-76. 圓軌跡(10mm、0.3Hz)追跡雙軸系統輸出響應圖 ............................. 92. xiv.
(16) 表目錄 表 2-1. 驅動系統性能響應比較表 .................................................................. 14. 表 4-1. 雙軸鐵心式線性伺服馬達之各項內部參數規格 ................................ 50. 表 5-1. X 軸定位控制之控制器參數 ............................................................... 56. 表 5-2. X 軸定位誤差之統計分析結果 ........................................................... 59. 表 5-3. X 軸追跡控制之控制器參數 ............................................................... 60. 表 5-4. X 軸追跡誤差之統計分析結果 ........................................................... 67. 表 5-5. Y 軸追跡控制之控制器參數 ................................................................ 68. 表 5-6. Y 軸定位誤差之統計分析結果 ............................................................ 71. 表 5-7. Y 軸追跡控制之控制器參數 ................................................................ 71. 表 5-8. Y 軸追跡誤差之統計分析結果 ............................................................ 78. 表 5-9. 雙軸圓軌跡追蹤之 AISMC 控制參數 ................................................. 79. 表 5-10. 圓軌跡追跡之位置誤差統計分析結果 ................................................ 93. xv.
(17) 第一章 緒論 1.1 前言 在科技產業蓬勃發展的現今，人們不斷追求更小型輕便或功能越多樣化 的產品，隨之也提升了精密製造技術之需求，而在製造過程中常需要使用線 性馬達來達到高速且精密的加工，以便增加產能與良率，其應用範圍包含 CNC 機台、半導體產業、微顯結構及精密機械設備等高科技產業，因此如 何提升線性馬達的控制精準度便是一重要的研究議題。 線性馬達之驅動可分為兩大類，旋轉式與線性式。旋轉式是使用旋轉馬 達與線性驅動機構來達到線性的移動，而此機構通常要外加齒輪、旋轉軸及 連軸器等機械耦合傳輸軸承來傳輸馬達的動能，最常見的便是滾珠導螺桿。 但這些機構常會有背隙、行程短與速度慢等問題，因此很難達成高速與高精 度的需求。線性式的馬達採用直接驅動，因此不會有背隙的問題，且其擁有 速度快、高剛性、機構簡單與行程長等優點，且精度可達奈米等級，故已逐 漸取代滾珠導螺桿式的線性馬達。 雖然線性馬達擁有以上等優點，但仍然有不可避免的干擾力存在，諸如 線性滑軌上的摩擦力、磁極之間的漣波效應、機台移動時的噸動干擾以及馬 達參數隨溫度上升而產生異變等等，這些干擾力會造成線性馬達在控制時產 生穩態誤差甚至是不穩定的情況。因此在高精密伺服平臺控制中，如何設計 控制器補償這些干擾以達到精密的控制效能便是重要關鍵。 在此使用兩大規格來分析高精密度行程定位控制與動態軌跡追蹤控制 的精密度優劣程度：準確性（Accuracy）與精確性（Precision） 。準確性的定 義為實際量測平均值與目標的一致程度，若兩數值差距甚小，則稱準確性佳， 反之為準確性差，即為受控體能否正確到達給予的目標點；精確性的定義為 以相同的量測過程重複量測同一待測物，每一次之量測值所分布於目標值附 1.
(18) 近的擴散程度即為精確度，若分散程度小則精確度高，反之則精確性差，即 為受控體能否每次都精確的達到目標值。若我們能將上述兩項性能都提高至 特定的精準數量級，則可稱此系統為高精密度控制系統。. 圖 1-1 準確性與精確性示意圖 控制理論之發展可分為三大部分： （1）古典控制（2）現代控制（3）智 慧型控制。在古典控制中主要是將系統之微分方程式經由拉式轉換(Laplace Transform)變成以轉移函數表示，以便於穩定度的分析與控制器設計，而最 常使用的控制器為 PID 控制器，它的優點在於結構簡單且容易實現，但在參 數的調整上較困難，往往要依靠經驗法則，且只適用於單輸入單輸出（SISO） 之線性非時變系統。現代控制是以狀態空間方程式來表示系統，其優點在於 可分析出系統各狀態的可控性（Controllability）與可觀性（Observability）， 更可應用於多輸入多輸出（MIMO）系統的表示，透過線性化的概念，可將 原本的非線性系統轉為線性系統，因此不在侷限於只能分析線性非時變系統， 所發展出之控制器諸如適應控制（Adaptive control） 、可變結構控制（Variable structure control）與強健控制（Robust control）等等。智慧型控制器可分為 兩大類，一種是透過過去的錯誤不斷學習之概念來達到目標，如類神經控制 （Neural network control），另一種是建立專家系統來當作控制系統的依據， 如模糊控制（Fuzzy Control） 。 本研究將提出一個高精密度雙軸動態軌跡追跡控制，所用的致動器為雙 軸龍門鐵芯式永磁同步伺服線性馬達，其有效行程為 200mm，光學尺的最 2.
(19) 解析度為 0.1μm。. 1.2 文獻回顧 有關線性馬達之研究已持續相當多年，其精度也隨著產業界的需求而日 益提升，在此部份我們將針對過去至今，國內外學者對於線性馬達控制器的 設計來探討與分析。 F.-J. Lin, P.-H. Shen 和 S.-P. Hsu 等學者[1]，提出了適應性反推滑動模式 控制器來控制線性感應馬達。首先他們先推導出感應馬達之數學模型，感應 馬達之結構圖如圖 1-2。接著使用反推控制，使馬達系統的位置與速度都能 達到穩定，並加入滑動模式控制，以加快暫態響應速度，接著將摩擦力、漣 波效應與外在干擾等同整為干擾項的集合 D，並運用適應控制來估測與補償 以增加運動控制之精密度。圖 1-3 為適應性反推滑動模式控制器之結構圖。. 圖 1-2 線性感應馬達結構圖[1]. 圖 1-3 適應性反推滑動模式控制方塊圖[1] K. K. Tan, S. N. Huang, 和 T. H. Lee 等學者[2]，在建立線性馬達模 3.
(20) 型時考慮了靜態摩擦力 ffric 與漣波效應 fripple 的數學模型，分別表示為. . . f fric f c ( f s f c )e x xs f v x sign( x ). (1-1). f ripple Ar1 cosx Ar 2 sinx . (1-2). 2. 其中 x 為平台之位移、 x 為平台之速度、ω為頻率，皆可經由感測器回授或 是輸入訊號來得知。而 fc 為庫倫摩擦力係數、fs 為靜摩擦力係數、fv 為、 x s 為 黏滯摩擦係數、Ar1 與 Ar2 為常數，皆為未知參數，因此使用適應控制來估測 與補償，並加入滑動模式控制增加強健性與響應速度。圖 1-4 為適應控制估 測摩擦力與漣波效應之情形。. 圖 1-4 摩擦力與漣波效應之估測(虛線為估測值，實線為實際值)[2]. Chih-Min Lin 和 Chun-Fei Hsu 等學者[3]，提出了適應性模糊滑動模式 控制器來控制感應馬達，其特點在於即使馬達內部參數不確定仍能達到高精 密度的控制。首先設計滑動模式控制以確保系統的強健性，並運用模糊控制 器來取代等效控制以處理系統內部參數的不確定性，適應控制是用來自我調 適模糊控制器中的高斯函數相關參數與估測外在干擾。圖 1-5 為適應性模糊 4.
(21) 滑動模式控制方塊圖。. 圖 1-5 適應性模糊滑動模式控制方塊圖[3] 其他學者在建立馬達模型時考慮了更精準的摩擦力模型 LuGre Model， 其特色是將摩擦力模型近似於毛刷模型，可同時考慮系統的靜態與動態摩擦 力，並運用高階的控制器來補償以提升系統的精密度。諸如 Wen-Fang Xie 學 者[4]，結合了滑動模式估測器與適應控制來即時估測 LuGre Model 內的各項 參數並對系統進行補償。其摩擦力估測情形如圖 1-6。. 圖 1-6 摩擦力估測響應圖(a)估測器響應圖(b)估測誤差[4] Tong Heng Lee, Kok Kiong Tan 和 Sunan Huang 等學者[5]，運用投影式 的適應率來估測 LuGre Model 內的各項參數，其特色在於可避免估測值進入 5.
(22) 奇異點，因此穩定度比一般的梯度下降法高，並在實驗時將只針對靜態摩擦 力補償與以 LuGre Model 來補償做比較。圖 1-7 為用靜態摩擦力補償器之弦 波響應圖。圖 1-8 為用 LuGre Model 補償器之弦波響應圖。. 圖 1-7 用靜態摩擦力補償器之弦波響應圖[5]. 圖 1-8 用 LuGre Model 補償器之弦波響應圖[5] F.-J. Lin, P.-H. Shieh 和 P.-H. Shen 等學者[6]，提出倒傳遞類神經結合滑 動模式控制運用於雙軸的永磁同步馬達中，其控制器方塊圖如圖 1-9。雙軸 同動時除了要考慮本身的摩擦力、漣波效應與外在干擾外還有另一軸移動時 所造成的耦合力，他們將此耦合力也視為外在干擾的一部份，並運用倒傳遞 6.
(23) 類神經學習理想的控制量與補償干擾，倒傳遞類神經結構如圖 1-10，適應控 制則是用來調整類神經內的權重值加快收斂速度與補償類神經的輸出和理 想控制量的差異，達到高精密度的雙軸追跡控制。圖 1-11 為雙軸動態追跡 控制響應圖。. 圖 1-9 倒傳遞類神經滑動模式控制方塊圖[6]. 圖 1-10 倒傳遞類神經結構圖[6]. 7.
(24) 圖 1-11 雙軸動態追跡控制響應圖[6] Zamberi Jamaludin, Hendrik Van Brussel 和 Jan Swevers 等學者[7]，運用 干擾估測器及前饋摩擦力補償器來控制 XY 平台，平台結構如圖 1-12。所使 用之摩擦力模型為 Generalized Maxwell Slip(GMS)模型，其是將摩擦力比喻 成無數個彈簧結構，如圖 1-13，其組成之結構包含：(1) Stribeck 曲線之速度 常數 (2)預滑動期間的遲滯函數 (3)滑動期間的儲存摩擦力，並透過實驗來 鑑別 GMS 模型的各項參數。實驗結果證明加入干擾估測器與前饋摩擦力補 償器後可有效降低當平台反向移動時所造成的誤差。圖 1-14 為 XY 平台追 圓軌跡的響應圖。. 圖 1-12 XY 平台結構[7]. 圖 1-13 GMS 模型[7]. 圖 1-14 XY 平台動態圓軌跡追跡響應[7] 8.
(25) 1-3 研究動機與目的 現代科技日新月異，使產業界對於自動化設備的精密度需求也提高，微 米等級的精密度已不符合現代產品之需求，因此將自動化設備的精密度提升 至奈米等級便是未來發展的重要目標。而在自動化設備中最被廣泛運用的便 是線性馬達，諸如半導體產業中的自動化晶圓檢測、精密加工領域的 CNC 機台或是電子產業中常用的自動化焊錫機等。因此如何提升線性馬達的運動 控制精密度是相當重要的研究目標。 現今的精密定位平台有許多種不同的致動器，例如壓電馬達、音圈馬達、 滾珠導螺桿、線性馬達等。其中壓電馬達成本較高，行程短，只適合運用於 微型的設備中。音圈馬達雖然能達到奈米等級的精密度，但也有行程短的缺 點，且推力較弱，不適合用於大型自動化設備中。滾珠導螺桿其優點在於成 本較低，但由於驅動方式須經由機械耦合機構來達到線性移動，因此會有背 隙、速度慢與推力低等問題，若行程過長，滾珠導螺桿會因為重量之因素隨 著長時間之使用而漸漸發生彎曲的現象（Bending） 。而線性馬達採用直接驅 動之方式，其優點有結構簡單、剛性高、速度快與行程長，因此本研究將選 擇線性馬達作為高精密運動控制平台之致動器。 本研究之目標為建立一雙軸高精密運動控制平台，其 X 軸與 Y 軸皆使 用鐵芯式永磁同步伺服線性馬達做為致動器，行程皆為 200 mm，光學尺做 為位置感測器，其最大精度可達 0.1μm、定位載台可攜重量在 0～12 kg 之間。 藉由平台系統運動控制器設計，可補償線性馬達的外在干擾、摩擦力、漣波 效應與參數異變等，使高精密運動平台系統能達到精密的軌跡追蹤控制。. 1.4 本論文之貢獻 本研究之主要貢獻主要有三部份：(1)XY 雙軸線性馬達之數學模型建立、 (2)設計高階控制器以達到高精密度雙軸運動平台、(3) 滑動模式控制之抖振 9.
(26) 現象抑制。首先在第一部份我們會依據線性馬達之結構與特性來推導出 XY 雙軸線性馬達之數學模型，並考量線性馬達運作中會受到的各種外在干擾與 馬達內部參數的變異性，第二部份則是依據馬達數學模型設計出高階控制器， 以提升馬達之定位及追跡精確度，第三部份則是因為本研究中所選定之控制 器主要架構為滑動模式控制，然而此控制器最大之缺點為高頻的控制量切換 所造成的抖振現象，此現象會造成系統的精度降低，因此我們會透過設計控 制器之方式來降低抖振現象，以建立出雙軸高精密度運動控制平台。. 1.5 本論文之架構 本論文一共分為六章節，各章標題及內容簡略說明如下 第一章：緒論 說明研究背景及動機，並透過相關領域學者之研究情況來制定目標及 方法。 第二章：理論基礎 此章節將會分為兩部分介紹，(1)線性馬達之發展、構造、驅動方式、 優點與外在干擾等，並建立其數學模型，(2)高階控制理論介紹。 第三章：控制器設計 本研究共設計兩種控制器用於雙軸伺服運動控制系統，分別為(1)滑動 模式控制(SMC)、(2)適應性增量式滑動模式控制(AISMC)，並透過嚴 謹的推導來證明其穩定性。 第四章：實驗設備 介紹雙軸伺服運動控制系統所使用的實驗設備規格，例如驅動器、光 學尺、資料擷取卡與人機介面等。 第五章：實驗結果 實驗將分為三大部分，(1)X 軸的定位、追蹤控制及強健性分析、(2)Y 軸的定位、追蹤控制及強健性分析、(3)XY 雙軸的圓軌跡追跡控制， 10.
(27) 並會透過統計分析兩種控制器的優劣性，以驗證控制器對於系統的控 制效能。 第六章：結論及未來方向 根據理論及實驗結果做總結，並依據研究缺失來歸納出未來的研究方 向。. 11.
(28) 第二章 理論基礎 本章節主要為介紹研究時所使用的理論基礎，共分為三個部分，第一部 分為線性馬達之簡介、驅動原理與數學模型之建立；第二部分為線性馬達運 作時會受到的干擾與其數學模型之討論與分析；第三部分為高階控制理論之 介紹，其中包含了 Lyapunov 理論，Barbalat’s lemma，可變結構控制與適應 控制之設計與原理。. 2.1 線性馬達簡介 線性馬達最早出現於 1840 年，由 Charles Wheatstone 所提出，但因效率 太低因此沒有受到重視，直到 1935 年由 Eric Laithwaite 教授提出一個較完 善線性馬達模型後，才被廣泛的使用，直到 1965 年後，隨著磁浮列車系統、 自動化設備與運輸傳動系統等發展，線性馬達已成為自動化工業界中不可或 缺的設備，也因此對於線性馬達的效率、節能與精密度的研究價值也隨之提 升。 線性馬達與旋轉馬達之工作原理相同，其構造可視為旋轉馬達由表面切 至軸中心後攤平，如圖 2-1 所示。. 圖 2-1 旋轉馬達與線性馬達之關係 因此不論任何種類之旋轉馬達都會有相對應的線性馬達，如感應馬達或永磁 同步馬達等。但由於線性馬達會有邊端之問題，因此會產生邊端效應，如圖 2-2 所示，其原因是因線性馬達兩端之磁力線不連續，因此會產生較複雜之 現象，如由磁阻變化所產生之頓振效應以及高速運行下之磁場畸變等，這些 現象都會產生定位與追跡時的穩態誤差，因此在設計控制器或驅動器時需要 12.
(29) 予以考量並補償。. 圖 2-2 線性馬達的邊端效應. 2.1.1 線性馬達之驅動方式[8] 線性馬達與旋轉馬達的驅動方式相同，當三相電流通過轉子後，轉子上 的鐵心線圈周圍會產生平面磁場，此磁場會與定子上之永久磁鐵磁場互相垂 直，使定子與轉子間產生相互排斥與吸引的作用力，使定子能夠呈線性移動。 圖 2-3 為三相電流驅動馬達之過程，圖(A)之動子位置為當三相電流輸入為 圖(C)A 點時的情形，若要將定子位置控制在圖(B)時則三相電流輸入為圖 (C)B 點。線性馬達之換相方式是採用電子換相器，透過感測器所回傳的絕 對位置來改變電流以達到換相，此與傳統旋轉式馬達藉以碳刷的換相方式不 同。. 圖 2-3 三相電流輸入驅動線性馬達之示意圖 13.
(30) 2.1.2 線性馬達與滾珠導螺桿之驅動系統性能比較 線性馬達與滾珠導螺桿(Ball screw)皆為線性式移動的定位平台，但其驅 動之原理相差甚大，滾珠導螺桿之驅動方式是以旋轉馬達經由機械耦合結構 與滾珠導螺桿，將其轉為線性移動，因此構造上比起直接驅動的線性馬達複 雜，以下我們將對此兩種業界常用的驅動系統做性能比較，以解釋為何選用 線性馬達作為我們的高精密度追跡平台的驅動系統。. 圖 2-4 線性馬達. 圖 2-5 滾珠導螺桿. 表 2-1 驅動系統性能響應比較表 Properties Acceration Feed Force Structure Stiffness Impact Rseietant Price Transmissiob Structure Travel Range Maintenance External Disturbances. Linear Motor High High High High High Simple Long Easy Friction force Cogging force Ripple effect. 14. Ball Screw Low Low Low Low Low Complicated Short Hard Friction force Backlash.
(31) 2.1.3 鐵心式永磁同步線性馬達的動態模型[9][10] 在本小節中，我們將建立鐵心式永磁同步線性馬達的動態模型，以做為控 制器設計時的基礎。線性馬達必須以 U-V-W 三相電流做驅動，一般三相電 流的電壓方程式可表示為 vabcs rsiabcs . d abcs dt. (2-1). abcs Ls iabs max. (2-2). 其中 vabcs 為三相電壓向量， iabcs 為三相電流向量， abcs 為磁交鍊向量， rs 為 動子線圈電阻值矩陣， max 為正弦磁交鍊最大振福和 Ls 為動子線圈電感向 量其方程式分別可表示為. max. x x 2 x 2 sin sin sin 3 3 . T. (2-3). 1 1 2x x x L A LB cos 2 L A LB cos 2 Lls L A LB cos 2 3 2 3 1 1 x x 2 x Ls L A LB cos 2 Lls L A LB cos 2 L A LB cos 2 2 3 3 2 1 x 1 x x 2 L A LB cos 2 L A LB cos 2 Lls L A LB cos 2 3 2 3 2 . 其中 x 為動子位置， 為磁極間距， Lls 為漏磁電感， L A 為 A 相線圈電感 值和 LB 為 B 相線圈電感值。由上述方程式可看出，三相電流之各項為間互 相耦合，此現象會造成相位轉換間產生互相干擾，導致電流不是標準正弦分 佈，且在設計控制器時，要設計三個各別相位的電流控制律較為複雜，因此 在線性馬達控制中會將 abc 三相電壓利用數學空間轉換關係式，轉換為 dqo 虛擬空間電壓向量. hqdos K s habcs. (2-4). 15.
(32) Ks . x x 2 x 2 cos cos 3 cos 3 2 x x 2 x 2 sin sin sin 3 3 3 1 1 1 2 2 2 . T 其中 hdqos hqs hds hos 、 habcs has hbs hcs 而 h 可分別表示為電流、電壓. T. 和磁交鍊， K s 為正交矩陣，是用來恆定轉換功率。接著將 Eq.(2-2)、Eq.(2-3) 帶入 Eq.(2-1)中，可得 dqo 虛擬電壓表示式. d q wd dt d vd rid d wd dt vq riq . (2-5) (2-6). vo rio Llsio. (2-7). x . w. d Ld id . 2 max ， q Lq iq 3. Ld Lls L A . 3 3 LB ， Lq Lls L A LB 2 2. 其中 v q 、 vd 、 vo 分別為 d、q、o 軸電壓， iq 、 id 、 io 分別為 d、q、o 軸電 流， w 為同步轉子的角速度和 d 、 q 分別為 d、q 軸的磁交鍊。假設 U-V-W 三相電流為理想值，且電源偏移浮動量為中性平衡之星形(wye)連接，因此 abc 三相電流之合為零( ia ib ic 0 )，且 io . 1 ia ib ic 0 2. (2-8). 接著整合 Eq.(2-7)，可得到 Eq.(2-9)，在計算出線性馬達之消耗功率為 Eq.(2-10) 16.
(33) vo 0. (2-9). Pqdo vqiq vd id voio riq2 rid2 iq. d d q id d wd iq wqid dt dt. (2-10). 2 其中 riq2 、 rid 為動子線圈之消耗功率， iq q 、 id d 為動子線圈電感之能量負. 載，而 wd iq 、 wq id 為磁推力之消耗動能。永磁同步線性馬達之電磁推力方 程式在忽略銅損、磁滯現象及電渦流損的情況下可表示為. Fe . . 2 Ld Lq iq id iq max 3 . (2-11). 接著將電磁推力方程式與線性馬達機械模型做整合可得. d xv dt d 1 v ( Bv Fe FL ) dt M diq dt. . 1 Lq. (2-12) (2-13). 2 riq xLd id max vq x 3 . (2-14). did 1 rid xLq iq vd dt Ld . (2-15). 其中 M 為動子質量、 B 為黏滯摩擦力係數和 FL 為外在干擾。由 i d 與 i q 之電 流動態方程式中可看出兩控制電流有互相耦合之情形，此情形會增加控制器 設計時的困難性。因此在此我們使用磁場導向控制(field-oriented control)來解 *. 耦 d-q 電流動態方程式，先設計一理想電壓向量 v 如 Eq.(2-16)，並與 Eq.(2-14)、 Eq.(2-15)做整合可得 Eq.(2-17)。並假設 Ld Lq L ，可將電磁推力方程式簡 化為 Eq.(2-18). 17.
(34) vd wLq iq vd * v * 2 v wL i w v q q q q max 3 . (2-16). r id Ld i q 0 . (2-17). *. Fe . 1 * 0 vd i L d d r iq 1 * v Lq q Lq . 2 max iq Kt iq 3. (2-18). 經由磁場導向控制與假設，可合理的將 d-q 控制電流解耦，以降低控制器設 計難度，透過以上推導可得線性馬達之控制系統方塊圖為. 圖 2-6 線性馬達控制方塊圖 透過以上的 d-q 軸控制電流之動態方程式推導後，我們可將 Eq.(2-18)帶入 Eq.(2-13)即可得到線性馬達的動態方程式為. v . 1 ( Bv K t iq FL ) M. (2-19). 接著我們定義 A m B M 、 Bm K t M 、 Cm 1 M 和 iq u ，因此可將 Eq.(2-19)改寫為. x Am x Bmu Cm FL. (2-20). 藉由以上的推導，我們可得到線性馬達的動態方程式，此動態方程式將作為 18.
(35) 第三章節控制器設計之系統模型，並透過設計控制量 u 來達到控制目標的要 求。. 2.2 線性馬達的外部干擾 為了要達到高精密度的線性馬達控制，因此必須要考慮線性馬達運作會 受到的干擾，本研究中我們將會先了解這些干擾力產生的原因以及有何特性， 如此便能夠設計控制器來補償，以使系統控制器之回授補償更有效率與意義。 在線性馬達運作中，會受到的干擾為摩擦力、漣波效應、馬達內部參數異變 以及外在干擾等，其中以摩擦力與漣波效應較為複雜，且為非線性的干擾力， 因此我們將對這兩項干擾力作描述與分析。. 2.2.1 摩擦力[11][12] 在自然界中，只要有兩表面非光滑之滑動物體互相接觸便會產生與施力 方向相反的力，名為摩擦力；而在線性馬達中，由於定子與動子為兩相接處 的剛體，如圖 2-7 所示，因此會產生不可避免的摩擦力。. 圖 2-7 線性馬達定子與動子之接觸面 摩擦力具有高度非線性的特性，且可分為靜態摩擦力與動態摩擦力，因 此要用數學模型來表示便非常困難，但目前已有許多學者對此作了一些研究 並建立數學模型來模擬摩擦力的特性曲線，以下我們將介紹幾個具代表性的 模型。 19.
(36) . 阿姆斯壯摩擦力模型[13] 在靜態摩擦力中，最具代表性的便是阿姆斯壯摩擦力模型，其結合了古. 典摩擦力模型中的庫倫摩擦力、靜摩擦力與黏滯摩擦力等，並考慮了 Stribeck effect。 庫倫摩擦力是與施力方向相反並且為線性關係，其只與物體移動的速度 與方向有關。靜摩擦力是指物體要從靜止到移動時所要施予的力。黏滯摩擦 力是指兩滑動物體間用來潤滑的液體所產收的黏滯力。Stribeck effect 主要是 發生在物體低速移動時，因為潤滑液體而導致摩擦力隨著速度增加而減小。 根據以上所述，靜摩擦力的特性曲線圖如圖 2-8 所示，而數學模型可表示為. F (v) FC ( FS FC )e. v vs. . 2. Fv v. (2-21). 其中 Fc 為庫倫摩擦力，Fs 為最大靜摩擦力，Fv 為黏滯摩擦力，v 為物體移動 的相對速度，vs 為 Stribeck effect 速度。. 圖 2-8 靜摩擦力特性曲線圖 . 刷毛模型 Haessig, David A.和 Friedland, B 假設摩擦力的產生是因為兩剛體表面有. 大量刷毛彼此互動，如圖 2-。刷毛之運動方式類似於彈簧，當兩剛體之表面 上某一組刷毛之形變量達到某一程度時將會斷開彼此的連接並且表面上之 20.
(37) 其他刷毛會產生新的連結與形變，而這過程是相當隨機性的。而摩擦力的大 小則是由表面上無數個刷毛所給予的力之總合，如圖 2-9 所示。此模型最大 支優點在於可捕捉自然且隨機性的摩擦力模型，但若要越貼近於真實的則需 要相當龐大的毛刷數量，如此會增加運算時間及效率，因此較少用於實際之 應用。. 圖 2-9 刷毛模型示意圖 N. F 0 ( xi bi ). (2-22). i 1. 其中 N 為刷毛數量，0 為刷毛的剛性系數，xi 為毛刷的相對位移量，bi 為發 生連結之位置。 . LuGre 摩擦力模型[14] LuGre 摩擦力模型是在 1995 年由 C.Canudas de Wit, H. Olsson, K. J.. Astrom 和 P. Lischinsky 所提出，其結合了靜態摩擦力模型與刷毛模型，使其 更接近於真實的摩擦力，所使用的刷毛模型是採用將所有刷毛的力平均化， 因此模型更為簡單 z v . 0 g (v ). (2-23). zv. g (v) FC ( FS FC )e (v vs ). 2. (2-24). F 0 z 1 z 2v. (2-25) 21.
(38) 2.2.2 漣波效應[15] 漣波效應之產生主要是因電子式換相並非標準的正弦分佈，導致各磁極 間的磁場分佈呈現尖端狀，如圖 2-10 所示，因此在動子移動時會受到類似 於正弦波的干擾，此干擾會與動子移動速度有關，圖 2-11 為漣波效應與速 度之關係圖，由速度曲線可看出，在定速下之理想速度曲線理應為水平線， 但受到漣波效應之干擾導致其呈現波狀起伏，此現象會影響系統的精密度， 因此漣波現象也視為線性馬達的干擾之一。. (A). (B). 圖 2-10 理想與實際的磁場分布曲線圖(A)理想的(B)實際的. 圖 2-11 漣波效應與速度之關係圖[16]. 2.3 高階控制理論之介紹 本小節我們將介紹本篇論文中所用到的控制理論，包含了 Lyapunov 理 22.
(39) 論、Babarlat’s lemma、可變結構控制及適應控制。. 2.3.1 Lyapunov 理論[17] 此理論是由俄羅斯數學家 Aleksandr Mikhailovic Lyapunov 所提出，是用 於證明動力系統或微分方程的穩定性。而用於控制系統時可檢驗系統在平衡 點附近的穩定度，我們假設一非線性系統為 x f (t , x) , t 0. (2-26). 若存 在一 Lyapunov 函 數 V (t , x) 為正定( V (t , x) 0 )且 其圖 形(Lyapunov contour)可構成一有界區域，則我們可透過將 V (t , x) 對時間做一次微分來分析 此非線性系統的穩定性，其結果可分為以下四種情形 1. V t , x 0 , V t , x 0 , t 0 ， 此 時 系 統 為 穩 定 或 臨 界 穩 定 (Marginally Stable)。 2. V t , x 0 , V t , x 0 , t 0 ，此時系統為穩定。 3. V t , x 0 , V t , x 0 , t 0 ，此時系統為不穩定(Unstable)。 4.. V t , x 0 , t 0 ，但. V t , x 0 既非負定、半負定或正定時，此時則無法. 結論平衡點的穩定性。 因此可知當 V t , x 為負定或半負定時，我們可結論系統不會發散，但亦不 可保證其必定可收歛至平衡點。此定理除了用於檢驗系統在平衡點附近的穩 定度外，其最多的應用是在於控制器的設計，當有一非線性系統為 x f (t , x) g (t , x)ut , t 0. (2-27). 透過 Lyapunov 函數的推導，以設計控制器 u t 來滿足系統穩定的條件， 此種設計技巧也是本論文設計控制器時的基礎。透過以上描述可得知， Lyapunov 定理分析是將 n 維向量系統的問題轉成一維純量系統的問題，但 在 Lyapunov 函數的選擇上則沒有唯一解。 23.
(40) 2.3.2 Barbalat’s lemma 由 Lyapunov 理論分析可得知系統在平衡點時的穩定性，但卻無法結論 系統狀態是否會收斂至平衡點，因此 Barbalat’s lemma 便是用來分析系統狀 態是否會收斂，其定義為如果 f t 為可微分之訊號且在時間趨近於無窮大 ( t )時為有限值，且 f t 為一均勻連續函數，則當 t 時 f t 趨近於零。. 2.3.3 可變結構控制理論(Variable Structure Control Theory)[18][19] 可變結構系統之特色在於受控系統必定有兩個或以上的子結構，並依照 其特性加入切換條件，使其依照當前狀態切換至適當的結構，以達到控制目 標，因此屬於一種切換條件控制(Switching condition control)。在可變結構控 制領域中有許多不同的應用，例如設計多組 PID 控制器並依照所需之系統響 應設定切換條件或為應用於變速度控制等，而其應用的最大主軸為順滑模態 控制(Sliding mode control)。 順滑模式控制之特色為先制定順滑平面(Sliding surface)，再藉由設計控 制律迫使系統狀態進入順滑平面，一旦進入後系統狀態便不會離開而會順著 順滑平面進入平衡點，是一種強硬的控制手段，因此此控制器主要分為兩種 模態，其一為迫近模態，是系統從初始狀態 x(t0 ) 在時間 t h 時接觸順滑平面 s( x) 0 的區間，另一種稱之為順滑模態，則是從時間 t h 直到狀態進入平衡點 x() 0 ，如圖. 2-12 所示。. 24.
(41) 圖 2-12 順滑模式控制示意圖 滑動模式的控制律共可分為兩部份，其一為等效控制律 ueq ，此控制律之功用 為使系統狀態迫近順滑平面並使其能順著順滑平面滑動至平衡點，另一個為 切換控制律 u sw ，可使狀態能保持在順滑平面上，即使系統遭受到以下干擾 1. 運算與訊號傳輸上造成的時間延遲(time-delay)。 2. 未考量到的受控體模型或外在推力。 3. 感測器的雜訊。 因此滑動模式控制有良好的強健性。然而在理想狀態下，當系統狀態進 入順滑模態後會沿著順滑平面滑行到平衡點，然而實際上，系統狀態會在順 滑平面上有劇烈的切換現象，如圖 2-13 所示。產生切換情形之主要原因是 因在切換控制律的設計上常使用非連續的符號函數( sign() )如圖 2-14 所示。 而此切換情形我們稱之為抖振現象(Chattering phenomenon)，此高速切換之 現象會造成機械結構間的磨耗或是高頻震盪，是滑動模式控制的缺點。. 25.
(42) (A). (B). 圖 2-13 理想與實際的順滑平面上的狀態軌跡圖(A)理想的(B)實際的. 圖 2-14 符號函數. 2.3.4 適應控制(Adaptive Control)[20][21] 在真實的系統中，常常有許多變數是我們在建立模型時無法掌握的，例 如溫度所造成的熱漲冷縮、機械結構上的損耗或是未知的外在干擾等，這些 改變都會造成響應結果的不同，而使我們當初所設計的控制器無法達到要求。 因此，適應控制的用意便是在即時估測這些時變項，使控制器能夠自我調 適。 在適應控制中最常用的參數估測法是梯度下降法，其定義為若有一實值. 26.
(43) 函數為 f (x) ，其在點 p0 處可微分，則此函數在點 p0 處會沿著與梯度相反的 方向( f ( p0 ) )下降，因此如果我們定義. p1 p0 f p0 . (2-28). 其中 為正實數，為梯度下降法收斂時的步長(Step size)。則 F ( p0 ) F ( p1 ) ， 由此可知當此步驟持續到第 n 次時，Eq.(2-28)可改寫為. pn1 pn f pn , n 0. (2-29). 此過程會持續至當點 pn1 為期望值為止，梯度下降法的示意圖如圖 2-15 所 示。. 圖 2-15 梯度下降法示意圖. 27.
(44) 第三章 控制器設計 控制器設計時主要分為三個步驟： 1. 系統模型建立 2. 控制器設計 3. 模擬與實驗 本章節我們將先建立出系統模型，並設計控制器，以達到建立高精密度 雙軸平台控制系統的目標。. 3.1 系統模型建立 於第二章時我們建立了一維的鐵心式永磁同步線性馬達的動態模型為. x Am x Bmu Cm FL. (3-1). 在線性馬達運作時除了外在干擾外還會遭受摩擦力、漣波效應以及參數 變異等干擾，由於模型的精確性會影響到控制系統的效能，因此必須將這些 干擾的影響也考慮到動態模型中，故 Eq.(3-1)可改寫為. x Am Ax Bm Bu Cm C ( FL f ) Am x Bmu D. (3-2). 其中 D Am x Bmu Cm Cm FL f 為系統的不確定項，我們會假設 其為有界值 D 。接著，我們將一維的鐵心式永磁同步線性馬達的動態 模型推廣至二維的 X-Y 雙軸鐵心式永磁同步線性馬達的動態模型，如圖 3-1 所示。. 28.
(45) 圖 3-1 X-Y 雙軸鐵心式永磁同步線性馬達結構示意圖 由牛頓第二運動定律，我們可推導出二維鐵心式永磁同步線性馬達的動 態方程式為 ( M x M x M y M y ) x Bx Bx x Kt , x Kt , x ux FL, x f x Fy M y M y y By By y Kt , y Kt , y u y FL, y f y Fx. (3-3). 其中 M x 與 M y 為 X 與 Y 軸質量、B x 與 B y 為 X 與 Y 軸之黏滯摩擦係數、K t , x 與 K t , y 為 X 與 Y 軸之推力係數、X 與 Y 為各軸位移量、 u x 與 u y 為 X 與 Y 軸之馬達輸入、 FL , x 與 FL , y 為 X 與 Y 軸之外在干擾； f x 與 f y 為沿 X 方向與 Y 方向線性滑軌所受之摩擦力與漣波效應； Fy 為 Y 軸平台運動時作用於 X 軸之作用力，Fx 為 X 軸平台運動時作用於 Y 軸之作用力。接著再將 Eq.(3-3) 作整理後可得 Bx x M x M y y 0 . Kt , x 0 x M M y x B y y 0 M y . 0 u x K t , y u y M y . 29.
(46) K t , x M x M y B x 1 x FL, x f x Fy x ux Mx My Mx My Mx My Mx My K t , y M y B y 1 y FL, y f y Fx y uy My My My My . (3-4). X AT X BT U DT. (3-5). X x y . T. Bx M M x y AT 0 . Kt , x 0 、 B Mx M y T By 0 My . 0 Kt, y M y . K t , x M x M y B x 1 x FL, x f x Fy x ux Mx My Mx My Mx My Mx My DT K t , y M y B y 1 y FL, y f y Fx y uy My My My My . 其中 DT 為系統的不確定項，我們會假設其值為有界值 DT 。由以上推導我 們可得到 X-Y 雙軸鐵心式永磁同步線性馬達的動態模型為 Eq.(3-5)，此模型. 將會作為推導控制器的系統模型。. 3.2 控制器設計 在本篇論文中我們將設計兩種控制器，(1)滑動模式控制器、(2)適應性 增量式滑動模式控制，我們將針對此兩種控制器做比較與分析，以分辨出兩 者用於線性馬達之優劣性。. 3.2.1 滑動模式控制器(SMC) 於本篇論文的第二節中，介紹了滑動模式控制的理論基礎，可總結其優 點有(1) 結構簡單、(2)強健性高，因此很適合用在線性馬達這類系統不確定 性較多的系統內，以達到有效抑制這些干擾，來提升系統穩定性與準確度之 30.
(47) 目的。 首先決定系統的輸出誤差為. E X Xd 其中 X d xd. (3-6). yd ， xd 為 X 軸的參考目標， y d 為 Y 軸的參考目標。接著 T. 定義滑動平面為 t S E 2 smc E 2smc Ed. (3-7). 0. smc, 1 0. 其中 S s x s y T ， smc . 0 ， SMC, 1 0 ， SMC, 2 smc, 2 . 0 。我們將滑動平. 面定義為 PID 形式，加入積分器之用意在於可有效地減少穩態誤差，增加系統精 確度。將滑動平面對時間做一次微分在整合 Eq.(3-5)與 Eq.(3-6)帶入可得. 2 E 2 E S E smc smc AT X BT U DT 2 s m Ec 2s m Ec X d. (3-8). 為使系統滿足滑動條件，我們必須透過 Lyapunov 定理來推導控制律，因此 我們選擇 Lyapunov 函數為. 1 V (t ) S T S 2. (3-9). 再將其對時間做一次微分，並帶入 Eq.(3-8). V (t ) S T S. . S T AT X BT U DT 2 s m Ec 2s m Ec X d. . (3-10). 滑動模式控制的控制律中包含兩個部分：(1)等效控制律 U eq 、(2)切換控制律. U sw ，因此系統的控制律可設計為 U U eq U sw U eq BT. 1. X. d. (3-11) AT X 2 smc E 2smc E K smc S 31. . (3-12).
(48) U sw BT. 1. (S ). . (3-13). ksmc, 1. . T 其中 (S ) sgn( s x ) sgn( s y ) ，K smc 0. 0 0，ksmc, 2 0 。 ，k ksmc, 2 smc, 1. 將 Eq.(3-11)~Eq.(3-12)帶入 Eq.(3-10)中可得. V (t ) S T DT (S ) K smc S S T DT (S ) K s m Sc S S T K s mSc 0. (3-13). 由上述的 Lyapunov 函數推導，可得知 V 0 與 V 0 因此可得知系統為穩 定或漸進穩定，且符合滑動模式的條件。為了瞭解系統是否能夠收斂，我們 引用 Barbalat’s lemma 來做分析。先定義 (t ) 為. (t ) S S T K smc S . . . 0. (3-14). (t )d V (0) V (). (3-15). 由 Lyapunov 函數推導可得知 V (t ) 為非遞增函數且是有界值且 S L ，因此 我們可推測 (t ) 亦為有界值，因此 S L2 ，而 Eq.(3-8)的 S 為. . S S T AT X BT U DT 2 smc E 2smc E X d. . (3-16). 由於 S 為有界值，故 E 也必為有界值，由 BIBO 穩定定理可得，當系統的輸 入為有界時，其輸出必亦為有界值，故假設輸入 U 為有界值，而線性馬達之 位移 X 也是有界值，由上述之描述我們可推得 S L 。由 Barbalat’s lemma 可 得知當 S L & L2 且 S L ，則 lim S t 0 ，且根據滑動模式之特性，當系 t . 統狀態進入滑動平面後，其軌跡隨著時間趨近於無窮大時會收斂至零，亦即 lim E t 0. (3-17). t . 根據上述的設計，滑動模式控制的控制方塊圖如圖 3-2 所示。 32.
(49) 圖 3-2 滑動模式控制方塊圖 然而，為了增進 X-Y 雙軸永磁同步伺服線性馬達的效能，滑動模式控 制的抖振現象是必須要做改善的，針對此現象有許多學者提出了改進方式， 以下我們針對相關之參考文獻來討論與分析。 J. E. Slotine[17]提出將滑動模式中切換控制律的符號函數 sgn 換成飽和 函數 sat ，如圖 3-3 所示。因此在滑動平面的附近便增加了邊界層(boundary layer)，如圖 3-4 所示。如此當軌跡進入邊界層後會由於飽和函數的輸出值較 為和緩，所產生的抖振現象便沒有符號函數明顯。. 圖 3-3 飽和函數. 33.
(50) 圖 3-4 滑動平面之邊界層 然而此方法雖然能有效減少抖振現象，但因邊界層的加入，使切換控制 僅能將系統狀態強制在邊界層內，而非滑動平面，因此系統的穩態誤差會上 升，此為使用飽和函數的缺點。 H.-J. Hsieh [22][23]提出了濾波式滑動模式控制(Filtering-type SMC)，藉 由在切換控制律中加入低通濾波器(Low pass filter)，以濾除高頻的切換電流， 其結果如圖 3-5 與圖 3-6 所示。. 圖 3-5 SMC 之系統響應(a)系統響應(b)控制輸入(c)追跡誤差(d)滑動平面[22] 34.
(51) 圖 3-6 FTSMC 之系統響應(a)系統響應(b)控制輸入(c)追跡誤差(d)滑動平面 [22] 可看出其控制器不僅能達到抖振抑制，並可以降低穩態誤差，但其控制 架構複雜度較高且推導複雜 H.-M. Shanechi[24]提出了適應性模糊 PI 滑動模式控制(Adaptive Fuzzy PI Sliding Mode Control)運用適應性 PI 控制器來取代滑動模式控制在邊界層 內時的切換控制律，其示意圖如圖 3-7。其提出之控制器效能也於實驗時與 滑動模式控制做比較，如圖 3-8 與 3-9 所示。. 圖 3-7 適應性 PI 控制器於邊界層運作之示意圖 35.
(52) 圖 3-8 SMC 之系統響應圖(a)系統響應(b)控制輸入(c)追跡誤差[24]. 圖 3-9 Adaptive Fuzzy PI Sliding Mode Control 之系統響應圖(a)系統響應(b)控 制輸入(c)追跡誤差[24] 由其模擬結果可看出，此方法能有效的抑制抖振現象，但適應控制會有 持續激發性之問題(Persistency excitation)，若輸入訊號無法滿足此條件，則 適應律便無法收斂至理想值，此情形會導致穩態誤差上升。 Y. Xu[25][26]提出了無抖振現象之強健可變結構控制(Chattering free 36.
(53) robust variable structure control)，其特色是在 SMC 設計中根據 Lyapunov 定 理之推導所得的不等式來設計一時變回授增益來取代切換控制律，此方法的 優點有：(1)滑動模式控制的優點及其效能仍能維持、(2)透過替換掉非線性 函數以有效的減少抖振現象、(3)比起傳統滑動模式控制有較好的暫態響應及 較小的初始增益。透過 Lyapunov 定理推導出之時變回授增益為. . u Bˆ 1 fˆ x d sk k. . (3-18). F D x d fˆ s . (3-19). (1 D) s. 其中 F 、 D 與 皆為正實數， fˆ 為估測之系統不確定項模型。其模擬結果 如圖 3-10 所示。. 圖 3-10 CRVC 模擬結果[25] 圖中之 CRVC 此篇參考文獻所設計之控制器，BASMC 為加入飽和函數的控 制器，從模擬結果可觀察出 CRVC 與 BASMC 皆能抑制抖振現象，而 CRVC 有較佳的暫態響應。但 R. Potluri[27]提出此控制器不可稱之為無抖振現象之 控制器，因若將 Eq.(3-19)帶入 Eq.(3-18)可得 F D x d fˆ s 1 ˆ ˆ u B f xd s (1 D) s 37.
(54) F D x d fˆ s ˆ Bˆ f x d sgn s (1 D) 1. (3-20). 由 Eq.(3-20)可看出此控制律仍然有不連續函數存在，因此此控制器僅能做到 抖振抑制，且在 Eq.(3-18)與 Eq.(3-19)中皆有系統不確定項，在現實系統中 要估測此不確定項相當困難，因此此控制器在實現上較為不易。 B. Veselic[28] 提 出 了 離 散 滑 動 模 式 控 制 結 合 尤 拉 速 度 估 測 器 (Discrete-time sliding mode control with euler velocity estimation)，其特色在於 將尤拉速度估測器與雙尺度(two-scale)滑動平面作結合，當系統狀態軌跡在 邊界層外時將以較快的速度作收斂，進入邊界層後便降低收斂速度，使其可 以較為和緩的進入滑動平面，其示意圖如圖 3-11。其實驗之結果圖如圖 3-12 與圖 3-13 所示。. 圖 3-11 雙尺度滑動平面示意圖[28]. 38.
(55) 圖 3-12 SMC 實驗結果[28]. 圖 3-13 DSMC 實驗結果[28] 在圖 3-13DSMC 的實驗中，會於時間在 2.5 秒時加入一 0.65 牛頓的外在干擾， 以分析將積分演算(integral action)加入 DSMC 後的收斂情形。由 SMC 的實 驗圖可看出控制量擁有非常高頻的切換現象，然而 DSMC 則無，因此此控 39.
(56) 制器能有效的做到抖振抑制以及增加系統準確度。但其控制系統結構之複雜 度與濾波式滑動模式控制相同。 A. R. Ofoli[29]提出了增量式滑動模式控制(Incremental sliding mode control)，其特色是考量一般滑動模式控制會忽略的參數，例如運算器的計算 步長、最大衝量、上一個系統狀態及過去的控制量輸入。其中最重要的考量 參數在於前一個控制量輸入，因此增量式滑動模式控制的控制律不再只有等 效控制律與切換控制律，而是改寫成. uti ueq ti u sw ti uti 1 . (3-21). 透過考量過去的控制量輸入並疊加至下次的控制量，透過此方式不斷修正控 制量以減少抖振現象，此與疊代學習控制(Iterative learning control)有類似的 功用，因此稱之為增量式滑動模式控制，其實驗結果如圖 3-14 與圖 3-15 所 示。. 圖 3-14 SMC 模擬結果. 圖 3-15 ISMC 模擬結果[29] 由模擬結果可看出，此方法可有效的抑制抖振現象，且控制器結構簡單複雜 40.
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