100學年度高二下第三次定期考

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定期考優良試題推介

─ 100

學年度高二下第三次定期考

教育部高中數學學科中心試題研發小組

報告撰寫:國立南科實驗高中王志誦老師 指導教授:國立臺灣師範大學數學系陳昭地教授、洪有情教授、張幼賢教授、 朱亮儒教授 小組成員:臺北市立建國高中曾政清老師、國立基隆女中沈燈賢老師、 臺北市立北一女中蘇麗敏老師、國立武陵高中謝文斌老師、 國立新竹高中褚雨蓓老師、國立新竹女中張寶文老師、 國立竹南高中李政豐老師、國立臺中一中李吉彬老師、 國立員林高中黃駿耀老師、國立北港高中蕭民能老師、 國立新豐高中王人傑老師、國立臺南一中蕭健忠老師、 國立高師大附中歐志昌老師、國立屏東女中蔡欣蓉老師、 國立南科實驗高中王志誦老師

前言

定期考優良試題推介轉眼即將屆滿兩年,此次循前例選出15 間學校高二下 期末考試題,將試題交由數學學科中心試題研發小組成員共同研究討論,選出 基礎重要試題29 題、新穎試題 11 題,共計 40 題,並在此次選題中對各校題目 給出修題建議,同時請各位先進參考題目時特別注意高二下期末考數學分為 A、B 兩版,B 版所增加的題材試題已加註◎號。另外部分題目仍期盼各位先進 能夠在敘述上有所斟酌,前幾次試題推介都有提到: 若題型為單一選項正確的多選題,則敘述宜為「下列何者正確?」    若題型為多答案的多選項,則敘述宜為「下列哪些選項是正確的?」    選擇題的敘述結尾「為?」,宜完整敘述「為何?」    填充題之敘述「試求…」,建議改以「則…」較佳。 另外為了配合大考的選項設定習慣,此次建議用(1)(2)(3)(4)(5)取代(A)(B) (C)(D)(E)。選題時僅對 16 所高中之個別試題設計選出基礎重要、新穎試題,並 未考量整份考卷的整體性與鑑別度,請教師仍需自行規劃使用方式。選題過程 難免有疏漏與不周延之處,懇請各位先進不吝指教。最後感謝國立新豐高中王 人傑主任、國立高師大附中歐志昌主任協助校閱,以及高中各校大力配合,提 供定期考試題供學科中心小組討論,謝謝!

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正選試題

A. 基礎重要試題

1. 如圖所示,拋物線造型的鋼拱全長 80 公尺,中央鋼柱的高度為 20 公尺, 求距離鋼拱中央 30 公尺處的鋼柱高度為__________公尺 參考答案: 出處:慈大附中 修題建議:題目敘述修改用字為:「……,則距離鋼拱中央…...」。 2. ◎將橢圓 2 2 1 4 9 x y 上所有的點以二階方陣 0 1 1 0 A      線性變換,得一新的橢圓,求此橢圓方程式為____________. 參考答案: 出處:慈大附中 修題建議:題目敘述修改用字為:「……,則此橢圓方程式為_________ _.」。 3. 一雙曲線其方程式為

2 2 2 2 5 5 6 x yx y  , 求此雙曲線的 (1) 共軛軸長 (2) 正焦弦長 (3) 若 P 點位於雙曲線上,且使得PF F1 2為一等腰三角形(F F1, 2 為雙曲線的 兩個焦點),求PF F1 2的周長 (4) 承(3), 求PF F1 2的面積 參考答案: 出處:慈大附中 修題建議:建議刪除(2)正焦弦長。題目敘述修改用字為:

(3)

「一雙曲線的方程式為

2 2 2 2 5 5 6 x yx y  , 請回答下列問題: (1) 共軛軸長...」。 4. (多選)若拋物線x ay 2by c 通過點(0,1)﹐且其圖形如下圖所示,則下 列各數哪些為負數? (1)a (2)b (3)c (4)b2 4ac (5)a b c  . 參考答案:(1)(2) 出處:泰山高中 5. (單選)設一圓通過

 

5,0 , 且與中心在

5,0

、半徑為 4 的圓相切,試求此 圓圓心的軌跡所成的圖形為何? (A)圓 (B)橢圓 (C)拋物線 (D)雙曲線 (E)一直線 參考答案:(D) 出處:竹北高中 修題建議:選項敘述修改用字為: 「已知圓 C 的圓心

5,0

、半徑為 4,則通過(5,0)且與圓 C 相切的圓其圓心 軌跡所成的圖形為何? (1)圓 (2)橢圓 (3)拋物線 (4)雙曲線 (5)一直線 」。 6. (多選)已知一雙曲線的共軛軸平行於 y 軸,兩漸近線交於點 (1, 2) , 而且點

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在雙曲線上,則下列哪些點也一定在此雙曲線上? (A) ( 1, 1)  (B)(5,3) (C)(3, 1) (D)(3, 5) (E)( 2, 3)  參考答案:(A)(C) 出處:竹北高中 修題建議:題目敘述修改用字為: 「(1) ( 1, 1)  (2)(5,3) (3)(3, 1) (4)(3, 5) (5)( 2, 3)  」。 7. ◎坐標平面上,圓 C:x2 (y1)2  經過二階方陣1 5 0 0 3       變換後成為橢 圓 Γ,則 Γ 在第一象限的焦點坐標為 . 參考答案:(4,3) 出處:竹北高中

8. A(2,0), B(–2,0), P(x,y), 若△PAB 之周長為 10, 且△PAB 之面積為 4, 則 2 2 xy  . 參考答案: 29 5 出處:竹北高中 修題建議:題目敘述修改用字為:

「給定 A(2,0), B(–2,0), P(x,y), 若△PAB 之周長為 10, 且面積為 4, 則x2 y2  」。

(5)

9. (多選)如圖,在直角坐標平面上,分別以A

3, 0

, B

 

3,0 為圓心,依 1 單 位、2 單位、3 單位、……、7 單位,做一系列的同心圓。若P a b

,

為其中兩 個圓的交點,則下列哪些選項是正確的? (1)△ABP為等腰三角形 (2)

2 2 3 36 a b (3)

2 2 3 16 a b  (4) 2 2 1 25 16 a b   (5) 2 2 1 9 b a   參考答案:(1)(2)(3)(4) 出處:弘文高中 修題建議:題目敘述修改用字為: 「(多選)在直角坐標平面上,分別以A

3, 0

, B

 

3,0 為圓心,依 1 單位、2 單 位、3 單位、……、7 單位,做一系列的同心圓。若P a b

,

為其中兩個圓的交 點,如圖所示,則下列哪些選項是正確的?」。 10. ◎設 1 2 2 5 A    為一線性變換,在 A 的變換下,直線L: 2x3y 5 0變換 後的直線方程式為 . 參考答案:16x7y  5 0 出處:弘文高中 修題建議:題目敘述修改用字為: 「在矩陣

[

1 2

2 5

]

的變換下,直線L: 2x3y 5 0變換後的直線方程式為 . 」。

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11. 已知一拋物線的對稱軸平行 x 軸,且過

2,1 , 3, 2 , 5, 2

   

 

三點,試求此 拋物線的焦點 . 參考答案: 23 , 1 4       出處:弘文高中 修題建議:題目敘述修改用字為:「…,則此拋物線的焦點為 .」。 12. 某一行星運轉軌道為一橢圓,且以太陽為焦點,設此行星與太陽最近距離 為 100 萬公里,最遠距離為 900 萬公里,當行星與太陽連線和橢圓長軸成60夾 角時,如圖所示,試問此時行星與太陽的距離為________萬公里。 參考答案:300 出處:弘文高中 修題建議:題目敘述修改為:「…,如圖所示,此時行星與太陽的距離為 萬公里。」。 13. (多選)坐標平面上,

2 4 yx y的圖形 , 下列何者為真? (1) 頂點是原點 (2) 對直線y 對稱2 (3) 的圖形在直線x 2的右方 (4) 的圖形經過平移、伸縮後可以和y2 2012x重合 參考答案:(2)(3)(4) 出處:臺中一中

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修題建議:題目敘述修改用字為:「坐標平面上,關於y2 4

x y

的圖形 ,下列哪些敘述是正確的?」。 14. (多選) 平面上有一 OPQ , 其中O

     

0,0 ,P 1, 2 ,Q 3,5 . 若 a b A c d       

A I

所定義的平面變換將 OPQ變換至本身,則下列敘述哪些正確? (1) 1 a b c d(2) O 經 A 所作用的像為 O (3) PQ中點經 A 所作用的像仍為PQ中點 (4) a b c d    13 參考答案:(2)(3)(4) 出處:臺中一中 修題建議:題目敘述修改用字為:「(2) 點 O 經 A 變換後仍為點 O」。 題目敘述修改用字為:「(3)PQ中點經 A 變換後仍為PQ中點」。 15. (多選) 已知坐標平面上三點 A(3 0﹐ ), B(-3 0﹐ ), P(x﹐y), 下列 敘述哪些正確? (A)若PA PB 2AB, 則 P 點的軌跡是一個橢圓 (B)若PA 2PB,則 P 點的軌跡是一個圓 (C)若PA PB 6, 則 P 點的軌跡是一個點 (D)若 PA PB, 則 P 點的軌跡是一條直線 (E)若 PA PB 7, 則 P 點的軌跡是一雙曲線 參考答案:(A)(B)(D) 出處:臺中二中 修題建議:建議選項用(1)(2)(3)(4)(5)

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16. (多選) 右圖中每個方格的邊長為 1. 一拋物線的焦點為 F﹐頂點為 V﹐下 列哪些點也在此拋物線上﹖ (A) A (B) B (C) C (D) D (E) E 參考答案:(A)(C) 出處:臺中二中 修題建議:題目敘述修改用字為:「(多選) 如圖所示,每個方格的邊長為 1. 若一拋物線的焦點為 F﹐頂點為 V﹐則下列哪些點也在此拋物線上﹖ (1) A (2) B (3) C (4) D (5) E 」。 17. (多選) 坐標平面上,關於雙曲線的敘述,下列哪些正確? (A)雙曲線恰可決定兩支拋物線 (B)等軸雙曲線的漸近線為x y 0,x y 0 (C)兩相異雙曲線具有相同的漸近線與 c 值,則此兩雙曲線為共軛雙曲線 (D)兩共軛雙曲線上分別取一點到其漸近線的距離乘積必定相同 (E)等軸雙曲線的漸近線必定互相垂直參考 答案:(A)(B)(C)(D)(E) 出處:臺中二中 修題建議:建議選項用(1)(2)(3)(4)(5),題目敘述修改用字為:「(C)兩相異 雙曲線具有相同的漸近線且兩焦點距離相等,則此兩雙曲線為共軛雙曲線 」。 18. 在拋物線y2 8x上有一點 P 使得 P 到焦點 F 與定點 A(3 5﹐ )之距離和 PF PA最小,求此最小值為 .

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參考答案: 26 出處:臺中二中 修題建議:題目敘述修改用字為:「…, 則此最小值為 」。 19. 設 k 為常數,若方程式 2 2 2 1 6 1 x y k   k表一橢圓,且與橢圓 2 2 1 75 24 x y   有相同的焦點,試求 k 之值為 . 參考答案:8 出處:臺中二中 修題建議:題目敘述修改用字為:「...,則 k 之值為 . 」。 20. 設F F 是雙曲線1, 2 2 2 1 9 16 x y 的兩焦點,若 P 為上一點使得F F P 三1, ,2 點形成一直角三角形,試問PF F1 2的面積可能為 . 參考答案:16 或 80 3 出處:臺中二中 修題建議:題目敘述修改用字為:「…,則 PF F1 2的面積可能為 .(兩解) 」。 21. (單選)以 F ( 1 , 0 ) 為焦點,以 L:x=-1 為準線的拋物線通過哪些象限? (A) 一、二象限 (B) 二、三象限 (C) 三、四象限 (D) 一、四象限 (E) 四個象限 參考答案: 出處:斗六高中 修題建議:建議選項用(1)(2)(3)(4)(5)。題目敘述修改用字為:「以F ( 1 , 0 ) 為焦點,直線 x=-1 為準線的拋物線通過哪些象限? 」。 22. (單選)已知雙曲線-=1 上一點 P 到其中一焦點 F 的距離為 4,那麼 P 到 另一焦點 F'的距離為 (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 10 (E) 12 參考答案:

(10)

出處:斗六高中 修題建議:建議選項用(1)(2)(3)(4)(5) 題目敘述修改用字為:「到另一焦點 F'的距離為何? 」。 23. (多選)關於雙曲線

2 2 2 2 5 5 8 x yx y  , 下列選項何者正確? (A) 對稱於 y 軸 (B) 對稱於直線 3x-4y=0 (C) 直線 3x+4y=0 為一漸近線 (D) 正焦弦長是 (E) (-4 , 0 )及( 4 , 0 )為其頂點 參考答案: 出處:斗六高中 修題建議:建議選項用(1)(2)(3)(4)(5)。題目敘述修改用字為:「…… ,下列 哪選項是正確的? 」。 24. (單選)下列圓錐曲線中,哪一個的焦點與其他者不同? (A) 2 2 1 2 2 y x   (B) 2 2 1 4 8 y x   (C) 2 2 1 1 5 x y   (D) 2 2 1 12 16 x y (E) 2 2 1 5 9 x y 參考答案: 出處:新化高中 修題建議:建議選項用(1)(2)(3)(4)(5) 25. (單選) 設有一拋物線的焦點為 (2, 2) , 準線為x4, b 為一實數,若點 (3, )b 在此拋物線上,則b (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 參考答案: 出處:新化高中 修題建議:建議選項用(1)(2)(3)(4)(5)。題目敘述修改用字為:

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「(單選) 已知一拋物線的焦點為 (2, 2) , 準線為x4,若點 (3, b 在此拋物) 線上,則 b 之值為何? (1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 5 」。 26. (多選) 橢圓的中心為(  1, 2), 長軸垂直 x 軸,若此橢圓通過點(2, 3), 則下 列哪些點必在此橢圓上? (A)(  4, 3) (B)(  4, 1) (C)(0, 0) (D)(2, 1) (E)(  1, 4) 參考答案: 出處:新化高中 修題建議:建議選項用(1)(2)(3)(4)(5) 27. (多選) 已知

等軸

雙曲線 Γ 的一條漸近線為 x–y=0,中心坐標為(1,1), 且 Γ 通過點(3,0), 試問下列敘述哪些是正確的? (A)Γ 的兩條漸近線互相垂直 (B) x+y=0 為 Γ 的另外一條漸近線 (C) Γ 的共軛軸在直線 x=1 上 (D)點(1, 2 2) 為 Γ 的ㄧ頂點 (E)(1, 2 2) 為 Γ 的一個焦點 參考答案: 出處:新化高中 修題建議:建議選項用(1)(2)(3)(4)(5) 題目敘述修改用字為:「…… ,則下列哪敘述是正確的? 」。 28. 設 F1﹐F2為橢圓 2 2 1 16 5 x y   之二焦點, AB為過F1的焦弦,求△ABF2之周長 為 . 參考答案: 出處:新化高中 修題建議:題目敘述修改用字為:「若F1﹐F2為橢圓 2 2 1 16 5 x y   之二焦點, AB為過F1的焦弦,則△ABF2之周長為 . 」。

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29. (多選) 設橢圓方程式為2x2y24x6y 5 0﹐下列哪些正確﹖ (1)中心為

1, 3

(2)長軸兩端點為

1 2 2, 3 

1 2 2, 3 

(3)焦點為

1, 3 2 2 

1, 3 2 2 

(4)短軸兩端點為

 

1,1 和

1, 7

(5)長軸所在方程式為 y+3=0 參考答案:(1)(3) 出處:高雄市立三民高中 修題建議:題目敘述修改用字為:「關於橢圓2x2y24x6y 5 0的敘 述﹐下列哪些是正確的?」。

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B. 新穎創意試題

1.已知點 A(8,7), 設 P 為拋物線 x2=4y 上一點,若點 P 到 x 軸的距離為 d, 則 d PA的最小值為 . 參考答案:9 出處:竹北高中 修題建議:題目敘述修改用字為:「…, 若 P 為拋物線 x2=4y 上一點,且 P 到 x 軸的...」。 2.設BC為等腰三角形 ABC 之底邊,且BC2, 點 A 在以 B 為頂點 C 為焦點的 一拋物線上,求ABC之周長為 . 參考答案:8 出處:臺中二中 修題建議:題目敘述修改用字為: 「設等腰三角形 ABC 之底邊BC2, 若點 A 在以 B 為頂點 C 為焦點的一拋 物線上,則ABC之周長為 . 」。 3.◎橢圓 2 2 1 16 9 x y 以原點為中心伸縮 k 倍後,恰與圓x2y2 25交於四點,求 k 值最大可能範圍為 . 參考答案: 5 5 4  k 3 出處:臺中二中 修題建議:題目敘述修改用字為:「將橢圓 2 2 1 16 9 x y 以原點為中心伸縮 k 倍後,恰與圓x2y2 25交於四點,則 k 值的範圍為 . 」。

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4.已知橢圓

2 2 2 2 2 2 1 x y a b ab   , ABC為其內接等腰三角形,其中頂點 A 為短 軸頂點,兩腰 AB 與AC分別經過兩焦點F F , 且原點恰為1, 2 ABC的重心, 求 2 2 a b (化成最簡分數) . 參考答案: 3 2 出處:臺中二中 修題建議:題目敘述修改用字為:「已知等腰ABC為橢圓

2 2 2 2 2 2 1 x y a b ab   內接三角形,其中 A 為短軸頂點,兩腰 AB 與AC分別經 過兩焦點F F , 且原點恰為1, 2 ABC的重心,則 2 2 a b 之值為 . (化成最簡 分數) 」。 5.給定兩點F 和1 F (2 F F1 2 12), 已知動點 P 滿足PF1PF2 16, 動點 Q 滿足 1 2 8 QF QF  , 當 P=Q 時,求PF F1 2面積為 . 參考答案: 4 35 出處:臺中二中 修題建議:題目敘述修改用字為:「給定兩點F 和1 F 且2 F F1 2 12, …, 當 P=Q 時,則PF F1 2面積為 . 」。 6.(多選)下列敘述哪些是正確的? (A) 給予正焦弦的二端點,可決定唯一的拋物線 (B) 給予中心及長、短軸長度的比值,可決定唯一的橢圓 (C) 給予二焦點及長軸的長度,可決定唯一的橢圓 (D) 給予二焦點及雙曲線上一點,可決定唯一的雙曲線 (E) 以給予的二直線為漸近線,可決定唯一的雙曲線

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參考答案: (C)(D) 出處:斗六高中 修題建議:選項敘述修改為(1) (2) (3) (4) (5) 7.一行星繞太陽運行的軌跡為一個橢圓,若其遠日點到太陽之距離恰好為橢圓 之短軸長的 5 倍,則橢圓的短軸長是其近日點到太陽之距離的多少倍﹖ 參考答案: 20 出處:新光高中 修題建議:題目敘述修改用字為:「某彗星的軌道為一拋物線,太陽位於 焦點處,若其遠日點... 」。 8.如圖,已知將橢圓 2 2 : 1 4 3 x y    圖形上的每一點的坐標伸縮 t 倍,得一新橢圓 '  . 若橢圓 ' 上一點 A 到橢圓 ' 上兩焦點 F1﹐F2所形成△AF1F2的周長為 18﹐則新橢圓 ' 的方程式為 (請化成標準式) 參考答案: 2 2 1 36 27 x y 出處:臺中二中 修題建議:題目敘述修改用字為:「如圖所示,已知將橢圓... 」。 9.已知 F 是拋物線xy2的焦點,A, B 是拋物線上的兩點,AF BF 3, 則線段 AB 的中點到 y 軸的距離為 . 參考答案: 5 4

(16)

出處:臺中一中 10.已知雙曲線 2 2 2 2 1 x y ab  (a b  的左頂點與拋物線0) y2 4cx (c 的焦點的0) 距離為 4,且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為

 2, 1

, 則 雙曲線的兩焦點距離為 . 參考答案: 2 5 出處:臺中一中 11.已知 P 為橢圓 2 2 : 1 25 24 x y    上之動點,一焦點F

 

1,0 , A

2, 4

為一定點,則 PA PF之最大值為 . 參考答案:15 出處:臺中一中

數據

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參考文獻

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