National Sun Yat-sen University Institutional Repository:Item 987654321/30506

應用於微帶電路之完美匹配層吸收邊界條件

計畫編號：NSC 90-2213-E-110-017

執行期限：90 年 08 月 01 日至 91 年 07 月 31 日

主持人：郭志文 國立中山大學電機工程學系

計畫參與人員：吳維揚、郭志明、張益源 國立中山大學電機工程學系

Abstract

Perfectly matched layer needs to add an absorbing material outside the computational domain. In general, this boundary condition can make the return loss lower than –70dB. Up to present, PML is the best absorbing boundary condition and has not been affected by the angle of the incident wave and frequency. Our issue will discuss the performance of 10 layers PML applied to microstrip line.

Keywords: FDTD, PML, ABC

摘要

PML 吸收邊界是在原本的計算空間外再加上 一層能衰減電磁波的材料，一般來說可以將反射係 數降至-70dB 以下，且較不易受到入射角度及頻率 的影響，是目前配合 FDTD 計算最佳的吸收邊界。 在本論文中，吾人將討論當 Anisotropic PML 厚度 為 10 層時，該如何設計吸收層的材質特性使的用 於微帶線電路中具有最佳的吸收效果。 關鍵詞：時域有限差分法、完美匹配層

壹、簡介

完美匹配層 PML(Perfectly Matched Layer)[1] 的概念最先由 Berenger 於 1994 年所提出的，雖然 PML 需要較多的記憶體空間，但卻是目前最有效 的吸收邊界，由於 Berenger’s PML 需要將每一個 方向的電磁場在分成兩個分量，必需要再將標準 FDTD[2]差分式再做大幅的修正，對於整個程式的 契合程度較差，基於這些問題，Z. S. Sacks 在 1995 年提出 PML 的另外一種新的法，將 PML 層設計 成各向異性(Anisotropic)層[3]，並藉由控制 PML 導電係數(σE)、導磁係數(σM)將入射的電磁波衰 減，如此可以不需要將 PML 分成兩個分量，而 1996 年 S. D. Gedney 進行了較完整的推導，解釋 APML 的原理[4]。

貳、APML 基本理論

吾人假設在同方性介質(介質 1)內產生一時間 諧和平面波入射到一塊單軸各向異性介質(介質 2)，介面的位置在z 0平面，在單軸各向異性介質 內傳播的電磁波也屬於平面波並且符合 Maxwell’s equ.，可以表示成圖 1。 其中，入射波可以表示成： 0 i i x z j x j z inc Hv H ev  

(1) 在介質 2 內其旋度方程式可表示成： a o r a o r E H H E              r v v r v v (2) 根據相位匹配 i a x x







，所以 a ˆ i ˆ a x z x z v     ， r



為相對介電係數、



_r為相對導磁係數。介電係 數與導磁係數的張量表示： 

L



N

M

M

M

O

Q

P

P

P



L

N

M

M

M

O

Q

P

P

P

a a b c c d 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , (3) 齊次的向量赫姆霍茲方程式可以改寫成 1 2 2 2 0 , a a o r o r H k H k v   v  v v      (4) 再以矩陣的形式表示： 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 0 0 0 0 0 a i a z x z _x a i z x y i a i z x z x k c a a _H k c a b H H a k d a                  _{ }  _{  }    _{ }  _{  }        (5) 由上式可求得_a_{的四個特徵解：} k c a b k a c d z a x i y z a x i y 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 0 0      

R

S

|

T

|

        ; ; TE TM (6)

現在吾人可以計算兩平面間的反射係數，首 先，假設在介質 1 有一個 TE_y模態的入射波，其入 射波與反射波合成的全場可以表示成： 2 1 2 2 1 ˆ (1 ) ˆ (1 ) ˆ (1 ) i i i x z z i i i i x z z z j x j z j z o i i j x j z j z x j z z o H yH e e E x e z e H e                     _      _   v v (7) 透射到介質 2 的電磁波也是_TE y的形式，透射的電 場與磁場可表示成： 2 1 1 2 ˆ ˆ ˆ i i x z i i x z j x j z o i a j x j z x z o H yH e b a E x z H e        _            _  _   v v (8) 可以求得反射係數



及透射係數



分別為：   1 1 0 2( 0) 1 i a z z x x i a z z a E z E z a               (9) 1 2 1 i z i a z za           (10) 當  0，得到z  i z a a  1_{代入(6)式：} z  i x i k ca b a 2 2 2 1 1 1      ₍₁₁₎ 其 中z  i x i k 2 ₂ 2   ， 最 後 由 (11) 式 可 以 得 到 c 、a 1 ba ，同理可得到 c a 以及dc1。若 1 1 a c b d ，則平面波將會完全穿透至介質 2 內，且跟入射波的入射角度、極化以及頻率無關。 如果這單軸各向異性的介質中具有高損耗的 特性，電磁波入射到該介質中不會產生反射並快速 的衰減，吾人可用 PEC 將模擬空間截斷，縱使在 PEC 處會產生反射，但是由於是處在於高損耗的材 料中，反射回來的電磁波能量也是微乎其微。根據 複數的介電係數c  j / ，對於這種損耗性的 單軸介質，可選擇a 1  /j ，因此 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 j j j                                _      (12) 將(12)帶入(6)式可以得到： 1 a i z z j         _{ }   (13) 從(13)式可以看出z a_{的實部與入射波的} z i_相 同，即達到匹配，_TE y模態的入射波其場強在單軸 性高損耗介質內可表示成：





2 2 ˆ 1 ˆ ˆ i i x z z i i x z z j x j z z o i i x j j x j z z z o H yH e e E x z H e e                                r r (14) 其中 i _cos i z z         ，而i_{為入射方向與 z} 軸的夾角，因此，電磁波傳播進入單軸性介質後， 其相速度仍與入射波相同，並沿著 z 方向逐漸衰 減，且衰減常數只與入射的角度及介質的導電係數 有關。

參、APML 的離散化

吾人可以將安培定律(Ampere’s Law)以矩陣的 方式表示： y z x x z y z y x H H y z E H H j E z x E H H x y    _   _{ }    _{ }    _{ }     _{ }  _{ }   _{  }       _{ }      (15) 首先看這個矩陣對應電場橫向分量E_x、Ey， 吾人可將各分量以中央差分的方式展開成適用於 FDTD 計算的形式，以 x E 分量為例，可以使用中央 差分化成： 1/ 2 1/ 2 1/ 2, , 1/ 2, , 2 1/ 2, , 2 1/ 2, , 2 2 2 2 n _z n xi j k xi j k z n n y zi j k z yi j k z t E E t t D H D H t                    _{  }       (16) y E 也可以使用相同的方式得到，但是在Ez的 處理上需要花更多的功夫，由於該分量的介電係數 形式較複雜，與頻率成非線性相關，必須先經由計 算電通密度來求電場值，z 方向的電通密度可以寫 成： 1 z z z D E j      (17) 將(15)式

z

方向分量使用電通密度來表示：         H x H y D t y x z (18)

再使用中央差分 1/ 2 1/ 2 , , 1/ 2 , , 1/ 2 2 , , 1/ 2 2 , , 1/ 2 n n zi j k zi j k n n x yi j k y x i j k D D t D H D H             _  _ (19) 可將(17)式改寫成： 1 z z z j D j E j             (20) 由(17)式吾人可以藉由傅氏轉換將頻域轉換成 時域的形式，既是將j   / t求得Ez以Dz形式的 表示式： 1/ 2 1/ 2 , , 1/ 2 , , 1/ 2 1/ 2 1/ 2 , , 1/ 2 , , 1/ 2 1 1 1 2 2 n n zi j k zi j k n _z n _z zi j k zi j k E E t t D  D                 _  _  _        _{   }   (21) 從(19)以及(21)式可以得知計算法方向電場的 方程式需要兩個步驟去做計算，在磁場的處理上也 是使用相同的方法。

肆、PML 相關參數設計

若要使的完美匹配層有效率的運作，吾人還需 要針對相關的參數予以最佳化，如吸收邊界的厚 度、以及導電率的大小等，都會直接的影響到 APML 吸收效果的好壞。在 APML 內部的電磁波 的衰減量與



有關，適當的選用導電率可以有效 減少在解析空間與 APML 介面處的數值反射，假 設電磁波沿著

z

方向衰減， ( ) z 可以表示成離散 的形式： max ( ) m o z z z d    (22) 其中，z₀為



在吸收邊界交界處的位置，max 為最大電導率。由於 APML 外圍是用 PEC 來截斷 模擬空間，預期的垂直方向入射至 PEC 的反射誤 差為： max 2 /( 1) (0) d m m R e  (23) 由上式中，可以經由設計R_m(0)、m、d來決定 max的大小，藉以控制 APML 的性能，再將(23) 改寫成： max ( 1) 1 ln 2 _m(0) m d R     (24) 一般而言，對 10 層厚度的 APML 吸收層 (0) m R =1e4，m=2 將可以提供最小的反射誤差

。

首先建構一個如圖 2 的微帶線結構，在最外圍 以 PEC 包覆，而微帶線前後兩端以吸收邊界吸收 入射的電磁波，吾人可求得加上 APML 的回返損 耗S ，計算方式如下：₁₁ 11 { ( )} ( ) { ( )} r i V t S V t    (25) 圖 2 為 APML 與 Mur 吸收邊界的S 比較，其₁₁ 中 N 為 APML 層所佔的網格數，R(0)為正向入射 的理論反射係數。自圖中可看出 Mur 吸收邊界的 吸收效果約可維持在-50dB 左右，而十層的 APML 吸收效果較佳可以保持在-100dB 之下，且回返損 耗會隨著頻率的上升而增加。 一般而言，若正向入射的的理論反射係數 R(0) 越小，所得到的回返損耗也會越小，但若是設的過 小則會造成每個 APML 網格間的導電率差異過 大，反而使的回返損耗變大，像是在這種微帶線結 構中 R(0)通常皆設為 1e-4 或 1e-6，其變化結果如 圖 4 所示。在圖 5 中，改變 m 值對回返損耗所造 成 的 影 響 ， 當 m=0 時 整 個 APML 的 導 電 率 max

( )

z







，在模擬空間與 APML 的交界處會產 生明顯的反射，使得回返損耗維持在-20dB 左右， 整體而言，m=2 對導電率的變化較為平緩，反射值 為最小。 由於 APML 必須提供一個實質的厚度供入射 的電磁波衰減，如圖 6 所示，依據吾人所設定的參 數在 APML 的厚度為 10 個空間網格時會有相當不 錯結果，而隨著格數的增加雖可提供越佳的值，但 會付出更多的記憶體需求，一般而言，皆把 N 設 為 10。

伍、結論

APML 是一個種特殊吸波材料，其效能設計必 須要適度的與計算資源妥協，越多層的 APML 雖 可以提供越佳吸收效果，但相對的會佔用額外記憶 體以及 CPU 資源，APML 中控制吸收效果的參數 相當的多，吾人可以藉由控制垂直方向入射至 PEC

的反射誤差調整最大的衰減常數，針對微帶線結構

吾人選取厚度 N=10、Rm(0)=1e4與 m=2 可以得

到最佳的吸收效果，使的回返損耗保持在-100dB 以下，可以提供非常良好的吸收效果。

陸、參考文獻

[1] J. P. Berenger, “A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves,” J. Computat. Phys., vol. 114, pp. 185-200, 1994.

[2] K. S. Yee, “Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell’s equation in isotropic media,” IEEE Trans. Antennas Propagat., vol.14, No.3, pp.300-307, May 1966.

[3] Z.S. Sacks, D.M. Kingsland, R. Lee, and J. F. Lee, “A perfectly matched anisotropic absorber for use as an absorbing boundary condition,” IEEE Trans. Antennas and Propagat., vol. 43, pp. 1460 –1463, Dec. 1995.

[4] S. D. Gedney, “An Anisotropic Perfectly Matched Layer-Absorbing Medium for the Truncation of FDTD Lattices,” IEEE Trans. AP., vol. 44, no. 12, pp. 1630-1639, Dec. 1996.

mediaⅠ mediaⅡ

.

.

H i E i H t E t H r E r

.

z y x 圖 1 平面波入射示意圖 w hs ha S r  x y z 圖 2 微帶線橫截面表示圖 W=0.254mm  =0.04233mm x S=2.11mm _{ =0.12mm y} hs=0.254mm  =0.04233mm z ha=0.762mm  =0.085ps t r  =2.2 表 1 微帶線結構相關參數 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Frequency (GHz) -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 R et u rn L o ss ( d B ) Mur APML 圖 3 APML 與 Mur 吸收邊界吸收效果比較 [N=10,m=2,R(0)=1e-4] 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Freuqency (GHz) -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 R e tu rn L o s s ( d B ) R(0)=1e-1 R(0)=1e-2 R(0)=1e-4 R(0)=1e-6 R(0)=1e-8 圖 4 改變 R(0)對吸收效果的影響[N=10,m=2] 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Frequency (GHz) -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 R e tu rn L o s s ( d B ) m=0 m=1 m=2 m=3 m=4 m=5 圖 5 改變 m 對吸收效果的影響[N=10,R(0)=1e-4] 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Frequency (GHz) -160 -150 -140 -130 -120 -110 -100 -90 -80 -70 -60 R et u rn L o s s (d B ) N=5 N=8 N=10 N=15 圖 6 改變厚度對吸收效果的影響[m=2,R(0)=1e-4]