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数学数学

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Academic year: 2022

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(1)

经全国中小学教材审定委员会 2004 年初审通过

湖南教育出版社

定价:5.60 元

ISBN 978-7-5355-4202-1

9 787535 542021 >

数 学 数 学

普通高中课程标准实验教科书

数 学

4 1

湖南教育出版社 贝壳网

(2)

几何证明选讲

选修4-1

普通高中课程标准实验教科书

数 学

湖 南 教 育 出 版 社

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(3)

!!! 张景中 ! 黄楚芳 执行主编 ! 李尚志

本册主编 ! 张景中

!!!!! 朱华伟 ! 郑志明

普通高中课程标准实验教科书 数!!

选修" #$

几何证明选讲

责任编辑! !

湖南教育出版社出版发行 "长沙市韶山北路""%# 客服电话! &'%$ #()"(*+'+

湖南出版中心重印 重庆市新华书店经销 湖南天闻新华印务邵阳有限公司印刷

(+& ,$-"&!$*!印张! ).)!插页! -!字数! $$)&&&

-&&"*月第$!-&$+'月第(次印刷

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如有质量问题! 影响阅读! 请与湖南出版中心联系调换"

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学一点几何证明

!!如果我们把数学比作金碧辉煌的宫殿或万紫千红的花园!几何就 是这宫殿或花园门前的五彩缤纷的花坛和晶莹夺目的喷泉!它以最直 接的方式展示出数学的丰富多彩!吸引人们来欣赏数学和了解数学! 几何有悠久的历史!在历史上!数学科学首先作为几何学而出

!早在!"##多年前!几何已经成为一门结构严谨而自成体系的科

!在漫长的发展历史中!许多杰出的数学家在几何领域辛勤耕耘! 留下了丰富的宝藏!

几何是数学花园中最美丽的部分!它既有令人赏心悦目的优美的 图形!又能提供由浅入深的众多的有趣问题让你思考探索!它把数学 的直观和抽象的逻辑推理紧密地联系起来!论证严谨而优雅!命题精 致而美丽!入门不难!魅力无限!

和数学的其他部分一样!几何最初来自于人类的生活实践!最古 老的几何问题!也是最有实用价值的几何问题!是土地的测量和计 算!和吃饭问题紧密相关!吃饭问题初步解决了!就像建筑好的住 房!缝制像样的衣服!制造器皿家具!这就需要画更精确的图样!几 何作图问题自然提了出来!计算和作图都要有个道理!讲清楚道理就 是证明!古希腊人研究几何最讲究证明!中国古代的几何则讲究计 算!把作图和推理都归结于计算!叫作寓理于算!

所谓证明!就是要由因求果!弄清楚道理!讲道理要有些规矩! 正是在讨论研究大量几何问题过程中!人类认识到了讲道理的规矩! 即逻辑思维的一些基本规律!

学习几何!其意义主要不在于具体的计算公式和定理!而在于提 高认识事物"探索规律和表达思想的能力!几何思维!是人类理性活 动发展过程中不能省略的阶段!在几何证明的过程中!可以生动地体 验到!如何从纷杂的事物中找出关键的线索!如何在变化的数量中发

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现不变的关系!如何从平常的事实推导出令人惊叹的结论!如何从直 观的形象提炼出抽象的规律!如何把基本的概念发展成有力的方法! 在历史上!许多著名的科学家!如牛顿和爱因斯坦!通过学习几何锻 炼了研究和表述的能力!为取得重大科学成就创造了有利的条件!

公元前约!""年!欧几里得写出了流传千古的 "几何原本#!把 当时人类所掌握的几何知识熔于一炉!铸成一个空前严整的科学体

!"几何原本#!欧几里得从少数显而易见的基本规则出发!

用毋容置疑的演绎推理方法!一步一步地推导出数百条几何定理!这 在人类的科学思想发展历史上!实为一大创举!几何证明的思想和方 法!对人类的科学和文化产生了难以估量的影响!

几何是数学思想的摇篮!现代数学中许多重要的概念$方法和思 想!或者来自于几何事实的启发!或者发源于几何问题的探索!许多 不同数学领域的概念!能在几何中找到它的原型!在数学史上!由于 对某些几何问题的执着的研究!导致了新的数学观念的诞生和新的数 学领域的出现!几何是数学的童年!是数学的故乡!熟悉几何!能更 好地了解其他数学!学好几何!有助于掌握更多的数学!

几何研究的直接对象是空间形式!世界万物的运动变化都在一定 的空间中发生!光的传播路线!电磁感应的规律!物质的结晶形式! 生物分子的双螺旋结构!都和几何有不解之缘!在学习几何中得到加 强的空间想象能力!对于进一步学习其他科学知识大有帮助!

如果多浏览一些资料!就会知道几何和人文学科并非无关!几何 与艺术!几何与语言!几何与哲学!几何与政治!上网查一查!找书 读一读!大家议一议!必能眼界大开!必有丰富收获!

现代信息技术的发展!给几何提供了新的用武之地!在计算机科 学技术领域!许多与几何有关的问题有待研究解决!信息技术的发 展!又使几何变得更有趣!也更容易学习了!使用计算机能作出动态 的几何图形!随着图形的变动和测量数据的变化!已构建的几何关系 变得极为直观!能够更容易地揭示出蕴藏在特殊图形背后的一般规 律!在这由现代技术提供的平台上!你可以检验自己提出的几何猜 想!随心所欲地设计图案和几何变换!使几何的魅力充分地呈现

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出来!

在初中数学课程中!已经学了不少几何知识!在这个专题课程 中!将要温故知新!在整理已学过的知识的基础上!探讨更丰富的几 何现象!体验更犀利的思考方法!学习更严谨的表达方式!接触更深 刻的数学思想!

让我们开始吧!祝同学们学得愉快!学习成功"

作!者

!""#$! !

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目 录

12 12 16

21

24 25

32 35 36 40

50 45

57 63 66 16 20

70 72

第 1 章 几 何 证 明 选 讲 数学实验 直线交点的奥秘

1郾1 几个基本定理 习题

1郾2 相似三角形 习题

1郾3 圆的切线 习题

1郾4 圆周角定理 习题

1郾5 圆幂定理 习题

数学文化 欧几里得 《几何原本》

第 2 章 平 面 和 圆 柱 面 的 截 线

2郾1 平行投影 习题

2郾2 平面和圆柱面的截线 2.3 圆柱面的截面的焦球 2.4 圆锥曲线的统一定义

数学文化 绘画和透视

第 3 章 平 面 和 圆 锥 面 的 截 线

3.1 圆锥面和圆锥曲线 3.2 圆锥截面的焦球

3.3 圆锥面截线的准线和离心率 3.4 圆锥面的双曲线截线的探索

数学文化 从艺术中诞生的科学: 射影几何

31

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目 录

课 程 总 结 报 告 参 考 题

附 录 数学词汇中英文对照表

79

80

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随着几何美妙结构和精美推理的发展 ! 数学变成了一门艺术 !

!" 世纪最富独创性的数学成果 ! 来自 受绘画艺术的激发而产生的灵感 ! 在这一世 纪中 ! 科学为数学研究提供了主要的动力 ! 画家们在发展聚焦透视体系的过程中 ! 引入 了新的几何思想 ! 而且提出了一系列导致这 一研究进入全新方向的问题 !

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!!!! 数学实验

直线交点的奥秘

实验!!任作直线!"!!"上任取一点#"再作直线$%!

$%上任取一点&"继续作出直线"&#%的交点'!!&#$ 的 交点(!!%"$ 的交点)*如图!#!*

观察并判断$)!(!'三点之间有什么关系%

实验"!从一点+出发作三条射线+!!+"!+#!在+!上任取 一点$!+"上任取一点%!+#上任取一点&*再作直线!"

$%的交点'!!#$&的交点(!"#%&的交点)*如图!#"*

观察并判断$)!(!'三点之间有什么关系% 随便画几条直线!其中能有什么规律吗%

!!!!!!!!!!!!!!!"

若有条件!最好在计算机屏幕上用具有动态几何作图功能的软件 来进行试验 &例如使用 '#$#超级画板(!这样你可以拖动!!"!

#!$!%!&诸点!观察发现三个交点在变化中依然保持的关系*

上面两个实验是定性实验!下面做一个定量的实验*做定量的实 验!用计算机的好处就更明显了*

实验#!作任意四边形!"#,!直线!,!"#交于- !!"!#,

交于.!!#!-.交于/!",!-.交于0!!#!", 交于1 *如 图!#%*

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!!"

测量线段!""#""!$"#$"

%& "'& "%""'""(& ")& "

($")$的长度并计算出比值!"

#""

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#$"%&

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'""(&

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)$"拖 动

("'")"%"观察这些比值的变化"你发现了什么#

$如果没有计算机"可以只测量前#条线段及计算前两个比值*%

在前两个实验中"会看到+","-三点总在一直线上"即三点 共线*在实验""会发现$个比值两两相等*

为什么随便画几条直线"就有如此看似巧合的有趣现象呢# 古代的数学家"是怎样发现这些规律的呢#

用我们所学的这一点数学知识"能说明这些规律吗#

从实验中看到"仅仅由一些直线和它们的交点构成的几何图形"

其中也蕴藏着始料不及的奥秘*

最初对这类直线图形的奥秘感兴趣的不是数学家"而是!%!!$

世纪的艺术家*为了把立体的景物逼真地描绘到平面上"他们努力研 究透视 $&'()&'*+,-'%的数学原理"并且提出了一系列的数学问题*!.世纪"自学成才的大数学家&建筑师吉拉德!笛沙格 $/,(0(1

2')0(34')"!%5!!!$$!%"对透视的数学原理做了深入的研究"创立 了一门源于艺术的科学!!!射影几何 "# $&(67'*+,-'3'68'+(9%"

射影几何被认为是最美的数学分支之一*

在本专题中"我们将有机会欣赏与射影几何有关的一些漂亮的结 果*更有趣的是"我们将会发现"由于数学思想的发展"只要在小学 所学的几何知识的基础上稍稍前进一小步"就能揭开上述几个实验中

的奥秘"就能证明射影几何中一些著名的基本定理*

!!古人在!""多年间 辛辛苦苦地开发出的科 学宝藏!我们经过几个 小时的努力!就能欣赏 享用了!

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!!!!几个基本定理

让我们从一个很简单的问题开始!

在""#$的"# 边上取一点%!连线段$%!已知"%&!#%!

又知道"#%$的面积是"#$!!能求出""%$的面积吗 ""#%$%

"#%

答案是 "!!$$!!因为&

等高三角形的面积的比等于底之比 "图"#&$!

"#&

图"#&中当"!'两点重合!(!$两点也重合时!得到&

命题!"!!若点%在直线"#!$是直线"# 外任一点!)""%$

)""#$&"%

"#!"见图"#%!$

若让#!( 两点重合!*!$两点也重合时!得到&

命题!"#!若"' ##$!则)""#$&)"'#$!反之!)""#$&

)"'#$并且"!'在直线#$同侧!则"'##$!

作为练习!请画出命题"'!的图并说出它成立的道理!

1.1

1 1几何的最大魅力! 就在于它往往从平凡简 单的事实出发!经过几 步无可置疑的推导! 出意 想 不 到 的 有 趣 的 结果!

! !一个几何定理的简 单特例常常是更为有用 !让图中不同的点重 合是得到特例的常用的 方法之一!

! !这里用到平行线的 基本性质之一!两平行 线的 所 有 公 垂 线 段 相 !反过来也成立!

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命题!"#! !平行截割定理"两直线分别与!条平行线顺次交于 点!#"##和$ #%#&#则"#!"'%&$%(

"$#

分析!线段比可以转化为面积比#而面 积可以通过平行关系过渡(

证 明!如 图 "$##连 !%%"$%"&%

#%#则

!!!"

"#')"!"%

)""#%')"$"%

)""&%'$%

%&(

证毕(

你能说明上面推导中!步等式成立的理由吗&

在图"$$#把线段#*延长或缩短一点#得到一个新的事实' 命题!"$! !共边定理"若直线+,#!"交于点- #

!!+-

,-')"+!"

)",!"(

"$$

分析!想象线段!"沿所在直 线滑 动# "+!" 和",!" 的 面 积 不变#!滑到点-#问题就解 决了(

证明!如图"$$#在直线!"上 取点. 使-. '!"#则有'

!!+-

,-')"+-.

)",-.')"+!"

)",!"(

证毕(

要不想作辅助点.#可以这样证明'

!!+-

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)",-"

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!"()"+!"

)",!"

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)",!"(

证毕(

这个定理中的两个三角形有公共边!"#叫作一对共边三角形# 共边定理由此得名(

!!想一想!如果多几 条平 行 线!结 论 如 何 表述"

如果!!"两点重 !如何证明"

! !刚才两点变一点! 得到有用的特例!

现在一 点 变 两 点! 发现有力的推广!

! !共边定理还可以用 等比 定 理 证 明!请 你 思考!

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命题!"#! !共角定理"若"!"# 与"$%&相等或互补#

'#!"#

'#$%&(!"$"#

$%$%&)

分析!让点"#%重合#把相等或互补的角放到一起#如图!%"#

就看出来了)

!%"

证明!连接!&#则下面的推导适合图! "!#"&!$"两种情形'

'#!"#

'#$%&('#!"#

'#!"&

$'#!"&

'#$%&("#

%&$!"

$%(!"$"#

$%$%&#

证毕)

上述定理中涉及两个相等或互补的角#共角定理因而得名) 命题!"$! !射影定理"#*是%&#!"#斜边!"上的高# 则有'

!!"#*'(!*$"*(!'"!#'(!*$!"(!(""#'("*$!")

!%)

证明!如图!%)#根据 )直角三角 形两锐角互为余角*#可得

"!( ""#*# ""( "!#*#又 有"!#"( "!*#( ""*##运用共 角定理'

!!"由"#!*(""#*和"!#*("#"*得

!#$#*

"#$"*('##!*

'#"#*(!#$!*

"#$#*#

两端约简得到'

#*

"*(!*

#*#即#*'(!*$"*) 暂停一下#想想另外两个等式的推导的思路) 即使是依样画葫芦#也该知道从何处下笔)

!!在几何图形中! 公共边的三角形很多! 相等的或互补的角也很 !所以共边定理和共 角定理有很多的用处!

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对一对三角形使用两次共角定理!得到的等式中本来有!条线段!

为什么能约去"条呢" 这是因为所用的两个角必有一条公共边!这个 公共边同在等式两端的分子或分母上出现!一定会约去!

所以!在三角形中选取两个角使用共角定理!应当考虑到两角的 公共边是我们不感兴趣的线段!它将被约去!

回顾"##$%##&#的证明!由于%"在要证的等式中不出现! 所以不用!"%#中%"的对角!用另外两角!

同样理由!为证明第#个等式!不用!%&"中&" 边的对角$ 证明第$个等式!不用!%&"中%"边的对角!下面继续证明%

&#'由"%&"$"%"#和"%"&$"%#"!得

%&#&"

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%##"#!

两端约简得到#%&

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&"$&"

&#!即&"#$&##%&!

证毕!

习题 #!

%!用射影定理推出勾股定理!

###%(%&

#!用 共 角 定 理 证 明%%# !%&"

"&%"的平分线&如图%(%&'!则有%"%&$

&#

#"!

$!用 共 角 定 理 证 明%!%&" !

"%&"$ "%"&!%&$%"!

! !从 一 点!向 直 线 或平面上引垂线!垂足 叫作!在 该 直 线 或 平 面上的射影"

线段上的点的射影 的集 合!叫 作 线 段 的 射影"

一般地!点集合中 的点的射影的集合! 作该点集合的射影"

所以!这里证明的 关于直角三角形的射影 定理!可以叙述为"

!"直角三角形中! 两直角边在斜边上的射 影的乘积!等于斜边上 的高的平方"

""直角三角形中! 一直角边的平方!等于 该边在斜边上的射影与

斜边的乘积!

你看!用文字叙述 罗 唆!用 图 形 和 符 号多简单明了"

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!!!!相似三角形

在初中数学中!我们学过相似三角形的概念"

定义!对应角相等!对应边成比例的三角形!叫作相似三角形!

""#$与"%&'相似!记作""#$#"%&'!相似三角形对应边的 比叫作相似比!

判定两个三角形相似的条件!常用的有三条"

相似三角形判定定理! #有两对对应角相等的两个三角形相似$ 若在""#$和"%&'中有$"( $%!$#( $&!则""#$#

"%&'!

相似三角形判定定理" #有两边成比例且对应夹角相等的两个三 角形相似$

若在""#$和"%&'中有$"( $%!"#

%&("$

%'!则""#$#

"%&'!

相似三角形判定定理# #三边对应成比例的两个三角形相似$ 若在""#$和"%&'中有"#

%&("$

%'(#$

&'!则""#$#"%&'!

但是!在中学里没有给出这些判定定理的证明!在欧几里得的几 何原本或过去某些教材中!证起来还有点费事!用了共角定理!证明 它们就方便了!

相似三角形判定定理!的证明!设在""#$ 和"%&' 中有

$"($%!$#($&!由于三角形内角和为!"#$!可见$$( $'!

对""#$和"%&'的各个角三次使用共角定理得到"

!!!!!!)""#$

)"%&'("#%"$

%&%%' ("#%#$

%&%&' ("$%#$

%'%&'!

1.2

! !当相似比为!! 相似三角形就成了全等 三角形!

! !注 意!当 我 们 说

"!"# "$%& !或 写 出"!"# #

"$%&!就 同 时 约 定了两个三角形的顶点 之间的对应关系"!

$对应!"%对应!

#&对应'三顶点对 应好了!边与边#角与 角的 对 应 关 系 也 就 确 定了'

! ! 想 一 想!如 果

"!" "#!并且$%!$"

#&

&'! #!$%##&'

一定相似吗"

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将所 得 的 等 式 分 别 约 简!得 到#$!"%'$&"!&#'%#$!"!这 证 明 了

!!&""!#'$(

!"!!

下面!我们用规范清晰的形式写出相似三角形判定定理"的 证明#

$!%#!%## $已知%&

$"%!&

#'%!"

#$ $已知%&

$#%!&边上取点) !!"边上取点* !使!)%#'!!*%#$$

!"!!%&

$$%!#'$$!!)* $$!%'$#%!边角边公理%&

$%%+!!)"

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!&%#'

!&%#$

!"%!*

!"%+!!*&

+!!&"%$$"%'$#%!共高定理%&

$&%+!&)*%+!")* $由 $%%!+!!)"%+!!*&!两端同减去

+!!)*%&

$'%&"&)* $$&%!基本定理%&

$(%#!)*%#!&" $$'%!平行线的同位角相等%&

$)%!!&""!!)* $$(%!#!%#!!相似三角形判定定理!%&

$!*%!!&""!#'$ $$)%'$$%%(

证毕(

相似三角形判定定理#的证明就简单了(下面也用规范的形式 写出#

$!%!&

#'%&"

'$%!"

#$ $已知%&

$"%!&边上取点) !!"边上取点* !使!)%#'!!*%#$

! !当几何解题的头绪 和步骤较多时!应当采 取这样分步编号的形式 来叙述!

! !这 三 个 判 定 定 理 !最为常用的是定理

!!用它很容易证明直 角三角形的射影定理和 平行截割定理!

把两个三角形搬到 一起来!在证明共角定 理时就用了这个办法!

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!图!"!!#$

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证毕*

例!# !用相似三角形知识证明平行截割定理#如图!"!#&两直线 分别与"条平行线顺次交于点!&"&'和%&&&(&求证'!""'$&(%&*

!"!#

证明

!!#作") &%&&交直线'(

) &交直线!%# *

!## $#!"$ $)'" !平行线内 错角相等#$

!"#$#"!$$)"'!对顶角相等#$

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"'$%&

&( !!%#%!)#%!!*#&等量代换#+

证毕*

上述证明&如果要简单表述&可以这样写'

!!#作"#&%&&交!%# &'() $

! !看起来一目了然! 一步一步说清楚却颇费 口舌!

把证明写清楚的基 本功要有!多数情形下 不必如此详细!只要写 的人 和 看 的 人 都 明 白 就行!

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! !证明的关键之处不 可省略!

作 出 "!# 两 点 是关键!应用相似三角 形判定定理是关键! 可省略!

省略之处!一旦被 人提出询问!应能回答 补充!指出细节!直到 已知条件!否则!就不 叫省 略!而 是 模 糊 不 清了!

!!"!!"#$!%&##!#!"$!#%& !平行线性质"$

!""""#!#"&#% !!!"#相似三角形判定定理#"$

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() !!$"%!%"#等量代换"*

证毕*

想一想#为什么有些步骤可以从简#有些不可省略&

$#'#"

! !用相似三角形知识证明直角 三角形的射影定理"&+ 是'(""#&

斜边"#上的高#求证(

!#"&+!$"+)#+$

!!""&!$"+)"#$

!""#&!$#+)"#*

证明$ !#"

#)$!#&"$!#+&$!"+&$*+) !已知"$

!)$!+#&$!+&" !!#"#两角都是!"的余角"$

")$"+#&#"+&" !!#"%!!"#相似三角形判定定理#"$

$)$&+

"+$#+

&+ !!""#相似三角形性质"$

%)$&+!$"+)#+ !!$"的变形"*

证毕*

作为练习#请写出!!"%!""两问的证明*其中!!"的证明详细写 出#!""的证明简略地写出即可*

相似三角形对应边上的高%中线和角平分线分别叫作对应高%对 应中线和对应角平分线*一般地#把对应边也算在内#称它们为对应 线段*我们有

相似三角形基本性质$相似三角形的对应线段之比#等于相似 比*相似三角形面积之比#等于相似比的平方*

!!想一想!如何给出 相似四边形的合理的定 " 如何判定两个四边 形的相似"

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! !解几何问题要先画 出比较准确的图形!

使用动态几何作图 软件在计算机屏幕上画 出可 以 拖 动 变 化 的 图 !更便于 发 现 规 律! 找到方法!

作为练习!请写出上述性质的证明!

习题 !!

!"!"

!!如图!"!"!两线段"##$%交于&!"&$#&'$&$

%&!求证%""%&'"$#&!

#!#"#$ !"# ' "$! "" '$%&!#% ""#$ 的 平 分线!

求证%&!' #"#$$##$%(

&#'#$

"#''(!

# !

$!#"#$#$边上取一点&!连接"&!如果得到的$个三角形两两相似!

#"#$和点&的位置要满足什么条件)

"!如图!"!'! #"#$的 高"%!#(交 于#"#$内 一 点) !求 证% #"#) $

#(%)!

!"!'!!!!!!!!!!!!"!%!!

'!如图!"!%!"%#"#$的高!%#!$之间!在线段"%上任取一点&!

作直线#&"$) !作直线$&"#* !求证%")%"'"*%"!

!!!!圆的切线

以点+为圆心!作半径为,&,%)'的圆(再作一条直线-!自点+向直 线-作垂线!垂足为%!.'+%!叫作点+到直线-的距离!

让圆心和直线的距离.由大变小!有三种情形 &!"!*'%

1.3

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! !火车的钢轮在铁轨 !铁轨好比是钢轮的 切线!

皮带轮和上面拉直 了的一段皮带!也像是 圆和它的切线!

做 圆 周 运 动 的 质 !它的速度的方向和 所在位置的圆的切线一 !如 果 失 去 了 向 心 !它将随惯性沿该处 的切线方向飞出去!

!!第三种情形!这里 只是描述而没有证明!

你可以试着证明它!

!!!"

"!#!在圆外$即"!#的情形$这时在直线%上任取一点&$

总有'&""!#$所以&在圆外$我们说直线%与#'相离$

"##!在圆上$"(#的情形$这时在直线%上任取不同于! 的点&$总有'&!"(#$可见直线%和#'只有一个公共点!$而 直线%上的其他点都在圆外$我们称直线%与#'相切$称直线%

#'的一条切线$!叫作直线%与#'的切点$

"$#!在圆内$即"$#的情形$这时在直线%上有两点)$*

满足条件')('*(#$!是线段)* 的中点$线段)*上的点$

)$*之外都在#'的内部%而直线%上在线段)* 之外的点$都 在#'的外部$可见直线%和#'有两个也只有两个公共点$我们称 直线%与#'相交$直线%是#'的一条割线$)$*叫作直线% 与#'的交点$

概括起来$简述如下&

设#'的半径为#$'到直线%的距离为"$

"!#直线%与#'相离%"!#%

"##直线%与#'相切%"(#%

"$#直线%与#'相交%"$#$

以上三条中$最重要的是 "##$它可以更明确地表述为&

命题!"#& "切线特征定理#直线%是#'的切线的充要条件是$ 它经过#'上一点! 并且和过点! 的半径'!垂直$

切线特征定理包括了两个方面&"!#圆的切线垂直于过切点的半 径$这叫作切线性质定理%"##经过半径外端并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线$这叫作切线的判定定理$

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! !直角三角形是半个 矩形!斜边是矩形的对 角线!矩形的两条对角 线相等并且互相平分! 所以直角三角形的三个 顶点到斜边的中点的距 离相等!

因为过一个点只有一条直线垂直于已知直线!所以过圆心垂直于 切线的直线一定过切点!过切点垂直于切线的直线一定过圆心!这是 切线特征定理的两个推论!

如图!"!"!设"为!#外一点!如果"$是!#的切线!$是 切点!则""#$是以"# 为斜边的直角三角形!%"# 中点! 则$%&"%&#%!可见点$在以"#为直径的圆上!

!"!"

这样!只要以 % 为圆心#%#为半 径作圆!!#和!% 交于两点$!'$

"$!"' 都 是!# 的 切 线!$!' 为 切 点!

由此可见!从圆外一点可以引圆的两 条切线!也只能引两条切线!

从点"到切点$'的距离!也就是线段"$!"'的长度!叫 作点"到!#的切线长!由勾股定理得到%

"$& "#

#(#$#&

"##(#'#&"'!

此外!#$ &#' 可知点# 到#$"' 的两边等距!可见"#

#$"'的角平分线!所以得到了%

命题!"#$ &切线长定理'从圆外一点作圆的两条切线!其切线 长相等$该点到圆心的连线!平分这两条切线的夹角!

记点"到圆心#的距离#" &)!圆半径为*!则切线长的平方 为)#(*#!这个量叫作点"关于圆的幂!"在圆内时!切线没有 了意义!但这个量依然存在!"关于圆的幂为正#为负或为$!对 应于"在圆外#圆内或圆上的三种情形!

在空间!到定点#距离为定长*的所有点组成的集合!叫作以# 为球心!*为半径的球面或球!记作+&#!*'!简称球#!

连接球心到球面上一点的线段叫作该球的一条半径!

设点"到球心的距离为)!当)%*时!"在球外$)&*时!"

在球内$)&*时!"在球面上!

想一想!一条直线和一个球面至多有几个公共点(

和球面有一个并且只有一个公共点的直线!叫作该球的一条切

! !注 意! "!"# #

"$"#%

利用全 等 三 角 形"

也能证明切线长定理% 但 是"用 勾 股 定 "不仅证明了这个定 "还 计 算 出 了 切 线长%

! !球心和不通过它的 一 条 直 线 确 定 一 个 平面!

在这个平面上考虑 问题!立体几何的问题 就变 成 了 平 面 几 何 的 问题!

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!!!"

线!图!!!"画出了从球外一 点"到球#的几条切线!

作为练习"比照有关圆的 切线的推理"请给出球的切点 和球外一点到球的切线长的定

"并证明下列有关球的切线

的定理#

命题!"#! $球的切线特征定理%直线$是球#的切线的充要条 件是"它经过球#上点% 并且和过点% 的球半径#%垂直!

命题!"!$! $球的切线长定理%从球外一点作球的若干条切线"

其切线长相等&该点到球心的连线和每条切线的夹角相等!

和球面有一个并且只有一个公共点的平面"叫作该球的一个切平 面!这个公共点叫作该球和该平面的切点!

比照有关圆的切线的推理"容易证明#

命题!"!!! $球的切平面特征定理%平面!是球# 的切平面的 充要条件是"它经过球#上一点%并且和过点% 的球半径#%垂直!

那么"球的切线和切平面之间有什么关系呢'

!!#$

如图!!#$"平面!是球# 的一张切平面"切点为&"于 是#&"!!

根据立体几何中学过的知 识"平面!内的每条直线都垂 直于#&!特别是"平面!内

的每条通过点& 的直线都垂直于#&"因而这样的直线都是球#的 切线!

反过来"&"是球#的过点& 的切线"则有#&"&""于是"

&"在过点&且垂直于#&的平面内"即在切平面!!综上得到#

命题!"!%! $球的切线和切平面之间的关系%球的切平面内的

每一条过切点&的直线"都是球的切线&反过来"球的每一条过点

&的切线"都在与球相切于点&的切平面内!

!!想一想!圆的切线 和球的切线有哪些相同 的性质!有哪些不同的 性质"

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! !这就是从特殊到一 般的思考方法!不管会 不会有结果!能提出问 !就有了前进一步的 可能!

习题 !!

!!如图!!"!"三角形"#$的内切圆和三边#$""$""#分别切于点% "&"'"

若已知#$()""$(*""#(+"#%"$&"'!

!!"! !!""

"!如图!!""""#$,是圆外切四边形"求证#"#-$,(#$-",!

!!!!圆周角定理

有些几何定理证明起来并不难"关键是发现它!

由于几何学历史悠久"我们很难了解到许多定理当初是如何发现 的"只能想象和推测!

容易想到"人们常常是先看到一些特殊的几何事实"再提出更一

般的问题"探讨更一般的规律!

例如"!#!节我们得到共边定理"就是把一个特殊图形中的一 个点分成两个点"从特殊推广到一般!又如"研究了圆的切线"进一 步想到了球的切线!

切线的特征是垂直于一条半径"也就是垂直于一条直径!直径是圆 的特殊的弦!切线和直径的夹角是直角"和其他的弦的夹角是多少呢$

如图!!"$""#和".相切于,"/是圆周上一点!当点/, 处出发逆时针运动时"切线和弦所成的角##,/随着圆弧,/ 的增

1.4

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(26)

! !几何证明要画图看 !图上总是一种具体 情形!就容易忽略其他 的情形!

不要忘了想一想图 上没有画出来的情形!

长而变大!当"# 所对的圆心角!"$# 达到!"#时! !%"#&$%#

"为 什 么#$!当!"$# 达 到&'"#时! !%"# &!"#!这 提 示 我 们!

!%"#是不是总等于!"$#的一半呢#

这个猜想果然是对的!我们把切线和过切点的弦所成的角叫作弦 切角!便有了下面的定理%

命题!"!#" "弦切角定理$弦切角等于它所夹的弧所对的圆心 角的一半!

"&&()

证明"如图&&()!要证明!%"#&

&

(!"$#!

"&$自$"#作垂线!垂足为''

"($"$&#$! #$"# 是等腰三角 形 "已知$'

")$!"$'&&

(!"$# ""($!等腰三 角形性质$!

"$$!%"#(!$"'&!"#"切线性质%%"$$"$'

"%$!"$'(!$"'&!"#""&$!直角三角形两锐角互余$'

"*$!%"#&!"$'&&

(!"$# ""$$("%$(")$$!

证毕!

但是!图&&()画的是!%"#为锐角的情形!如果是钝角呢# 仍来看这个图!!)"#也是弦切角!它是钝角!这时有%

""""""!)"# &&'"#*!%"#

&&'"#*&

(!"$#

&)*"#*!"$#

( !

上式最后的 ")*"#* !"$#$恰好是#+")所对的圆心角的度数!也 就是弦切角!)"#所夹的弧所对圆心角的度数!这说明弦切角定理 普遍成立!

为了方便!我们引进圆弧的度数的概念%

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! !当点在圆弧上运动 !过该点的切线的方 向角时刻在改变!切线 方向角在一段弧上改变 量的总和!正是这段弧 的度数!

!!我们早已知道! 径 所 对 的 圆 周 角 是 直角!

定义!圆弧的度数!等于所对的圆心角的度数!

具体来说!在""中!半圆的度数定义为!"#$!不超过半圆的圆 弧#$"的度数!定义为##"$的度数!超过半圆的圆弧#%$"的度数! 定义为%&#$&##"$的度数!

于是!弦切角定理可以简单地表述为#

命题!"!#! $弦切角定理%弦切角的度数!等于所夹弧的度数 的一半!

!!&'(

从圆周上一点'所作两弦'#!'$

所成的角##'$!叫作#'$"所含的圆周 角!#$"所对的圆周角!如图!&'(!从 弦切角定理立刻推出#

命题!"!$! $圆周角定理%圆周角 的度数!等于所对弧度数的一半!

证明!如图!&'(!'作切线%(!

!!!!!!##'$ )!"#$&#$'(&##'%

)%&#$&'#$'(&'##'%

' !

由弦切角定理!'#$'(等于$'"的度数!'##'%等于#'"的度 数!%&#$减去这两弧的度数!得到#$"的度数!

证毕!

圆周角定理的下述推论是几何推理中十分常用的工具!

命题!"!% $圆周角定理推论!%圆周角的度数!等于同弧所对 的圆心角之半!

命题!"!& $圆周角定理推论'%同弧或等弧所对的圆周角 相等!

例!!设'!*两点在直线#$ 的同侧! "" 为$'#$的外接 圆!求证#当点*在"" 外时##*$% ##'$!点* 在"" 内时

##*$& ##'$!点* 在"" 上 时##*$ ) ##'$'反 过 来 也 成立!

证明!如图!&')!射线#*与""交于*'!*''#$

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參考文獻

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