高等数学

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

第5章 空间解析几何

高等数学A

5.4 平面与空间直线

5.4.1 平面的点法式方程 5.4.2 平面的一般方程 5.4.3 两平面的夹角

5.4.4 空间直线的一般方程

5.4.5 空间直线的对称式方程与参数式方程

5.4 平面与空间直线

平面的点法式方程

平面及其方程

引 例

习例1-2

平面的一般式方程 习例3-5

两平面的夹角 习例6-7

空间直线及其方程

引 例

空间直线的一般式方程

空间直线的对称式方程与参数方程 习例8-10

平

面 与

空 间

直

线

引例：在空间直角坐标系中，平面具有什么特征？

决定一个平面的要素是什么？

1、两条相交的直线决定一个平面；

3、两条平行的直线决定一个平面。

2、三个不共线的点决定一个平面；

一、平面及其方程

4、任给空间中某一点，及某一方向，过该定点且垂 直于给定的方向可且只可做一个平面。

以上哪种确定方式易于在空间直角坐标系中用解析式表示？

1. 平面方程引例

x

y z

o M0

如果一非零向量垂直于 M

一平面，这向量就叫做该 平面的法向量．

法向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．

已知 n  {A, B, C},

), ,

,

( _{0 0 0}

0 x y z

M

设平面上的任一点为 M(x, y, z) n

M

M₀  

必有  _{M0M  n}^ _{ 0}

2. 平面的点法式方程 n

} ,

,

{ _{0 0 0}

0M x x y y z z

M    



0 )

( )

( )

(  ₀   ₀   ₀ 

 A x x B y y C z z

平面的点法式方程

平面上的点都满足上方程，不在平面上的 点都不满足上方程，此方程称为平面的方程，

平面称为方程的图形．

其中法向量 n  {A,B,C},

已知点 (x₀, y₀, z₀).

平面点法式方程习例

例 1 求过三点A(2,1,4)^、B(1,3,2)^和 )

3 , 2 , 0 (

C 的平面方程.

例 2 求过点(1,1,1)^{，且垂直于平面}x  y  z  7^和 0

5 12

2

3x  y  z   _{的平面方程.}

例 1 求过三点A(2,1,4)^、B(1,3,2)^和 )

3 , 2 , 0 (

C 的平面方程.

解 AB  {3, 4,6} } 1 , 3 , 2

{ 

 AC

取 n  AB AC

}, 1 , 9 , 14

{ 



所求平面方程为 14(x  2)  9( y  1)  (z  4)  0,

化简得 14x  9 y  z  15  0.

一般地，设平面  过 M₁, M₂, M₃ 三点, M₁, M₂, M₃ 不共线. 即 _{M M1 2  M M1 3  0.}

则得平面方程为： _{( ) 0,}

3 1

2 1

1M  M M  M M  M

即

平面的三点式方程

特别,当平面与三坐标轴的交点分别为

此式称为平面的截距式方程.

1



 c z b

y a

x

时,

) 0 ,

,

(a b c 

bc a

x )

(   y(a)c  zab  0 abc

bz a acy

bcx   

平面方程为

分析:利用三点式

按第一行展开得

即



0

x  y z

 a b 0

 a 0 c

例 2 求过点(1,1,1)^{，且垂直于平面}x  y  z  7^和 0

5 12

2

3x  y  z   _{的平面方程.}

}, 1 , 1 , 1

1  { 

n

} 12 ,

2 , 3

2  { 

n

取法向量 n  n₁  n_{2 {10,15,5},}

, 0 )

1 (

5 )

1 (

15 )

1 (

10 x   y   z  

化简得 2x  3 y  z  6  0.

所求平面方程为 解

由平面的点法式方程

0 )

( )

( )

(x  x₀  B y  y₀  C z  z₀  A

0 )

( ₀  ₀  ₀ 







 Ax By Cz Ax By Cz

 D

 0





 By Cz D

Ax ^{平面的一般方程}

法向量 n  {A,B,C}.

3. 平面的一般方程

平面一般方程的几种特殊情况：

, 0 )

1

( D  平面通过坐标原点；

, 0 )

2

( A 







 , 0

, 0 D

D _{平面通过 轴；} x

平面平行于 轴； x

, 0 )

3

( A  B  平面平行于 坐标面； xoy

类似地可讨论 情形. A  C  0, B  C  0 0

,

0 

 C

类似地可讨论 情形. B

 0





 By Cz D

Ax

平面一般式方程习例

例3 指出下列平面的位置特点，并作出图形:

(1)x+y=4; (2)z=2.

例 4 设平面过原点及点(6,3, 2)^{，且与平面} 8

2

4x  y  z  垂直，求此平面方程.

例 5 求平行于平面6x  y  6z  5  0^{而与三个坐}

标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.

例3 指出下列平面的位置特点，并作出图形:

(1)x+y=4; (2)z=2.

解 (1)式中不含z,所以 平面平行于z轴

(2) z=2表示过点(0,0,2)且 垂直于z轴的平面

例 4 设平面过原点及点(6,3,2)^{，且与平面} 8

2

4x  y  z  垂直，求此平面方程.

设平面为 Ax  By  Cz  D  0,

由平面过原点知 D  0,

由平面过点(6,3,2)^知 6A  3B  2C  0 },

2 , 1 , 4 { 

 n

 4A  B  2C  0 3 ,

2 C B

A   



. 0 3

2

2x  y  z 

所求平面方程为 解

例 5 求平行于平面6x  y  6z  5  0^{而与三个坐}

标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.

设平面为    1, c

z b

y a

x

x

y z

, o

 1

V ^{1 1 1,}

3 2 abc

  

由所求平面与已知平面平行得

6 , 1 1

1 6

1a  b  c

（向量平行的充要条件）

解

6 , 1 1

6 1

c b

a  

化简得 令 t

c b

a    6

1 1

6 1

6 , 1 a  t

 1,

b  t , 6

1 c  t

1 1 1 1 1 6 6t t 6t

    

代入体积式 1 ,

t 6

  1

6 ,

  t

1, 6, 1,

a b c

      

6x  y 6z  6.

所求平面方程为

我们目前已对平面本身的解析关系描述得 较清楚了. 现在讨论两平面间的关系.

一般说来，两平面的关系有以下几种 两平面平行不重合.

两平面平行重合.

两平面不平行相交

两平面法向一致但无交点

两法向一致且有交点

两平面垂直

相交但不垂直 ^{两法向不共线}

也不垂直

桥梁 法向夹角 4. 两平面的夹角

定义 （通常取锐角）

1

n1

2

n2



两平面法向量之间的夹角称为两平面的 夹角.

, 0

: _{1 1 1 1}

1    

 A x B y C z D

, 0

: _{2 2 2 2}

2    

 A x B y C z D }, ,

,

{ _{1 1 1}

1 A B C

n 

}, ,

,

{ _{2 2 2}

2 A B C

n 

按照两向量夹角余弦公式有

2 2 2

2 2

2 2

1 2

1 2

1

2 1 2

1 2

1 |

cos |

C B

A C

B A

C C B

B A

A













 



两平面夹角余弦公式 两平面位置特征：

2

) 1

1

(    A₁A₂  B₁B₂  C₁C₂  0;

2

) 1

2

( 

//

2 1 2

1 2

1

C C B

B A

A  



平行不重合

重合

A₁:A₂=B₁:B₂=C₁:C₂ D₁:D₂; A₁:A₂=B₁:B₂=C₁:C₂= D₁:D₂ . 特殊情形：

两平面的夹角习例

例6 研究以下各组里两平面的位置关系：

0 1

3 ,

0 1

2 )

1

(  x  y  z   y  z  

0 1

2 2

4 ,

0 1

2 ) 2

( x  y  z    x  y  z   0 2

2 2

4 ,

0 1

2 ) 3

( x  y  z    x  y  z  

例 7 设P₀(x₀, y₀, z₀ )^是平面Ax  By Cz  D  0 外一点，求P₀到平面的距离.

例6 研究以下各组里两平面的位置关系：

0 1

3 ,

0 1

2 )

1

(  x  y  z   y  z  

0 1

2 2

4 ,

0 1

2 ) 2

( x  y  z    x  y  z   0 2

2 2

4 ,

0 1

2 ) 3

( x  y  z    x  y  z  

解 (1)

2 2

2 2

2 2 ( 1) 1 3

) 1 (

| 3 1

1 2

0 1

cos |























 



60

cos



60 arccos 1

 

) 2

( n₁  {2,1,1},

} 2 , 2 , 4

2  { 

n 2 ,

1 2

1 4

2

 

 

  两平面平行

2 1 (1,1,0)

) 0 , 1 , 1

(  M  

 M

两平面平行但不重合．

) 3

( ¹

2

2 1 1

= ,

4 2 2

D D

 

 



两平面重合.



例 7 设P₀( x₀ , y₀ , z₀ )^是平面Ax  By  Cz  D  0 外一点，求P_{0到平面的距离.}





 P₁(x₁, y₁, z₁)

| Pr

| j P₁P₀ d  _n

1 

P N

n

P0



0 0

1 0

Pr j_nP1P  P P  n

} ,

,

{ _{0 1 0 1 0 1}

0

1P x x y y z z

P    

解



















 

2 2

2 2

2 2

2 2

2

0 , ,

C B

A

C C

B A

B C

B A

n A

0 0

1 0

Pr j_nP1P  P P  n



2 2

2

1 0

2 2

2

1 0

2 2

2

1

0 ) ( ) ( )

(

C B

A

z z

C C

B A

y y

B C

B A

x x

A





 





 





 

) , (

2 2

2

1 1

1 0

0 0

C B

A

Cz By

Ax Cz

By Ax













 

1 0

1

1  By  Cz  D 

 Ax ( P₁  )

0  Pr j_nP1P

 ⁰ ₂ ⁰ ₂ ⁰ ₂ ^,

C B

A

D Cz

By Ax











|.

|

2 2

2

0 0

0

C B

A

D Cz

By d Ax









 



点到平面距离公式

引例：直线具有什么特征？如何确定一条直线？

F

二、 空间直线及其方程

(1)任意一条直线都可以看成是两个平面的交线；

(3)过一个点且与一个非零向量平行决定唯一一条直线.

(2)直线上任意两点的连线与一固定向量平行；

1. 空间直线方程引例

x

y z

o

1

2

定义 空间直线可看成两平面的交线．

0

: _{1 1 1 1}

1    

 A x B y C z D

0

: _{2 2 2 2}

2    

 A x B y C z D





















0 0

2 2

2 2

1 1

1 1

D z

C y

B x

A

D z

C y

B x

A

空间直线的一般方程

L

2. 空间直线的一般方程

• 通过空间直线L的平面有无数多 个，从中任两个方程联立，均表示 空间直线L。

L

L

x

y z

o 方向向量的定义：

如果一非零向量平行于 一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量．

s _L

), ,

,

( _{0 0 0}

0 x y z

M

M0

  M

, L M 



), , ,

(x y z M

s M

M 

0

//

}, ,

,

{m n p s 

} ,

,

{ _{0 0 0}

0M x x y y z z

M    

3. 空间直线的对称式方程与参数方程

p z z

n y y

m x

x  ₀   ₀   ₀

直线的对称式方程

p t z z

n y y

m x

x  ₀   ₀   ₀ 

令

 

 















pt z

z

nt y

y

mt x

x

0 0

0 直线的一组方向数

方向向量的余弦称为 直线的方向余弦.

直线的参数方程

0 0 0

x x y y z z

m n p

  

 

0

0 0

, , 0 , 0

0

m n p m

x x

y y z z

m p



 



 

 



中有一 例如

方程 理

此 解

当 个为 时

时 应 为

说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.

0 0

, , 0 , 0, 0

0 0

m n p m n

x x y y

 

 

   此 

中有 例如

方程 理解

当 两个为 时

时 应 为

即直线方程为

0 0

x x y y

 

 

0 0 0

0 0

x x y y z z

p

  

 

应理解为

空间直线方程习例

例8 用对称式方程及参数方程表示直线

0. 4

3 2

0 1





















z y

x

z y

x

1 1 1 1 2 2 2 2

9 ( , , ) ( , , )

.

M x y z M x y z

例 求 和

的直 的方程 过两点 线

例 10 一直线过点

^，且和

轴垂直相

交，求其方程.

例8 用对称式方程及参数方程表示直线

0. 4

3 2

0 1





















z y

x

z y

x

解 在直线上任取一点 ( x₀, y₀,z₀ )

取 x₀  1 , 0 6

3

0 2

0 0

0 0















 

z y

z y

解得 y₀  0, z₀  2

点坐标 (1,0,2),

因所求直线与两平面的法向量都垂直 取 s  n1  n2 _{ {4,1,3},}

对称式方程 ,

3 2 1

0 4

1



 



 

 y z

x

参数方程 .

3 2

4 1





















t z

t y

t x

解题思路: 先找直线上一点;

再找直线的方向向量.

特例: 若直线的一般式方程中缺少变量，则可直接 变形为点向式方程及参数式方程，例如

3 2 5 0

3 4 0

x y y z

  

   



1 1 2 3

1 1 3

x y

y z

 

 

 

    



3 3 2 2

1 3 3

x y

y z

   

    

1 1 1 2 3 1 x  y  z 

  

 

1 2 1 3

1

x t

y t

z t

  

   

   



1 1 1 1 2 2 2 2

9 ( , , ) ( , , )

.

M x y z M x y z

例 求 和

的直 的方程 过两点 线

. ,

) ,

, (

1 2

1 1

2

1 1

2

1

1 2

1 2

1 2

2 1

称为直线的两点式方程 方程为

过这两点的直线 由直线的标准方程可知

可以取两点的方向向量 解

z z

z z

y y

y y

x x

x x

z z

y y

x x

M M

s



 



 













 

例 10 一直线过点

^，且和

轴垂直相 交，求其方程.

解 ^{因为直线和}y 轴垂直相交, 所以交点为 B(0,3, 0),

取 s  BA

}, 4 , 0 , 2

 {

所求直线方程 .

4 4 0

3 2

2 

 

  y z x