100學年度高二下第三次定期考

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定期考優良試題推介

─ 100

學年度高二下第三次定期考

教育部高中數學學科中心試題研發小組

報告撰寫：國立南科實驗高中王志誦老師指導教授：國立臺灣師範大學數學系陳昭地教授、洪有情教授、張幼賢教授、朱亮儒教授小組成員：臺北市立建國高中曾政清老師、國立基隆女中沈燈賢老師、臺北市立北一女中蘇麗敏老師、國立武陵高中謝文斌老師、國立新竹高中褚雨蓓老師、國立新竹女中張寶文老師、國立竹南高中李政豐老師、國立臺中一中李吉彬老師、國立員林高中黃駿耀老師、國立北港高中蕭民能老師、國立新豐高中王人傑老師、國立臺南一中蕭健忠老師、國立高師大附中歐志昌老師、國立屏東女中蔡欣蓉老師、國立南科實驗高中王志誦老師

前言

定期考優良試題推介轉眼即將屆滿兩年，此次循前例選出15 間學校高二下期末考試題，將試題交由數學學科中心試題研發小組成員共同研究討論，選出基礎重要試題29 題、新穎試題 11 題，共計 40 題，並在此次選題中對各校題目給出修題建議，同時請各位先進參考題目時特別注意高二下期末考數學分為 A、B 兩版，B 版所增加的題材試題已加註◎號。另外部分題目仍期盼各位先進能夠在敘述上有所斟酌，前幾次試題推介都有提到: 若題型為單一選項正確的多選題，則敘述宜為「下列何者正確？」　　若題型為多答案的多選項，則敘述宜為「下列哪些選項是正確的？」　　選擇題的敘述結尾「為？」，宜完整敘述「為何？」　　填充題之敘述「試求…」，建議改以「則…」較佳。另外為了配合大考的選項設定習慣，此次建議用(1)(2)(3)(4)(5)取代(A)(B) (C)(D)(E)。選題時僅對 16 所高中之個別試題設計選出基礎重要、新穎試題，並未考量整份考卷的整體性與鑑別度，請教師仍需自行規劃使用方式。選題過程難免有疏漏與不周延之處，懇請各位先進不吝指教。最後感謝國立新豐高中王人傑主任、國立高師大附中歐志昌主任協助校閱，以及高中各校大力配合，提供定期考試題供學科中心小組討論，謝謝!

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正選試題

A. 基礎重要試題

1. 如圖所示，拋物線造型的鋼拱全長 80 公尺，中央鋼柱的高度為 20 公尺，求距離鋼拱中央 30 公尺處的鋼柱高度為__________公尺參考答案：出處：慈大附中修題建議：題目敘述修改用字為：「……，則距離鋼拱中央…...」。 2. ◎將橢圓 2 2 1 4 9 x _ y _ 上所有的點以二階方陣 0 1 1 0 A_{ }  _   _作線性變換，得一新的橢圓，求此橢圓方程式為____________. 參考答案：出處：慈大附中修題建議：題目敘述修改用字為：「……，則此橢圓方程式為_________ _.」。 3. 一雙曲線其方程式為









2 ₂ 2 ₂ 5 5 6 x y  x y  , 求此雙曲線的 (1) 共軛軸長 (2) 正焦弦長 (3) 若 P 點位於雙曲線上，且使得PF F1 2_{為一等腰三角形(}F F1, 2 _{為雙曲線的} 兩個焦點)，求PF F1 2的周長 (4) 承(3), 求PF F1 2_的面積參考答案：出處：慈大附中修題建議：建議刪除(2)正焦弦長。題目敘述修改用字為：

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「一雙曲線的方程式為









2 ₂ 2 ₂ 5 5 6 x y  x y  , 請回答下列問題: (1) 共軛軸長...」。 4. (多選)若拋物線x ay 2by c 通過點(0,1)﹐且其圖形如下圖所示，則下列各數哪些為負數？ (1)a (2)b (3)c (4)b2 4ac (5)a b c  . 參考答案：(1)(2) 出處：泰山高中 5. (單選)設一圓通過

 

5,0 , 且與中心在



5,0



、半徑為 4 的圓相切，試求此圓圓心的軌跡所成的圖形為何？ (A)圓 (B)橢圓 (C)拋物線 (D)雙曲線 (E)一直線參考答案：(D) 出處：竹北高中修題建議：選項敘述修改用字為：「已知圓 C 的圓心



5,0



、半徑為 4，則通過(5,0)且與圓 C 相切的圓其圓心軌跡所成的圖形為何？ (1)圓 (2)橢圓 (3)拋物線 (4)雙曲線 (5)一直線」。 6. (多選)已知一雙曲線的共軛軸平行於 y 軸,兩漸近線交於點 (1, 2) , 而且點

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在雙曲線上，則下列哪些點也一定在此雙曲線上？ (A) ( 1, 1)  (B)(5,3) (C)(3, 1) (D)(3, 5) (E)( 2, 3)  參考答案：(A)(C) 出處：竹北高中修題建議：題目敘述修改用字為：「(1) ( 1, 1)  (2)(5,3) (3)(3, 1) (4)(3, 5) (5)( 2, 3)  」。 7. ◎坐標平面上,圓 C：x2 (y1)2  經過二階方陣1 5 0 0 3      _{ 變換後成為橢} 圓 Γ，則 Γ 在第一象限的焦點坐標為 . 參考答案：(4,3) 出處：竹北高中

8. A(2,0), B(–2,0), P(x,y), 若△PAB 之周長為 10, 且△PAB 之面積為 4, 則 2 2 x  y _{ .} 參考答案： 29 5 出處：竹北高中修題建議：題目敘述修改用字為：

「給定 A(2,0), B(–2,0), P(x,y), 若△PAB 之周長為 10, 且面積為 4, 則x2 y2  」。

(5)

9. (多選)如圖，在直角坐標平面上，分別以A



3, 0



, B

 

3,0 為圓心，依 1 單位、2 單位、3 單位、……、7 單位，做一系列的同心圓。若P a b



,



為其中兩個圓的交點，則下列哪些選項是正確的？ (1)△ABP為等腰三角形 (2)





2 ₂ 3 36 a b  ₍₃₎





2 ₂ 3 16 a b  (4) 2 2 1 25 16 a b   (5) 2 2 ₁ 9 b a   參考答案：(1)(2)(3)(4) 出處：弘文高中修題建議：題目敘述修改用字為：「(多選)在直角坐標平面上，分別以A



3, 0



, B

 

3,0 為圓心，依 1 單位、2 單位、3 單位、……、7 單位，做一系列的同心圓。若P a b



,



為其中兩個圓的交點，如圖所示，則下列哪些選項是正確的？」。 10. ◎設 1 2 2 5 A_{ } _  _{為一線性變換，在 A 的變換下，直線}L: 2x3y 5 0_變換後的直線方程式為 . 參考答案：16x7y  5 0 出處：弘文高中修題建議：題目敘述修改用字為：「在矩陣

[

1 2

2 5

]

_{的變換下，直線}L: 2x3y 5 0_{變換後的直線方程式為} . 」。

(6)

11. 已知一拋物線的對稱軸平行 x 軸，且過



2,1 , 3, 2 , 5, 2

   

 



三點，試求此拋物線的焦點 . 參考答案： 23 , 1 4 _ _      出處：弘文高中修題建議：題目敘述修改用字為：「…，則此拋物線的焦點為 .」。 12. 某一行星運轉軌道為一橢圓，且以太陽為焦點，設此行星與太陽最近距離為 100 萬公里，最遠距離為 900 萬公里，當行星與太陽連線和橢圓長軸成60夾角時，如圖所示，試問此時行星與太陽的距離為________萬公里。參考答案：300 出處：弘文高中修題建議：題目敘述修改為：「…，如圖所示，此時行星與太陽的距離為萬公里。」。 13. (多選)坐標平面上，





2 ₄ y  x y _的圖形_ , 下列何者為真？ (1) 頂點是原點 (2) 對直線y 對稱2 (3) 的圖形在直線x 2的右方 (4) 的圖形經過平移、伸縮後可以和y2 2012x重合參考答案：(2)(3)(4) 出處：臺中一中

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修題建議：題目敘述修改用字為：「坐標平面上，關於y2 4



x y



的圖形 ，下列哪些敘述是正確的？」。 14. (多選) 平面上有一 OPQ , 其中O

     

0,0 ,P 1, 2 ,Q 3,5 . 若 a b A c d       



A I



_{所定義的平面變換將 OPQ} _{變換至本身，則下列敘述哪些正確？} (1) 1 a b c d  (2) O 經 A 所作用的像為 O (3) PQ中點經 A 所作用的像仍為PQ中點 (4) a b c d    13 參考答案：(2)(3)(4) 出處：臺中一中 修題建議：題目敘述修改用字為：「(2) 點 O 經 A 變換後仍為點 O」。 題目敘述修改用字為：「(3)PQ中點經 A 變換後仍為PQ中點」。 15. (多選) 已知坐標平面上三點 A（3 0﹐ ）, B（－3 0﹐ ）, P（x﹐y）, 下列 敘述哪些正確？ (A)若PA PB 2AB, 則 P 點的軌跡是一個橢圓 (B)若PA 2PB，則 P 點的軌跡是一個圓 (C)若PA PB 6, 則 P 點的軌跡是一個點 (D)若 PA PB , 則 P 點的軌跡是一條直線 (E)若 PA PB 7, 則 P 點的軌跡是一雙曲線參考答案：(A)(B)(D) 出處：臺中二中修題建議：建議選項用(1)(2)(3)(4)(5)

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16. (多選) 右圖中每個方格的邊長為 1. 一拋物線的焦點為 F﹐頂點為 V﹐下 列哪些點也在此拋物線上﹖ (A) A (B) B (C) C (D) D (E) E 參考答案：(A)(C) 出處：臺中二中修題建議：題目敘述修改用字為：「(多選) 如圖所示，每個方格的邊長為 1. 若一拋物線的焦點為 F﹐頂點為 V﹐則下列哪些點也在此拋物線上﹖ (1) A (2) B (3) C (4) D (5) E 」。 17. (多選) 坐標平面上，關於雙曲線的敘述，下列哪些正確？ (A)雙曲線恰可決定兩支拋物線 (B)等軸雙曲線的漸近線為x y 0,x y 0 (C)兩相異雙曲線具有相同的漸近線與 c 值，則此兩雙曲線為共軛雙曲線 (D)兩共軛雙曲線上分別取一點到其漸近線的距離乘積必定相同 (E)等軸雙曲線的漸近線必定互相垂直參考答案：(A)(B)(C)(D)(E) 出處：臺中二中修題建議：建議選項用(1)(2)(3)(4)(5)，題目敘述修改用字為：「(C)兩相異雙曲線具有相同的漸近線且兩焦點距離相等，則此兩雙曲線為共軛雙曲線」。 18. 在拋物線y2 8x上有一點 P 使得 P 到焦點 F 與定點 A（3 5﹐ ）之距離和 PF PA _{最小，求此最小值為 .}

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參考答案： 26 出處：臺中二中修題建議：題目敘述修改用字為：「…, 則此最小值為」。 19. 設 k 為常數，若方程式 2 2 2 _{1 6} 1 x y k   k  _{表一橢圓，且與橢圓} 2 2 1 75 24 x y   有相同的焦點，試求 k 之值為 . 參考答案：8 出處：臺中二中 修題建議：題目敘述修改用字為：「...，則 k 之值為 . 」。 20. 設F F 是雙曲線1, 2 2 2 1 9 16 x _ y _ 的兩焦點，若 P 為上一點使得F F P 三1, ,2 點形成一直角三角形，試問PF F1 2_{的面積可能為 .} 參考答案：16 或 80 3 出處：臺中二中修題建議：題目敘述修改用字為：「…，則 PF F1 2_{的面積可能為} .(兩解) 」。 21. (單選)以 F ( 1 , 0 ) 為焦點，以 L：x＝－1 為準線的拋物線通過哪些象限？ (A) 一、二象限 (B) 二、三象限 (C) 三、四象限 (D) 一、四象限 (E) 四個象限參考答案：出處：斗六高中修題建議：建議選項用(1)(2)(3)(4)(5)。題目敘述修改用字為：「以F ( 1 , 0 ) 為焦點，直線 x＝－1 為準線的拋物線通過哪些象限？」。 22. (單選)已知雙曲線－＝1 上一點 P 到其中一焦點 F 的距離為 4，那麼 P 到 另一焦點 F'的距離為 (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 10 (E) 12 參考答案：

(10)

出處：斗六高中修題建議：建議選項用(1)(2)(3)(4)(5) 題目敘述修改用字為：「到另一焦點 F'的距離為何? 」。 23. (多選)關於雙曲線









2 ₂ 2 ₂ 5 5 8 x y  x y  , 下列選項何者正確？ (A) 對稱於 y 軸 (B) 對稱於直線 3x－4y＝0 (C) 直線 3x＋4y＝0 為一漸近線 (D) 正焦弦長是 (E) (－4 , 0 )及( 4 , 0 )為其頂點參考答案：出處：斗六高中修題建議：建議選項用(1)(2)(3)(4)(5)。題目敘述修改用字為：「…… ,下列哪選項是正確的？」。 24. (單選)下列圓錐曲線中，哪一個的焦點與其他者不同？ (A) 2 2 1 2 2 y x   (B) 2 2 1 4 8 y x   (C) 2 2 1 1 5 x y   (D) 2 2 1 12 16 x _ y _ (E) 2 2 1 5 9 x _ y _ 參考答案：出處：新化高中修題建議：建議選項用(1)(2)(3)(4)(5) 25. (單選) 設有一拋物線的焦點為 (2, 2) , 準線為x4, b 為一實數，若點 (3, )_{b 在此拋物線上，則}_b_ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 參考答案：出處：新化高中修題建議：建議選項用(1)(2)(3)(4)(5)。題目敘述修改用字為：

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「(單選) 已知一拋物線的焦點為 (2, 2) , 準線為x4，若點 (3, b 在此拋物) 線上，則 b 之值為何? (1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 5 」。 26. (多選) 橢圓的中心為(  1, 2), 長軸垂直 x 軸，若此橢圓通過點(2, 3), 則下列哪些點必在此橢圓上？ (A)(  4, 3) (B)(  4, 1) (C)(0, 0) (D)(2, 1) (E)(  1, 4) 參考答案：出處：新化高中修題建議：建議選項用(1)(2)(3)(4)(5) 27. (多選) 已知

等軸

雙曲線 Γ 的一條漸近線為 x–y=0,中心坐標為(1,1), 且 Γ 通過點(3,0), 試問下列敘述哪些是正確的？ (A)Γ 的兩條漸近線互相垂直 (B) x+y=0 為 Γ 的另外一條漸近線 (C) Γ 的共軛軸在直線 x=1 上 (D)點(1, 2 2) 為 Γ 的ㄧ頂點 (E)(1, 2 2) 為 Γ 的一個焦點參考答案：出處：新化高中修題建議：建議選項用(1)(2)(3)(4)(5) 題目敘述修改用字為：「…… ,則下列哪敘述是正確的？」。 28. 設 F1﹐F2為橢圓 2 2 1 16 5 x y   _{之二焦點，} AB為過F1的焦弦，求△ABF2之周長為 . 參考答案：出處：新化高中修題建議：題目敘述修改用字為：「若F1﹐F2為橢圓 2 2 1 16 5 x y   _{之二焦點，} AB為過F1的焦弦，則△ABF2之周長為 . 」。

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29. (多選) 設橢圓方程式為2x2y24x6y 5 0﹐下列哪些正確﹖ (1)中心為



1, 3



(2)長軸兩端點為



1 2 2, 3 



和



1 2 2, 3 



(3)焦點為



1, 3 2 2 



和



1, 3 2 2 



(4)短軸兩端點為

 

1,1 和



1, 7



(5)長軸所在方程式為 y+3=0 參考答案：(1)(3) 出處：高雄市立三民高中修題建議：題目敘述修改用字為：「關於橢圓2x2y24x6y 5 0的敘述﹐下列哪些是正確的?」。

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B. 新穎創意試題

1.已知點 A(8,7), 設 P 為拋物線 x2_{=4y 上一點，若點 P 到 x 軸的距離為 d, 則} d PA _{的最小值為 .} 參考答案：9 出處：竹北高中 修題建議：題目敘述修改用字為：「…, 若 P 為拋物線 x2_{=4y 上一點，且 P} 到 x 軸的...」。 2.設BC為等腰三角形 ABC 之底邊，且BC2, 點 A 在以 B 為頂點 C 為焦點的一拋物線上，求ABC之周長為 . 參考答案：8 出處：臺中二中修題建議：題目敘述修改用字為： 「設等腰三角形 ABC 之底邊BC2, 若點 A 在以 B 為頂點 C 為焦點的一拋物線上，則ABC之周長為 . 」。 3.◎橢圓 2 2 1 16 9 x _ y _ 以原點為中心伸縮 k 倍後，恰與圓x2y2 25交於四點，求 k 值最大可能範圍為 . 參考答案： 5 5 4  k 3 出處：臺中二中修題建議：題目敘述修改用字為：「將橢圓 2 2 1 16 9 x _ y _ 以原點為中心伸縮 k 倍後，恰與圓x2y2 25交於四點，則 k 值的範圍為 . 」。

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4.已知橢圓





2 2 2 2 2 2 1 x y a b a b   _,ABC_{為其內接等腰三角形，其中頂點 A 為短} 軸頂點，兩腰 AB 與AC分別經過兩焦點F F , 且原點恰為1, 2 ABC_的重心，求 2 2 a b (化成最簡分數) . 參考答案： 3 2 出處：臺中二中修題建議：題目敘述修改用字為：「已知等腰ABC為橢圓





2 2 2 2 2 2 1 x y a b a b   _{內接三角形，其中 A 為短軸頂點，兩腰 AB 與}AC_分別經過兩焦點F F , 且原點恰為1, 2 ABC的重心，則 2 2 a b 之值為 . (化成最簡 分數) 」。 5.給定兩點F 和1 F (2 F F1 2 12_{), 已知動點 P 滿足}PF1PF2 16_{, 動點 Q 滿足} 1 2 8 QF QF  , 當 P=Q 時，求PF F1 2_{面積為 .} 參考答案： 4 35 出處：臺中二中修題建議：題目敘述修改用字為：「給定兩點F 和1 F 且2 F F1 2 12_{, …, 當} P=Q 時，則PF F1 2面積為 . 」。 6.(多選)下列敘述哪些是正確的？ (A) 給予正焦弦的二端點，可決定唯一的拋物線 (B) 給予中心及長、短軸長度的比值，可決定唯一的橢圓 (C) 給予二焦點及長軸的長度，可決定唯一的橢圓 (D) 給予二焦點及雙曲線上一點，可決定唯一的雙曲線 (E) 以給予的二直線為漸近線，可決定唯一的雙曲線

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參考答案： (C)(D) 出處：斗六高中修題建議：選項敘述修改為(1) (2) (3) (4) (5) 7.一行星繞太陽運行的軌跡為一個橢圓，若其遠日點到太陽之距離恰好為橢圓之短軸長的 5 倍，則橢圓的短軸長是其近日點到太陽之距離的多少倍﹖ 參考答案： 20 出處：新光高中修題建議：題目敘述修改用字為：「某彗星的軌道為一拋物線，太陽位於焦點處，若其遠日點... 」。 8.如圖，已知將橢圓 2 2 : 1 4 3 x y    圖形上的每一點的坐標伸縮 t 倍，得一新橢圓 '  . 若橢圓 ' 上一點 A 到橢圓 ' 上兩焦點 F1﹐F2所形成△AF1F2的周長為 18﹐則新橢圓 ' 的方程式為 (請化成標準式) 參考答案： 2 2 1 36 27 x _ y _ 出處：臺中二中修題建議：題目敘述修改用字為：「如圖所示，已知將橢圓... 」。 9.已知 F 是拋物線x y2的焦點，A, B 是拋物線上的兩點，AF BF 3, 則線段 AB 的中點到 y 軸的距離為 . 參考答案： 5 4

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出處：臺中一中 10.已知雙曲線 2 2 2 2 1 x y a b  (a b  的左頂點與拋物線0) y2 4cx (c 的焦點的0) 距離為 4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為



 2, 1



, 則雙曲線的兩焦點距離為 . 參考答案： 2 5 出處：臺中一中 11.已知 P 為橢圓 2 2 : 1 25 24 x y    上之動點，一焦點F

 

1,0 , A



2, 4



為一定點，則 PA PF _{之最大值為 .} 參考答案：15 出處：臺中一中