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数学试题(理科)
（满分 150 分，考试时间 120 分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题列出的四个选项中，只有一 项是最符合题目要求的． 1.设 i 为虚数单位，则 6 i ＝ （A）-i （B） i （C）-1 （D）1 2.已知集合A=
x− 3 x 0
，2
1
1
1
x
B
x
x
−
=
+
，则AI B＝ （A）(
− −3, 1
（B）(
− −3, 1)
（C）(
−1, 0)
（D）
−2, 0)
3.设 a＝log36，b＝log310，c＝e -2
，则
（A）b＞a＞c （B）b＞c＞a （C）a＞c＞b （D）a＞b＞c 4.在 1 6 (x ) x − 的展开式中的常数项为 （A）20 （B）15 （C）-15 （D）-20 5.2019 年 11 月 2 日，成都市青羊区开展了 5 种不同类型的 “垃圾分类，大家给力”社会 服务活动，其中有 3 种活动在上午开展，2 种活动在下午开展 .若小王参加了两种活动,则 分别安排在上、下午的概率为 （A）1 4 （B） 3 10 （C） 1 2 （D） 3 5 6.已知 F 是双曲线C： 2 2 1 4 3 x − y = 的左焦点，则以 F 为圆心且与渐近线相切的圆的方程为 （A） 2 2 (x− 7) +y = （B）3 2 2 (x+ 7) +y = 3 （C）(x−1)2+y2=4 （D）(x+1)2+y2=4 7.设 ( ) 1 1 4x 1 2 f x = − + ，x∈R,则 （A）f(x)为偶函数且在（0，+∞）上单调递减 （B）f(x)为偶函数且在（0，+∞）上单调递 增 （C）f(x)为奇函数且在（0，+∞）上单调递减 （D）f(x)为奇函数且在（0，+∞）上单调递 增 8.设椭圆 2 2 2 2 :x y 1 C a +b = ，a＞b＞0，点 A，B 为 C 的左，右顶点，点 P 为 C 上一点，若 ∠APB＝120°，则 C 的离心率的最小值为 （A） 6 3 （B） 3 2 （C） 2 3 （D） 1 2 9.过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成 300 的平面，则所得截面的面积与球的表 面积的比为 （A） 15 256 （B） 45 256 （C） 15 64 （D） 45 64
2 （A） 1− （B） 0 （C） 1 （D）
e
11.设 (0, ) 2
， (0, ) 2
，且1 cos 2 1 cos sin 2 sin − = + ，则 （A）2
− =
（B）2 2
− = （C）2
+ =
（D）2 2
+ = 12.如图，圆O的半径为 1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角x
的始边为射线OA， 终 边为射线OP，过点 P 作直线OA的垂线，垂足为 M ，将△AMP 的面积表示为x
的函数f x
( )
， 则y
=
f x
( )
在(0, )
上的图象大致为 （A） （B） （C） （D） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．13. 已知向量uuurAB =(2,3),uuurBC=(1, -3)t ,
uuur
AB
∥uuur
AC
,则 t＝ . 14.函数y=tan2x−2 tanx+3， ,3 3 x −
的最小值为 .
15.在四边形 ABCD 中,∠ABC=∠BCD=1200,CD=3AB=3BC=
3 3
,则 AD 的长度为 . 16.在四面体 ABCD 中，DA⊥底面ABC，侧面 ABD⊥侧面 BCD，BD=BC=2,，三个侧面△ DAB、△DBC、△DCA 的面积的平方和为8，则∠ADB＝ . 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分. 17．(12 分)设数列
an 的前n
项和为 n 1( 2 ) 2 S = n +n * (n N )． （1）求
an 的通项公式； （2）设 2an n n b = a ，求数列
bn 的前n
项和T
n. M A O P π O y x π O y x π O y x O π y x3
18. (12 分)第 32 届夏季奥林匹克运动会（英语：Games of the XXXII Olympiad）又称 2020 年东京奥运会.2013 年 9 月 7 日雅克·罗格宣布 2020 年奥运会的主办城市是东京,东京申办成 功后，成为继巴黎（法国）、伦敦（英国）、洛杉矶（美国）和雅典（希腊）后的世界第 5 个至少两次举办夏季奥运会的城市，同时也是亚洲第一个.2018 年 7 月 22 日，东京奥组委公 布 2020 年东京奥运会吉祥物名字，蓝色吉祥物被命名为 Miraitowa，寓意未来和永恒.现从 甲，乙两所学校各随机抽取了100名高三的学生参加了奥运知识测评（满分70分），其中成 绩不低于50分的记为“优秀”.根据测试成绩，学生的分数（单位：分）频率分布直方图如 下（左图为甲校的，右图为乙校的）： （1）根据频率分布直方图估计乙校学生成绩的中位数.（结果保留两位小数） （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为学生测试成绩是否优秀与 他所在学校有关： 非优秀 优秀 合计 甲校 乙校 合计 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bc K a b c d a c b d − = + + + + P(K2>k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828
19．(12 分)图 1 是由△ABC,△BCD和△ABE组成的一个平面图形，其中 AB＝BC＝CD＝2， BE＝2 2，∠ABC＝∠ABE=∠BCD＝90°，将其沿 AB ，BC折起，使得 BD 与 BE 重合， 连接 AD ，如图 2.
（1）证明：图 2 中CD ⊥面ABC；
（2）在图 2 中, M ,N 分别为 AD , BD 的中点，求面CMN与面CAB所成的二面角的正弦值.
4 (图一) （图二）
20. (12 分)已知点F(1, 0)，点 Q 为直线l x = −: 1上一动点, FQ 的垂直平分线与过 Q 且垂直于l
的直线交于点 P ,设 P 的轨迹为曲线C． （1）求C的轨迹方程；
（2）设 A,B 为曲线C上不同的两点, A,B,F 三点不共线， |AF| + |BF| =6,求△FAB 的面积的 最大值. 21. (12 分)已知函数f x( )=ln(1+ （x) x −1）． （1）证明： ( )f x ，并说明等号成立的条件； x （2）设 ( ) (g x = x+1) ( )f x −ax，是否存在实数a，使得 ( ) 0g x 在其定义域恒成立？若存在， 求出所有满足条件的实数a的集合；若不存在，说明理由； （3）设 1 1 1 1 2 3 n T n = + + + +L （ * N n ），[ ]x 表示不超过x的最大整数，试求[Tn−f n( )]． （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分. 22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直线坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 2 2 2 x t y t = = ( t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴 正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 π sin 2 2 4 − = . (1)写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； (2)设点 P 在 C1上，点 Q 在 C2上，求 PQ 的最小值及此时 P 的直角坐标. 23．[选修 4－5：不等式选讲]（10 分） 设a 0，b 0且 2 2 4 a +b = ． （1）证明： 6 6 16 a +b ； （2）求ab− −a b的最大值．
