趣味C程序设计集锦 - 万水书苑-出版资源网

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(1)三、素数——上帝用来描写宇宙的文字. 14 素数 1．问题提出素数是上帝用来描写宇宙的文字（伽俐略语）。素数，又称为质数，是不能被 1 与本身以外的其他整数整除的整数。如 2,3,5,7,11,13,17 是前几个素数，其中 2 为唯一的偶素数。与此相对应，一个整数如果能被除 1 与本身以外的整数整除，该整数称为合数或复合数。例如，15 能被除 1 与 15 以外的整数 3、5 整除，15 是一个合数。特别地，数 1 既不是素数，也不是合数。作为一类特殊的整数，素数是数论中探讨最多也是难度最大的一类整数，其中有些问题是著名数学家提出并研究过的经典趣题。求素数的常用方法有试商判别法和筛法两种。试求出指定区间上的所有素数，并统计该区间上素数的个数。 2．试商判别法求素数（1）设计要点试商判别法是依据素数的定义来实施的。应用试商法来探求奇数 i（只有唯一偶素数 2，不作试商判别）是不是素数，用奇数 j（取 3，5，…，直至 sqrt(i)）去试商。若存在某个 j 能整除 i，说明 i 能被 1 与 i 本身以外的整数 j整除，i 不是素数。若上述范围内的所有奇数 j 都不能整除 i，则 i 为素数。有些程序把试商奇数 j 的取值上限定为 i/2 或 i-1 也是可行的，但并不是可取的，这样无疑会增加了试商的无效循环。理论上说，如果 i 存在一个大于 sqrt(i)且小于 i 的因数，则必存在一个与之对应的小于 sqrt(i)且大于 1 的因数，因而从判别功能来说，取到 sqrt(i)已足够了。判别 j 整除 i，常用表达式 i%j=0 实现。（2）应用试商法求区间素数程序设计 /* 试商法求指定区间上素数 c141 */ #include <stdio.h>.

(2) 三、素数——上帝用来描写宇宙的文字. Chapter 3. #include <math.h> void main() { long c,d,i,j; int t,n=0; printf(" 求区间[c,d]上的素数\n"); printf(" 请输入 c,d(c>2):"); scanf("%ld,%ld",&c,&d); if(c%2==0) c=c+1; for(i=c;i<=d;i+=2) { for(t=0,j=3;j<=sqrt(i);j+=2) if(i%j==0) /* 实施试商 */ {t=1;break;} if(t==0) /* 标志量 t=0 时 i 为素数 */ { printf("%9ld",i); n++; if(n%10==0) printf("\n"); } } printf("\n 共%d 个素数.",n); }. （3）程序运行示例求区间[c,d]上的素数。请输入 c,d(c>2):2000,2100 2003 2011 2017 2027 2029 2039 2053 2063 2069 2081 2083 2087 2089 2099 共 14 个素数. 3．筛法求素数（1）筛法简介求素数的筛法是公元前三世纪的厄拉多塞（Eratosthenes）提出来的：对于一个大整数 x，只要知道不超过 sqrt(x)的所有素数 p，划去所有 p 的倍数 2p，3p，...，剩下的整数就是不超过 x 的全部素数。应用筛法求素数，为了方便实施“划去”操作，应设置数组。每一数组元素对应一个待判别的奇数，并赋初值 0。如果该奇数为 p 的倍数则应划去，对应元素加一个划去标记，通常给该元素赋值-1。最后，打印元素值不是-1（即没有划去）的元素对应的. 43.

(3) 趣味 C 程序设计. 奇数即所求素数。 Chapter 3. 在实际应用筛法的过程中，p 通常不限于取不超过 sqrt(x)的素数，而是适当放宽取不超过 sqrt(x)的奇数（从 3 开始）。这样做尽管多了一些重复划去操作，但程序实现要简便些。（2）应用筛法求素数设计要点在指定区间[c,d]（约定 c 为奇数）上所有奇数表示为 j=c+2k（k=0，1，...，e，这里 e=(d-c)/2）。于是 k=(j-c)/2 是奇数 j 在数组中的序号（下标）。如果 j 为奇数的倍数时，对应数组元素作划去标记，即 a[(j-c)/2]=-1。根据 c 与奇数 i，确定 g=2*int(c/(2*i))+1，使得 gi 接近区间下限 c，从而使划去的 gi，(g+2)i，...在[c,d]中，减少无效操作，以提高对大区间的筛选效率。最后，凡数组元素 a[k]≠-1，对应的奇数 j=c+2k 则为素数。（3）筛法求素数程序实现 /* 筛法求指定区间上的素数 c142 */ #include <stdio.h> #include <math.h> void main() { long int c,d,g,i,j,k; int e,n; static long int a[11000]; printf("求区间[c,d]上的素数。\n"); printf("请输入 c,d(c>2):"); scanf("%ld,%ld",&c,&d); if (c%2==0) c++; e=(d-c)/2;i=1; while (i<=sqrt(d)) /* 在[c,d]中筛选素数 */ { i=i+2;g=2*(c/(2*i))+1; if(g*i>d) continue; if(g==1) g=3; j=i*g; while (j<=d) { if(j>=c) a[(j-c)/2]=-1; /* 筛去标记-1 */ j=j+2*i; } } for(n=0,k=0;k<=e;k++) if(a[k]!=-1) /* 输出所得素数 */ {. 44.

(4) 三、素数——上帝用来描写宇宙的文字. Chapter 3. n++; printf("%ld ",c+2*k); if(n%10==0) printf("\n"); } printf("\n 共%d 个素数。\n",n); }. （4）程序运行示例与说明求区间[c,d]上的素数。请输入 c,d(c>2):1671800,1672000 1671907 1671941 1671947 1671961 1671977 1671983 1671997 共 7 个素数。求素数的两个方法比较，各有所长。试商法较为直观，设计容易实现，因此常为程序设计爱好者所采用。筛法在较大整数的判别上效率更高一些，但设计上较难把握。. 15 乌兰现象 1．问题提出美国著名数学家乌兰教授（S.Ulam）有一次参加一个科学报告会，为了消磨时间，他在一张纸上把 1，2，3，…，100 按反时针的方式排成一种螺旋形式，并标出全部素数。他突然发现这些素数大都扎堆于一些斜线上。散会后，他在计算机上把 1～65000 这些整数排成反时针螺旋式，并打印出来。他发现这些素数仍然具有挤成一条直线的特性。这种现象在数学上称为“乌兰现象” 。后来，数学家从“乌兰现象”中找到了素数的许多有趣性质。设计程序，把整数序列 1，2，3，4，…排列成方螺线数阵，1 置放在中心位置，以后各整数依次按逆时针方螺线位置排列。为清楚显示，设计用另一种颜色标注所有素数。 2．设计要点数字方螺线是从正中间开始的。随整数 n 的增加，位置呈逆时针方螺线展开。设整数 n 所在的坐标(x,y)为(x(n),y(n))。在第 i 圈分 4 步操作（分别在条件循环中实施）：向上增长，n 每增 1，x(n)不变，y(n)增 1，直至 y(n)=i 时转向。向左增长，n 每增 1，y(n)不变，x(n)减 1，直至 x(n)=-i 时转向。向下增长，n 每增 1，x(n)不变，y(n)减 1，直至 y(n)=-i 时转向。向右增长，n 每增 1，y(n)不变，x(n)增 1，直至 x(n)=i 时转下一圈。. 45.

(5) 趣味 C 程序设计. 设置 k 循环，k=1，2，3，…，m*m，在循环中应用试商判别 k 是否为素数（若为素 Chapter 3. 数标记 r=0）。输出时应用 c 语言的格式输出语句： gotoxy(x,y);. /* 将光标移至指定（x,y）位置 */. cprintf("%3d",k); /* 将格式化输出送到当前窗口 */ 显示输出时，用区别一般整数的另一种颜色标注所有素数。 3．乌兰现象程序设计 /* 乌兰现象再现 c151 */ #include "stdio.h" #include "conio.h" #include "math.h" void main(void) { int i,j,k,t,m,n,r,x[1000],y[1000]; printf(" 请输入数阵的阶数 m:"); scanf("%d",&m); x[1]=0; y[1]=0; n=1; t=m/2; for(i=1;i<=t;i++) { n=n+1; x[n]=x[n-1]+1; y[n]=y[n-1]; while(y[n]<i) /* 分情况计算 n 所在的坐标 */ { n=n+1; x[n]=x[n-1]; y[n]=y[n-1]+1; } while(x[n]>-i) { n=n+1; x[n]=x[n-1]-1; y[n]=y[n-1]; } if(i==t && m%2==0) /* m 为偶数时少半圈 */ break; while(y[n]>-i) { n=n+1; x[n]=x[n-1];y[n]=y[n-1]-1; } while(x[n]<i). 46.

(6) 三、素数——上帝用来描写宇宙的文字. {. } } printf(" 所求%d 阶数字方螺线为:\n",m); for(k=1;k<=m*m;k++) { for(r=0,j=2;j<=sqrt(k);j++) if(k%j==0) /* 检验 k 是否为素数 */ {r=1;break;} if(r==0 && k!=1) { textbackground(5); /* 素数用另一颜色打印 */ gotoxy(50+x[k]*4,15-y[k]*2); cprintf("%3d",k); } else { textbackground(0); gotoxy(50+x[k]*4,15-y[k]*2); cprintf("%3d",k); } }. Chapter 3. n=n+1; x[n]=x[n-1]+1; y[n]=y[n-1];. }. 4．程序运行示例运行程序，所得乌兰现象如图 15-1 所示。. 图 15-1 素数扎堆乌兰现象图. 我们可以看到图中素数沿斜线扎堆的乌兰现象。在这些“素数斜线”上，也有 39、. 47.

(7) 趣味 C 程序设计. 15、33、93、85、65 等非素数，分别为两个素数之积，都比较“接近素数” 。 Chapter 3. 从图上还可看到，奇数的平方数在半条斜线上，而偶数的平方数在另半条斜线上。注意：程序应在 TC 环境下运行，VC 环境下对库函数 textbackground()和 gotoxy() 不解释。. 16 孪生素数 1．问题提出相差为 2 的两个素数称为孪生素数。例如，3 与 5 是一对孪生素数，41 与 43 也是一对孪生素数。试求出指定区间上的所有孪生素数对。 2．常规求解（1）求解要点设置两个变量：当前素数变量 i 与相邻的前一个素数变量 f。在求出当前素数 i 后，求 i 与它相邻的前一个素数 f 的差。如果 i-f=2 则 f,i 为所求的一对孪生素数。每求出一个素数 i 并作判断后，要注意把该素数 i 存储到 f，为继续寻求孪生素数对作准备。（2）程序实现 /* 求指定区间上的孪生素数对 c161 */ #include <stdio.h> #include <math.h> void main() { long int c,d,i,j,f=0; int t,n=0; printf("求区间[c,d]上的孪生素数对\n"); printf("请输入 c,d(c>2):"); scanf("%ld,%ld",&c,&d); if (c%2==0) c++; /* 确保起点 c 为奇数 */ for(i=c;i<=d;i+=2) { for(t=0,j=3;j<=sqrt(i);j+=2) /* 试商判别素数 */ if(i%j==0) {t=1;break;} if(t==0) /* t 为 0 表明 i 为素数 */ {. 48.

(8) 三、素数——上帝用来描写宇宙的文字. Chapter 3. if(i-f==2) { printf("(%ld,%ld)",f,i); n++; } f=i; /* 素数 i 存储到 f，为后一差别作准备 */ } } printf("\n[%ld,%ld]上共%d 对孪生素数。\n",c,d,n); }. （3）程序运行示例。运行程序，输入区间 101,200，得 (101,103) (107,109) (137,139) (149,151) (179,181) (191,193) (197,199) [101,200]上共 7 对孪生素数。 3．设置数组求解（1）求解要点求出指定区间内的所有素数并依次存储到一个数组。数组中相邻元素之差若为 2，这两个素数相差为 2，即为一对孪生素数。（2）程序实现 /* 应用数组求指定区间上的孪生素数对 c162 */ #include <stdio.h> #include <math.h> void main() { long int c,d,i,j; int t,m,n=0; static long int a[5000]; printf("求区间[c,d]上的孪生素数对\n"); printf("请输入 c,d(c>2):"); scanf("%ld,%ld",&c,&d); if (c%2==0) c++; /* 确保起点 c 为奇数 */ for(m=0,i=c;i<=d;i+=2) { for(t=0,j=3;j<=sqrt(i);j+=2) /* 试商法判别素数 */ if(i%j==0) {t=1;break;} if(t==0) a[++m]=i; /* i 为素数给 a 数组赋值 */. 49.

(9) 趣味 C 程序设计. Chapter 3. } for(i=1;i<m;i++) if(a[i+1]-a[i]==2) /* 相邻素数相差为 2 即输出 */ { printf("(%ld,%ld) ",a[i],a[i+1]); n++; } printf("\n[%ld,%ld]上共%d 对孪生素数对。\n",c,d,n); }. （3）程序运行示例运行程序，输入区间[2000,2100]，得 (2027,2029) (2081,2083) (2087,2089) [2001,2100]上共 3 对孪生素数对。. 17 梅森尼数 1．问题提出形如 2n  1的素数称为梅森尼数（Mersenne Prime）。例如 22  1  3 、23  1  7 都是梅森尼数。1722 年，双目失明的瑞士数学大师欧拉证明了 231  1 =2147483647 是一个素数，堪称当时世界上“已知最大素数”的第一个纪录。试求出指数 n<50 的所有梅森尼数。 2．设计要点设置指数 n 循环（2～50），循环体中通过累乘 t=t*2，得 t=2^n。根据梅森尼数的构造形式，对 m=t-1 应用试商法实施素数判别。若 m 为素数，即为所寻求的梅森尼数，作打印输出。 3．求梅森尼数程序实现 /* 求梅森尼数:2^n-1 形的素数 c171 */ #include <stdio.h> #include <math.h> void main() { double t,m; int j,x,s,n; s=0; t=2; for(n=2;n<=50;n++). 50.

(10) 三、素数——上帝用来描写宇宙的文字. { Chapter 3. t=t*2; /* 累乘量 t 为 2^n */ m=t-1; x=0; for(j=3;j<sqrt(m)+1;j+=2) /* 试商法判别 m 是否素数 */ if(fmod(m,j)==0) {x=1;break;} if(x==0) /* 输出所求得的素数 */ { s=s+1; printf(" 2^%d-1=%.0f \n",n,m); } } printf(" 指数 n 于[2,50]中梅森尼数共有%d 个。",s); }. 4．程序运行结果与讨论 2^2-1=3 2^3-1=7 2^5-1=31 2^7-1=127 2^13-1=8191 2^17-1=131071 2^19-1=524287 2^31-1=2147483647 区间[2,50]中梅森尼数共有 8 个。顺便指出，若 2^n-1 为梅森尼数，则 n 必为素数。以上程序的运行结果也可以验证这一点。若需求更大的梅森尼数，指数 n 可限定一素数，以减少搜索量。对于很大的素数 n，要判断 2^n-1 是否素数，工作量都艰辛无比，以上的穷举难以胜任，需要一些特殊的理论和方法。1996 年美国数学家及程序设计师乔治·沃特曼编制了一个梅森素数寻找程序，并把它放在网页上供数学家和数学爱好者免费使用。这就是著名的“因特网梅森尼素数大搜索” （GIMPS）项目。该项目采取网格计算方式，利用大量普通计算机的闲置时间来获得相当于超级计算机的运算能力。设在美国的电子新领域基金会（EFF）于 1999 年 3 月向全世界宣布了为通过 GIMPS 项目来探寻新的更大的梅森尼素数而设立的奖金。它规定向第一个找到超过 100 万位数的个人或机构颁发 5 万美元。后面的奖金依次为：超过 1000 万位数，10 万美元；超过 1 亿位数，15 万美元；超过 10 亿位数，25 万美元。目前，全球 18 万多名志愿者参加该项目，并动用 20 多万台计算机联网来进行大规模的分布式计算，以寻找新的梅森尼素数。2008 年 8 月 23 日，美国加. 51.

(11) 趣味 C 程序设计. 州大学洛杉矶分校（UCLA）数学系的系统管理员 Edson Smith 在该系的一台计算机上利 Chapter 3. 用 GIMPS 软件发现了第 45 个梅森尼素数 243,112,609-1，它是第一个超过 1000 万位（有 12978189位）的素数，也是到目前为止已知的最大素数。有趣的是，稍后两个星期（9 月 6 日），德国 44 岁的电气工程师Hans-Michael Elvenich发现了比它小的第 46 个梅森尼素数 237,156,667-1（有11185272 位）。不到一年，即 2009 年 4 月 12 日挪威的 IT 专业人士 Odd Magnar Strindmo 发现了第 47 个梅森素数 242,643,801-1（有 12837064位），也是到目前为止已知的第二大素数，但直到 6 月 12 日才通过法国的 Tony Reix 的验证。. 18 金蝉素数 1．问题提出某古寺的一块石碑上依稀刻有一些神秘的自然数。专家研究发现：这些数是由 1，3，5，7，9 这 5 个奇数字排列组成的 5 位素数，且同时去掉它的最高位与最低位数字后的三位数还是素数，同时去掉它的高二位与低二位数字后的一位数还是素数。因此，人们把这些神秘的素数称为金蝉素数，喻意金蝉脱壳之后仍为美丽的金蝉。试求出石碑上的金蝉素数。 2．设计要点本题求解的金蝉素数是一种极为罕见的素数，实际上是素数的一个子集。设置五位数 k 循环，对每一个 k，进行以下 4 步判别：（1）应用试商法检查 k 是否为素数。（2）应用求余运算对素数 k“脱壳”之后的三位数 d 应用试商法判定 d 是否为素数。（3）对于 k 与 d 同时为素数，分离出其 5 个数字赋值给 a 数组。设置二重循环比较，检查 k 是否存在相同数字。（4）检查 k 的 5 个数字中是否存在偶数字，其中间数字 a(3)是否为 1 与 9（奇数字中 1,9 非素数）。设置标志量 t，t 赋初值 t=0。每一步检查若未通过，则 t=1。最后若 t=0，则打印输出 k 即为金蝉素数。 3．金蝉素数程序实现 /* 金蝉素数 c181 */ #include <stdio.h>. 52.

(12) 三、素数——上帝用来描写宇宙的文字. Chapter 3. #include <math.h> void main() { int k,d,t,i,j,a[6]; printf(" 金蝉素数为："); for(k=10001;k<99999;k+=2) { t=0; for(j=3;j<=sqrt(k);j+=2) if(k%j==0) /* 试商求素数 */ {t=1;break;} if(t==0) /* k 为 5 位素数 */ { a[1]=k%10; a[5]=k/10000; d=(k/10)%1000; for(j=2;j<=sqrt(d);j++) if(d%j==0) /* 试商求素数 */ {t=1; break;} } if(t==0) /* d 为 3 位素数 */ { a[2]=d%10; a[4]=d/100; a[3]=(d/10)%10; for(i=1;i<=4;i++) /* 比较确保没有相同数字 */ for(j=i+1;j<=5;j++) if(a[i]==a[j]) {t=1;break;} } if(t==0) { for(j=1;j<=5;j++) /* 排除偶数字与中间数字为 1，9 */ if(a[j]%2==0 || a[3]==1 || a[3]==9) { t=1;break;} } if(t==0) printf("%d ",k); /* 输出金蝉素数 */ } }. 4．程序运行结果程序运行，得 5 个金蝉素数： 13597. 53791. 79531. 91573. 95713. 在输出的这 5 个金蝉素数中，13597 与 79531 是互逆的金蝉素数。 53.

(13) 趣味 C 程序设计. Chapter 3. 19 素数多项式 1．问题提出早在 1772 年，欧拉就发现当 x=1,2,...,40 时二次多项式 x2  x  41的值都是素数。从此，引发了关于素数多项式的探求。设计程序验证以上多项式素数结论是否正确，并探索其他素数多项式。 2．验证欧拉素数多项式（1）设计要点为了验证二次三项式 y  x2  x  41 当 x 取值为 1～40 时 y 是否为素数。用通常的试商判别 y 是不是素数，通过被 k=2，3，...，sqrt(y)的试商后，若 y 的值仍不变，说明 y 是素数，并标注“素数” ；否则，打印 y 的因数分解式，注明 y“非素” 。（2）验证素数多项式程序设计 /* 验证素数多项式 y=x^2-x+41 c191 */ #include "math.h" #include<stdio.h> void main() { int x,k,m,t; long y; m=0; printf( " y=x^2-x+41,当 x 取值在[1,40],y 的素数分布：\n"); for(x=1;x<=40;x++) { y=x*x-x+41; for(t=0,k=3;k<=sqrt(y);k++) if(y%k==0) { t=1;break;} if(t==0). /* t=0 时，y 为素数 */. { printf(" x=%2d 时，%4ld 素数.",x,y); m++; if(m%4==0) printf("\n"); }. 54.

(14) 三、素数——上帝用来描写宇宙的文字. else printf("x=%2d 时，%4ld=%d*%d. ",x,y,k,y/k); }. （3）程序运行结果. Chapter 3. }. 验证了当 x=1，2，...，40 时，二次多项式 x2  x  41的值均为素数。 3．寻求新的素数多项式（1）素数多项式定义分析二次三项式 y=x2-x+f 的取值：当 f 为偶数时，无论 x 取哪些整数，y 的取值总为偶数，不可能为奇素数。当 x=f 时，y 能被 f 整除，不是素数。因此，二次三项式 y=x2-x+f（其中 f 大于 1 为奇数）只有当 x 取值为[1,f-1]时，所对应的 y 值才有可能全为素数。定义 y=x2-x+f 为素数多项式：其中 f 大于 1 为奇数，当 x=1，2，…，f-1 时，y 的值都是素数。试设计程序寻求新的素数多项式。（2）程序设计 /* 寻求素数多项式 c192 */ #include "math.h" #include<stdio.h> void main() { int c,d,f,x,k,m,t; long y; printf( " 请确定区间[c,d]的下上限："); scanf( " %d,%d",&c,&d); printf( " 常数项 f 在[%d,%d]中的素数多项式有：\n",c,d); if(c%2==0) c++;. 55.

(15) 趣味 C 程序设计. Chapter 3. for(f=c;f<=d;f+=2) { m=0; for(x=1;x<=f-1;x++) { y=x*x-x+f; for(t=0,k=3;k<=sqrt(y);k++) if(y%k==0) { t=1;break;} if(t==0) m++; /* t=0 时，y 为素数 */ else break; /* t=1 表示非素数多项式，返回进入下一个数的探索 */ } if(m==f-1) printf(" x^2-x+%d 是素数多项式！\n",f); } }. （3）程序运行示例请确定输入区间[c,d]的下上限：11,99 常数项 f 在[11,99]中的素数多项式有： x^2-x+11 是素数多项式！ x^2-x+17 是素数多项式！ x^2-x+41 是素数多项式！其中前两个是新的素数多项式。. 20 等差素数列 1．问题提出我们知道，小于 10 的素数中有 3,5,7 组成等差数列。在 30 以内的素数中，有 11,17,23,29 组成等差数列。在小于 2009 的所有素数中，最多有多少个素数成等差数列？ 2．设计要点为一般计，指定区间[w0,w]中有 n 个素数成等差数列，求 n 的最大值。应用试商法求出指定区间 [w0,w] 中的所有奇素数，存入 a 数组 a(1),a(2),...,a(u)。若以 m=a(n)为首项，公差 d=a(i)-a(n)为数组中两素数之差，用 h 标记等差数列中. 56.

(16) 三、素数——上帝用来描写宇宙的文字. 当前项的下标，m1 表等差数列中已有项数。如果 m1>max，则 max=m1，同时标记此时等最后打印输出所求的项数最大值为 max 的一个素数等差数列。 3．等差素数列程序设计. Chapter 3. 差数列的首项 m=a(n)与公差 d1=d。. /* 等差素数列 c201 */ #include <math.h> #include <stdio.h> void main() { int d,i,j,k,m,n,t,h,d1,w0,w,m1,max,u=0; int a[10000]; printf("\n 求指定区间内等差素数列的最多项数."); printf("\n 请输入区间下限 w0,上限 w:"); scanf("%d,%d",&w0,&w); if(w0%2==0) w0++; for(k=w0;k<=w;k+=2) /* 求出区间内的奇素数 */ { for(t=0,j=3;j<=sqrt(k);j+=2) if(k%j==0) {t=1;break;} if(t==0) a[++u]=k; } max=0; for(n=1;n<=u-1;n++) /* a[n]为首项,d 为公差 */ for(j=n+1;j<=u;j++) { d=a[j]-a[n]; if(d>(w-w0)/3) break; /* 终止无意义的搜索 */ h=j; m1=2; for(i=j+1;i<=u;i++) if(a[i]-a[h]==d) {h=i;m1++;} if(max<m1) /* 比较得 max 最大值 */ { max=m1; m=a[n];d1=d; } } printf("\n 区间[%d,%d]内等差素数列最多有%d 项:\n",w0,w,max); for(i=0;i<=max-1;i++) printf("%d ",m+i*d1);. 57.

(17) 趣味 C 程序设计. printf("\n"); } Chapter 3. 4．程序运行示例求指定区间内等差素数列的最多项数. 请输入区间下限 w0 及上限 w: 3,2009 区间[3,2009]内等差素数列最多有 9 项: 199 409 619 829 1039 1249 1459 1669 1879 请输入区间下限 w0 及上限 w: 100,1000 区间[101,1000]内等差素数列最多有 6 项: 107 137 167 197 227 257. 21 验证歌德巴赫猜想 1．问题提出德国数学家哥德巴赫（Goldbach）在 1725 年写给欧拉（Euler）的信中提出了以下猜想:任何大于 2 的偶数都是两个素数之和（俗称为 1+1）。两个多世纪过去了，这一猜想既无法证明，也没有被推翻。试设计程序验证指定区间[c,d]上这一猜想是否成立。 2．设计要点对于[c,d]上的所有偶数 i，分解为奇数 j 与 k=i-j（j=3，5，...，i/2）之和。用试商法对奇数 j、k 作检验判别，即用奇数 x（3，5，...，sqrt(k)）试商 j 与 k（试商 j*k 即可）。若存在 x 整除 j*k（标记 t=1），则 j 增 2，用一组新的奇数 j、k 再试。若对某一组奇数 j、k，上述所有指定的 x 都不能整除 j*k，则偶数 i 找到分解的素数 j、k，打印分解和式。若某一偶数 i 穷举的所有奇数分解式都不存在同时为两素数情形，即已找到反例，推翻了哥德巴赫猜想。打印找到反例信息（作为完整的验证程序设计，这一步骤不能省）。 3．验证哥德巴赫猜想程序设计 /* 验证哥德巴赫猜想 c211 */ #include <stdio.h> #include <math.h> void main(). 58.

(18) 三、素数——上帝用来描写宇宙的文字. { Chapter 3. int c,d,i,j,k,t,x; printf( " 请输入区间上下限："); scanf( " %d,%d",&c,&d); printf( " 在区间[%d,%d]中验证哥德巴赫猜想.\n",c,d); if(c%2!=0) c++; /* 确保 c 为偶数 */ for(i=c;i<=d;i+=2) { j=1; while(j<=i/2) { j=j+2; k=i-j; /* 把 i 分解为两整数 j 与 k 之和 */ t=0; for(x=3;x<=sqrt(k);x+=2) if((j*k)%x==0) /* 若 j 或 k 不是素数则 t=1 */ {t=1;break;} if(t==0) /* j 与 k 都是素数,则输出分解结果*/ { printf( " %d=%d+%d \n",i,j,k); break; } } } if(t==1) /* 偶数 i 不能分解为两素数之和，则输出反例*/ printf( " 找到反例：%d 不能分解为两素数之和。",i); else printf( " 哥德巴赫猜想在区间[%d,%d]中正确. \n",c,d); }. 4．程序运行示例与说明请输入区间上下限：2000,2012 在区间[2000,2012]中验证哥德巴赫猜想. 2000=67+1933 2002=53+1949 2004=53+1951 2006=73+1933 2008=59+1949 2010=59+1951 2012=61+1951 哥德巴赫猜想在区间[2000,2012]中正确.. 59.

(19) 趣味 C 程序设计. 已有人在高速计算机上验证哥德巴赫猜想到了相当大的偶数，都没有找到这一猜想 Chapter 3. 的反例。但这仅仅是验证，并不能代替哥德巴赫猜想的证明，更不能据此验证断言哥德巴赫猜想成立。. 22 合数世纪探求 1．问题的提出运行以上求区间素数的程序可知 20 世纪的 100 个年号[1901， 2000]中有 13 个素数，而 21 世纪的 100 个年号[2001，2100]中有 14 个素数。那么，是否存在一个世纪的 100 个年号中一个素数都没有？定义一个世纪的 100 个年号中不存在一个素数，即 100 个年号全为合数的世纪称为合数世纪。设计程序探索最早的合数世纪。这一与素数探求相关的趣题最早于 1996 年由杨克昌教授在《中国电脑教育报》 “编程实践”栏目中提出并设计求解。 2．设计要点应用穷举搜索，设置 a 世纪的 50 个奇数年号（偶数年号无疑均为合数）为 b，用 k 试商判别 b 是否为素数，用变量 s 统计这 50 个奇数中的合数的个数。对于 a 世纪，若 s=50，即 50 个奇数都为合数，找到 a 世纪为最早的合数世纪，打印输出后退出循环结束。 3．合数世纪程序设计 /* 合数世纪探求 c221 */ #include <stdio.h> #include <math.h> void main() { long a,b,k; int s,x; a=1; while (1) { a++;s=0; for(b=a*100-99;b<=a*100-1;b+=2) { x=0; for(k=3;k<=sqrt(b);k+=2). 60. /* 检验 a 世纪 */ /* 穷举 a 世纪奇数年号 b */.

(20) 三、素数——上帝用来描写宇宙的文字. Chapter 3. if(b%k==0) {x=1;break;} if(x==0)break; /* 当前为非合数世纪时，跳出循环进行下一个世纪的探求*/ s=s+x; /* 年号 b 为合数时，x=1，s 增 1 */ } if(s==50) /* s=50，即 50 个奇数均为合数 */ { printf("最早出现的合数世纪为 %ld 世纪!\n",a); break; } } }. 4．程序运行示例运行程序，得最早出现的合数世纪为 16719 世纪! 16719 世纪的 100 个年号为[1671801，1671900]，这一区间中的 100 个整数全为合数。这是一个非常漫长的年代，可谓天长地久，地老天荒！ 5．最小的连续 n 个合数最小的连续 3 个合数为[8,10]，最小的连续 5 个合数为[24,28]。试求出最小的连续 n 个合数（其中 n 是键盘输入的任意正整数）。这一问题与合数世纪问题密切相关，解的存在性勿庸置疑。对任意正整数 n，总存在连续 n 个合数。例如，n=100 时，易知 101!+2，101!+3，...，101!+101 为连续 100 个合数，它们分别被 2，3，...，101 整除。然而，要具体找出最小的连续 n 个合数谈何容易，这不是一般简单推理所能完成的。（1）设计要点求出区间[c,d]内的所有素数（区间起始数 c 可由小到大递增），检验其中每相邻两素数之差。若某相邻的两素数 m、f 之差大于 n，即 m-f>n，则区间[f+1,f+n]中的 n 个数为最小的连续 n 个合数。应用试商法求指定区间[c,d]（约定起始数 c=3，d=c+10000）上的所有素数。求出该区间内的一个素数 m，设前一个素数为 f,判别：若 m-f>n，则输出结果[f+1,f+n]后结束；否则，作赋值 f=m，为求下一个素数作准备。如果在区间[c,d]中没有满足条件的解，则作赋值：c=d+2，d=c+10000，继续试商下去，直到找出所要求的解。（2）程序实现 61.

(21) 趣味 C 程序设计. Chapter 3. /* 求最小的连续 n 个合数 c222 */ #include <stdio.h> #include <math.h> void main() { long c,d,f,m,j; int t,n; printf(" 求最小的 n 个连续合数.\n"); printf(" 请输入 n(2—100):"); scanf("%d",&n); c=3;d=c+10000; f=3; while(1) { for(m=c;m<=d;m+=2) { for(t=0,j=3;j<=sqrt(m);j+=2) if(m%j==0) /* 实施试商 */ {t=1;break;} if(t==0 && m-f>n) /* 满足条件即行输出 */ { printf("最小的%d 个连续合数区间为:",n); printf("[%ld,%ld]。\n",f+1,f+n); getch();return; } if(t==0) f=m; /* 每求出一个素数 m 后赋值给 f */ } if(m>d) {c=d+2;d=c+10000;} /* 每一轮试商后改变 c,d 转下一轮 */ } }. （3）程序运行示例求最小的 n 个连续合数,输入 n(2--100): 50 最小的 50 个连续合数区间为:[19610,19659]。求最小的 n 个连续合数,输入 n(2--100): 100 最小的 100 个连续合数区间为: [370262，370361]。建议：运行前面求区间素数的程序验证这些区间上是否存在素数。. 62.

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