全国百强名校2020届高三下学期3月考数学（文）试题

(1)

百强名校

2020届高三下学期3月考

数学（文）卷

第Ⅰ卷（选择题，共

60 分）

一、选择题：本题共

12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求

.

1.已知集合

A  {x | x

2

_

_{x  6  0}}

_，

_{B  (2, 2)}

_，则

C

A

B 

A.

(3,  2)

B.

(3,  2]

C.

(2, 3)

D.

[2,3)

2.复数

_z

(

a

2 )( 1 ) (

i

_{a R}

₎

i



 





为纯虚数，则_a＝（ ） A. －2 B. 1 C. 2 D. -1 3.已知命题 p ：角



的终边在直线

y



3 x

上，命题

q

：





3 k



k Z











，那么 p 是

q

的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 4.若

a



1,0

  

c b

1

，则下列不等式不正确的是（）

A.

log

2019

a



log

2019

b

B.

log

c

a



log

b

a

C.



c b a





c

 



c b a



b D.



a c a





c





a c a





b 5.已知两个非零向量

_a



，

_b



满足

2 a b

 

 

 

4,5

，

a





2 b



 



3,5



，则

_{a b}

 

_

的值为（） A. 1 B. －1 C. 0 D. －2 6.已知数列

 

a

n 是首项为

a 

1

2

，公比

q =

2

的等比数列，且

b

n



a a

n



n1.若数列

 

b

n 的前

n

项和为

S

n，则

S 

_n （） A.

_{3 2 3}

_{ }

n _B.

_{3 2}

_

n1

_

₃

_C.

_{3 2}

_

n _D.

_{3 2}

_

n1

_

₆

7.已知

a

，

b R



，不等式组

1

1 a

b

  



  



表示的平面区域为

M

，不等式组

2

2 a

b

a

b







   



表示的平面区域为

N

. 在平面区域

M

内有一粒豆子随机滚动，则该豆子始终滚不出平面区域

N

的概率是（） A.

7

8

B.

6

7

C.

8

9

D.

4

5

(2)

8.如图所示，是某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图，其中俯视图为等腰直角三角形, 则该几何体体积为（） A.

6 20





B.

9 16





C.

9 18





D.

6

20

3 



9.已知

f x

 

是定义在R 上的奇函数，当

x 

0

时，

f x  

 

2 1

x ，若

f



6 

a

2





f a

 



，则实数

a

的取值范围是（） A.



 

, 2

 



3,





B.





3,2



C.





2,3



D.



 

, 3

 

U

2,





10.已知双曲线

C

1： 2 2 2

_{1 4 2}

1 x

y

m





m



，当双曲线

C

1的焦距取得最小值时，其右焦点恰为抛物线

C

2：





2

₂

₀

y



px p



的焦点、若

A

、_{B 是抛物线}

C

₂上两点，

AF



BF



8

，则

AB

中点的横坐标为（） A.

3

2

B. 2 C.

5

2

D. 3 11.已知



ABC

的三个内角

A

，_{B ，}

C

所对的边分别为

a

，

b

，

c

，

3 B





，b  ，且6

_{a c}

_{ }

6 2

，则锐角

A

的大小为（） A.

2

5 

B.

2

7 

C.

5

12 

D. ₁₂ 12.已知函数

 

1

2

ln



1 

2 f x

 

x a x a





x

（其中a  ），则函数1

f x

 

零点的个数为（）个

(3)

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

第Ⅱ卷（非选择题，共

90 分）

二、填空题：本题共

4 小题，每小题 5 分，共 20 分.

13.设函数

 





cos

ax

f x

x a R

x







，若

f



2019





2

，则

f 



2019





_{______.} 14.

9

₂

1

₂

sin





cos



的最小值为______. 15.已知四面体

M DEF



中，

3 DEF







，

DF 

2 3

，

ME DE



，

ME EF



，

ME 

4

，则该四面体的外接球的体积为_{______.} 16.在



ABC

中，内角

A

，_{B ，}

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

_.



ABC

的面积

1



2 2



4 S



a



c

，若 2

sin

B



2 sin sin

A

C

，则角_{B 的值为______.}

三、解答题：本题共

6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知

 

a

n 为等比数列，且各项均为正值，

a 

2

₁₆

1

，

a a

4 6



16 a a

3 9. （1）求数列

 

a

_n 的通项公式；（_2）若

b

_n



log

₄

a

_n，数列 1

1

n n

b b















的前

n

项和为Tn，求Tn. 18.某气象站统计了 4 月份甲、乙两地的天气温度（单位



C

），统计数据的茎叶图如图所示，（1）根据所给茎叶图利用平均值和方差的知识分析甲，乙两地气温的稳定性；（2）气象主管部门要从甲、乙两地各随机抽取一天的天气温度，若甲、乙两地的温度之和大于或等于

20 C



，则被称为“甲、乙两地往来温度适宜天气”，求“甲、乙两地往来温度适宜天气”的概率. 19.在四棱锥

S EFGH



中，

EF EH



，_{EH FG}∥ ，

EH



2 FG



2 EF



4

，

_{SH SE}

_

_{2 2}

，平面

SEH 

平面

EFGH

，

M

，

N

分别为

SF

，

GH

的中点.

(4)

（1）求证：

MN

∥

平面

SEH

；（2）求

E

到平面

SGH

的距离. 20.已知椭圆

C

：





2 2 2 2

1

0 x

y

_{a b}

a



b



 

的离心率

3

2 e 

，且圆

x

2



y

2



2

过椭圆

C

的上，下顶点. （_{1）求椭圆}

C

的方程_. （2）若直线

l

的斜率为

1

2

，且直线

l

交椭圆

C

于P 、

Q

两点，点P 关于点的对称点为

E

，点

A 



2,1



是椭圆

C

上一点，判断直线

AE

与

AQ

的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理. 21.已知函数

f x

 



ln

x x



. （1）求函数

f x

 

在点



1, 1

f

 



处的切线方程；（2）若函数

 

1

2

2 h x





f x



x

只有一个极值点，求实数



的取值范围；（_{3）若函数}

 

1

2

2 h x





f x



x

（其中





4

）有两个极值点，分别为

x

₁，

x

₂，且

   

1 2 1 2

h x

k

x x







在区间



0,







上恒成立，证明：不等式

k 

ln 4 3



成立.

请考生在

22、23 两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一