中 華 大 學

中 華 大 學 碩 士 論 文

應用非線性模式之大型風力機用增速行星齒 輪箱之動態響應分析

Dynamic Analyses of Planetary Gear Increaser in Large Scaled Wind Turbines by Using the

Nonlinear Model

系 所 別： 機械工程學系碩士班 學號姓名： M09808022 陳頌文 指導教授： 黃 國 饒 博 士

中 華 民 國 101 年 8 月

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摘要

大型風力發電已成為最具優勢的替代能源。然而大型風力機組運轉並非如其優雅 外觀般的安全可靠，風力機運轉安全仍急待提升，改善脆弱點之一的增速齒輪箱，對 於機組可靠度的提高極為關鍵。因此本研究將分析單級行星齒輪箱的模態和暫態與穩 態響應特性，計算動態齒輪應力與軸承負載，並討論非線性齒對嚙合剛度之影響。

行星式螺旋齒輪箱動態分析是複雜多自由度系統，本研究將獲得承受各種變動負 載下單級增速螺旋行星式齒輪箱之模態與動態分析方法與分析結果，也包括非線性嚙 合剛度之影響探討。將分別應用非線性與時變的等效離散動態模式與有限元素之連體 模式來分析單階齒輪箱之動態響應與振動模態特性。在離散模式方面，將先計算內/

外螺旋齒輪對之非線性時變等效嚙合剛度、齒輪對相位關係、以及組裝與幾何關係，

推導出單級螺旋行星齒輪系之離散運動方程式，並考慮軸承、輸出入軸與齒輪箱體剛 度，從風場條件搜集、機組操作資料等獲得輸出入軸的變動負載，進行數值求解計算 行星齒輪系統的動態特性，計算動態齒輪應力與動態軸承負載，並進行模態分析計算 其自然頻率與模態。此外將應用LS-DYNA 之有限元素的動態分析來驗證非線性時變 離散模式分析結果。然後探討各種變動負載下行星式螺旋齒輪箱之暫態與穩態響應特 性，以建立承受變動負載之單級增速行星式螺旋齒輪箱的動態與模態分析方法與設計 技術。

關鍵字：行星齒輪系統、動態、 風力機、嚙合剛度、等效離散動態模式

Abstract

Large scale wind turbines have been the most potential renewal alternative to fossil energies. However, running records of the giant machines are not as reliable as their elegant and gentle appearance. To date, enhancement of their operation reliability is highly desired. Improvement of the transmission gearboxes is the key point. Perhaps, ensuring the safe operation of the gearboxes is the only way to significantly increase their system reliability. Therefore, in this thesis, the modal performance and dynamic response of single stage planetary gearings are analyzed. The dynamic load on the bearings and harmonic vibration of nonlinear mesh stiffness of gear pairs will also be included.

Planetary helical speed increasing gearings used in large scaled wind turbines are complex and multi-degrees of freedom dynamic systems. This study focuses on modal characteristics of single stage planetary gear systems and their dynamic characteristics under variant wind types of extreme fluctuation excitations. The harmonic vibration due to non-linear mesh stiffness of gear pairs is also investigated. Both approaches which respectively use an equivalent discrete model and finite element model to calculate dynamic responses and modal characteristics are used. In the discrete approach, the equivalent time varying mesh stiffness and meshing phases among the external and internal gear pairs will be derived. The geometry and assembly constraints of the planetary gear sets are also established. Then, equations of dynamic analyses for single stage planetary helical gearings are derived. Additionally, stiffnesses of ball bearing and shafts are also incorporated. The excitations exerting on gearing input and output shafts are applied. After performing numerical calculations, the dynamic responses of gearings are obtained.

Natural frequencies and modal shapes are also resulted using the modal analysis. Besides, analyses using the finite element software, LS-DYNA, are conducted to dynamic responses

`  iii

of the planetary gear systems. The FE results are compared with the numerical results of the discrete model. Basing on the variant operation conditions, transient and steady state dynamic responses subject to fluctuating load are achieved. Accordingly, the analysis and design techniques for the planetary gearboxes can be established.

Keywords: Planetary gear system, Dynamics, Wind turbine, Mesh stiffness, Discrete model.

致謝

研究的時光轉眼結束，學生的研究生涯將在此論文劃上句點邁向新的生涯開端，

在這短暫的研究期間，首先特別感謝指導教授  黃國饒博士，在課業、研究主題與論 文寫作上細心指導，且當學生遇到研究瓶頸時，老師更是適時的給予鼓勵與協助；而 老師的研究精神與待人處世態度亦是學生的榜樣，且在專業領域或人生態度方面，學 生都受益良多，在此衷心感謝老師對學生的照顧，對於恩師的感謝難以言表。 

        也感謝口試委員中華大學機械系徐永源教授與中央大學機械系蔡錫錚老師，對於 論文上面的指正與建議，提供寶貴意見使本論文更加完善。此外，感謝行政院國家科 學委員會計畫案經費之支援。 

研究生活中，還要感謝學長慶亞、景輝、冠瑋與同學晨熙，總是能在困難時，適 時伸出援手；也要感謝學弟家有、康晏與福恩及中華大學的各位朋友，在研究過程中 給予協助，使我能順利完成論文研究與撰寫。 

最後，僅以此論文獻給我親愛的家人與朋友，因為有你們在精神上的支持鼓勵與 陪伴，才能順利的完成學業，在此將喜悅和榮耀與所有關心我的家人及朋友們分享。

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目錄

中文摘要 ... i

英文摘要 ... ii

致謝 ... iv

目錄 ... v

表目錄 ... viii

圖目錄 ... ix

符號表 ... xi

第一章 序論 ... 1

1.1 研究背景 ... 1

1.2 研究動機與目的 ... 2

1.3 文獻回顧 ... 3

1.4 大綱 ... 4

第二章 行星齒輪系統幾何與分析模型 ... 5

2.1 行星齒輪系架構 ... 5

2.2 裝配限制條件 ... 7

2.3 齒輪對相位差 ... 8

2.4 螺旋齒輪對之時變嚙合剛度 ... 10

2.4.1 外嚙合齒對之等效剛度 ... 11

2.4.1.1 外齒輪對赫茲接觸變形 ... 11

2.4.1.2 外正齒輪受負載之輪齒懸臂樑撓曲變形 ... 11

2.4.1.3 輪齒與本體之支撐變形 ... 12

2.4.1.4 單位齒寬之外正齒輪之齒對剛度 ... 13

2.4.2 單個內嚙合齒對之等效剛度 ... 14

2.4.3 螺旋齒輪對等效剛度 ... 15

2.4.4 螺旋角方向與齒輪旋轉方向 ... 16

2.4.4.1 外螺旋齒輪對 ... 16

2.4.4.2 內螺旋齒輪對 ... 18

2.5 加工與組裝誤差 ... 20

2.6 整合分析與設計技術 ... 21

第三章 行星齒輪系運動方程式推導 ... 22

3.1 行星齒輪系離散模式之運動方程式 ... 22

3.2 離散模式之動態分析 ... 27

3.3 軸與軸承剛度 ... 29

3.4 負載條件 ... 30

3.5 動態響應結果 ... 34

第四章 結果與討論 ... 35

4.1 模態型式分析與動態求解 ... 35

4.2 外齒輪對剛度 ... 36

4.2.1 螺旋角與齒輪對剛度 ... 36

4.2.2 齒寬與齒輪對剛度 ... 37

4.2.3 齒數與齒輪對剛度 ... 38

4.3 模態分析結果 ... 39

4.3.1 分析例一 ... 39

4.3.2 分析例二 ... 44

`  vii

4.4 動態變形與動態嚙合力 ... 48

4.3.2.1 固定轉速運轉 ... 48

4.3.2.2 變動轉速運轉 ... 49

第五章 結論與未來展望 ... 51

5.1 結論 ... 51

5.2 未來展望 ... 52

參考文獻 ... 53

表目錄

表4-1 (a)行星齒輪系（19-34-89）之齒輪設計參數 ... 39

表4-1 (b)行星齒輪系（19-34-89）之輸出入軸設計參數 ... 39

表4-1 (c)行星齒輪系（19-34-89）之軸承剛度 ... 39

表4-1 (d)行星齒輪系（19-34-89）之軸與軸承矩陣 ... 40

表4-2 螺旋行星齒輪系自然頻率與模態 ... 41

表4-3 (a)行星齒輪系（19-34-89）之齒輪設計參數 ... 44

表4-3 (b)行星齒輪系（19-34-89）之輸出、入軸設計參數 ... 44

表4-3 (c)行星齒輪系（19-34-89）之軸承剛度 ... 44

表4-3 (d)行星齒輪系（19-34-89）之軸與軸承矩陣 ... 45

表4-4 螺旋行星齒輪系自然頻率與模態 ... 45

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圖目錄

圖2-1 2Z-X 型之行星齒輪系的 2D 機構圖 ... 5

圖2-2 2Z-X 型之單階螺旋行星齒輪系的 3D 實體模型 ... 6

圖2-3 (a)第 k 組與第 1 組齒輪對之嚙合相位差 ... 9

圖2-3 (b)第 k 個與第 1 個行星齒輪裝配關係示意圖 ... 9

圖2-4 外、內螺旋齒輪對的之等效彈簧-質量的離散分析模式 ... 10

圖2-5 輪齒與本體之支撐之等校模式 ... 13

圖2-6 外螺旋齒輪對嚙合齒線與等效嚙合剛度圖示 ... 16

圖2-7 外螺旋齒輪對 (太陽齒輪為主動齒輪) ... 17

圖2-8 外螺旋齒輪對 (行星齒輪為主動齒輪) ... 18

圖2-9 內螺旋齒輪對 (行星齒輪為主動齒輪) ... 19

圖2-10 內螺旋齒輪對 (環齒輪為主動齒輪) ... 20

圖3-1 (a) 2Z-X 形式單級增速行星齒輪系統基本組成 ... 22

圖3-1 (b)等效彈簧-質量的離散模式 ... 22

圖3-2 (a)扭矩-時間梯形圖 ... 31

圖3-2 (b)速度-時間梯形圖 ... 31

圖4-1 行星齒輪系之離散模式動態分析之三種模態型式 ... 35

圖4-2 不同螺旋角之齒對剛度變化 ... 36

圖4-3 不同齒寬之齒對剛度變化 ... 37

圖4-4 不同齒數之齒對剛度變化 ... 38

圖4-5 自然頻率驗證比對結果 ... 41

圖4-6 以 FEM 與離散模式分析之螺旋行星齒輪系之模態範例圖示 ... 43

圖4-7 自然頻率驗證比對結果 ... 46

圖4-8 以 FEM 與離散模式分析之螺旋行星齒輪系之模態範例圖示 ... 48

圖4-9 單級行星齒輪系統之行星齒輪的 6 自由度動態變形響應結果 ... 49

圖4-10 單級行星齒輪系統之動態力 ... 49

圖4-11 單級行星齒輪系統之行星齒輪的 6 個自由度動態變形響應結果 ... 50

圖4-12 單級行星齒輪系統之動態力 ... 50

`  xi

符號表

下列符號上標d，s，c，j，r，o 分別代表輸入軸、太陽齒輪、行星架、行星齒輪、

環齒輪和輸出軸。

 

c：行星架 s：太陽齒輪 r：環齒輪 j：行星齒輪 d：輸入軸 o：輸出軸 m：法面模數 z：齒輪之齒數 N：行星齒輪個數

Φ ：相鄰兩行星齒輪間夾角 O：齒輪中心點

b：齒輪之齒寬 C：背隙

E：齒輪材料的楊氏係數 υ ：齒輪材料的浦松比 a：兩齒輪接觸壓陷的寬度 S：剪力

M：彎矩 α ：壓力角

β

：螺旋角

φ：x 軸與兩齒輪中心線夾角 ψ ：y 軸至作用面間角度 k：剛度

e：誤差 T：動能 V：位能 M：質量矩陣 C：阻尼矩陣 K：剛度矩陣 F：激振向量 X：位移向量

τ ：扭矩

t：時間(秒)

ζ：齒輪移位係數  

第一章 序論

1.1 研究背景

目前CO2排放與石油枯竭是全球面臨最迫切的能源環保兩大課題[1]。各界對於、

太陽能、生質能、海洋等方案，皆被賦以高度期待，然而當今仍只有 MW 級大型風

力發電機組具備足夠發電能量與成本競爭的地位，研究發表指出其中關鍵[2]。尤其

在2011 年日本地震引發的福島核能危機發生後，歐、美、日、中國皆已重新省視其

能源戰略方向，德國決定 2022 年廢核並以全力發展風力發電，而從最近 ASME 的 IDETC-2011 之 Power Transmission and Gearing 學術研討會並已增設風力機齒輪主題 [3, 4]，可嗅出美國對於風力事業發展勢在必得之企圖。台灣四面環海也具備有優越 的風場條件[5]，因此利用大型風力發電機組是備受矚目期待。事實上風能運用已有 數千年歷史，根據世界風能組織[6]描述，Betz 分別於 1920 與 1926 年計算風力發電 極限與最佳葉片幾何設計；1958 年 Cour 提出風力發電所產生之交流電併入電網的概

念；而1982 年丹麥廠商最早承接美國風力發電訂單開始從事商業生產。目前為了有

效利用優越風場條件的風場資源，以提高發電容量並更一步降低成本，多朝向發展大 型的風力發電機組為目標。

MW 級大型風力發電機組，其中增速齒輪箱為重要關鍵組件之ㄧ，而增速齒輪系 統一般可分為固定平行軸齒輪系與行星式齒輪系兩大類。風力發電機組最常運用行星

式齒輪系，其結構配置2 個以上之行星齒輪，因此可以分擔負荷。螺旋漸開線行星齒

輪系具有運轉平順、低振動噪音、經久耐用、傳動確實、高傳遞功率-體積比、輸入

軸與輸出軸為同心軸設計、低齒輪切線速度、裝置體積小等優點，所以2 MW 以上之

大型風力發電機組之齒輪箱，幾乎都採用螺旋行星齒輪系。此外為了達到百倍增速 比，常運用兩類型設計：2 段螺旋行星齒輪系加上 1 段固定平行軸螺旋齒輪[7, 8]或是 3 段螺旋行星齒輪系[9]。而大型風力發電機組，為了減少體積與重量、增加傳動效率

`  2

並降低切線速度，常採用多階螺旋行星式齒輪系統來達成。由於風力機齒輪箱需經年 累月承受變動風場之高激烈變動負載條件，而造成齒根斷裂、齒面疲勞、膠合磨耗等 齒輪破損，因此齒輪箱之可靠度為其關鍵，需具備高可靠度齒輪箱設計分析技術，掌 握承受高激烈變動負載條件下之多階螺旋行星齒輪系統暫態與穩態之動態響應分析 技術極為重要。

1.2 研究動機與目的

由於大型風力發電機組造價高達5 千萬 NTD/MW，運轉壽命需達到 20 年以上，

然而事實上看似平順運轉的巨大風車並非如其優雅外觀般之平靜，大型風力機損壞事 件仍在世界各地層出不窮發生[10]，其中多級增速齒輪系為 MW 級風力發電機組重要 關鍵，由於其構成零件複雜是機組中最常出現的問題，且維修點不易到達以致維護費 用極高，因此增速齒輪箱技術為提昇風力發電機組的系統安全與運轉可靠度關鍵。一 般的齒輪系統終其運轉期間常處於額定負載附近操作，而風力發電機所用之增速齒輪 組，由於風場高度變動與電網安全特性，須考慮起動、運轉、關機、緊急煞車等變動 衝擊負載，容易發生包括齒根斷裂、齒面疲勞、膠合磨耗、漏油等破損，此變動負載 激振傳達至軸承更是造成齒輪箱軸承破壞主因，因此掌握增速齒輪箱承受激烈變動負 載下的齒輪暫態與穩態之動態響應特性，對於提高風力發電機組系統可靠度極為重 要。

本研究依據風場條件與行星齒輪系變動負載關係，計算出自然頻率並獲得自然模 態，並以數值積分方法求解行星齒輪系統動態響應。探討起動、運轉、關機、緊急煞 車等各種緊急情況下暫態與穩態之動態響應。而多級增速行星齒輪系動態分析之運動 方程式，也可以應用相類似過程來建立與求解。

1.3 文獻回顧

本研究目標分析大型風力發電機用之增速螺旋行星式齒輪系動態負荷，以獲得確 保其運轉安全與壽命的設計技術。一般固定軸螺旋齒輪系的離散模式動態研究文獻發 表眾多如[11, 12]且較為完整。而關於以離散模式之螺旋行星齒輪系振動分析為高自 由度的系統，其理論模式複雜，影響因素極多如齒數搭配、齒輪嚙合剛度、行星架與 軸承剛度以及潤滑條件與阻尼等。本研究將推導包含嚙合剛度與嚙合相位因素之非線 性時變模式之動態分析。關於利用等效離散模式之行星齒輪系動態，較早研究著重在 於以非時變模式計算出系統之自然頻率、振動模態、動態變形與動態力[13-15]。而 August 與 Kasuba [16]則進一步考慮齒輪對嚙合剛度之變動與太陽齒輪固定方式，對 於行星輪齒系統動態力之影響；而Kahraman [17]則改變行星齒輪之個數，考慮齒型 誤差造成之激振力，分析行星螺旋齒輪系之振動模態。另根據Velex 和 Flamand [18]

則指出嚙合齒對剛度對於行星齒輪系較之太陽齒與環齒之支撐剛度影響大。近來關於 行星齒輪系統之動態研究，亦開始探討如間隙與磨耗等非線性因素之影響；Sun 和 Hu [19]考慮非線性背隙與時變嚙合剛度之行星齒輪系動態特性；Bajer 和 Demkowicz [20]則利用多體模式分析行星齒輪系統衝擊能量之變化，而 Paker [21]則研究嚙合相位 與齒輪系統動態之關係，而最近 Ligata 等人[22]之研究則開始從事行星齒輪系統實 驗，以多位置多個應變規來量測環齒輪的動態齒根應力。大型風機組增速幾乎都採用 多級行星式螺旋齒輪箱來達成，而多階行星齒輪系之振動自由度數量與各級齒輪系之 幾何與力學相互影響關連更是複雜，因此關於多階行星齒輪系統以離散模式之動態研 究則直到最近才開始，[23-25]分析汽車用多階行星齒輪系統之模態特性，而動態響應 分析僅進行無相位差線性系統之穩態求解。

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1.4 大綱

由於風力機螺旋增速齒輪箱動態效應產業之振動噪音主要來自於變動負載激振 與非線性嚙合剛度之諧波響應所造成，而以離散模式分析變動負載大型增速行星式齒 輪系統動態特性與諧波響應研究，就目前所知，則仍未見到。因此本研究將分析單級 行星齒輪箱模態與動態特性，探討包括來自於風場附載條件、以及非線性齒對嚙合剛

度之諧波振動，並尋求產學合作實驗結果與FEM 結果來驗證；並整合齒輪系之變動

負載、模態與動態特性及其影響因素如齒數搭配、嚙合相位、齒輪移位、齒輪修整、

軸承與箱體剛度等，獲得增速行星齒輪系動態設計資料，並推廣至多級系統分析，建 立兩級增速螺旋行星式齒輪箱的動態響應與模態特性分析方法。本研究可建立承受變 動激振負載之單/多級增速行星式螺旋齒輪箱的動態與模態分析方法與設計技術。

第二章 行星齒輪系統幾何與分析模型

本章介紹行星齒輪系之型式架構與幾何限制條件，包括2Z-X型之行星齒輪機構 組成，並整合其變動負載、模態特性與動態響應，探討齒輪箱系統之重要參數與影響 因素，包括如齒數搭配、齒輪移位、嚙合相位、軸承與齒輪箱剛度、加工與組合誤差 等，以獲得優化增速行星齒輪系之設計技術資料。

2.1 行星齒輪系架構

行星齒輪系是以行星架結合多個行星齒輪繞著太陽齒輪做週轉運動的複雜且多 自由度振動系統，尤其風力發電機組幾乎常採用多階行星式齒輪系，其型式種類與設 計考量將更行複雜。在行星齒輪機構中，其太陽齒輪、環齒輪與行星架有相同的中心 軸線，這種行星齒輪機構被稱為2Z-X 型，而增速用 2Z-X 型之行星齒輪系 2D 機構如 圖2-1 所示，為固定環齒輪之型式，以行星架 c 為輸入端，太陽齒輪 s 為輸出端，以 達增速之目的，圖2-2 為 2Z-X 型之單階螺旋行星齒輪系的 3D 實體模型。

圖2-1 2Z-X 型之行星齒輪系的 2D 機構圖

`  6

圖2-2 2Z-X 型之單階螺旋行星齒輪系的 3D 實體模型

2.2 裝配限制條件

正/螺旋行星齒輪系統中，太陽齒輪、行星齒輪和環齒輪之間的關係須滿足下列 三個條件始能順利裝配之[26]。

1. 中心距同軸條件

各齒輪間之中心距離必須相同，如式(2-1)。

s j r j

p p p p

r +r =r −r (2-1)

其中r_p^s，r_p^j，r_p^r分別為太陽齒輪、行星齒輪和環齒輪之節圓半徑長。

2. 行星齒輪等分配條件

(i) 行星齒輪成為無相位差之等間隔分配所需條件，為了要讓各行星齒間所夾

角度相同，而且為了避免嚙合時太陽齒輪產生徑向負荷所以行星齒輪均勻 分佈條件如式(2-2)，式中z 、^s z 分別為太陽齒輪與環齒輪之齒數，^r N 為行 星齒輪個數，Ｉ表示整數。

(

^{zs zr}

)

_I

N

+ ∈ (2-2)

若 z N I^s/ ∈ ，則等分行星齒輪系且各行星齒輪與太陽齒輪或環齒輪之嚙合 無相位差。

(ii) 若行星齒輪為具有相位差之等間隔分配則須滿足式(2-3)。

( )

360

s r

z z + Φ I

∈ (2-3)

式中Φ 為相鄰兩行星齒輪間所成的夾角。

(iii) 若(2-2)與(2-3)式無法滿足，則行星齒輪系統必定成為不等間隔分配。

`  8

3. 避免行星齒輪相碰撞條件

為了避免相鄰之行星齒輪相碰撞，太陽齒輪與行星齒輪間之中心距必須大於 行星齒輪之齒頂直徑，如式 (2-4)

z^{j 2}ha^j

(

z^s z^j

)

^sin180o

+ < + N (2-4)

式中h 為行星齒輪齒冠高，_a^j z 、^s z 分別為太陽齒輪與行星齒輪之齒數。 ^j

2.3 齒輪對相位差

齒輪對不連續性時變嚙合剛度，造成非線性行星齒輪系統之諧波振動，而改變齒 輪對相位關係可以改變此非線性特性，而藉此改善其諧波振動現象。圖2-3(a)表示齒 輪對間相位關係。根據行星齒輪系統之齒數搭配 ( ,z z z )、行星齒輪數目(^{s j}, ^r N) 與 嚙合相位θ_p^{( )k} 行星齒輪系統於嚙合時第i 個行星齒輪與其他 N－1 個行星齒輪與太陽 齒輪或環齒輪之嚙合相位有下述關係：(I) 當z N 與^s/ z^r/N 為整數且行星齒輪等分裝 配時，每個行星齒輪之嚙合相位相同，無嚙合相位差；(II) 當 (I)不成立即z N 與^s/

r/

z N 不為整數或者行星齒輪以非等分裝配時，如圖 2-3(b)所示，第 k 個行星齒輪與

第1 個行星齒輪相隔ψ_c^{( )k} 角度再自轉Δθ_p^{( )k} 角度後，第k 個行星齒輪得以順利裝配之。

( )k

θp

Δ 計算如式 (2-5) [27]

( )^k

(

^{s Int}

(

^s

(

² ( )^k

) ) ⁽

^{2 ( )k}

⁾ ) ⁽

^{2 ( )k}

^{) (}

^{2 p}

⁾

p z z c c c z

θ π ψ π ψ π ψ π

Δ = − × × (2-5)

另外，各種齒輪對嚙合相位之間的關係共分三種：(a)第 k 組外齒輪對與第 1 組外齒 輪對間之相位差，(b)第 k 組內齒輪對與第 1 組內齒輪對間之相位差，(c)第 1 組內齒

輪對與第1 組外齒輪對間之相位差。最後應用上述三種齒輪對之相位差關係，可計算

O

k

O

1

O

s

(k) p C

(k)

出行星齒輪系統中任何兩組齒對間的瞬間嚙合相位差的關係。

(a) (b)

圖2-3 (a)第 k 組與第 1 組齒輪對之嚙合相位差; (b)第 k 個與第 1 個行星齒輪裝 配關係示意圖

嚙合角度 

嚙合齒對嚙合齒對

第 k 個 行 星齒 輪 與 太陽齒輪之嚙合相位

第1個行星齒輪與太

陽齒輪之嚙合相位

`  10

2.4 螺旋齒輪對之時變嚙合剛度

本研究將以彈簧-質量的離散模式分析行星齒輪動態特性，需先獲得等效太陽齒 輪-行星齒輪外齒輪對與行星齒輪-環齒之內齒輪對時變嚙合剛度。先以齒條輪廓與嚙 合方程式，推導出標準或非標準漸開線外齒輪與環齒輪之輪廓方程式，考慮齒輪系運 轉之時變特性，考慮各種參數如壓力角、齒數搭配、嚙合點、齒輪移位等嚙合剛度改 變，計算出其瞬間之嚙合齒對數目與嚙合點位置。

齒輪剛度定義為一對嚙合的齒輪在每單位齒寬上產生單位撓度所施加的載荷，主 要是由輪齒與本體的撓度剛度與接觸點的赫茲剛度所組成。

齒輪受負載接觸變形主要有兩部份：赫茲接觸變形與輪齒懸臂樑撓曲變形，必須 探討這兩種輪齒受負載撓度。而在行星齒輪機構中有兩種不同的齒輪對，一是由兩種 外齒輪所組成的太陽齒輪-行星齒輪對，一是由內齒輪與外齒輪所組成的環齒輪-行星 齒輪對，這兩種齒輪對在赫茲接觸變形與輪齒懸臂樑撓曲變形上也不盡相同，以下將 分別就兩種不同齒輪對，分別對不同的齒輪受負載撓度討論。

主動

θzs

θxs

θxj

θzj

θys

θyj

βsj

gear s

planet j ψsj

e (t )sj

ksj

yj

xj

zj

φsj

zs

ys

xs

RH

LH

αsj

主動

krj

yj

θyj

xj

θxj

φrj

e ( t )rj

zj

θzj

θyr

yr

θzr

zr

θxr x^r

planet j

gear ring RH LH

βrj

ψrj

αrj

(a) (b)

圖2-4 外、內螺旋齒輪對的等效彈簧-質量之離散分析模式

2.4.1 外嚙合齒對之等效剛度

2.4.1.1 外齒輪對赫茲接觸變形

將接觸的輪齒視為兩個彈性圓柱體，圓柱體的曲率半徑會隨著嚙合位置改變，其 曲率半徑大小為接觸點到基圓得長度。利用赫茲線接觸中兩圓柱體在接觸時的接近量 計算，可以求得在此接近量時的輪齒負載

2 2

, , ,

, ,

2F 1 2 1 2

ln^{SPi j SPi j} 0.407 ln ^{PiS j} 0.407

H SPi j

L L

w b E a E a

υ υ

π

⎡ − ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞⎤

= ⋅ ⎢⎣ ⎜⎝ + ⎟⎠+ ⎜⎝ + ⎟⎠⎥⎦ (2-6)

且

2 ,

, ,

4F (1 )

1 1

2 2

SPi j

SPi j PiS j

a

E b L L υ π

= −

⎛ ⎞

⋅ ⋅ ⋅⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠

(2-7)

其中w_{H SPi j, ,} 為兩輪齒的接近量，即為兩齒輪的變形量總和，F_SPi,j為輪齒負載，b 為齒

面 寬 ，υ 為齒輪材料的浦松比(Poisson ratio)，E 為齒輪材料楊氏係數(Young’s modulus)，L_{SPi j,} 與L_{PiS j,} 為圓柱體半徑，a 為兩齒輪接觸壓陷的寬度。

2.4.1.2 外正齒輪受負載之輪齒懸臂樑撓曲變形

Terauchi 與 Nagamura 根據二維彈性理論[28]，計算在不同齒數與不同移位係數 下的正齒輪變形，將計算的結果簡化成一可適用於任意正齒輪的變形公式

SPi,j

F _cl

wB A Be D E b⎡ ⎤

= ⋅ ⎣ + + ⎦

&

(2-8)

`  12

上式中

8.1ζ (1.75 1.6ζ)

1.05 153 (1/ z) A= − + e^{− −}

0.63 (7.53 0.924ζ)(1/ z) B= + −

1.28 (2.88 3.68ζ)(1/ z) C= − +

-1.06 0.638ln(mz) D= +

/ m l l&=

其中w 為輪齒沿作用線方向變形量，ζ 為齒輪移位係數，z 為齒輪齒數，m 為正齒輪_B 模數，l 是從齒底圓沿輪齒齒廓鏡射線到接觸位置投影至其上的長度。

2.4.1.3 輪齒與本體之支撐變形

輪齒是連結齒輪本體的基礎。輪齒的本體之撓性係數，應用半平面基礎的辦法 [29]，齒的撓性可寫成

2 ,

/ k2

S

w_S = (2-9)

3 ,

/ k2 S = S

θ

^(2-10)

2 ,

/ k3

M

w_M = ^(2-11)

3 ,

/ k

3 M

= M

θ

(2-12)

其中

w

_S與

θ

_S^為剪力

S

造成的平移和旋轉之位移， M

w

_{與 M}

θ

^為彎矩M 造成的平移 和旋轉之位移，撓度係數

k

i_, j 分別寫為

2,2 1 1 1 1 1 2 ( ) ln( ) ( ) ln( )

' 2 ' 2 ' 2 ' 2 2 k b E

H H H H

h h h h

= π

⎡ + + − − − + ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(2-13)

3,2 2,3

' (1 ) k k Eb h

= =

υ

− (2-14)

2 3,3

' 16.67 k ₌

π

Ebh

(2-15)

其中

H

/

h

'設定為 2.5 [29]，而

h ' = h + 1 . 5 r

f ^，H^{是受影響距離、}

h

是樑的深度、

r

f 是齒底圓角半徑、_b是齒面寬、

υ

是浦松比。因此齒輪等效模型表示如圖2-5。對 於理想懸臂樑模型，其固定端為剛性，即可撓度係數

k

i, 趨於無限大。 j

y

k k

3,3

k

2,3

F

x k

2,2 3,2

(x,t)

圖2-5 輪齒與本體之支撐之等效模式

2.4.1.4 單位齒寬之外正齒輪之齒對剛度

整合前述單個齒對之赫茲接觸變形、輪齒懸臂樑撓曲變形、本體支撐變形之考 慮，因此每單位齒寬之外正齒輪之齒對剛度計算如下

`  14

/( )

gi TP BP TG BG H

k

=

b q

+

q

+

q

+

q

+

q

(2-16)

上式中

q

_Ti^、

q

_Bi^與

q

_H 為各部份之可撓度(compliance)分別為輪齒以非均勻截面之樑 元素受彎矩、剪力與壓負荷之可撓度，輪齒與本體彈性支承局部變形之可撓度，以及 嚙合齒對以赫茲接觸瞬間接觸變形之可撓度。

2.4.2 單個內嚙合齒對之等效剛度

內嚙合齒對之等效剛度計算則根據Oda 等人研究所得之公式[30]，應用二維彈性 理論，計算內-外齒輪對受負載時的赫茲接觸變形與內齒輪的輪齒懸臂樑撓曲變形，

並由計算結果提出一經驗公式

,

, ,

2F m

1.41 0.689ln^{SPi j}

H APi j

w πEb a

⎡ ⎤

= ⎢⎣ + ⎥⎦ (2-17)

其中

2

1 2

4F(1 ) 1 1

( )

a v

E l d d π

= −

⋅ ⋅ + (2-18)

3.011 ,

, , 1.07 ^{SPi j s}

B APi j

w F e

= Eb (2-19)

, ,

H APi j

w 為內-外齒輪對的赫茲接觸變形量，w_{B APi j, ,} 為內齒輪受負載輪齒懸臂樑撓曲變 形量。

2.4.3 螺旋齒輪對等效剛度

螺旋齒輪對等效嚙合剛度以等效正齒輪嚙合剛度來計算之。螺旋齒輪的齒數為 z，將以齒數為z 之正齒輪來等效獲得，兩個齒數關係可以應用下式獲得，即 '

' ₃ cos z z

= β (2-20)

上式中

β

為螺旋角。圖2-6 表示外螺旋齒輪對嚙合齒線與等效嚙合剛度圖示，在齒輪 對運轉過程其嚙合齒對數目、嚙合齒線長度、以及嚙合點位置隨轉動角度變動而有不 同，因此其齒輪對嚙合隨轉動角度改變，即為嚙合齒輪對之等效時變剛度。某一瞬間 轉動角度之外螺旋齒輪對(external gear pair)之等效剛度計算如下

_,

=1

=

∑

^ntp

e e i

i

k k (2-21)

上式中n 為外螺旋齒輪對之瞬間嚙合齒對數目(number of tooth pairs)，_tp k 為第_{e i,} i 外嚙 合齒對之等效時變嚙合剛度

, 0 , ,

Li

e i ei j i j

k =

∫

k ⋅dL (2-22)

其中k_{ei j,} 為第 i 對之外嚙合齒對之於 j 嚙合角度之每單位接觸線長的等效法向時變法 向嚙合剛度，

L

_i第i 外嚙合齒對之實際接觸線長度。同樣的方式，亦可推導獲得內螺 旋齒輪對之等效剛度計算程序。

`  16

圖2-6 外螺旋齒輪對嚙合齒線與等效嚙合剛度圖示

2.4.4 螺旋角方向與齒輪旋轉方向

2.4.4.1 外螺旋齒輪對

螺旋齒輪對嚙合情況受到螺旋線方向、作用扭矩、旋轉方向改變而有所不同嚙合 表現，圖2-7 與 2-8 說明各種不同條件下，外螺旋齒輪對嚙合之等效彈簧表示。首先 說明扭矩方向改變之等效彈簧作用關係，圖2-7 (a)表示太陽齒輪為右手螺旋(RH)、太 陽齒輪為主動齒輪，扭矩方向為逆時針旋轉(CCW)方向的等效彈簧的作用方向表示；

圖2-7 (b)表示主動之 RH 太陽齒輪其扭矩為順時針旋轉(CW)方向的等效彈簧的作用 表示，比較圖2-7 (a)與 2-7 (b)可知，當施加於太陽齒輪作用扭矩方向改變時，螺旋方 向β_{s j,} 會正負號改變，而由y 軸至作用面間角度ψ_{s j,} ，關係可整理如下式子，

_, ^{, ,}

, ,

CCW

( ) CW

α φ

ψ α φ

⎧ −

= ⎨ −⎩ +

s j s j

s j

s j s j

施加於太陽齒輪扭矩為

施加於太陽齒輪扭矩為 (2-23)

當ψ_{s j,} > 表示由 y 軸至作用面角度為 CW，0 ψ_{s j,} < 為 CCW。另外，當太陽齒輪為左0 手螺旋時如圖2-7 (c)與 2-7 (d)所示，和圖 2-7 (a)與 2-7 (b)比較，施加扭矩方向相同時，

第i 對嚙合齒線長(Li)

等效彈簧(k_e) 

嚙合齒線前進方向 

主動齒輪  ke

,

ψs j相同，而β_{s j,} 則正負號相反，例如圖 2-7 (a)與 2-7 (c)兩者之差異。另外，圖 2-8 則是顯示行星齒輪為主動齒輪時，各種條件下之外螺旋齒輪對嚙合之等效彈簧表示。

主動

θzs

θxs

θxj

θzj

θys

θyj

βsj

gear s

planet j ψsj

e (t )sj

ksj

yj

xj

zj

φsj

zs

ys

xs

RH

LH

αsj

主動

θzs

θxs

θxj

θzj

θys

θyj

βsj

gear s

planet j

ψsj

e (t )sj

ksj

yj

xj

zj

φsj

zs

ys

xs

RH

LH

αsj

(a) 扭矩方向 CCW (b) 扭矩方向 CW [ψ_{s j,} =α_{s j,} −φ_{s j,} 、β_{s j,} > ] [0 ψ_{s j,} = −(α_{s j,} +φ_{s j,} )、β_{s j,} < ] 0

主動

θzs

θxs

θxj

θzj

θys

θyj

βsj

gear s

planet j ψsj

e ( t )sj

ksj

yj

xj

zj

φsj

zs

ys

xs

RH

LH

αsj

主動

θzs

θxs

θxj

θzj

θys

θyj

βsj

gear s

planet j

ψsj

e (t )sj

ksj

yj

xj

zj

φsj

zs

ys

xs

RH

LH

αsj

(c) 扭矩方向 CCW (d) 扭矩方向 CW [ψ_{s j,} =α_{s j,} −φ_{s j,} 、β_{s j,} < ] [0 ψ_{s j,} = −(α_{s j,} +φ_{s j,} )、β_{s j,} > ] 0

圖2-7 外螺旋齒輪對 (太陽齒輪為主動齒輪)

`  18

主動

θzs

θxs

θxj

θzj

θys

θyj

βsj

gear s

planet j ψsj

e (t )sj

ksj

yj

xj

zj

φsj

zs

ys

xs

RH

LH

αsj

主動

θzs

θxs

θxj

θzj

θys

θyj

βsj

gear s

planet j

ψsj

e (t )sj

ksj

yj

xj

zj

φsj

zs

ys

xs

RH

LH

αsj

(a) 扭矩方向 CCW (b) 扭矩方向 CW [ψ_{s j,} =α_{s j,} −φ_{s j,} 、β_{s j,} > ] [0 ψ_{s j,} = −(α_{s j,} +φ_{s j,} )、β_{s j,} < ] 0

主動

θzs

θxs

θxj

θzj

θys

θyj

βsj

gear s

planet j ψsj

e (t )sj

ksj

yj

xj

zj

φsj

zs

ys

xs

RH

LH

αsj

主動

θzs

θxs

θxj

θzj

θys

θyj

βsj

gear s

planet j

ψsj

e (t )sj

ksj

yj

xj

zj

φsj

zs

ys

xs

RH

LH

αsj

(c) 扭矩方向 CCW (d) 扭矩方向 CW

[ψ_{s j,} =α_{s j,} −φ_{s j,} 、β_{s j,} < ] [0 ψ_{s j,} = −(α_{s j,} +φ_{s j,} )、β_{s j,} > ] 0 圖2-8 外螺旋齒輪對 (行星齒輪為主動齒輪)

2.4.4.2 內螺旋齒輪對

圖2-9 與 2-10 說明各種不同條件下，內螺旋齒輪對嚙合之等效彈簧表示。圖 2-9 (a)表示行星齒輪為左手螺旋(LH)、行星齒輪為主動齒輪，扭矩方向為順時針方向(CW) 的等效彈簧的作用方向；圖 2-9 (b)表示主動 LH 行星齒輪其扭矩方向為逆時針方向 (CCW)的等效彈簧的作用方向，比較圖 2-9 (a)與圖 2-9 (b)可知，當施加於行星齒輪扭

矩方向改變時，β_{r j,} 會有正負號之差異，ψ_{r j,} 為由y 軸至作用面之角度關係如下式，

_, ^{, ,}

, ,

CCW

( ) CW

α φ

ψ α φ

⎧ −

= ⎨ −⎩ +

r j r j

r j

r j r j

施加於行星齒輪扭矩為

施加於行星齒輪扭矩為 (2-24)

當ψ_{r j,} > 表示由 y 軸至作用面角度為 CW 方向，0 ψ_{r j,} < 為 CCW 方向。當行星齒輪0 為右手螺旋(RH)時如圖 2-9 (c)、(d)所示，與圖 2-9 (a)、(b)比較，在扭矩方向相同時，

角度ψ_{r j,} 會相同，螺旋方向β_{r j,} 則會正負號相反，如圖2-9 (a)與 2-9 (c)之差異。圖 2-10 則顯示環齒輪為主動齒輪各種條件下之等效彈簧表示。

主動

krj

yj

θyj

xj

θxj

φrj

e ( t )rj

zj

θzj

θyr

yr

θzr

zr

θxr x^r

planet j

gear ring RH LH

βrj

ψrj

αrj

主動

krj

yj

θyj

xj

θxj

φrj

e ( t )rj

zj

θzj

θyr

yr

θzr

zr

θxr x^r

planet j

gear ring RH LH

βrj

ψrj

αrj

(a) 扭矩方向 CW (b) 扭矩方向 CCW [ψ_{r j,} = −(α_{r j,} +φ_{r j,} )、β_{r j,} >0] [ψ_{r j,} =α_{r j,} −φ_{r j,} 、β_{r j,} <0]

主動

krj

yj

θyj

xj

θxj

φrj

e (t )rj

zj

θzj

θyr

yr

θzr

zr

θxr x^r

planet j

gear ring RH

LH

βrj

ψrj

αrj

主動

krj

yj

θyj

xj

θxj

φrj

e (t )rj

zj

θzj

θyr

yr

θzr

zr

θxr x^r

planet j

gear ring RH

LH βrj

ψrj

αrj

(c) 扭矩方向 CW (d) 扭矩方向 CCW [ψ_{r j,} = −(α_{r j,} +φ_{r j,} )、β_{r j,} <0] [ψ_{r j,} =α_{r j,} −φ_{r j,} 、β_{r j,} >0]

圖2-9 內螺旋齒輪對 (行星齒輪為主動齒輪)

`  20

主動

krj

yj

θyj

xj

θxj

φrj

e (t )rj

zj

θzj

θyr

yr

θzr

zr

θxr x^r

planet j

gear ring RH LH

βrj

ψrj

αrj

主動

krj

yj

θyj

xj

θxj

φrj

e (t )rj

zj

θzj

θyr

yr

θzr

zr

θxr x^r

planet j

gear ring RH LH

βrj

ψrj

αrj

(a) 扭矩方向 CW (b) 扭矩方向 CCW [ψ_{r j,} =α_{r j,} −φ_{r j,} 、β_{r j,} <0] [ψ_{r j,} = −(α_{r j,} +φ_{r j,} )、β_{r j,} >0]

主動

krj yj

θyj

xj

θxj

φrj

e (t )rj

zj

θzj

θyr

yr

θzr

zr

θxr x^r

planet j

gear ring RH

LH βrj

ψrj

αrj

主動

krj

yj

θyj

xj

θxj

φrj

e ( t )rj

zj

θzj

θyr

yr

θzr

zr

θxr x^r

planet j

gear ring RH

LH

βrj

ψrj

αrj

(c) 扭矩方向 CW (d) 扭矩方向 CCW [ψ_{r j,} =α_{r j,} −φ_{r j,} 、β_{r j,} >0] [ψ_{r j,} = −(α_{r j,} +φ_{r j,} )、β_{r j,} <0]

圖2-10 內螺旋齒輪對 (環齒輪為主動齒輪)

2.5 加工與組裝誤差

誤差造成嚙合位置不在理想方位，可能使各齒輪對負載大小相異達倍數以上。齒 輪加工與組裝產生之誤差考慮項目多，以下說明其中幾種與齒輪嚙合關係最密切項目 的理論模式，未來則需要建立這些誤差項目在離散模式之應用。首先，實際製造完成 的齒輪系統幾何外形R 可視為包括理論齒輪外形₂^e R 以及其它多種原因造成的總合₂ 偏差量e 。不考慮齒輪修整量之總合偏差量則僅為加工組裝與變形誤差，_∑ e_∑ =e ， _M

2 2 e

= + M

R R e (2-25)

將e 分為三大項：(i) 加工誤差包含齒形誤差_M e 、導程誤差_F e 、節距誤差_L e 、偏心_P 誤差e ， (ii) 組裝誤差_EC e 則分為軸中心距誤差、軸平行度誤差、軸偏心誤差等，以_A 及 (iii) 受外力造成之動態變形誤差e ，即_EL e 可表示為 _M

M = F + L + P + EC + A+ EL

e e e e e e e (2-26)

分析製造誤差對於齒輪動態之影響時，可單獨個別誤差項、部分項、或多項的誤差來 考慮齒形幾何對於行星齒輪箱動態之影響。

2.6 整合分析與設計技術

前面已詳述齒輪系統之各種影響因素與參數，最後整合齒輪系、變動負載、各齒 輪與零件之模態特性與動態響應、分開或一起探討齒輪箱之重要影響因素，包括齒數 搭配、齒輪移位、嚙合相位、軸承與齒輪箱剛度與組合誤差等，以獲得有效的增速行 星齒輪系之設計技術。由上述各種齒輪系統之影響因素與參數，推導出簡化模式以應 用於離散模式之行星式齒輪箱動態分析。

`  22

第三章 行星齒輪系運動方程式推導

本章以變動負載條件之情況下推導行星齒輪系離散模式之運動方程式，並由其作 動過程將行星齒輪系劃分成三個部分，太陽齒輪-行星齒輪、環齒輪-行星齒輪、行星 架-行星齒輪，求得前兩項單獨齒輪對之等效時變嚙合剛度矩陣與第三項之等效時變 剛度矩陣，最後加入各種條件以完成非線性時變剛度矩陣之推導。

3.1 行星齒輪系離散模式之運動方程式

圖 3-1(a)之增速行星齒輪系統構成之平面圖中，

d c j r s o , , , , ,

分別代表輸入 軸、行星架、行星齒輪、環形齒輪、太陽齒輪和輸出軸，其作動過程是由風力帶動風 車葉片推動傳動軸與輸入動力，經輸入軸傳遞到行星架，再由齒輪嚙合將動力傳遞至 太陽齒輪，然後將動力傳遞發電機進行能量輸出。

(a) (b)

圖3-1 (a) 2Z-X 形式單級增速行星齒輪系統基本組成; (b)等效彈簧-質量的離散模式

圖3-1(b)為行星齒輪系統之彈簧-質量的等效離散分析模式，齒輪數目多，系統構 造與理論模式複雜，本研究將以拉格蘭吉方程式(Lagrange’s equation)推導其運動方程 式，其型式為

能量輸出端 

(發電機)  輸出軸  輸入軸 

能量輸入端  (葉片) 

O d

行星齒輪 

太陽齒輪 

環齒輪  行星架