行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告
年級因素對學童解讀線段圖之影響
The Effects of Gr ade Level on Childr en’s Under standing
of Line Segment Dr awings
計畫編號：NSC 89-2413-H-004-005
執行期限：88 年 8 月 1 日至 89 年 7 月 31 日
主持人：蔣治邦 國立政治大學心理系
一、中文摘要 本研究在加減運算範圍內，探討中年級 學童進行文字題與線段圖間轉譯的能力， 以及線段圖在解題過程中的角色。實驗一 透過四個年級時段 465 個學童的測試，發 現在改變、合併、比較與等化問題情境下， 學童由文字題選擇適當線段圖的作業表 現，有年級時段間的差異，但單、雙線段 圖的型式並未影響表現；實驗二使用與實 驗一相同的文字題，對三、四年級下學期 學童 236 人進行解題測試，四下學童在各 類問題上的表現優於三下，而且在合併問 題上，附加線段圖對三下學童的助益大於 四下，在等化問題上，附加線段圖對四下 學童的助益大於三下；實驗三進行文字題 判斷作業，要求學童依據給定的線段圖， 判斷文字題是否呈現相同的數量關係，經 由對三、四年級下學期學童 222 人的測試， 除了年級效果外，亦發現三下學童在雙線 段圖型式下，判斷改變文字題對錯時，表 現得較單線段圖差，而四下學童在兩種線 段圖型式上的表現則較為相近。比對實驗 一、二的結果，顯示解題能力優於轉譯能 力，綜合實驗一、三的結果，顯示文字題 與線段圖間轉譯的能力，尚有加強的空 間。 關鍵詞：線段圖，認知發展，加減法文字 題。 Abstr actUsing addition and subtraction word
problem, this study was to explore middle grade children’s abilities of making translation between text and line-segment-drawings, and to explore the effects of drawings in the problem solving processes. In Experiment 1, four types of word problems (change, combine, compare and equalizing) and two forms of drawings (single line segment vs. double line segment) was chosen. With a multiple choice task format, students were asked to choose a correct drawing that is agreed with the word problem specified. There were 465 third and fourth graders in the experiment. They were tested either in first or second semester. Based on their grade level and the time tested, four groups of students were formed. Group effects were found in all types of word problems. However, the forms of drawings did not affect students’ performance on the drawing choice task. In Experiment 2, the same word problems were used to explore the effects of drawings in solving the problems. There were 236 third and fourth graders included. The experiment was hold in their second semester. Grade effects were found in all types of word problems. Interaction effects revealed that the effect of additional drawings on combine problems on third graders’ performance was greater than fourth graders, and the effect of additional drawings on equalizing problems on fourth graders’ performance was greater than third graders. In Experiment 3, 222 third and fourth graders participated in a judgement task in their second semester. The students were asked to make judgements that whether word problems were agreed with the given
drawings. Besides of the grade effects, it was found that third graders did better on change problem under single line segment drawing condition rather than under double line segment condition, and the size of this effect was diminished in fourth grade. Contrasting the results of the first two experiments, students have shown a better performance in solving the problems rather than choosing correct drawings. The results of Experiment 1 and 3 have shown that middle grade children’s abilities of making translation between text and line-segment-drawings still have room to be improved.
Keywor ds：line segment drawings, cognitive development, addition and subtraction word problem. 二、緣由與目的 在國小數學教材中，線段圖常被用來協 助說明解題方法或抽象數學概念，透過線 段圖的型式，將與數學有關的概念或想法 外顯化。本研究所關心的線段圖，是指以 往圖解算術中的圖示表徵方式，使用長度 量來表徵問題情境中的數量，並透過視覺 線索表徵問題情境中各數量間的關係。本 研究認為線段圖表示法，是一種精鍊的溝 通工具，是文化的產品，線段圖本身所提 供的視覺線索，並不如理想中的那麼明顯 易見（Cobb，Yackel & Wood，1992），閱 讀者需要發展相關的概念，才能正確解 讀 。 本 研 究 贊 同 Gutstein 和 Romberg （1995）的看法：當看到他人描繪的線段 圖時，學童是否能賦予正確意義，這是值 得關心的研究問題。雖然圖示表徵對問題 解決或數學概念學習到底是有助益或是妨 礙？尚有許多的爭論（吳昭容，民 79； Gutstein & Romberg，1995），但是，數學 教育研究者亦常認為：學童是否能自由的 將各種表徵互相翻譯或轉換，是判斷數學 概念有意義學習的一項重要指標（朱建 正，吳昭容，民 82；吳昭容，民 79；蔣治 邦，民 81；Gutstein & Romberg，1995； Haylock & Cockburn ， 1989 ； Janvier ，
1987；Lesh & Landau，1983）。
在加減運算範圍內，已有大量的研究描 述問題情境對學童解題行為的影響（例 如：翁嘉英、鄭昭明，民 77；蔣治邦、鍾 思嘉，民 80；蔣治邦，民 81；謝毅興，民 80；Carpenter，1985；Carpenter & Moser， 1982；Riley，Greeno & Heller，1983）， 多數的研究都採用相同的問題情境分類系 統，按照文字題描述的語意，區分改變 （ change ）、 合 併 （ combine ）、 比 較 （compare）及等化（equalizing）四類情 境，再依數量運作方向（例如：增加、減 少、比多、比少）及未知數量在問題中的 角色，可以進一步地區分各種類型的問 題。先前的研究結果，已描述各類問題的 相對難度，因此本研究採用此範圍，選擇 難度較高的問題情境，來進行測試。 本研究在加減運算範圍內，透過選擇或 是非判斷作業，觀察文字題與線段圖間轉 譯的表現；在中年級的不同年級時段中， 探索文字題情境與線段圖型式對轉譯表現 的影響；透過解題作業，探討線段圖在解 題過程中的角色。 三、結果與討論 實驗一。透過文字題情境語意（改變、 合併、比較與等化加減問題情境）與線段 圖型式（單線段圖與雙線段圖）的操弄， 對四所台北市國小三、四年級上、下學期 的學童（共 465 人），在團體測試的情況下， 進行由文字題選擇適當線段圖（二選一或 四選一）的作業，學童的表現摘要於表一。 對四類問題分別進行二因子變異數分析 （線段圖型式 X 年級時段），皆顯示年級時 段效果（合併：F3,458= 12.14, MSE= 1.52, p< .001；改變：F3,458= 11.44, MSE= 1.34, p< .001；等化：F3,458= 8.85, MSE= 1.21, p< .001；比較：F3,458= 3.51, MSE= 1.40, p< .05），依據薛費氏事後比較的分析，在 合併問題上，三上學童的表現顯著地低於 四上與四下，三下低於四下，而四上與四 下無差異；在改變問題上，三上學童的表 現顯著地低於四上與四下，三下低於四
下，而四上與四下無差異；在等化問題上， 三上學童的表現顯著地低於三下、四上與 四下，而三下、四上與四下無差異；在比 較問題上，僅發現三上學童的表現顯著地 低於四上。線段圖型式或與年級時段的交 互作用，則皆無可靠的效果，單、雙線段 圖並未影響在各類問題上的選擇表現。 [插入表一] 實驗二。採用與實驗一相同的題目，僅 改變題目中的數字，以降低計算的複雜， 同樣的問題編製成兩份題本，在甲題本的 合併問題附加單線段圖，比較問題附加雙 線段圖；相對地，在乙題本的改變問題附 加單線段圖，等化問題附加雙線段圖，要 求學童解決問題，並留下解題紀錄，在與 實驗一相同的學校中，另選三、四年級下 學期的學童（共 236 人），進行團體測試， 來探究附加線段圖對解題的影響，學童的 表現摘要於表二。 [插入表二] 對四類問題分別進行二因子變異數分 析（題本 X 年級），皆顯示年級效果（合併： F1,232=5.33, MSE=.46, p<.05 ； 改 變 ： F1,232=6.79, MSE=.69, p<.01 ； 等 化 ： F1,232=8.77, MSE=.75, p<.01 ； 比 較 ： F1,232=10.70, MSE=.90, p<.001），四下學童 的表現優於三下；在合併與等化問題上有 顯 著 的 交 互 作 用 （ 合 併 ： F1,232=7.06, MSE=.46, p<.01；等化：F1,232=5.70,MSE=.75, p<.05），顯示在合併問題上，附加線段圖 對三下學童的助益大於四下，而在等化問 題上，附加線段圖對四下學童的助益大於 三下。 實驗三。本實驗的文字題判斷作業，要 求學童依據給定的線段圖，判斷同頁附加 的各個文字題，是否呈現與線段圖相同的 數量關係。作業題本由 8 個線段圖組成， 在後 6 個線段圖下，皆附上改變、等化與 比較文字題各一題，共有三類問題各 6 題， 三類問題中皆有 3 題與線段圖有相同的數 量關係，另 3 題則為相異的數量關係；操 弄線段圖型式與文字題編製成 4 個題本， A、B 題本的文字題相同，C、D 題本的文 字題相同，簡稱甲、乙文字題版本，甲、 乙文字題版本的答案是相反的，例如：在 第三個線段圖下，甲版本的改變問題應判 斷為錯誤，而乙版本的改變問題應判斷為 正確；A、C 題本用單線段圖的型式來表現 這 6 個線段圖，而 B、D 題本用雙線段圖 的型式來表現這 6 個線段圖。最先的兩個 線段圖，皆僅附加兩個文字題，當作控制 問題，其線段圖型式與文字題在四個題本 中皆相同。 在與實驗一、二相同的學校中，另選 三、四年級下學期的學童（共 222 人），進 行團體測試，學童的表現摘要於表三。對 四類問題採單純交互作用模式進行三因子 變異數分析，在控制題分數上，甲、乙版 本上的年級單純主要效果皆達顯著的差異 （甲：F1,214= 9.40,MSE= 0.79, p<.01；乙： F1,214= 4.63, MSE= 0.79, p<.05），皆是四下 學童優於三下，由於四個題本的控制題完 全相同，沒有其他的顯著效果，顯示四個 題本的隨機分派可能沒有太大的問題；在 改變問題分數上，乙版本上的年級單純主 要效果達顯著的差異（F1,214= 5.04, MSE= 2.03, p<.05），四下學童優於三下，而在甲 版本上有線段圖型式與年級的單純交互作 用（F1,214= 4.26, MSE= 2.03, p<.05），三下 學童受線段圖型式的影響較四下明顯，三 下學童在雙線段圖型式下，判斷改變問題 是否符合給定的線段圖，表現得較差，而 四下學童在兩種線段圖型式上的表現則較 為相近；在等化問題分數上，僅甲版本上 的年級單純主要效果達顯著的差異（F1,214= 4.79, MSE= 2.17, p<.05），四下學童優於三 下；最後，在比較問題分數上，沒有任何 顯著的效果。 [插入表三] 討論。實驗一、二採用相同的文字題， 而學童解題（在無線段圖的輔助下）的表 現優於線段圖的選擇，由於兩個實驗都在 相同的學校中實施，上述的差異較難歸因 於學童樣本的不同，而且在蔣治邦（民 81） 的研究中曾注意到同樣的現象，線段圖並 非學童常用的溝通工具，這可能是線段圖 選擇作業表現較差的原因，也提醒線段圖 與文字題間的關係，並不如理想中的那麼
明顯易見，線段圖的語法（例如：如何表 現數量的合成、分解或比較），可能造成學 童將文字題轉譯為線段圖時的困難。 實驗一、三是相反方向的轉譯作業，由 於作業方式及其中文字題的難度皆不相 同，並不適宜作比較，但是，大致而言， 四下學童答對約 65%的線段圖選擇問題， 約 69%的文字題判斷問題，顯示文字題與 線段圖間轉譯的能力尚有加強的空間，除 了線段圖是不熟悉的溝通工具之外，學童 在轉譯過程中，遇到什麼認知障礙？需要 進一步的分析與探討。 依據實驗二的結果，在文字題上附加線 段圖，有時能增加學童正確解題的機會， 整體而言，對四下學童，附加線段圖約增 加 5%的答對率，而在附加線段圖的情境下 仍有約 10%的答錯率；對三下學童，附加 線段圖約增加 5%的答對率，而在附加線段 圖的情境下仍有約 17%的答錯率，附加的 線段圖重述了文字題情境中的數量關係， 如果線段圖所提供的數量關係線索明顯易 見，為何部份學童的解題表現仍反映錯誤 的數量關係理解？當對文字題與線段圖的 理解，產生不同的數量關係時，學童如何 解決衝突？仍須進一步的理解與探討。 實驗三發現三下學童在單線段圖型式 下，較能正確地判斷改變問題是否符合給 定的線段圖，建議學童在發展讀圖能力 時，尚受到線段圖型式與文字題情境契合 程度的影響，改變問題是單一數量改變的 情境，或許與單線段圖型式較為契合，而 與雙線段圖型式較有距離，但此契合程度 的假說，在本實驗中尚未獲得太多的證 據，可能需要修正文字題的難度，再作進 一步的探究。 四、計畫成果自評 將原計畫中所述文字題類型範圍稍作 修改後，完成原計畫中的實驗一、二，合 併為本報告中的實驗一；將原計畫實驗四 中所述選擇作業修改為判斷作業，以增加 文字題類型探討的範圍，完成本報告中的 實驗三；由於檢視實驗一中上學期資料， 學童選圖作業的表現不理想，引發重新探 究學童對文字題理解程度的需要，決定暫 緩原計畫的實驗三，改為使用實驗一中的 文字題進行解題作業，並探討附加線段圖 對解題的影響，完成本報告中的實驗二。 目前的報告已完成資料概要的分析與說 明，計畫將配合各個實驗中各個問題上表 現與錯誤類型的分析，嘗試探討與理解學 童可能的認知困難，再正式撰寫探究的心 得，尋求學術期刊的發表。 實驗一、三的結果，顯示文字題與線段 圖間轉譯的能力，在中年級階段仍在持續 發展，轉譯過程中，學童遇到什麼認知障 礙？比對實驗一、二的結果，顯示解題能 力優於轉譯能力，如果解題作業與轉譯作 業的表現，皆反映學童對文字題中所述數 量關係理解的程度，為何表現會有差距？ 這些問題的提出與釐清，將有助於理解中 年級學童解題時的推理基礎及其所涉及概 念的發展。 由於中年級學童文字題與線段圖間轉 譯的能力，尚有加強的空間，建議教師在 使用線段圖來協助說明文字題的解題方法 時，須先協助學童「看到」線段圖確實地 摘要了文字題中的數量關係，否則教師解 題方法的說明，將只是在討論另一個問 題，學童無法聯想此時的討論與原文字題 解法的關係。 五、參考文獻 朱建正、吳昭容。(民 82)。「國小學童 使用圖示之發展研究」。國科會研究 計劃。 吳昭容。(民 79)。「圖示對國小學童解 數學應用題之影響」。國立台灣大學 心理學研究所未發表之獨立研究。 翁嘉英、鄭昭明。(民 77) 。國小兒童 解數學應用題的認知歷程。見梁雲 霞主編：「七十七年國小課程研究學 術研討會專輯」。台北縣：台灣省國 民學校教師研習會。 蔣治邦。(民 81)。「中、低年級理解題 意之發展研究—文字、符號、圖形 等表徵系統間之轉換」。國科會研究
計劃。 蔣治邦、鍾思嘉。(民 80)。低年級學童 加減概念的發展。「教育心理與研 究」，14 期，35-68。 謝毅興。(民 80) 。「國小兒童解數學應 用問題的策略」。國立台灣大學心理 學研究所未發表之碩士論文。 Carpenter, T. P. (1985). Learning to
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表一、學童在線段圖選擇作業a上表現的平均數與標準差。 三上 三下 組別 題 本 問題類別 單線段 雙線段 單線段 雙線段 2.04 2.28 2.42 2.38 合併 (1.34) (1.23) (1.51) (1.10) 1.77 1.93 2.45 2.07 改變 (1.25) (1.17) (1.07) (1.07) 1.81 1.79 2.40 2.05 等化 (1.01) (1.07) (0.97) (1.10) 1.86 1.86 2.18 2.05 比較 (1.06) (1.05) (1.31) (1.15) 總人數 57 58 55 55 四上 四下 組別 題 本 問題類別 單線段 雙線段 單線段 雙線段 2.79 2.92 2.97 3.07 合併 (1.24) (1.15) (1.29) (0.98) 2.34 2.42 2.70 2.75 改變 (1.24) (1.05) (1.24) (1.15) 2.49 2.32 2.43 2.51 等化 (1.13) (1.20) (1.17) (1.10) 2.21 2.44 2.15 2.36 比較 (1.28) (1.16) (1.23) (1.21) 總人數 61 59 60 61 a：各類問題皆有 4 題。 表二、學童在甲、 乙題本a中四類問題上解題表現的平均數與標準差。 三年級 四年級 組別 題 本 問題類別 甲題本 乙題本 甲題本 乙題本 3.81 3.41 3.78 3.85 合併 (0.48) (1.08) (0.56) (0.40) 3.19 3.31 3.41 3.66 改變 (0.93) (0.92) (0.81) (0.63) 3.17 3.03 3.24 3.64 等化 (0.86) (1.06) (0.92) (0.58) 3.09 2.64 3.27 3.26 比較 (0.82) (1.21) (0.87) (0.85) 總人數 58 58 59 61 a：各類問題皆有 4 題，在甲題本的合併問題附加單線段圖，比較問題附加雙線段圖； 相對地，在乙題本的改變問題附加單線段圖，等化問題附加雙線段圖。
表三、學童在文字題判斷作業上表現的平均數及標準差 甲文字題版本 三年級 四年級 組別與題本 問題類別 單線段 雙線段 單線段 雙線段 2.92 2.83 3.28 3.53 控制a (1.04) (0.83) (0.88) (0.73) 3.84 2.87 3.79 3.97 改變 (1.43) (1.66) (1.24) (1.43) 3.88 3.00 4.07 4.07 等化 (1.33) (1.95) (1.28) (1.70) 3.52 3.57 3.79 3.67 比較 (1.50) (1.12) (1.18) (1.15) 總人數 25 23 29 30 乙文字題版本 三年級 四年級 組別與題本 問題類別 單線段 雙線段 單線段 雙線段 3.19 2.96 3.53 3.33 控制 (0.96) (0.92) (0.80) (0.96) 4.15 4.00 4.31 5.03 改變 (1.49) (1.60) (1.53) (1.00) 4.04 3.73 4.13 4.60 等化 (1.37) (1.40) (1.39) (1.33) 3.85 3.38 4.03 3.97 比較 (1.23) (1.27) (1.40) (1.40) 總人數 27 26 32 30 a：各題本中，皆有控制題 4 題，改變、等化與比較問題各 6 題。
