高中数学课程阐释 :

(1)

教育局课程发展处数学教育组

高中数学课程阐释 :

(2)

前言

为配合学校课程持续发展，《数学课程及评估指引（中四至中六）》于 2017 年 12 月更新（以下简称《课程及评估指引》）。高中数学课程包括必修部分和延伸部分。延伸部分包括两个单元，分别是单元一（微积分与统计）和单元二（代数与微积分）。

在《课程及评估指引》中，必修部分的学习重点以表列形式归于不同学习单位内。表中「注释」栏的内容为学习重点的补充数据。本小册子内的课程阐释旨在进一步解释：

（一）必修部分学习重点的要求；

（二）必修部分的教学建议；

（三）必修部分学习单位之间的关系和结构；

（四）必修部分与其他学习阶段（如第三学习阶段）的发展脉络；及

（五）必修部分与延伸部分的课程衔接。

本小册子内的课程阐释连同《课程及评估指引》内每一学习单位的「注释」栏及教学时数，可显示该学习单位处理的阔度和深度。教师宜在施教必修部分时，把内容视为连贯的数学知识，并培养学生运用数学解决问题、推理及传意的能力。此外，教师应留意，《课程及评估指引》中的学习单位及学习重点的编排次序并不等同于学与教的次序，教师可因应学生需要有系统地编排学习内容。

欢迎各界人士就本小册子提供意见和建议。来函请寄：九龙油麻地弥敦道 405 号

九龙政府合署 4 楼教育局课程发展处

总课程发展主任 (数学 )收传真： 3426 9265

电邮： ccdoma@edb.gov.hk

(5)

(6)

学习单位学习重点时间 数与代数范畴

1. 一元二次方程 1.1 以因式法解二次方程 1.2 由已知根建立二次方程

1.3 由绘画拋物线 y = ax²+ bx + c 的图像及读 取该图像的 x 截距解方程 ax²+ bx + c = 0 1.4 以二次公式解二次方程

1.5 理解二次方程的判别式与其根的性质之关系

1.6 解涉及二次方程的应用题

1.7 理解根与系数的关系及以此关系建立二次方程

1.8 欣赏数系（包括复数系）的发展 1.9 进行复数的加、减、乘和除运算

19

课程阐释：

学生在第三学习阶段学习单位 8「一元一次方程」已学会建立及解一元一次方程，并在学习单位 9「二元一次方程」懂得建立联立二元一次方程和以代数方法及图解法解联立二元一次方程。必修部分则要求学生能进一步解一元二次及其他较复杂的代数方程。

在本学习单位，学生须运用：

• 因式法

• 二次公式

• 拋物线 y = ax²+ b x + c 的图像

解一元二次方程 ax²+ b x + c = 0 ，并能由已知根建立一元二次方程。学 生须能选用合适的策略解二次方程。

图解法在学习重点 9.2 中有进一步的推广，教师应留意学习单位 9「续函数图像」的阐释。

学生须能解涉及二次方程的应用题，惟该等问题应尽量与学生经验有关。

(7)

至于可变换为二次方程的问题诸如 ₅

1 6

6 =

+ − x

x 及有关的应用题、以因式定理或由函数的图像解二次以上的方程等课题，则分别在学习单位 4「续多项式」、学习单位 5「续方程」和学习单位 9「续函数图像」内处理。本学习单位中所有二次方程的系数及学习重点 1.2 「由已知根建立二次方程」中的已知根，均只限于实数。

在表达方程的解时，由于第三学习阶段学习重点 4.3 中简单二次根式的四则混合运算属非基础课题，所以没有修读这些课题的学生，当以二次公式解诸如 x² − x4 −4=0 等二次方程时，无须简化诸如

2

2± 32 等根式。

除解二次方程外，学生须理解二次方程的判别式与其根的性质之关系。在

《课程及评估指引》中，「理解」的要求一般比「认识」高。例如，学习重点 1.5「理解二次方程的判别式与其根的性质之关系」意谓学生须懂得该关系的内容和该关系成立的理由，并能利用这关系作进一步的运算及解决问题。

由于在学习重点 1.8 中已引入复数，学生判断根的性质时，若判别式的值为负数，学生须指出「方程没有实根」，或更具体地说明「方程有两个非实根」，而非仅指出「方程没有根」或「方程有两个复数根」。不修读学习重 点 1.9（非基础课题）之学生，当以二次公式解二次方程时，无须以 a ± bi 的 形式表示非实根。

学生须理解根与系数的关系，包括：

• α + β = a

− b 和 α β =

ac ，其中 α 和 β 为方程 ax² + b x + c = 0 的根 且 a ≠ 0。

教师可与学生讨论或让他们探索其他根与系数的关系，例如 α +² β² 。然而，学生无须背念有关结果。

数学概念的发展并非一蹴而就，其过程往往受文化思想等因素影响，数系的发展亦不例外。教师可透过不同活动，如展板制作或阅读计划，让学生欣赏数系如何从自然数系发展到有理数系、实数系及复数系。例如，「为甚么古希腊毕达哥拉斯学派否认无理数的存在？」、「虚数为甚么要到十六世

(8)

论诸如数系的分层、有限位小数及循环小数的分数表示式、证明诸如 2 、

2 5 1+

等数为无理数等课题。

修读学习重点 1.9（非基础课题）的学生，须懂得进行复数的加、减、乘 及除的运算，其中复数只限于 a ± bi 这标准形式，而复数的极式、阿根图、 棣美弗定理，均不属课程所需。

有关如何运用共同建构式教学教授以二次公式解二次方程，可参考《课程及评估指引》，页 80– 81。

(9)

2. 函数及其图像 2.1 认识函数、定义域和上域、自变量和应变量的直观概念

2.2 认识函数的记法及运用表列、代数和图像方法来表达函数

2.3 理解二次函数图像的特征

2.4 以代数方法求二次函数的极大值和极小值

10

课程阐释：

学生在第三学习阶段学习重点 7.3 和 7.4 已初步认识数列的概念，而数列可视为函数的雏形。在本学习单位，学生须认识函数、自变量和应变量的直观概念，并能分辨函数与非函数的例子。此外，学生须认识定义域和上域的直观概念，因为它们在界定函数时是不可或缺的。学生须认识就算变量的关系固定，不同选取的定义域和上域会定义不同的函数，有时甚至会成为非函数。认识这两个概念将有助学生更深入地比较不同函数（见学习重点 3.4 的注释），但利用集合语言严格界定函数或表达值域，则不属课程所需。此外，复合函数亦不属课程所需。当学生接触诸如 f(x)=sinx² 的函数时，函数值的计算可视之为一系列连续的运算，如上例：先取平方、再取正弦。

教师在阐释函数的记法时，可引入哑变量的概念。表达函数的方式不拘一格，除可因应个别情况使用表列、代数和图像方法外，也可采用以下较直观的表达方式：

学生对函数有初步认识后，须进一步透过他们所熟悉的二次函数巩固有关

1 • • 2

(10)

• 顶点

• 对称轴

• 开口方向

• 与两轴的关系

学生须能从二次函数中 _x²项的系数，即首项系数，辨认其图像的开口方向， 由常数项找出 y 轴截距及利用有关的判别式判断图像与 x 轴是否相交。另 一方面，学生亦应能从二次函数的图像读出对称轴及顶点等资料。学生须理解二次函数图像的顶点与函数的极大值 / 极小值的关系，并能由此以图解法求二次函数的极大值 / 极小值。

修读学习重点 2.4（非基础课题）的学生，须能用代数方法，求二次函数的极大值 / 极小值，并解有关的应用题。除配方法外，教师亦可介绍其他代数方法，例如，对学习能力较高的学生，教师可引导他们从二次函数图像的特征，得悉 y= x² −2x 的顶点之 x 坐标为 1

2 = +β

α ，并代入 x = 1 得

出函数的最小值为 1² −2(1)=−1。至于利用求导法求极大值和极小值，则属延伸部分单元一或单元二中「求导法的应用」的其中一个学习重点，并不属必修部分所需。

此外，教师可引导学生进一步探索二次函数的系数与图像的其他关系。例如，从 αβ 所取的正负值，判断图像的两个 x 轴截点在 y 轴同侧还是异侧； 或从二次函数 y=ax² +bx+c的图像，判断 a、 b、 c 的值是 0、正或负。

(11)

3. 指数函数与对数函数

3.1 理解有理数指数的定义 3.2 理解有理指数的定律

3.3 理解对数的定义及其性质（包括换底公式）

3.4 理解指数函数与对数函数的性质及认识其图像的特征

3.5 解指数方程和对数方程

3.6 欣赏对数在现实生活情境中的应用 3.7 欣赏对数概念的发展

16

课程阐释：

在第三学习阶段学习单位 10「整数指数律」，学生已理解整数指数的概念， 包括 aⁿ、 a⁰和 a^–n（其中 n 为正整数）的定义。在这学习本单位，学生须 理解指数的定义如何由整数指数伸延至有理数指数，令指数定律在有理数指数仍大部分成立。学生须理解其他有理数指数的定义：Âⁿ aÊA、 aÂ

1 n^E

A 和 a^A

m n^E

A，

其中 a 为正实数， m 为整数和 n 为正整数。虽然学生在第三学习阶段已懂 得计算当 n 为奇数、 a 为负数时 Âⁿ aÊA（例如 Â³ –8ÊA ）的值，但 (–8)Â

1 3^E

A 的写法 则应避免。此外，学生须理解当 a 为负数时，指数定律并不适用。

学习重点 3.2 中的有理指数定律包括：

• a^pa^q = a^{p + q}

• _q^p a

a = a^{p − q}

• (a^p)^q = a^pq

• a^p b^p = (ab)^p

(12)

•

p p

p

b a b

a 



 



=

学习重点 3.3 中的对数性质包括：

• log a 1 = 0

• log a a = 1

• log a MN = lo g a M + lo g a N

• log a

N

M = l o g a M − log a N

• log a M^k = k lo g a M

• log b N =

b N

a a

log log

学生学习有理指数定律和对数性质时，须清楚理解其成立条件，例如 log a 1 = 0 中 a 须为正数且 a≠1 。

学生理解换底公式后，即能以计算器求得任意对数（例如 log₂3）的值。惟自然对数属延伸部分的学习重点，不属必修部分所需。

学习重点 3.2 中的指数虽然只局限于有理数，但学生须认识实数指数的定义是有理指数的进一步推广。推广的详情不属课程所需，但可作为学生进一步探索的有趣课题。此外，学生应留意指数函数的定义域为实数集，而对数函数的定义域为正实数集。后者的定义域与学生所熟识的二次函数不 同。教师亦可引导学生讨论当 a >1 或 0 < a < 1 时，指数函数（及对数 函数）的图像有何不同。学生须认识当 a >1（或 0 < a < 1）及实数 x 递增 时，函数 f (x) = a^x和 f (x) = log a x（其中 x > 0）递增（或递减）；y = a^x 与 y = lo g a x （其中 x > 0）的图像对称于 y = x。由于反函数的概念不属课 程所需，当讨论 y = a^x 与 y = lo gax 的图像之对称关系时，无须引入「反函数」这词。学生理解指数函数与对数函数的关系后，可进一步由指数函数的特征推导出对数函数的相关特征。教师可透过不同的例子，诸如

y=2x、 y=x² 和 y=x³，讨论函数图像递增 /减的快慢。

(13)

学习重点 3.5 主要涉及诸如 2^x = 5 或 l og3(x＋ 4 ) = 2 等简单方程。诸如 4^x − 3 ⋅ 2^x − 4 = 0 或 log2(x＋ 1)＋ log2(x－ 3 ) = 3 等可变换为二次方程的方程，则在学习重点 5.3 中处理。

在这学习单位，学生须理解指数函数及对数函数的概念。教师可考虑以现实生活例子或科学教育、科技教育学习领域相关学习元素，透过对诸如以黎克特制表示地震强度、以分贝表示声音强级等讨论，让学生欣赏对数在现实生活的应用并理解计算公式中采用对数的目的，以提升学生在真实或 STEM 相关情境运用数学知识和技能以至数学建模过程的能力和信心。学生可尝试采用不同的公式计算地震强度，但无须背念有关公式。

教师可透过不同活动，让学生体会在没有计算工具帮助下，进行复杂运算的困难，并由此引导学生讨论诸如对数概念发展的历史及如何以对数概念设计昔日的某些计算工具（例如：计算尺和对数表）等课题。

修读延伸部分单元一或单元二的学生，将会进一步学习指数函数和对数函数的其他性质及应用。

(14)

4. 续多项式 4.1 进行多项式除法 4.2 理解余式定理 4.3 理解因式定理

4.4 理解最大公因式和最小公倍式的概念 4.5 进行有理函数的加、减、乘和除

14

课程阐释：

学生在第三学习阶段学习单位 11「多项式」已学习多项式的加法、减法、乘法和简易多项式的因式分解，亦在第三学习阶段学习重点 13.1 掌握了只涉及分母为一次因式的积的代数分式的运算。在本学习单位，学生须进一步学习多项式的除法及较复杂的因式分解问题，亦会接触分母次数大于一的有理函数的运算。有理函数的加、减、乘、除，亦可视为多项式的四则混合运算。

长除法是进行多项式除法的一个标准程序。教师亦可向学生介绍其他方法，例如综合除法。至于多项式的繁复运算，则非本课程的重点。

学生须理解除法算式 f(x)=g(x)Q(x)+R(x) 的意义，及于 g(x)=ax+b 时如何推导出余式定理。进一步而言，因式定理可视为余式定理的一个特殊情况。在应用因式定理分解多项式时，教师可引导学生欣赏其功能（例如，解二次以上方程）及了解其局限性（例如，不是所有二次以上的方程都能有效地利用这个方法求解）。

学生须运用因式定理分解诸如 x³±a³的多项式，但无须背念有关 x³±a³因式分解的恒等式。

为衔接延伸部分，本单位以「有理函数」取代在第三学习阶段所采用的「代数分式」一词，惟学生无须在必修部分深入学习有理函数的性质。

(15)

在进行有理函数的加、减、乘、除和约简时，最大公因式和最小公倍式的概念颇为重要，因此学生对两者均须有充分理解。教师可与学生重温最大公因子和最小公倍数的概念。教授最大公因式（又称「最高公因式」）和最小公倍式（又称「最低公倍式」）时，教师可自由选用任何一个常见的简称， 例如， “H.C.F.” 、 “gcd” ，或以 “( a , b )” 表 a 和 b 的最大公因式。除选定一 个简称外，教师亦应介绍其他记法，方便学生阅读其他参考书籍。为避免过于繁复的计算，当进行有理函数的加、减、乘、除时，应只限于不多于两个变量的有理函数之运算。有理函数的除法包括诸如「 ₂ ¹ ₂

y

x − 除以 y

x+

1 」，惟过于繁复的运算并非本单位的重点。

(16)

5. 续方程 5.1 运用图解法解分别为二元一次及二元二次的联立方程，其中二元二次方程只限于 y = ax² + bx + c 的形式

5.2 运用代数方法解分别为二元一次及二元二次的联立方程

5.3 解可变换为二次方程的方程（其中包括分式方程、指数方程、对数方程和三角方程） 5.4 解涉及可变换为二次方程的方程之应用

题

10

课程阐释：

在第三学习阶段学习单位 9「二元一次方程」，学生已学会建立二元一次的联立方程，运用代数方法及图解法解二元一次的联立方程。在本学习单位，联立方程的类型将扩展至其中之一为二元二次方程，亦会延伸学习重点 1.6 的内容至涉及可变换为二次方程的方程之应用题。学生应留意分别为二元一次及二元二次的联立方程的解之数目，与两个方程均为二元一次方程时有何分别。

鉴于学生在必修部分无须学习诸如 x= y² −3y+6 或 xy + y² =1 等二元二次方程的图像，因此在学习重点 5.1 中利用图解法解联立方程时，其中二 元二次方程只限于 y = ax² + b x + c 的形式。至于使用代数方法解分别为二 元一次及二元二次的联立方程，则没有此限制。

学生处理可变换为二次方程的方程时，须留意解的合理性，例如，解方程 0

2 sin 5 sin

2 ²θ − θ+ = 时，学生须留意 sinθ =2 没有实解。此外，涉及三角函数的方程，其解只限于 0° 至 360° 的区间（参考学习重点 14.2）。

为提升学生的学习兴趣，教师在学习重点 5.4 中可多选取与学生经验有关的应用题。在讨论过程中，教师可引导学生发现解题方法的多样性。学生应探讨不同的解难策略，并能从中选择最恰当的方案。

(17)

6. 变分 6.1 理解正变和反变及其在解现实生活问题时的应用

6.2 理解正变和反变的图像

6.3 理解联变和部分变及其在解决现实生活问题时的应用

7

课程阐释：

在第三学习阶段，学生已透过学习单位 6「率、比及比例」认识正比例、反比例和量与量之间的某些关系。在学习单位 2「函数及其图像」，学生须学习函数的初步概念，认识变量与变量之间亦可有某些关系。本学习单位将进一步讨论不同形式的变量之间的关系，包括正变、反变、联变和部分变等概念及它们在日常生活中的应用。教师可考虑以现实生活例子或科学教育、科技教育学习领域相关学习元素，诸如利用变分处理数学建模的问题，以提升学生在真实或 STEM 相关情境运用数学知识和技能的能力和信心。

虽然学生在第三学习阶段已学习正比例和反比例，并运用它们来解应用题，惟学生未掌握以变分的概念来处理正比例和反比例，即正变为 y=kx 和反变为

x

y= k 。在讨论正变 y=kx 和反变 x

y= k 的图像时，教师可提示学生留意该两函数的定义域均可包含负实数。

学生在解决涉及部分变的问题时，往往须要运用解二次或以上方程的技巧。因此，在这单位前，学生须先修读学习单位 1「一元二次方程」和学习单位 4「续多项式」的内容。

(18)

7. 等差数列与等比数列及其求和法

7.1 理解等差数列的概念及其性质 7.2 理解等差数列的通项

7.3 理解等比数列的概念及其性质 7.4 理解等比数列的通项

7.5 理解等差数列和等比数列的有限项求和公式及运用该些公式解有关的应用题 7.6 探究某些等比数列的无限项求和公式及

运用该公式解有关的应用题 7.7 解现实生活中相关的应用题

17

课程阐释：

在第三学习阶段学习重点 7.3，学生已认识数列的概念。在本学习单位，学生须将进一步理解其中两类常见数列（等差数列和等比数列）的概念、性质、求和公式及其应用。

教师可引导学生讨论当 T1, T2, T3, … 为等差数列时，若 a 和 k 是任何 两个实数，数列 T1 + a , T2 + a , T3 + a, … 与数列 k T1 , k T2 , k T3, … 都是 等差数列，并由此得出数列 k T1 + a , k T2 + a , k T3 + a , … 亦必为等差数列。 学生亦应发现，当 T1, T2, T3, … 为等比数列及 k ≠0 时，数列 k T1 , k T2 , k T3 , … 亦必为等比数列。至于 0 , 0, 0, … 是否等差数列的讨论则不属必修部分所需。

教师可引入诸如 an = an - 1+k、 an = ran - 1、 an + 2 = an + 1+an等例子，让学生认识以数列中项与项之间的关系来表示该数列的方法。

处理涉及等差数列或等比数列求和的几何题时，学生可能须应用学习单位 14「续三角学」的内容，教师应留意有关学习单位的教学次序。

讨论等差数列的性质 Tn = ½ ( Tn–1 + Tn+1 ) 和等比数列的性质 Tn2 = Tn − 1 × Tn + 1

(19)

时，无须介绍「等差中项」和「等比中项」这两个名称。

学习重点 7.5 涉及等差数列或等比数列有限项求和的几何题。学习重点 7.6 可涉及等比数列的无限项求和的几何题。教师可考虑在学习重点 7.7 以现实生活例子或科学教育、科技教育学习领域相关学习元素，诸如涉及利息、增长或折旧的应用题，以提升学生在真实或 STEM 相关情境运用数学知识和技能的能力和信心。

(20)

8. 不等式与线性规画

8.1 解复合一元一次不等式 8.2 以图解法解一元二次不等式 8.3 以代数方法解一元二次不等式

8.4 在直角坐标平面上表示二元一次不等式的图像

8.5 解联立二元一次不等式 8.6 解线性规画应用题

16

课程阐释：

学生在第三学习阶段学习单位 14「一元一次不等式」已学习解一元一次不等式并以在数在线表示所求得的解。在本学习单位，学生须解涉及「和」或「或」的复合一元一次不等式、以图解法和代数方法解一元二次不等式、以图解法解二元一次不等式，及线性规画应用题。

在学习重点 8.1 中，教师应让学生发现将两个一元一次不等式的解画在同一条数在线时，数线一般可被分割成三个区域，藉此可以找出复合不等式 的解。学生须留意「 x > 3 及 x < 5」和「 x > 3 或 x < 5」的解并不相同。

学生在第一学习阶段学习单位 3S2「三角形」，已认识三角形任意两边长度之和大于余下的边的长度，惟未认识以不等式表达这关系。学生须在本学习单位透过解简单三角不等式的问题，巩固对解复合一元一次不等式的理解。

学生充分理解二次函数图像的特征后，须能以图解法解一元二次不等式。学生亦须以代数方法解一元二次不等式。

学生在第三学习阶段学习单位 9「二元一次方程」已充分掌握如何在直角 坐标平面上描绘线性方程的图像。学生亦理解二元一次方程（ ax + by +c =0，

(21)

二元一次方程，且直线外的所有点的坐标皆不满足该二元一次方程。因此，教师可藉此与学生进一步讨论二元一次不等式的解。在解二元一次不等式时，学生须判断二元一次不等式的解对应哪些由直线分割出来的区域，而试值法是学生较易掌握的其中一个方法。教师可使用信息科技，如动态几何软件，与学生讨论平面上的哪些点满足 /不满足二元一次不等式。

学习重点 8.5 要求学生运用图解法解联立二元一次不等式。至于运用代数方法解联立二元一次不等式，则不属课程所需。

教师教授学习重点 8.6 时，可考虑以现实生活例子或科学教育、科技教育学习领域相关学习元素，诸如利用线性规画解涉及数学建模的优化问题，以提升学生在真实或 STEM 相关情境运用数学知识和技能的能力和信心。教师亦应为学生提供讨论解题策略的机会。

(22)

9. 续函数图像 9.1 描绘及比较不同函数的图像，包括常值函数、线性函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数的图像

9.2 运用 y = f (x) 的图像解方程 f (x) = k

9.3 运用 y = f (x) 的图像解不等式 f (x) > k 、 f (x) < k 、 f (x) ≥ k 和 f (x) ≤ k

9.4 从表列、符号和图像的角度理解函数 f (x) 的变换，包括 f (x) + k 、 f (x + k) 、 k f (x) 和 f (kx)

11

课程阐释：

在学习单位 2「函数及其图像」，学生已初步认识函数的概念。在本学习单位，学生须进一步比较不同的函数的图像、透过图解法解方程和不等式，及理解函数变换的概念。

部分学生将诸如 y = 4 的数式只视为方程的解，且甚至不懂得在坐标平面 上描绘直线 y = 4 的图像。教师应向学生介绍「常值函数」的概念。不修 读学习单位 3「指数函数与对数函数」（非基础课题）的学生，无须讨论指数函数及对数函数的图像。当学生比较不同函数的图像时，须比较它们的定义域、极大值和极小值的存在性、对称性和周期性。

学生在学习重点 1.3 中已学会从读取 y=ax² +bx+c 的图像之 x 截距解二次 方程 ax² +bx+c=0 ，学习重点 9.2 要求学生能进一步运用拋物线

c bx ax

y= ² + + 和直线 y=k 两图像解一元二次方程 ax² +bx+c=k。例如，从 y=2x² −5x−1 的图像，学生除了须能解二次方程 2x² − x5 −1=0 外，亦须能够配合直线 y=3 的图像解二次方程 2x² − x5 −4=0。至于利用

1 5 2 ² − −

= x x

y 的图像解诸如 2x² − x6 +1=0 等二次方程，则不属课程所需。

学生须把在学习重点 8.2 中所习得的方法推广至二次函数以外的其他函数。

换句话说，即使 ² + +

(23)

的图像读出方程 f (x) = k 的解，然后利用 y = f (x) 的图像与直线 y = k 求不等式 f (x) > k 、 f (x) < k 、 f (x) ≥ k 和 f (x) ≤ k 的解。

学生在探讨函数的变换时，可先行利用表列的形式观察自变量与应变量之间的关系之变化，继而利用绘图软件比较经变换后函数图像的变化。教师 可鼓励学生运用由特殊到一般的数学思想方法，得出 y = f (x) + k 、 f (x + k) 、 k f (x) 、 f (kx) 的图像与原来的函数 y = f (x) 的图像之关系。讨论过程中教师 应着学生运用在第三学习阶段学习单位 26「直角坐标系」所学习的概念及 词汇（例如，平移、反射等）来描述图像的变化。教师在讨论 k f (x) 或 f (kx) 等变换时，应留意伸缩变换不属第三学习阶段课程所需。另一方面，教师亦应引导学生讨论函数图像的变换所引致函数及其代数式的对应变化，例如，学生须懂得 y= f(x) 的图像沿 x 轴作反射，变换后的图像可以用

) (x f

y=− 表示。函数中代数式的对应变化只限于 f (x) + k 、 f (x + k) 、 k f (x) 、 f (kx) 或其组合，换句话说，函数图像的旋转变换不属课程所需。

复合函数的概念不属课程所需，但诸如 y= x− ² +4 的图像可视为将 y= x² 的图像沿 x 轴作反射，然后再沿 y 轴向上平移 4 单位。

(24)

学习单位学习重点时间 度量、图形与空间范畴

10. 直线方程 10.1 理解直线方程

10.2 理解两直线相交的各种可能情况

7

课程阐释：

在第三学习阶段，学生在学习单位 9「二元一次方程」中，已理解二元一次方程的图像。本学习单位的学习重点 10.1 则要求学生在诸如以下的给定条件下，求直线的方程：

• 直线上任意两点的坐标

• 直线的斜率及该直线上一点的坐标

• 直线的斜率及其 y 截距

在学习单位 12「轨迹」，学生初步掌握轨迹的概念，并解决一些简单的轨迹问题。教师可引导学生从轨迹的角度，理解方程与图像的关系，进而求图像的方程及由方程理解对应图像的特质。

教师可因应学生的能力和需要，决定是否介绍「两点式」、「点斜式」和「斜截式」等名称，而各种直线方程的形式之间的转换则并非课程重点。然而，学生须由直线方程描述有关直线的特征，包括：

• 斜率

• 与两轴的截距

• 某点是否在该直线上

在学习重点 10.1 中，学生须认识斜率与倾角的关系。由于有关倾角可能涉及钝角的正切，教师应留意学生在学习此关系前，须具备学习单位 14「续三角学」内的有关知识。法线式不属课程所需。

学生在第三学习阶段的学习单位 9「二元一次方程」中，须解联立二元一次方程，并认识以代数方法，处理没有解、只有一个解，和有多于一个解的联立方程。故此，学生可进一步在学习重点 10.2 中，以图解法处理没有

(25)

解和有多于一个解的联立方程。

由于本学习单位的内容可作为其他高中学科，如物理科和经济科等的学习基础，为了顺利与其他学科间的横向连系，建议教师于中四首学期安排教授此学习单位。教师可考虑以现实生活例子或科学教育、科技教育学习领域相关学习元素，以提升学生在真实或 STEM 相关情境运用数学知识和技能的能力和信心。

(26)

11. 圆的基本性质 11. 1 理解圆上弦和弧的性质 11. 2 理解圆上角的性质

11. 3 理解圆内接四边形的性质

11. 4 理解四点共圆和圆内接四边形的判别法 11. 5 理解圆切线和其内错弓形的圆周角的性

质

11. 6 运用圆的基本性质作简单几何证明

23

课程阐释：

在第三学习阶段学习单位 19 至 24，学生已掌握几何的基本概念和证明，而内容以直线图形为主。在必修部分，学习范围将扩展到圆形，而学习历程则仍可从直观到演绎。例如，教师可利用动态几何软件，让学生自行探索圆的基本几何性质，然后在教师引导下尝试作出证明，藉此培养学生的探索精神及逻辑推理能力。有关如何运用探究式教学教授圆内接四边形的性质，可参考《课程及评估指引》，页 79。教师应在本学习单位中透过讨论相切、内切圆和外接圆的概念，衔接第三学习阶段学习单位 24「三角形的心」的学习。

在学习重点 11.1 至 11.3，学生须理解圆的基本性质。学生除须知道有关性质的内容及运用这些性质进行运算外，亦须理解这些性质成立的理由或证明。惟运用这些性质作其他几何证明则属非基础课题。

弧与所对的圆心角成正比例的性质已在第三学习阶段学习重点 16.1 讨论，但教师可提醒学生留意弦与所对的圆心角并非成正比例。

在学习重点 11.1，学生须理解以下圆上弦和弧的性质：

• 等弧所对的弦相等

• 等弦截取等弧

(27)

• 由圆心至弦的垂直线平分该弦

• 由圆心至弦（直径除外）的中点的联机垂直该弦

• 弦的垂直平分线经过圆心

• 等弦至圆心等距

• 与圆心等距的弦相等

学生须理解给出三个不共线的点，有而且只有一个圆经过这三点。

在学习重点 11.2，学生须理解以下圆上角的性质：

• 一弧所对的圆心角为该弧所对的圆周角的两倍

• 同弓形内的圆周角皆相等

• 弧与所对的圆周角成正比例

• 半圆内的圆周角为直角

• 若圆周角是一直角，则其所对的弦是一直径

在学习重点 11.3，学生须理解以下圆内接四边形的性质：

• 圆内接四边形对角互补

• 圆内接四边形的外角等于其内对角

在学习重点 11.4（非基础课题），学生须理解以下四点共圆和圆内接四边形的判别法：

• 若 A 和 D 为位于直线 BC 同一侧的两点，并且 ∠BAC = ∠BDC，则 A、

B、 C 与 D 四点共圆

• 若四边形有一对对角互补，则该四边形为圆内接四边形

• 若四边形的外角等于其内对角，则该四边形为圆内接四边形

在学习重点 11.5（非基础课题），学生须理解以下圆切线和其内错弓形的圆周角的性质：

• 圆的切线垂直于经过切点的半径

• 经过半径的外端且垂直于这半径的直线是圆的切线

(28)

• 经过切点且垂直于切线的直线经过圆心

• 由圆外一点至圆作两切线，则： - 由外点至切点的长度相等 - 两切线所对的圆心角相等

- 圆心与切线交点的联机平分两切线间的夹角

• 若直线与圆相切，则弦切角等于其内错弓形上的圆周角

• 若直线经过弦上一端点且与弦所成的角等于其内错弓形上的圆周角，则此直线与圆相切

在学习重点 11.6（非基础课题），学生须运用圆的基本性质作简单几何证明，当中所涉及的问题可不局限于本学习单位的内容。教师可因应学生的能力，加入涉及第三学习阶段所学到的几何知识的问题，诸如涉及四边形或三角形的心等的问题。

(29)

12. 轨迹 12.1 理解轨迹的概念

12.2 描述及描绘满足某些已知条件的点之轨迹

12.3 以代数方程描述点的轨迹

6

课程阐释：

教师可从日常生活的例子，例如行驶中汽车的照明灯和星流迹等的长时间曝光照片引入轨迹的概念。学生可利用动态几何软件，探究一点在已知条件下移动所成的轨迹，但学生亦须理解数学中的轨迹不一定涉及点的移动。例如，所有与某定点保持同样距离的点所成的轨迹是一圆。

在学习重点 12.2，学生须能以文字描述轨迹及描绘其图像，而在学习重点 12.3 ，学生须能以代数方程描述点的轨迹。在求轨迹方程的过程，学生须运用第三学习阶段中的知识，例如运用第三学习阶段学习单位 26「直角坐标系」中的两点距离公式，求与两固定点等距的点所成轨迹的方程。

在学习重点 12.2，学生须描述及描绘以下满足已知条件的点之轨迹：

• 与一点保持固定距离

• 与两点保持相等距离

• 与一直线保持固定距离

• 与两并行线保持相等距离

• 与两相交直线保持相等距离

在本学习单位中，学生须根据已知条件求轨迹为直线、圆和形式如 y = ax² + bx + c 的拋物线之方程。至于有关直线和圆的方程之详细讨论，则留

待学习单位 10「直线方程」和学习单位 13「圆方程」中进行。

(30)

13. 圆方程 13.1 理解圆方程

13.2 求直线与圆交点的坐标及理解直线与圆相交的各种可能情况

7

课程阐释：

在本学习单位，当处理有关圆方程的问题时可联系学习单位 11「圆的基本性质」的学习内容。

学生须在给定条件下，诸如：

• 圆心的坐标及半径的长度

• 圆上任意三点的坐标求圆的方程。

学生须由圆方程描述有关圆的特征，包括：

• 圆心

• 半径

• 某点在圆内、圆外或圆上

修读学习重点 5.2（非基础课题）的学生掌握使用代数方法解分别为二元一次及二元二次的联立方程。在学习重点 13.2（非基础课题），学生可藉此推断直线与圆相交有三种可能情况，从而利用二次方程的判别式判断已知直线与圆有多少个交点及求该圆的切线方程。此外，教师亦可引导学生利用平面几何的方法证明没有直线可与一圆相交多于两点。

(31)

14. 续三角学 14.1 理解正弦、余弦和正切函数及其图像和性质，包括极大值、极小值和周期性 14.2 解三角方程 a sin θ = b、a cos θ = b、a tan θ =

b（其解限于 0° 至 360° 区间）和其他的三角方程（其解限于 0° 至 360° 区间） 14.3 理解三角形面积公式 ½ absin C

14.4 理解正弦和余弦公式 14.5 理解希罗公式

14.6 理解投影的概念

14.7 理解一线与一平面的相交角和两平面的相交角

14.8 理解三垂线定理

14.9 解二维和三维空间中相关的应用题

25

课程阐释：

学生在第三学习阶段学习单位 27「三角学」已理解在直角三角形中锐角的正弦、余弦和正切。在这基础上，教师可介绍如何利用直角坐标平面上的单位圆定义三角函数，并介绍正角和负角。学生须能找出三角函数的极大值和极小值，且能从三角函数的图像找出其周期性，并根据函数的周期性简化含有 −θ 、 90° ± θ 、 180° ± θ …… 等的正弦、余弦和正切之数式。弧度法为延伸部分单元二的学习重点，不属必修部分课程所需。

学习重点 14.2 中解三角方程 a sin θ = b 、 a cos θ = b 、 a tan θ = b 属基础课 题，而解其他三角方程，如 _sin₂θ ₌₀_.₅、sinθ =2cosθ 、_tanθ ₋_cos(₉₀_°₋θ₎₌₀ 等，则属非基础课题。至于可变换为二次方程的三角方程，如

0 1 sin 5 sin

6 ²θ + θ + = 、 tanθ =cosθ 等，亦属非基础课题（见学习重点 5.3）。

学生在第三学习阶段学习单位 18「求积法」中，已认识一点在平面上的投

(32)

与平面上任意一条经过直线与平面交点的线垂直」，及认识一直线与一平面垂直的判别条件为「在该平面上有两条经过直线与平面交点的直线，与该直线垂直」。必修部分学习重点 14.6 将进一步讨论投影的概念，包括直线在一平面上的投影，这些概念有助学生理解学习重点 14.7 和 14.8。而学习重点 14.7 须包括倾角的概念，教师可引入最大斜率线的概念。

由于三垂线定理涉及解大量不同的三维空间应用题，学生须在学习重点 14. 8 理解以下三垂线定理及其证明：

直线 L 在平面 π 上的投影为一直线 L′，且 L 及 L′ 与 π 上一直线 L1 相 交于同一点。如果 L′与 L1互相垂直，则 L 与 L1 互相垂直；反之亦然。

在学习重点 14.9 中，学生须解三维空间中相关的应用题，包括求两直线的交角、直线与平面的交角、两平面的交角、点与点的距离、点与线的距离，和点与面的距离。

L

L1

π L′

(33)

学习单位学习重点时间 数据处理范畴

15. 排列与组合 15.1 理解计数原理的加法法则和乘法法则 15.2 理解排列的概念和记法

15.3 解不同对象的无重排列应用题 15.4 理解组合的概念和记法

15.5 解不同对象的无重组合应用题

11

课程阐释：

学生经过不同学习阶段，已对计数原理有直观的认识。在这学习单位，学生须对基本的计数原理有更深入的理解，包括在甚么时候应用加法法则或乘法法则。此外，透过排列与组合的学习，学生须能解决现实中较复杂的问题。

教师教授排列和组合的概念时，可选用任何一个常见的记法，如 P 、 _rⁿ nPr、

nPr 和 C 、 _rⁿ nCr、ⁿCr、 

 



 r

n 。除选定的记法外，教师亦应介绍其他记法，方便学生阅读参考书籍。

在本学习单位，学生须理解排列与组合两者的分别。学生亦须理解关系

n

C =r

! r P_rⁿ

及 C =_rⁿ C_nⁿ₋_r 。其他关于排列或组合较复杂的性质，如

n

C +r C_rⁿ₋₁=C_rⁿ⁺¹，则不属必修部分课程所需。

排列与组合问题千变万化。在本学习单位，学生只须解简单的排列和组合的应用题，例如「求对象的排列，其中三个指定对象必须相邻」。至于圆形排列及牵涉相同对象、重复排列或组合的应用题的计算，则不属课程所需。

(34)

16. 续概率 16.1 认识集合的记法，包括并集、交集和余集的记法

16.2 理解概率加法定律及互斥事件和互补事件的概念

16.3 理解概率乘法定律和独立事件的概念 16.4 认识条件概率的概念和记法

16.5 运用排列与组合解与概率有关的应用题

10

课程阐释：

学生在第三学习阶段学习单位 31「概率」已学习概率的基本概念，并能以数数方法求概率。在必修部分，学生须能以加法定律和乘法定律解决概率中较复杂的问题。而关于概率的更进一步问题则会在延伸部分单元一中处理。

为方便表达不同事件间的关系（包括互斥、互补和独立事件）、概率加法定律和乘法定律，本学习单位中的事件均以集合表示。因此，在学习学习重点 16.2 – 16.5 中的内容前，学生须对集合有基本的认识，其中包括以列举、描述及温氏图表示集合，并认识在概率问题中常见的空集、宇集、并集、交集和余集的概念及记法。至于这些概念的严格定义或集合运算的规律（例如德摩根律等）则不属必修部分课程所需。

在学习重点 16.2，学生须理解概率加法定律，即「 P (A ∪ B) = P (A) + P (B)

− P (A ∩ B) 」。

在学习重点 16.3，学生须理解概率乘法定律，即「 P(A ∩ B) = P(A) × P(B)，

其中 A 和 B 为独立事件。」。学生亦须理解「 P(A ∩ B) = P(A) × P(B)」可作 为独立事件的定义。学生不应以直观方法判断两件事件是否独立事件。

运用概率的加法定律及乘法定律时，学生须理解在某些特殊条件下，例如

(35)

A 及 B 为互斥事件时，这些定律的特例。同时，在引入乘法定律时，学 生须认识条件概率的概念和记法，并能解简单的条件概率问题。至于贝叶斯定理则会在延伸部分单元一中处理，不属必修部分课程所需。

在学习重点 16.4 中，学生须认识法则「 P(A∩B) = P(A)× P(BA)」。

修读学习单位 15「排列与组合」（非基础课题）的学生须运用有关的计数技巧解决与概率有关的应用题。

(36)

17. 离差的度量 17.1 理解离差的概念

17.2 理解分布域和四分位数间距的概念 17.3 制作及阐释框线图及运用框线图比较不

同组别的数据分布

17.4 理解分组数据和不分组数据的标准偏差之概念

17.5 运用合适的量度方法比较不同组别数据的离差

17.6 理解标准偏差在涉及标准分和正态分布的现实生活问题时的应用

17.7 理解下列情况对数据的离差之影响： (i) 对数据的每一项加上一个相同的常

数

(ii ) 对数据的每一项乘以一个相同的常数

13

课程阐释：

在第二学习阶段，学生已学习一个量度离散数据的集中趋势之简单方法 平均数。在第三学习阶段，学生学习量度不分组数据及分组数据的集中趋势的其他方法。在必修部分，学生须进一步认识到，在很多情况下，要描述数据分布，仅用集中趋势并不足够。学生除须理解离差、分布域、四分位数间距的概念，亦须懂得制作和阐释框线图（或称「箱形图」）。当给出一组不分组或分组的数据，学生须懂得计算它的标准偏差并理解其意义。此外，学生须能选择合适的量度方法，比较不同组别数据的离差。

由于「方差」这术语很常见，因此学生学习标准偏差时亦须认识「方差」这名称和方差等于标准偏差的平方。有关方差的运算则会在延伸部分单元一处理。必修部分中的标准偏差之公式及计算只限于总体标准偏差，即

(37)

N x

x₁ )² ( _N )²

( µ µ

σ − + + −

= 

。至于抽取样本以估计总体标准偏差的公式，则会在延伸部分单元一处理。

修读学习重点 17.6（非基础课题）的学生，须理解标准偏差的简单应用，即涉及标准分和正态分布的现实问题的应用。教师可考虑以现实生活例子或科学教育、科技教育学习领域相关学习元素，以提升学生在真实或 STEM 相关情境运用数学知识和技能的能力和信心。在计算过程中，学生无须查阅正态分布表或背念位于距离平均值 1、 2 或 3 个标准偏差范围内的数据之百分率。在学习重点 17.7（非基础课题），学生须透过探究数据组内，部分数据变化对离差的影响，从而对不同统计量的性质有更深入的认识。

(38)

18. 统计的应用及误用

18.1 认识抽取调查样本的不同技巧及制作问卷的基本原则

18.2 讨论及认识各种日常活动或调查中统计方法的应用和误用

18.3 评估从新闻媒介、研究报告等不同来源所获得的统计调查报告

4

课程阐释：

在小学及初中阶段，学生已有统计方法的经验，特别是搜集数据、表达及阐释统计图像和图表。学生应对统计量的概念有初步的认识。在高中，学生则须更全面地认识现实生活中的统计工作。

教师可透过日常生活例子介绍「总体」和「样本」的概念。学生须明白在日常统计工作中，抽取样本几乎无可避免，并认识抽取样本的不同技巧。在抽取样本的技巧方面，学生须认识概率抽样和非概率抽样的基本概念。然而，有关抽取样本的计算，如样本标准偏差的计算，则不属必修部分所需。问卷是常用的搜集数据方法之一。学生须认识在制作问卷时，哪些因素会对问卷的信度和效度产生影响，例如：问题的形式、用语和排序及响应的选择。

在第三学习阶段，学生对统计图像 /图表及集中趋势的应用和误用有足够的认识。在必修部分，学生须进一步讨论各种日常活动或调查中统计方法的应用和误用。这包括调查目的、采用的抽样方法、搜集数据的方法及分析方法等讨论。此外，学生须能更全面地分析从新闻媒介、研究报告等不同来源所获得的统计调查报告，其中包括分析搜集数据的抽样方法、问卷的设计、数据的整理及表达、统计分析和推论等，从而让学生整合由不同学习阶段所习得的统计知识。

(39)

学习单位学习重点时间 进阶学习单位

19. 进阶应用解较复杂的现实生活和数学应用题，并在解题过程中寻找能提供解题线索的数据，探究不同的解题策略或综合不同数学环节的知识

主要焦点为：

(a) 探究及解现实生活中较复杂的应用题 (b ) 欣赏不同数学环节间的关连

14

课程阐释：

本学习单位与其他学习单位内的数学应用课题不同，重点不在于学习某些固定的数学知识，而是透过探究及解决现实生活中较复杂的应用题，让学生欣赏不同数学环节间的关连，并培养学生灵活综合运用不同学习单位的知识和技巧之能力。教师可考虑以现实生活例子或科学教育、科技教育学习领域相关学习元素包括数学建模，以提升学生在真实或 STEM 相关情境运用数学知识和技能的能力和信心，诸如《课程及评估指引》，页 31 − 32 中的例子：

• 解诸如税、分期付款等财务上的简单应用题

• 分析及阐释由调查得到的数据

• 探究及阐释与现实生活情境有关的图像

• 探究托勒密定理及其应用

• 为两组线性相关性较强的数据建模，以及探讨如何将诸如

y = m x + c 和 y = k a^x 等简单的非线性关系变换为线性关系

• 探究斐波那契数列与黄金比之间的关系

• 欣赏密码学的应用

• 探究塞瓦定理及其应用

• 分析数学游戏（例如：探究注水问题的通解）

教师可因应学生能力及需要选择其他更适合他们的课题。此外，教师应让学生尝试自行寻找能提供解题线索的数据和探究不同的解题策略，而不宜给与他们太多的提示。

(40)

学习单位学习重点时间 进阶学习单位

20. 探索与研究通过不同的学习活动，发现及建构知识，进一步提高探索、沟通、思考和形成数学概念的能力

10

课程阐释：

本学习单位旨在提供更多学习空间，让学生在学习其他学习单位的内容时，能参与更多有助发现及建构知识、提高探索、沟通、思考和形成数学概念的能力之活动。换句话说，这并非一个独立和割裂的学习单位，活动可在课堂中引起动机、发展、巩固或评估等不同环节进行。有关的活动可以是跨学习单位的活动和建基于数学课题的跨学习领域活动。

教师可利用本学习单位的课时安排具意义的数学探究活动以至跨学习领域

（包括涉及 STEM 教育）的学与教活动，例如透过数学建模的概念制造机会予学生综合运用在数学科掌握到的知识和技能，以数学语言描述和分析现实情境的问题，并尝试解决问题。

高中数学课程阐释 :

教育局 课程发展处 数学教育组

高中数学课程阐释 :

目 录

前 言

教育局课程发展处数学教育组

目录

前言