高等数学

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

第2章 一元函数微分学

高等数学A

2.2 中值定理

2.2.1 中值定理

2.2 中值定理

函数极值的概念

Rolle定理

Lagrange定理

Cauchy定理

2.2.1 中值定理

Fermat 定理

Rolle定理

Rolle定理应用习例1-5

Lagrange中值定理

Lagrange定理应用习例6-7

Cauchy中值定理

Cauchy定理应用习例8-9

内容小结

课堂思考与练习

微

分 中

值 定

理

x

x f x

x x f

f

x 





 

  

) ( )

lim ( )

(

0

函数导数的定义为

即函数在点 x 处的导数等于 ^{x  0} 时, 函数

x

x f x

x f







 ) ( )

(

的极限值.

在点 x 处的差商

导数与差商

我们常常需要从函数的导数所给出

的局部的或“小范围”性质, 推出其整体的 或“大范围”性质. 为此, 我们需要建立函 数的差商与函数的导数间的基本关系式, 这些关系式称为“微分学中值定理”.

这些中值定理的创建要归功于费马、

拉格朗日、柯西等数学家.

首先, 从直观上来看看

“函数的差商与函数的导数间的基本关系式”

是怎么一回事.

O x y

x

x

可微 )

(x f

y 

A

P B

x

1 2

1

2) ( )

(

x x

x f x

k f

AB



 

的斜率：

割线

) (

k f x₀ P

 

处切线的斜率：

点

导数与差商

相等！

1 2

1 2) ( ) ) (

( x x

x f x

f f



 





将割线作平行移动, 那么它至少有一次会 达到这样的位置：

在曲线上与割线距离最远的那一点

P

P

, ) ,

(x₁ x₂



也就是说, 至少存在一点 使得

该命题就是微分中值定理.

一. 函数极值的概念

定义:

, )

~ , ( ),

, ( ,

) , ( )

( 在 内有定义 ₀ 当 ₀ 时

设f x a b x  a b x U x



; )

( ),

( )

(

) 1

( 若f x  f x₀ 则f x₀ 为极大值 . )

( ),

( )

(

) 2

( 若f x  f x₀ 则f x₀ 为极小值

极大值和极小值统称为极值, 取得极值的点称为极值点.

注意：

(1)极值点指的是横坐标x，极值指的是函数值f(x).

(2)极值点必须在区间的内部.

(3)极值是局部性质, 而最值是全局性质.

如图

o x

y

a x1

x2 x₃ b (4)极小值不一定比

极大值小.

(5)区间内部的最值点一定是极值点；反之不一定成立.

二. Fermat 定理

定理1.

. 0 )

( ,

) (

, )

, ( )

(

0 0

0

 



x f

x x

f

b a x

x f

则 处可导

在 且

处取得极值 在

设函数

可微函 数在区间内 部取极值的 必要条件是 函数在该点 的导数值为 零.

O x

y ) (x f

y 

a

b

P

如 何

证

明 ？

证明: 设 f (x₀ ) 是极大值.

. ) (

) ( ,

)

~ ,

(x₀ f x f x₀ U

x  时 有 

则当



0 0 0

) (

) lim (

) (

0 x x

x f x

x f f

x

x 

 

  

  0,

0 0 0

) (

) lim (

) (

0 x x

x f x

x f f

x

x 

 

  

  0,

( x₀)  f

( x₀)  f

. 0 )

( ₀ 

 f  x

（极小值类似可证）

三. Rolle定理 定理2.

) ( )

( ) 3 (

; )

, (

) 2 (

; ]

, [

) 1 (

: )

(

b f a

f

b a

b a x

f



内可导 在开区间

上连续 在闭区间

满足 若函数

. 0 )

( ),

,

(  







几何意义:

o x

y

a  b ^{o x}

y

a b

Rolle定理指出在两个高度相同 的点之间的一段连续曲线上,若 除端点外,它在每一点都有不垂 直于 x 轴的切线,则在其中必有 一条切线平行于 x 轴.

证明:  f (x)在闭区间[a,b]上连续,

, ]

, [ )

(x a b M m

f 在闭区间 上有最大值 和最小值



(1)若M=m, 则f (x)  C, x [a,b]

).

, ( ,

0 )

(x C x a b

f     

 对于一切 ^取



. ]

, [ )

( ,

) 2

( 若M  m 则f x 在 a b 上不是常数

. ,

), ( )

(a f b 则M m不可能同时在端点取得

f 



), (a f M  不妨设

. )

( ),

,

(a b f  M







则至少存在一点

. )

( 的极大值点 也是

则此点



. 0 )

( ,

Fermat定理可知 f 



由

定理的条件是充分的，但非必要. 不满足条件有可能 结论不成立. 如图

) ( )

(a f b

f 

o x y

a b

注意:

区间内有不连续点 o x

y



a b

端点b处不连续 o x

y

a b



区间内有不可导点 o x

y

a _b

推论:

. )

( )

(

的一个零点 至少有导函数

任意两零点间 可导函数

x f

x f



Rolle定理应用习例 ,

3 2

) ( .

1 设f x  x²  x  例

. ]

1 , 3 [ )

(

Rolle定理对 在 上的正确性

验证 f x 

3. ( )



2. p x( ) p x( ) , 例 设多项式 的导函数 没有实根

5. ( ) f x , 例 设 二阶可导 且

), (

), (

) (

)

(x₁ f x₂ f x₃ x₁ x₂ x₃

f    

. 0 )

( ],

,

[ _{1 3}  







( ) .

试证p x 最多只有一个实根

2 2

2 [ ( )x  b ( )]a  (b  a ) ( ) ^ x .

方程 至少存在一个根

. ]

1 , 3 [ )

(

Rolle定理对 在 上的正确性

验证 f x 

解: (1) f (x) 是初等函数,

. ]

1 , 3 [ )

( 在闭区间  上连续

 f x

, 2 2

) ( )

2

(  f  x  x 

. )

1 , 3 ( )

( 在  内可导

 f x

), 1 , 3 ( 1

, 0 2

2 )

( )

4

( 设 f  x  x   则 x    

).

1 , 3 ( 1

   

^取



).

1 ( 0

) 3 ( ) 3

( f    f

, 3 2

) ( .

1 设f x  x²  x  例

证明:（反证法）

. )

( 至少有两个实根

假设 xp 设为x₁和x₂,且x₁  x₂. ,

)

( 是连续可导的

由于多项式 xp 且p(x₁)  p(x₂)  0. , Rolle

] ,

[ )

( 在 _{1 2} 上满足 定理的条件 多项式函数p x x x



. 0 )

( ),

,

( _{1 2}  







.

"

) (

" 没有实根 相矛盾 这与题设 p x

2. p x ( ) p x  ( ) , 例 设多项式 的导函数 没有实根

( ) .

试证 p x 最多只有一个实根

分析: (b²  a²)







)](

( )

( [ ) ( )

(b²  a²







. 0 }

) )](

( )

( [ ) ( )

{(b²  a²







证明: 设 f (x)  (b²  a²)







, ( ,

] , [ )

( 在 上连续 在 内可导

则 f x a b a b ).

( )

( )

( )

(a b² a a² b f b

f 





由Rolle定理得: ^{至少存在一点}





0 2

)]

( )

( [ ) ( )

(b²  a²











3. ( )



2 2

2 [ ( )x  b ( )]a  (b  a ) ( )  x .

方程 至少存在一个根

, 1 5

)

(







, 0 )

(



证明: (1) 存在性 .

则 f

(x )

 ( 0 , 1 ) ,

即方程有小于 1 的正根 (2) 唯一性 .

假设另有



(x ) 在以

1 0

, x

x 为端点的区间满足罗尔定理条件 ,

 在

, x

之间

至少存在一点

但 矛盾, 故假设不真!

设

5. ( ) f x ,

例 设 二阶可导 且

), (

), (

) (

)

(x₁ f x₂ f x₃ x₁ x₂ x₃

f    

. 0 )

( ],

,

[ _{1 3}  







证明:  f (x)二阶可导,

; ]

, [

] ,

[ )

(x 在 x₁ x₂ 和 x₂ x₃ 上连续

 f

. )

, (

) ,

( )

(x 在 x₁ x₂ 和 x₂ x₃ 内可导 f

), (

)

(x₁ f x₂

f 

由

. 0 )

( ),

,

( _{1 2 1}

1  





), (

)

(x₂ f x₃

f 

由

. 0 )

( ),

,

( _{2 3 2}

2  





; ]

, [ )

( 在 _{1 2} 上连续

而 f  x

 

. )

, ( )

(x 在





由Rolle定理，得

), ,

( )

,

( _{1 2}  x₁ x₃



 



至少存在一点 . 0 )

( 





).

( 0

)

(





f    

a



b

o y

A

B

把罗尔定理的图示歪斜着 看会有什么不同呢？

x y

0

a   b

y=f (x)

( )

点 处切线的斜率：

P

k  f ^ 

( ) ( ) 弦线AB的斜率：

f b f a

k b a

 



相等！

P

四. Lagrange 中值定理 定理3.

; )

, (

) 2 (

; ]

, [

) 1 (

: )

(

内可导 在开区间

上连续 在闭区间

满足 若函数

b a

b a x

f

) . ( )

) ( ( ),

,

( b a

a f b

f f b

a 

 

 





则至少存在一点

).

)(

( )

( )

(

f b  f a  f 



几何意义:

o x

y

a  b

Lagrange中值定理指出若曲线 y = f (x)在(a , b)内每一点都有 不平行于 y 轴的切线,则在曲线 上至少存在一点P(





分析: ( ) ( ) 0 )

( 



 

 b a

a f b

x f f

) 0 ( )

) (

(  



 

 x

a b

a f b

x f f

) 0 ( )

) (

(  







  x

a b

a f b

x f f

证明: ( ) ( ) , [ , ] )

( )

( x x a b

a b

a f b

x f f x

F 



 

 设

a b

b af a

a bf

F 

 ( )  ( ) )

(

. )

, ( ,

] , [ )

( 在 上连续 在 内可导

则F x a b a b

) (b

 F

由Rolle定理得,

), ,

(a b



至少存在一点 使得 F(



) 0 ( )

) (

( 



 

 b a

a f b

f



) . ( )

) (

( b a

a f b

f f



 

 



) )(

( )

( )

(

, f a f b f a b

a

b  ^时   



当

).

)(

( )

( )

(

f b  f a  f 



).

)(

( )

( )

(

f b  f a  f  b  a





注意:

. Rolle

Lagrange ,

) ( )

(

(1) 令 f a  f b 则 中值定理 定理

, ) )(

( )

( )

( Lagrange

) 2

( 在 中值公式 f b  f a  f 



, b

a    0 





 

a b



b

a









令 则







. 1 0

), )](

( [

) ( )

(b  f a  f  a 





,

, 时有

取a  x b  x  x

. 1 0

, )

( )

( )

(x  x  f x  f  x 





. 1 0

, )

(

y  f  x 





即 _{称为有限增量定理.}

(3) 拉格朗日中值定理的物理意义

某一时刻达到它的平均速度.

拉格朗日中值定理告诉我们, 在 t=a 到 t=b 的时间段内, 连续运动的物体至少会在

(4)Lagrange中值公式精确地表达了函数在一个区间上 的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.

(1)推论1设f (x)在区间I上可导，且f (x)=0, xI.

则f (x)=C, xI.

证： x₁,x₂I, 不妨令x₁<x₂, 则f (x)在[x₁, x₂]上 满足拉格朗日中值定理条件，故有

) ,

(

), )(

( ' )

( )

(x₂ f x₁ f x₂ x₁ x₁ x₂

f      

而 f (



由x₁, x₂ 的任意性，f (x)=C, xI. (C为常数) 3. 拉格朗日中值定理的三个重要推论

(C为常数)

(2)推论2. 若f ' (x)=g' (x)，xI, 则 f x)=g(x)+C , xI (C为常数)

证：令 F(x)=f (x)g(x), 由推论1立即可证.

(3)推论3. 若f (x)的导数在(a, b)内不变号，则函 数f (x)在(a, b)内严格单调.

Lagrange定理应用习例

2 . arccos

arcsin .

6 _{ }



x 证明等式 x

例

. )

1 1 ln(

, 0

: .

7 x x

x

x x   

 时  当

证明 例

( ) [0,1] , [0,1]

0 ( ) 1 , (0,1) ( ) 1 . : (0,1), ( ) .

f x x

f x x f x



 

 

     

 

例8.假设 在 上连续可导 且 对

有 对 有

证明 存在唯一的 使得

2 . arccos

arcsin .

6 _{ }



x 证明等式 x

例

证明: 设 f (x)  arcsinx  arccos x, .

) 1 , 1 ( )

( 在 内可导

则 f x 

, 0 1

1 1

) 1

( 2 2 

 

 



x x

x 又 f

. arccos

arcsin )

( )

1 , 1

( f x  x  x  C

在 内恒有

2 . )

0 ( ,

0 f C

x  



有 时

又当

2 . arccos

arcsin _{ }



 x x

. )

1 1 ln(

, 0

: .

7 x x

x

x x   

 时  当

证明 例

证明: 利用Lagrange中值定理证明不等式时, . ],

, [ )

(x a b a b

f ^{及区间 且利用} 



选择

, ln )

(t t

f 

设 t [1,1  x].

, )

1 , 1 ( ,

] 1

, 1 [ )

(

, 在 上连续 在 内可导

显然 f t  x  x 由Lagrange中值定理, 则

, ) ( )

1 ( )

1

( x f f x

f    ^





x    

 ) , 1 1 1

ln(





1 1 1

1 1 1

 

 







 

x x 又由

) 0 (

1 ,

  

  x x x

x x



. )

1 1 ln(

x x

x

x   

从而  注意:

), 1

ln(

)

(t t

f  

设 t [0, x]同样可证得结论成立!

例8

( ) [0,1] , [0,1] 0 ( ) 1 , (0,1) ( ) 1 .

: (0,1), ( ) .

f x x f x

x f x

 f  

  

  

 

假设 在 上连续可导 且 对一切 有

对一切 有

证明 存在唯一的 使得

证 构造辅助函数 令, ( )F x  f x( )  x

, ( ) F x [0,1] , F(0)  f (0)  0, (1)F  f (1) 1 0, 

显然 在 上连续 且

( ) (0,1) ,

( ) 0, ( ) .

F f



  



 

满足零点定理的条件,则至少存在

使得 即

下面证明唯一性．

1 2 1 2

,x x (0,1) ( x  x ), such that 假设有两个点

. )

( ,

)

( x

x

f x

x

f  

1 2

1 2

( ) [ , ] ,

( , ) (0,1),such that f x x x

 x x

  

在 满足拉格朗日中值定理的条件 则

) 1 (

) ) (

(

1 2

1

2 



 

 x x

x f x

f



, (0,1) , ( ) 1 , .

(0 1) , ( ) .

x f x

, f

  

  

 

但是 时 矛盾

所以存在唯一的 使得

的参数方程为 设弧 AB

] , [

) (

) (

b a t

t g x

t f

y 









斜率为 上任意一点处的切线的

则弧 AB

) (

) ( d

d

t g

t f x

y



 

的斜率为 而弦 AB

) ( )

(

) ( )

(

a g b

g

a f b

k f



 

O x

y

A

B





) (x f y 

在拉格朗日 中值定理中, 将 曲线用参数方程 表示 , 会出现什 么结论？

五. Cauchy中值定理 定理4.

0 )

( (3)

; )

, (

) 2 (

; ]

, [

) 1 (

: )

( ), (

 x  g

b a

b a x

g x

f

内可导 在开区间

上连续 在闭区间

满足 若函数

) . ( )

(

) ( )

( )

( ) ), (

,

( g b g a

a f b

f g

b f

a 

 



 







则至少存在一点 几何意义:

o X

Y

b









) (

) (

x f Y

x g X

)) ( ), (

(g a f a A

)) ( ), (

(g b f b B

) (

) (

x g

x f

dX dY



 



Cauchy中值定理指出 在定理条件下, 用参数 方程表示的曲线上至 少有一点, 它的切线平 行于两端点的连线.

分析: ( ) )

( )

(

) ( )

) (

( g x

a g b

g

a f b

x f

f 



 



0 )

) ( ( )

(

) ( )

) (

(  



 

 g x

a g b

g

a f b

x f f

0 )

) ( ( )

(

) ( )

) (

( 









  g x

a g b

g

a f b

x f f

证明: ( ), [ , ]

) ( )

(

) ( )

) ( ( )

( g x x a b

a g b

g

a f b

x f f x

F 



 

 设

. )

, ( ,

] , [ )

( 在 上连续 在 内可导

则F x a b a b

) ( )

(

) ( ) ( )

( ) ) (

( g b g a

a g b f b

g a a f

F 

   F(b)

由Rolle定理得,

), ,

(a b



至少存在一点 使得 F(



) ) (

( )

(

) ( )

) (

(  



 







a g b

g

a f b

f f 即

, 0 )

( 

 x

又 g .

) ( )

(

) ( )

( )

( ) (

a g b

g

a f b

f g

f



 



 





注意:

. Lagrange

Cauchy ,

) (

(1)令g x  x 则 中值定理 中值定理

(2)Cauchy中值定理能否用如下方法证明,为什么?

对f(x),g(x)分别应用Lagrange中值定理后相比得结论.

有人想：分子分母分别用拉格朗日中值定理, 就可证明柯西中值定理了.

, ]) , ([

) ( , )

(x g x C a b

f 

, )

, ( )

( , )

(x g x 在 a b 内可导 f

) (

) ( )

( )

(

) ( )

(





g f a

g b

g

a f b

f



 

 故 

, 0 )

( 

 x 且 g

条件 满足拉格朗日中值定理

上 在[ , ] ,

) ( , )

(x g x a b f

相同吗？

两个



Cauchy定理应用习例

9. 0, ( 1) ( ),

, .

b a

ab ae be e b a

a b

 



    

例 若 证明

其中 在 之间

例11

)].

0 ( )

1 ( [ 2 )

( ),

1 , 0 (

: ,

) 1 , 0 ( ,

] 1 , 0 [ )

(

f f

f x

f



 



 



至少存在一点

证明 内可导

在 上连续

在 设函数

分析: (



b

be

ae^{b a}  





, ) 1 1 (

1



b a

a e b

e^{b a}









, )

1 1 (

1



a b

a e b

e^{b a}









9. 0, ( 1) ( ),

, .

b a

ab ae be e b a

a b





    

例 若 证明

其中 在 之间

证明: 设 0<a<b,

].

, [

1 , )

( , )

( x a b

x x x g

x e f

x  

 设

).

( )

1 (

ae^b  be^a 



显然, f(x),g(x)满足Cauchy中值定理的条件.

由Cauchy中值定理, 至少存在一点



) (

) ( )

( )

(

) ( )

(





f a

g b

g

a f b

f



 



  ,

1 1

1

2 2

















 e e

a b

a e b

e^{b a}

) , 1 ( ) ,

( ) ( )

1 ( )

(

) 1 ( )

( e

F f F

e F

f e

f 



 











证明: 法1 用柯西中值定理.

x x

F x

x

f ( )  sinln , ( )  ln

则 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上满足柯西中值定理条件, 令

因此







1 1 cosln 即

分析:

法2 令 f (x)  sinln x

则 f (x) 在 [ 1 , e ] 上满足罗尔中值定理条件, 使

x ln

 cos

( x)

f  sin1

x 1 因此存在

x  1

x ln 1

sin 



例11

)].

0 ( )

1 ( [ 2 )

( ),

1 , 0 (

: ,

) 1 , 0 ( ,

] 1 , 0 [ )

(

f f

f x

f



 



 



至少存在一点

证明 内可导

在 上连续

在 设函数

证 分析: 结论可变形为



 

 



2 ) ( 0

1

) 0 ( )

1

( f f

f .

) (

) (

2  

  _x

x x

f 设 g(x)  x²,

, ]

1 , 0 [ )

( ),

( 在 上满足柯西中值定理的条件

则 f x g x

有 内至少存在一点

在(0,1) ,





 

 



2 ) ( 0

1

) 0 ( )

1

( f f

f 即 f ()  2[ f (1) f (0)].

内容小结

1. 微分中值定理的条件、结论及关系

罗尔定理

拉格朗日中值定理

柯西中值定理

) ( )

(

f



x x

F

( ) 

) ( )

(

f



x x

F

( ) 

2. 微分中值定理的应用 (1) 证明恒等式

(2) 证明不等式

(3) 证明有关中值问题的结论

关键:

利用逆向思维 设辅助函数 费马引理

思考题：

思考题参考答案

课堂练习：

练习１（罗） 设f (x)=(x



证： f (x)是一个四次多项式

 f (x)在[a, b], [b, c], [c, d]上连续，可导，

又 f (a)=f (b)=f (c) =f (d)=0

故 f (x)在[a, b], [b, c], [c, d]上满足Rolle定理条件.

从而， 













 f (x)是一个四次多项式,

故 f (x)=0 有且仅有三个实根：







 f (x)是一个三次多项式, 它最多有三个实根,

练习２(罗)设a₀, a₁, …, a_n 满足 ^0,

1 1 1

2 1

1 1

0    _n   a_n 

a n a n

a 

证明 方程a₀+a₁x+…+a_n1x^n1+a_nxⁿ =0 在(0, 1)内至少有一实根

证: 令 0 ^{1 2 1 1}

1 ) 2

( ^{ }

 







 ^{n n n} xⁿ

n x a

n x a

x a a x

f 

则，f (x)C([0, 1])，在(0, 1)内可导。

又 f (0)=0, ⁰

1 ) 2

1

( ₀ ^{1 1} 

 







 ^

n a n

a a a

f  ^{n n}

即 f (0)=f (1) 故 f (x)满足Rolle定理条件.

由Rolle定理，

命题获证.

0 )

( ),

1 , 0

(  



 

 



  使得



 





(拉练习１) 证明：当0<a<b时，

a a b

a b b

a

b 



 

ln

证 即要证 ^{1 ( ) ln ln 1 (b a)} a a

b a

b b     

], , [ ,

ln )

(x x x a b

f  

令

知 f (x)在[a, b]上满足拉格朗日中值定理条件，

故 1 ( ),

ln ln

, b a b a (a,b)

ξ    

 ^使得



a b

1 1

1  





a a b

b b b

a

b 



 

 ln