車輛服務系統之最佳路由策略 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學統計學系士. 學. 位. 論. 車輛服務系統之最佳路由策略政治. 大. 立 Optimal Routing for General Vehicle Service Systems. 學. ‧ 國. ‧. io. sit. y. Nat. n. al. er. 碩. Ch. engchi. i n U. v. 指導教授：洪英超博士研究生：林建佑撰. 中華民國一百零三年六月. 文.

(2) 謝辭首先感謝洪英超老師這兩年來的教導，不論是在論文上或是做人處事，我會永遠記得老師對我們總是耳提面命，希望我們能夠不斷挑戰自我，也不斷地鼓勵我們。在做論文的這段日子當中，清楚發現到自己有非常多的不足以及不完美，所以我常常受到老師的指導。雖然有時難免會感到難過，但是一點一滴地完成屬於自己的成果，最終得到的喜悅是巨大的，我由衷地感謝洪老師！在此，也感謝口試委員余清祥老師以及曾能芳老師的寶貴意見，使得論文能夠順利完成。尤其是余老師，過去兩年修過許多余老師所開的課程，而且每堂課都非常實用！並. 政治大. 且余老師對我們這些研究生十分關懷與照顧，在此也非常感謝余老師兩年來的教. 立. 在這些年當中都有機會用到。. 學. ‧ 國. 導。另外也非常感謝求學生涯中曾教導過我的老師們，您們教導的東西或多或少. ‧. 另外，在兩年的研究生生涯中，同學們的嬉笑歡樂了整間研究室，使得苦悶. sit. y. Nat. 的兩年稍稍得到緩解。感謝好朋友朝逸不吝與我分享各種有趣的事物，並且會在. io. al. er. 關鍵的時候拉我一把。柏錞與我修了最多堂的外系課，討論了最多份的報告，坐在我對面的正憲與雅婷，桌面非常“整潔”的俞安以及阿嗝，被騷擾俞安以及阿. n. v i n Ch 嗝騷擾的嘉煒跟維屏，總是可以很有自信可以 U 一切的尚文，愛開玩笑的 e n g c h ihandle 柏華，最認真的怡萱，講話最大聲的佩嘉，最有自信的東穎，以及總是慢好幾拍. 的志軒，還有彭琳渤越，必崔斯，還有太多人！研究所的所有同學，感謝你們在兩年走進我的生命裡，為我的這兩年研究生生涯添加了色彩。另外，不得不提大學同學們，你們在假日時是我調劑身心的良藥，那些無法訴說的垃圾訊息都丟給你們，昕燁、貓仔、大康、張母、阿奔、張玉華，還有煖妮跟閔傑常常幫我加油打氣，這些年有你們這些朋友我十分幸運。最後，感謝我最愛的家人與女朋友，我把那些不敢說的苦水都丟給你們，而.

(3) 你們不論什麼時候都支持我、包容我，並且讓我自由選擇人生的道路，辛苦的老媽與老爸做我的後盾。謹將本文獻給我的家人與朋友們。. 林建佑. 謹致. 中華民國一百零三年六月. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v.

(4) 摘要在本文中我們探討具有 K 座服務站的車輛平行處理系統(Parallel processing system)，並且對於系統的假設更加一般化。車輛在抵達該區域時會面臨選擇服務站的問題，所以路由策略的使用對於系統中車輛滯留時間的表現值顯得更加重要。我們藉由系統的穩定條件(Stability conditions)來比較文獻中常見的車輛路由策略以及我們提出的動態策略(Dynamic policy)之間的差異性，並且探討隨機車輛服務系統(Stochastic vehicle service system)的輸入強度之表現。我們提出一種全新的車輛路由策略：“最小加權佇列長度策略”(Join-the-Weighted-Shortest-Queue. 政治大. Policy)，並且證明了在系統的一般性假設之下此策略可以維持系統的強穩定性，. 立. 間接也證明了本策略為一種最大吞吐量策略。其證明方式主要是以偏離分析. ‧ 國. 學. (Drift analysis)作為基礎，並搭配相關的定理結果來證明。此外，我們也對於不同. ‧. 的最大吞吐量策略之下的車輛滯留時間平均值與第九十五百分位數的表現做出評估。最後，我們會對於各種不同的車輛輸入強度以及行駛速度之下，提出路由. y. Nat. n. al. er. io. sit. 策略的建議方針。. Ch. engchi. i n U. 關鍵字：車輛路由策略、系統穩定性、佇列、吞吐量。. v.

(5) Abstract This paper studies the parallel processing system with K number of service stations using more generalized assumptions for the system. Vehicles entering the terminal region are faced with the choice between several service stations, thus, the use of the routing policy is critical to sojourn time performance. By the use of stability conditions, vehicle routing policy commonly referred to in literatures are compared with the proposed dynamic policy. The difference between the two systems will be analyzed. In addition, the performance of the stochastic vehicle service system. 政治大. according to input rate will be discussed. A new vehicle routing policy titled. 立. Join-the-Weighted-Shortest-Queue Policy is proposed. The result demonstrates that. ‧ 國. 學. under general assumptions, the suggested policy is effective in maintaining high. ‧. system stability. This also proves that the policy is a maximal throughput policy. Drift Analysis is used as the primary testing methodology and it is supported by results of. y. Nat. io. sit. related theorems. On top of that, an analysis is carried out on the mean and 95th. n. al. er. percentile sojourn time under maximal throughput policy. Finally, guidelines on. Ch. i n U. v. routing policies based on a variety of vehicle input rates and driving speed will be suggested.. engchi. Keywords：Vehicle routing policy, System Stability, Queue, Throughput..

(6) 目錄第一章. 緒論 ............................................................................................................... 1. 第二章. 系統描述與假設 ........................................................................................... 3. 第 2.1 節系統描述 .............................................................................................. 3 第 2.2 節系統穩定性(System Stability) ............................................................ 6 第三章路由策略 ....................................................................................................... 10 第 3.1 節最近服務站策略(Routing to the Nearest Station Policy) ............... 10 第 3.2 節循環服務策略 (The Round Robin Policy) ...................................... 10. 政治大第 3.4 節其他路由策略立 .................................................................................... 12. 第 3.3 節最大服務率策略(Maximum Service Rate Policy) .......................... 11. ‧ 國. 學. 第四章系統穩定性證明 ........................................................................................... 14 第五章系統的滯留時間表現值評估 ....................................................................... 20. ‧. 第 5.1 節系統模擬設定 .................................................................................... 20. sit. y. Nat. 第 5.2 節滯留時間平均值 ................................................................................ 21. al. er. io. 第 5.3 節滯留時間第九十五百分位數 ............................................................ 25. v. n. 第 5.4 節系統繁忙的模擬表現值 .................................................................... 28. Ch. engchi. i n U. 第六章結論與討論 ................................................................................................... 31 參考文獻 ..................................................................................................................... 33. i.

(7) 表目錄表 1 最大吞吐量策略之間車輛的滯留時間平均值比較 ...................................... 23 表 2 最大吞吐量策略之間車輛的滯留時間第九十五百分位數比較 .................. 26 表 3 最小加權佇列長度策略之車輛滯留時間平均值比較 .................................. 29 表 4 最小加權佇列長度策略之車輛滯留時間第九十五百分位數比較 .............. 29 表 5 在相同處理速率之下不同策略的車輛滯留時間平均值比較 ...................... 30 表 6 在相同處理速率之下不同策略的車輛滯留時間第九十五百分位數比較 .. 30. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. ii. i n U. v.

(8) 圖目錄圖 1 服務站位置與車輛路由服務區域示意圖 ........................................................ 5 圖 2 系統示意圖 ........................................................................................................ 7 圖 3 車輛滯留時間在不同車輛速度之下平均值的折線圖 .................................. 24 圖 4 車輛滯留時間在不同車輛速度之下第九十五百分位數的折線圖 .............. 27. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. iii. i n U. v.

(9) 第一章緒論近年來由於全球對於環保意識的抬頭以及各個國家法規的限制，許多國家開始致力於發展各種替代綠色能源或是更環保的新興產品。在過去幾年歐美國家開始發展綠色汽車(Green vehicle)，許多大都市開始以綠色汽車作為物流系統的主要交通工具。在此新的系統環境當中，所謂的路由(Routing)問題對於車輛的能源的消耗以及系統的服務品質顯得更加重要。綠色汽車的特色是以電力作為主要的動力來源，並且當電力耗盡時可以到充電服務站進行電池更換的動作。但是目前在大多數歐美國家，充電服務站的設立並不普及，這會造成多數的服務站過度繁. 政治大. 忙，或是服務站之間的工作分配不均。這是因為車輛路由在選擇服務站方面的過. 立. 程中，並沒有使用到系統的既有資訊(如 GPS 系統)，這樣會造成某些服務站工作. ‧ 國. 學. 量過度的累積，並使得傳統的車輛路由策略表現不佳。本文研究一些新的動態車. ‧. 輛路由方法，是在車輛進入系統時以系統的狀態來配置車輛輸送的路徑，目的是希望花費更少的時間成本，提供比現今文獻中的其他方法更高的服務效率。. sit. y. Nat. io. er. 文獻中對於車輛路由的描述相當複雜且非常多元，但大多是描述車輛以卜瓦. al. 松過程(Poisson process)抵達系統[12,13]，並以均勻分配隨機生成車輛位置[4,12]。. n. v i n Ch 而在本文中對於系統的假設更加一般化，例如假設車輛抵達系統中是一般化的更 engchi U. 新過程(Renewal process)。在研究車輛服務系統方面最基本的問題是所謂的系統穩定性。Bell 與 Williams 是研究動態系統(Dynamic system)的先驅 [13]，他們研究小型網路系統在系統工作繁忙(Heavy traffic)之下的穩定性，該系統擁有兩個佇列(Queue)以及兩個服務站(Service)，而在該系統中的其中一個服務站可以服務兩個佇列，但另一個服務站只能配置給一個佇列使用，也就是研究了網路模型的特殊情況。而在本文中是使用偏離分析(Drift analysis) [1,11]中來作系統穩定性的證明。除了偏離分析之外，也有一些的學者使用其他不同的分析方法來探究系統的穩定性，其中比較重要的有樣本路徑分析(Sample path analysis)[10]及流體模型 1.

(10) (Fluid model)[9,14]，而如果擁有系統穩定性的優良性質，則我們所描述的系統可適用在很多特定的模型當中。文獻中對於優良車輛路由策略的評比多是追求最小化車輛平均等待服務時間[3]或是最小化車輛平均滯留時間[4]，而我們對於車輛路由策略則是以最小化車輛平均滯留時間及滯留時間的第九十五百分位數做為評比的指標。本文章是探討一般化的車輛平行處理系統(Parallel processing system)，車輛一抵達系統中就會馬上進行車輛路由策略的比較，經由這個程序，車輛會被分配然後送至指定服務站。我們在這樣的系統之下討論比文獻中更加有效率的路由策. 政治大. 略，並且我們會探討在這樣的路由策略之下的系統穩定性。我們的系統包含 K. 立. 座服務站，並且具有 K 個分流，我們分別在 K 個分流下觀察各個服務站的工作. ‧ 國. 學. 情形。而本文的架構如下：第二章我們會對整個系統模型做詳細的描述並且定義系統中使用到的假設與系統穩定性。在第三章首先會介紹文獻當中常見的策略：. ‧. 最近服務站策略(Routing to the Nearest Station Policy)、循環服務策略(The Round. Nat. sit. y. Robin Policy)、最大服務率策略(Maximum Service Rate Policy)、隨機路由策略. n. al. er. io. (Random Routing Policy)，然後我們提出一種車輛路由策略叫做“最小加權佇列長. i n U. v. 度策略”(Join-the-Weighted-Shortest-Queue Policy)。在第四章我們將證明系統在. Ch. engchi. “最小加權佇列長度策略”之下可達到所謂的強穩定性，其證明方法是使用偏離分析作為基礎。第五章中我們針對本文中我們提出的車輛路由策略進行電腦模擬，目的是藉此評估所提的路由策略之其他系統表現值(如平均滯留時間)。第六章則是本研究的結論與討論。. 2.

(11) 第二章系統描述與假設在本章中我們將對本文中所探討的車輛服務系統做詳細的描述，然後對可能的路由策略做介紹。此外，我們將定義系統的穩定性(stability)，並且找出系統的最大吞吐量(maximal throughput)。. 第 2.1 節系統描述本文探討的系統為一個二維空間 R 2 的有限區域 R 之下擁有 K 座服務站的系. 政治大達過程 (arrival process) 以立車輛抵達的間隔時間 (interarrival time) 表示，其中統，其中 K 座服務站的位置 S1 , S2 , S3 ,..., SK ， S j  R，j  1, 2,3,..., K 。將車輛的抵. ‧ 國. 學. {1 , 2 , 3 , . . .是車輛抵達 } R 中的間隔時間，  i 是第 (i  1) 輛和第 i 輛車之間的到達. ‧. 間隔時間，並且假設 {1 , 2 , 3 ,...} 具有相互獨立且具有相同分配的性質(即 i.i.d . )。. y. Nat. 所以我們可以將在這個系統中，車輛抵達的過程視為一個平穩的更新過程. n. al. Ch. . 1. E  i . er. io. sit. (stationary renewal process)，其中車輛的輸入速率  可定義為。. engchi. i n U. v. (2.1). i. 第 i 台車輛到達 R 之時間 ai 可表示為 ai   j ，故所有車輛抵達 R 的時間集 j 1. 合表示成 A  {a1 , a2 , a3 , ...}。令. i.  R 2 為第 i 台車輛到達 R 中的位置，在車輛抵達. R 之後，會根據路由策略(routing policy)送到選定的服務站 S j 中處理。假設車輛. 在輸送過程當中是以固定速率 v 行駛，而在系統中的每一座服務站都是可容納無限車輛的佇列，並且佇列中的車輛具有先進先出(first-in-first-out，FIFO)的特性，車輛在到達服務站後，若車輛進入的是一個非空的佇列(nonempty queue)，則該車輛會進行等待的動作，直到前面的車輛都被處理完畢後才開始處理；若車輛進 3.

(12) 入的是一空佇列(empty queue)，則會直接開始處理，而車輛被服務之後會直接離開系統。我們將第 j 座服務站處理車輛的服務時間記為 1j ,  2j ,  3j ... ，並且假設其 i.i.d . 故我們可以將系統中第 j 座服務站處理車輛的服務速率  j 定義為. j . 1.  . E  ij. ，其中所有的 j  1, 2,..., K 。. (2.2). 車輛被服務完成時會立即離開系統，我們將這些車輛的離開時間(Departure time). 政治大. 紀錄為 d1 , d2 , d3 ... ，並假設離開過程(Departure Process)是平穩的(stationary)。定義. 立. 集合 D  {d1 , d2 , d3 ,...}，並且令 A. ‧. ‧ 國. 學. 統的時間。. D  {t1 , t2 , t3 , ...} ，其中 ti 是車輛到達或離開系. 接著我們介紹何謂路由策略。所謂路由策略是決定車輛要往哪一座服務站送. 若 ti. al. n. I j (ti ). 其他. 假設車輛出現在位置. i. Ch. j 1. 服務區域 Rj ，其中. K j 1. engchi U. v ni. (2.3). 被送到 S j 的機率為 Pj ( i ) ， Pj ( i )  0 ，所有的. K. j  1, 2 , 3 , K . . ，並且 .,  Pj . A 並且第 i 台車輛被送到 S j. er. io. sit. y. Nat. 的控制策略。在給定一路由策略  之下，可定義一路由狀態過程：. i.   1 。對於任何策略  ，每座服務站 S j 有其對應的. R j  R ，且 Rj  R ，所有的 j  1, 2,3,..., K 。需要特別注意. 的是，第 i 座服務站的服務區域與第 j 座服務站的服務區域可能會重疊，即 Ri. Rj 可以是非空集合，以上對於路由策略的介紹詳見第三章。由上述系統的. 假設，我們可以建構服務站與車輛路由服務區域的示意圖如下： 4.

(13) 政治大. 圖 1 服務站位置與車輛路由服務區域示意圖. 立. 我們在先前曾提過在策略  之下，在 R 中車輛出現在位置. i. 被送到 S j 的機. ‧ 國. 學. 率為 Pj ( i ) ，所以系統中的車輛會被劃分為 K 個平行流量，而對於系統的狀態我. ‧. 們必須分別用 K 個流量來描述系統的狀態過程(state process)。在任何的車輛到達. Nat. io. sit. y. 或離開系統的時間點 tn ，可定義 M j (tn ) 為 tn 觀察時間時正在前往 S j 半路上之車. er. 輛數目，定義 N j (tn ) 為 tn 觀察時間計算 S j 內正在被服務或等待被服務的車輛數目，. al. n. v i n Ch 觀察時間第 j 個流量的長度，我們將其定義為： engchi U. 定義 X j (tn ) 為 tn. X j (tn )  M j (tn )  N j (tn ). (2.4). 定義在 tn 後下一個車輛到達或離開系統的時間點 tn 1 時，第 j 個流量的車輛變化滿足(2.5)式： X j (tn1 )  X j (tn )  I j (tn 1 )  D j (tn 1 ) ，. 其中 D j (tn1 ) 為車輛在 tn 1 時間時，離開 S j 的數目，可定義為：. 5. (2.5).

(14) 若 tn 1. D j (tn1 ). 且該車輛是從 S j 離開系統. 其他. (2.6). 最後我們定義以下三個向量來描述系統的狀態過程： M (tn )   M1 (tn ),..., M K (tn ) 、. N (tn )   N1 (tn ),..., N K (tn ) 、X (tn )   X1 (tn ),..., X K (tn ) 。. 第 2.2 節系統穩定性(System Stability) 對於一座系統而言，我們最關心的是基本的穩定性問題，亦即如何控制流量與路由策略使得系統內的車輛數目不會無止盡的往上增加。簡單來說，如果我們. 政治大給定這 K 座服務站個別的平均服務速率為  ,  ,  ,...,  立 1. 2. 3. K. 及車輛的行駛速率 v ，. ‧ 國. 學. 系統可以容納的最大輸入流量會是多少?對於這個問題，我們可以先將本文討論的系統分為兩個層次，系統的第一個層次是指車輛到達系統中的隨機位置，到輸. ‧. io. sit. 之車輛開往第 j 座服務站所花費的時間為：. er. i. Nat. 置為. y. 送至服務站的位置 S j ，也就是車輛前往第 j 座服務站的過程。根據定義，到達位. n. al   S ，所有的 j  1, 2,3,..., v K i n C hv engchi U j. i. j. i. (2.7). 需要特別注意的是，雖然我們將系統想像為成兩個層次的平行處理系統，但實際上車輛在系統的第一個層次時並沒有真正的服務站，也就是說車輛在這個過程當中並沒有等待的動作。依照 Kendall (1953)，可以將系統中第一個層次的佇列記為 K 個平行的. 佇列。而車輛送達服務站之後稱作系統的第二層次，. 在這層中車輛依照到達服務站的先後順序作處理，並且在處理完畢之後，車輛被視為立即離開系統。所以系統的第二層可以記為 K 個平行的把以上介紹的系統以圖 2 做簡單的表示。. 6. 佇列。我們.

(15) 圖 2 系統示意圖. 政治大. 接著我們可藉由(2.8)式定義長時間之下車輛前往 S j 的路由比例 rj ，即：. 立. . rj  E[ I j (ti )] . Pj ( ) d  lim. n . R j. I. i 1 n K. (ti ). 學. ‧ 國. n. j.  I. j. (2.8). (ti ). ‧. i 1 j 1. ，. K. y. Nat. 其中對於所有 j  1, 2,3,..., K ，滿足 0  rj  1 且  rj  1 。接下來我們將描述何謂. sit. j 1. n. al. er. io. 系統的穩定性(stability)。 (定義 1). Ch. engchi. i n U. v. 在路由策略  之下，如果對於 j  1, 2,3,..., K 以及時間 t  0 ，我們可以證明：. sup E[ X j (t )]   ， t 0. (2.9). 則系統稱為“穩定”(stable)。在定義 1 當中對於穩定性的描述，稱作“強穩定性(strong stability)”，所謂的強穩定性提供了比其他的穩定性更好的性質，如文獻中所謂的“弱穩定性” (weak stability)以及“流量穩定性”(rate stability)，其中弱穩定性定義為. 7.

(16) P  X j (ti )     1 ，. (2.10). 其中所有的 j  1, 2,3,..., K ；而流量穩定性定義為 1 K n 1 K n I ( t )  lim D j (ti ) ，  j i n n  n j 1 i 1 j 1 i 1. lim n . (2.11). 其中所有的 i  1, 2,3,..., n ， j  1, 2,3,..., K 。而如果想要討論系統穩定性，我們必須先回到前面提過的問題，在給定這 K 座服務站的平均服務速率 1 , 2 , 3 ,..., K 及車輛行駛的速率 v 之下，系統可以容. 政治大. 納的最大輸入流量會有多大？我們定義車輛能夠通過系統的最大流量稱為系統. 立. 學. ‧ 國. 最大吞吐量(Maximal Throughput)，亦是系統能夠保持穩定的車輛最大輸入流量，並以 max 表示。保持系統穩定的基本條件是. ‧. rj    j ，. Nat. sit. y. (2.12). al. er. io. 其中所有的 j  1, 2,3,...,K 。上述(2.12)式代表的意義是每個流量必須小於對應的 K. v. n. 服務站之服務速率。再由  rj  1 ， 0  rj  1 這兩條關係式可得到： j 1. Ch. engchi. i n U. K.   r1  r2  ...  rK   1  2  ...   K    j ，. (2.13). j 1. K. K. j 1. j 1. 其中   j 就是系統的最大吞吐量 max。而對於所有  <   j 都可以使系統保持穩定性的策略，我們稱為“最大吞吐量策略”(Maximal Throughput Policy)。為了簡化以下章節的描述，我們將上述介紹的符號以條列式呈現，並且仔細說明該符號在文中所代表的意義。. 8.

(17) (1)  i ：定義為車輛抵達 R 中的間隔時間，即第 (i  1) 台和第 i 台車輛到達的時間差距。 (2) ai ：定義為第 i 台車輛抵達系統的時間。 (3) A ：定義為所有車輛抵達系統的時間集合 A  {a1 , a2 , a3 , ...} 。 (4) d i ：定義為第 i 台出去系統的車輛從系統中離開的時間。 (5) D ：定義為所有車輛離開系統的時間集合 D  {d1 , d2 , d3 ,...} 。. (7). j. S j ：定義為第 j 座服務站的位置，其中 j  1, 2,3,..., K 。. (8)  i j. 政治大：定義為系統中第 j 座服務站處理第 i 台車輛的服務時間。立.  j ：系統中第 j 座服務站處理車輛的平均服務速率。. 學. (9). ：定義為第 j 台車輛到達 R 中的位置。. ‧ 國. (6). sit. Nat. (11) N j (tn ) ：定義為觀測時間 tn 在 S j 內所有的車輛數目。. y. ‧. (10) M j (tn ) ：定義為觀測時間 tn 時正前往 S j 半路上車輛數目。. n. al. er. io. (12) X j (tn ) ：定義為觀測時間 tn 在第 j 個分流上所有車輛的數目，即： X j (tn )  M j (tn )  N j (tn ) 。. Ch. engchi. 9. i n U. v.

(18) 第三章路由策略所謂路由策略即是決定車輛到達系統後要往哪一座服務站輸送的控制策略。在本章當中我們將介紹一些文獻中常用的路由策略，並介紹各策略的差異性。. 第 3.1 節最近服務站策略(Routing to the Nearest Station Policy) 首先介紹的是最近服務站策略。這種策略的構想是當車輛抵達位置車輛輸送到距離. 政治大. i. 時，將. i 最近的服務站 S k 作處理，目的是節省車輛在半路上花費的時. 立. 間。我們使用以下的路由過程(routing process)來描述此策略： A 並且. arg. min. j 1,2,..., K. i.  Sj. ‧. ‧ 國. 學. 若. I k (ti ). 其他. Nat. sit. y. (3.1). io. al. v. R j   ，也就是說各服務站的服務區域不會重疊。而各座服務站的路由服務. n. Ri. er. 對於此路由策略而言，區域 R 將被劃分成 K 個服務區域 R1 , R2 ,..., RK ，其中. 比例 rj . Rj R. Ch. engchi. i n U. ，所有的 j  1, 2, 3,...,K ，即服務區域 R j 的面積在 R 的總面積中所. 占的比例。但是此策略的缺點是只考慮車輛位置. i. 與各座服務站的距離，所以這. 個策略的路由服務比例是固定的，無法依照系統當下的狀態做調整。. 第 3.2 節循環服務策略 (The Round Robin Policy) 循環服務策略是一種文獻中常用的路由策略，這種策略的考量是讓所有的服務站處理相同份量的車輛，藉此來均分各座服務站的工作量。我們使用以下的路 10.

(19) 由過程來描述此策略：若 ti  a j  A  j  i  並且 j  k (mod K ). I k (ti ). 其他. (3.2). 對於循環服務策略而言，每一座服務站的服務區域 R j  R ，在此策略之下，進入系統的車輛會輪流送到不同的服務站，藉此平均分配每座服務站的工作量，所以各座服務站的路由服務比例為 rj . 1 ，所有的 j  1, 2,3,..., K 。這種策略的缺 K. 點是將系統的工作量均分給每一座服務站，但是其實每一座服務站的工作效率並. 政治大. 不相同，所以當系統的輸入流量較大時，此策略容易讓某些工作效率較慢的服務. 立. 站發生塞車的情況。. ‧ 國. 學. 第 3.3 節最大服務率策略(Maximum Service Rate Policy). ‧. 此路由策略的想法是把車輛送到具有最大處理效率的服務站去作處理，也就. y. Nat. n. al. er. io. 略：. sit. 是以服務站的效率最大化作為考量的依據。我們使用以下的路由過程來描述此策. I k (ti ). Ch 若. A 並且. engchi 其他. 對於本策略而言，因為所有的車輛都送到第. i n U. v. arg max  j j 1,2,..., K. (3.3). 座服務站，所以 Rk  R ，且對. 於所有的 j  k ， R j  。S k 的路由服務比例 rk  1，且對於所有的 j  k ，rj  0 。所以此策略缺點是只有使用單一的服務站來處理車輛，容易使所有的車輛都塞在服務站中，進而影響系統的表現值。. 11.

(20) 第 3.4 節其他路由策略首先介紹隨機路由策略(Random Routing Policy)，使用此策略決定車輛輸送的服務站是一種固定的配置方法，也就是說本策略並不會隨著系統的狀態做出調整。各座服務站的路由服務比例 rj 一開始就已經被決定，並且整個系統會依照先前配置的路由服務比例進行車輛輸送的動作。使用這種傳統的路由策略需要事先知道系統輸入流量與各服務站的平均車輛服務速率，才能依照(2.12)式找出我們需要的路由服務比例  r1* , r2* ,, rK *  。換言之，在找出任何一組的路由服務比例. 政治大. 之後，決定送到哪一座服務站等同是擲骰子決定的，只是骰子發生各種點數的機. . 立. . 率為 r1* , r2* ,, rK * 。我們使用以下的路由過程來描述此策略：. ‧ 國. 學. 若 ti A 並且車輛送到 S k 的機率為 rk*. I k (ti ). 其他. (3.4). ‧. sit. y. Nat. 對於本策略而言，每一座服務站的服務區域 R j  R ，是此策略的缺點。除. 2. *. ,, rK * ，這項程序在稍後所介紹的路由策略中並不需要。並且依照(2.12). al. n. * 1. io. r , r. er. 了這個缺點之外，此策略還需要知道系統輸入流量才能夠解出路由服務比例. Ch. engchi. i n U. v. 式找出的路由服務比例  r , r2* ,, rK *  不只有一組解，但是我們沒辦法知道哪一 * 1. 組才是對於系統最好的。因此我們考慮下面介紹的這種路由策略，相信對於本文所探討的車輛服務系統應該會有更佳的表現。我們最後介紹最小加權佇列長度策略 (Join-the-Weighted-Shortest-Queue Policy)，這是一種動態的控制策略。在本策略中我們將系統中各個分流上的車輛數目加以考量，也就是使用各個分流的狀態來調整各座服務站的工作份量，並且加入權重  j 使車輛配置的選擇更加合理化。我們使用以下的路由過程來描述此策略： 12.

(21) 若. I k (ti ). A 並且. arg min. j 1,2,3,, K.  X  t   j. j. i 1. (3.5). 其他對於本策略考慮每座分流的狀態 X j  tn  之外，還可以依據考慮不同的權重做出調整。所以對於本策略而言，每一座服務站的服務區域 R j 以及路由服務比例 rj 並不是固定的，此策略會依照當下系統中各個分流的狀態做出調整。對於以上我們所介紹的這些路由策略，我們可以發現文獻中常見的這些策略的路由服務比例 rj 都是固定的，而最小加權佇列長度策略則會依照系統的狀態隨. 學. ‧ 國. 治政時對路由服務比例做出調整。這是最小加權佇列長度策略的優良性質，並且此策大立略在系統最大吞吐量時仍然能夠保持系統穩定條件，其證明在我們在第四章詳細 K. 介紹。而隨機路由策略對於所有  <   j 都一定能找到至少一組路由服務比例 * 1. * 2. ,, rK *  滿足系統穩定性。綜合以上說明，我們知道隨機路由策略以及最. ‧. r , r. j 1. Nat. sit. y. 小加權佇列長度策略對於系統在最大吞吐量時都可以保持系統穩定性，所以我們. n. al. er. io. 將這兩種路由策略稱為最大吞吐量策略(Maximal Throughput Policy)。. Ch. engchi. 13. i n U. v.

(22) 第四章系統穩定性證明在本章中，我們要證明最小加權佇列長度策略是最大吞吐量策略，以及在此策略之下系統具有強穩定性。我們所使用的證明方法稱之為偏離分析 (Drift analysis)，最早是由 Hajek (1982)提出。根據 Pemantle 和 Rosenthal (1999)所提出的定理修正，若 X j (tn ) 可滿足以下的 Lemma 1 以及 Lemma 2，則系統具有強穩定性。首先，我們考慮一個二階非負的李亞普諾夫函數(Lyapunov Function)：. 政治大 K. V  X  tn     j X j 2  tn  ，. 立. (4.1). j 1. ‧ 國. ‧. 條件 C1. 學. 其中  j 為最小加權佇列長度策略中的權重，  j  0 ，所有的 j  1, 2,3,..., K 。. En [V  X  tn1    V  X  tn  ]   。. n. al. er. io. sit. y. Nat. 存在   0 及 b  0 可使得當 V  X  tn    b 時，滿足. 條件 C2. Ch. engchi. i n U. (4.2). v. 存在 p  2 及 D  0 ，使得 En V  X  tn1    V  X  tn    D . p. Lemma 1 K. 在 JWSQ 策略之下，對於任何     j ，可滿足條件 C1 是正確的。 j 1. 14. (4.3).

(23) <證明> 首先，. K  En V  X (tn1 )   V  X (tn )   En  j  X j 2  tn 1   X j 2  tn    j 1  K   En  j  X j  tn 1   X j  tn    X j  tn 1   X j tn   。  j 1  我們將上式之 X j  tn1  以(2.5)式代入，所以可得到. 立. 政治大. ‧ 國. 學. K  En  j  X j  tn 1   X j  tn    X j  tn 1   X j  tn    j 1 . ‧. K   En   j  2 X j  tn   I j  tn 1   D j  tn 1   I j  tn 1   D j  tn 1    j 1 . sit. al. K. er. io. K. y. Nat. K K 2  En  2 j X j  tn   I j (tn 1 )  D j (tn 1 )     j  I j (tn 1 )  D j (tn 1 )   j 1  j 1 . i v n U. . n. 2  2  j X j  tn  En  I j  tn 1   D j  tn 1    j En  I j  tn 1   D j  tn 1     j 1 j 1. Ch. engchi. 2 令 A    j ，並因為 En  I j  tn 1   D j  tn 1     1 ，所以我們可以得到   j 1 K. 2. 2  j X j tn  En  I j tn1   D j tn1    j En  I j tn1   D j tn1    K. K. j 1. j 1. K.  2 j X j  tn  En  I j  tn 1   D j  tn 1   A j 1. K.  2  j X j (tn ){En [ I j  tn 1 ] En [ D j  tn 1 ]}  A j 1. 15. . .

(24) K  En  I j  tn1 ]  ?En [ D j  tn1     A  2 En tn1  tn   j X j  tn     E t  t j 1 n  n 1 n  .  En  I j  tn 1  En [ D j  tn 1 ]    2 En tn1  tn   j X j  tn     A j 1  En tn 1  tn  En tn 1  tn   K. 令 k  arg. min. j 1,2,3,..., K.  X t ，由抵達過程的平穩假設可知，對於所有正整數 n ， j. j. n. En  I k  tn 1   En tn 1  tn . (4.4). 治政 E  I  t   大  0 ，其中 j  k 。 n. n 1. j. 學. 由離開過程的平穩性可知，對於所有正整數 n ，. j 1. sit. al. n.  j X j tn . (4.6). er. io. K.  k 。. y. En tn 1  tn . ‧. En  Dk (tn 1 ). Nat. 因為. (4.5). En tn 1  tn . ‧ 國. 立. ，. En  I j  tn 1  En tn 1  tn . Ch. i n U. e nEgcI ht i .  k X k  tn .  k X k  tn . n. k. n 1. En tn 1  tn . v.   j X j  tn  j q. En  I j  tn 1  En tn 1  tn . En  I k  tn 1   En tn 1  tn . 由(4.3)和(4.4)式我們得到 K  En  I j  tn 1  En [ D j  tn 1 ]   2 En tn1  tn   j X j  tn     A j 1  En tn 1  tn  En tn 1  tn  . 16.

(25) K    2 En tn1  tn   k X k  tn  λ   j X j  tn   j   A j 1  . (4.7). K. K. j 1. j 1. 對於任何     j ，都存在 (r1* , r2* , r3* ,..., rK* ) 滿足 0  rj*  1 且  rj*  1 ，並使得對於所有的 j  1, 2 , 3 , .K. . ， , rj*   j 。而且，存在一個 c  0 使得對於所有. j  1, 2 , 3 , .K. .， , rj*   j  c 。所以，(4.6)式可寫成. K    K *  2 En tn 1  tn  ( rj )k X k  tn  λ   j X j  tn   j   A   j 1  j 1 . K. n. K. * j. j 1. j. j. n. j 1. j. j. j. n. 學. ‧ 國.  2 En tn 1. 政治大    t   r  X (t )     X (t )   A 立   K.  2 En tn1  tn  [rj* j X j (tn )   j j X j (tn )]  A j 1 K. ‧.  2 En tn1  tn  (rj*   j ) j X j  tn   A j 1. Nat. K. io. sit. y.  2c En tn1  tn    j X j  tn   A j 1. (4.8). n. al. er. 因為到達過程與服務過程的平穩假設，我們可以得到 En tn1  tn   h0 ，其中 h0 為. Ch. engchi. 大於 0 的常數。所以我們可以得到. i n U. v. K. En V  X (tn1 )   V  X (tn )   2cEn tn1  tn    j X j  tn   A j 1.  2ch0. K.  X t   A j 1. j. j. n. (4.9). 給定一個 A 值時，我們一定可以找到一個夠大的 b 值，使得當 V  X  tn    b 時，. 2ch0. K. K. j 1. j 1.   j X j tn   A 。令   2ch0   j X j tn   A  0 ，我們即可得到 En V  X (tn1 )   V  X (tn )   . 17. ▓.

(26) Lemma 2 K. 在 JWSQ 策略之下，對於任何     j ，可滿足條件 C2 是正確的。 j 1. <證明>. En V  X (tn1 )   V ( X (tn ))  En p. p. K.  j 1. . j. j 1. K. .  X j  tn 1   X j  tn   X j  tn 1   X j  tn . 政治大. 立   2 X (t )  I (t . j. j. n. j. n 1. p. )  D j (tn 1 )   I j (tn 1 )  D j (tn 1 ) . 學. j 1. ‧ 國.  En. j. 2. p. K.  En.  X j  tn1   X j  tn  2. 因為  I j  tn1   D j  tn1   1。因此得到. ‧. K. y. sit. p. K.   a(2 X. (tn )  1). iv l C n hengchi U  0 以及 X (t )  0 ，所以可得到 j. n. 因為  j.  2 X j (tn )  I j (tn 1 )  D j (tn 1 )   I j (tn 1 )  D j (tn 1 ) . j. io.  En. j 1. er. . Nat. En. p. j. j 1. j. n. p. K. En.   (2 X j 1. j. j. (tn )  1). K. = En. p. K. 2 X t   j. j. j 1. n. j. (4.10). j 1. (4.10)式為 X j  tn  的 p 次多項式期望值。根據更新過程的性質，所有 p 階動差皆存在(包括 p  2 )。所以存在一個 D  0 使得 En V  X (tn1 )   V ( X (tn ))  D p. 18. ▓.

(27) 以下為本章節之主要定理： (定理 1) K. 在最小加權佇列長度策略之下，對於任何     j ，系統都具有所謂的強穩定 j 1. 性。 <證明> 根據 Lemma 1 以及 Lemma 2，系統在最小加權佇列長度策略之下具有所謂的強穩定性(Pemantle and Rosenthal, 1999)。. ▓ 治政大定理 1 證明了 JWSQ立策略是最大吞吐量策略且可達到先前提出的系統強穩. ‧. ‧ 國. 學. io. sit. y. Nat. n. al. er. 定性。. Ch. engchi. 19. i n U. v.

(28) 第五章系統的滯留時間表現值評估本章透過電腦模擬來評估先前所提出的最大吞吐量策略的系統表現值在卜瓦松過程架構下的系統滯留時間(Sojourn Time)。所謂的滯留時間為車輛抵達區域 R 至被處理完成後離開系統所花費的總時間，而本文所探討的是滯留時間的平均值以及第九十五百分位數。. 第 5.1 節系統模擬設定我們建構一座二維空間的區域 R ，其中 R 是由 (0,0)、(0,30)、(30,0)、(30,30) 這. 治政四點所圍的區域。並且系統中具有三座服務站，服務站的位置分別設定為大立 ‧ 國. 學. (5,15  5 3)、(15,15  5 3)、(25,15  5 3) 。而這三座服務站處理車輛的服務時間，. 分別服從平均處理速率    2,3, 6  的指數分配。車輛抵達系統的間隔時間. ‧. i. 1 , 2 , 3 ,... 是輸入流量為  的卜瓦松過程，所以第 i 台車輛到達時間以 ai   j 表. sit. y. Nat. j 1. io. er. 示，並且車輛離開的時間以 d1 , d2 , d3 ,... 紀錄。在系統保持穩定的前提之下，以不同的輸入流量來評估策略的表現，其中欲保持系統穩定性，輸入流量  必須要符. al. n. 3. Ch. i n U. v. 合(2.13)式，即     j  2  3  6 11 。所以我們考慮輸入流量   6、7、8、9、 j 1. engchi. 10、10.9 以及車輛行駛速度 v  0.1、0.5、2、5、10 來評估這些策略的表現值。電腦模擬中觀察長期觀測下的結果大都會先經歷一段所謂的熱機期 (Burn-in period，又稱預燒期)[7] ，若我們將熱機期內的車輛納入估計的範圍中，對於我們所要估計的滯留時間會較不準確。於是我們以 2 105 台車輛進行電腦模擬，並在每次的模擬中我們將前五萬台車輛視為熱機期，在估計時不納入考慮。在這裡我們所感興趣的是最大吞吐量策略的表現，本章節中討論的是隨機路由策略(簡稱 RR 策略)以及最小加權佇列長度策略。其中對於最小加權佇列長度 20.

(29) 策略的權重  j ，我們考慮以下的三種選擇：. (1)  j  1 ，稱為 Join-the-Shortest-Queue Policy(簡稱 JSQ 策略)； (2)  j . (3)  j . 1. j i. ，稱為 Join-the-Weighted-Shortest-Queue Policy(簡稱 JWSQ 策略)；. Sj. j. ，稱為 Join-the-Double-Weighted-Shortest-Queue Policy(簡稱. JDWSQ 策略)，我們對於以上的最大吞吐量策略：RR 策略、JSQ 策略、JWSQ 策略以及 JDWSQ. 治政策略作電腦模擬，並將結果整理為表 1 以及表 2，其中表大 1 和表 2 分別是滯留時立間的平均值與滯留時間的第九十五百分位數。我們經由表 1 和表 2 說明以下的這 ‧ 國. 學. 些策略的表現。. ‧. 第 5.2 節滯留時間平均值. sit. y. Nat. io. er. 首先，從表 1 中我們可以發現 JDWSQ 策略在平均值方面大多都擁有最好的表現。而在系統繁忙 (  10.9) 並且車輛行駛速度慢 (v  0.1,0.5, 2) 的時候，JWSQ. al. n. v i n C h (v  5,10) 時，JDWSQ 策略的表現最好，在車輛行駛速度較快策略的表現較佳。 engchi U 這是因為在 JDWSQ 策略中考慮了距離. i.  S j 的因素，但是在車輛行駛速度較. 慢的情況中，距離的因素會被放大好幾倍。所以在服務站的選擇方面，就會有車輛輸送到不適當服務站的風險。而車輛行駛速度較快的時候並不會有這種風險。此外，JWSQ 策略在系統閒置時的表現大多會比 RR 策略更好，並且隨著輸入流量以及車輛行駛速度的增加，兩者之間的差距會漸漸變大。並且我們可以觀察到 JSQ 策略的表現大多比 RR 策略差，但當車輛行駛速度很大 (v  10) 時差距會比較小或是略勝 RR 策略。並且在系統繁忙 (  10.9) 並且車輛行駛速度較快. (v  2,5,10) 的時候可以看到 JSQ 策略的表現比 RR 策略好很多，這是動態策略的 21.

(30) 優良性質。所以我們對車輛滯留時間的平均值可以做一些總結。在表 1 中可觀察到，除了在輸入流量大    10.9  並且車輛行駛速度較慢  v  0.1, 0.5, 2  的時候之外， JDWSQ 策略都是最佳的路由策略。輸入流量大    10.9  並且車輛行駛速度較慢  v  0.1, 0.5, 2  的時候，則是以 JWSQ 策略的表現最好。我們也可以在不同的車輛速率之下評估策略的優劣情形，我們將表 1 的模擬結果繪製成車輛的輸入流量對車輛滯留時間平均值的折線圖，以圖 3 作以上論述之驗證。在大多數情況之下 JDWSQ 策略都擁有最好的效率，JWSQ 策略次之，. 政治大行駛速率也增加之後，隨機路由策略與 JWSQ 策略的差距越來越明顯。而系統立. 而隨機路由策略在大部分情況底下稍稍不及 JWSQ 策略，但隨著輸入流量車輛. 繁忙時，隨機路由策略大多不如 JDWSQ 策略及 JWSQ 策略，所以印證考慮服. ‧ 國. 學. 務站平均處理速率以及距離作為權重是非常合理的，並且當車輛的行駛速率較大，. n. al. er. io. sit. y. Nat. 性質。. ‧. 隨機路由策略甚至會比不上 JSQ 策略，這亦印證最小加權佇列長度策略的優良. Ch. engchi. 22. i n U. v.

(31) 表 1 最大吞吐量策略之間車輛的滯留時間平均值比較 JWSQ. JDWSQ. 0.1. 157.0585. 155.7191. 156.0092. 78.7712. 0.5. 31.9243. 32.2696. 31.5683. 16.7373. 2. 8.4026. 8.7694. 8.338. 4.9274. 5. 3.7393. 3.9123. 3.6195. 2.4586. 10. 2.1484. 2.2455. 2.0319. 1.5701. 0.1. 157.1964. 161.8601. 156.6371. 79.6639. 0.5. 31.943. 33.771. 31.7537. 17.2249. 2. 8.5379. 9.2356. 8.4348. 5.2083. 5. 3.843. 4.1901. 3.7197. 2.6239. 10. 2.3258. 2.405. 2.1189. 1.6827. 0.1. 157.5922. 0.5. 32.2944. 10 0.5 2 5. 10.9. 4.635. 3.8643. 2.9341. 2.591. 2.661. 2.2328. 1.8775. 158.121. 216.6027. 157.6405. 113.2156. 32.7002. 44.2557. 32.4463. 22.8977. 9.255. 11.7321. 9.0239. 6.8351. 4.6127. 5.2106. 4.0602. 3.3803. 3.0412. 3.0245. 2.4075. 2.2178. 248.4396. 10. io. 10. 4.1308. Nat. 9. 8.6118. 0.1. 159.2378. 0.5. 34.2026. 2. 10.853. 5. al. Ch. e50.9674 ngchi. ‧. 0.1. 18.5787. 10.1943. 學. 5. 83.5483. y. 2. 立 8.8126. 治 157.2205 政186.1543 大32.1187 37.5933. n. 8. JSQ. sit. 7. RR. er. 6. v. ‧ 國. . iv n U 33.9821. 160.2207. 5.7161. 149.2429 31.6048. 13.5763. 9.6674. 8.8816. 6.0781. 6.285. 4.7601. 4.7491. 10. 4.2393. 3.8919. 3.076. 2.9487. 0.1. 185.0647. 270.6379. 176.3171. 192.3517. 0.5. 59.7227. 60.707. 41.3873. 47.3628. 2. 38.0429. 23.5874. 19.3432. 17.3057. 5. 36.6659. 16.0151. 13.4462. 10.5595. 10. 31.8484. 10.8622. 9.4841. 8.815. 23.

(32) 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 3 車輛滯留時間在不同車輛速度之下平均值的折線圖. 24.

(33) 第 5.3 節滯留時間第九十五百分位數從表 2 中，可以觀察到 JDWSQ 策略在大多數情況之下都擁有最好的表現值。只有在以下幾種情形時表現不如 JWSQ 策略，如輸入流量   8,9 且車輛行駛速度 v  10 、輸入流量   10 且車輛行駛速度 v  0.1, 0.5, 2 以及輸入流量   10.9 。原因是如果車輛行駛的速度比較快，距離因素的重要性將會被平衡。而因為 JDWSQ 策略考慮了距離因素，所以此策略對於車輛滯留時間的變異數會比較大。這會造成了在第九十五百分位數方面，JDWSQ 策略的表現會遜於 JWSQ 策略的結果。此外，JWSQ 策略在第九十五百分位數的表現都優於 JSQ 策略以及 RR 策. 政治大. 略。而 JSQ 策略雖然系統閒置時在第九十五百分位數的大多數情況都略遜於 RR. 立. 策略，但是隨著輸入流量與車輛行駛速度的增加，可以看出兩者的差距越來越小，. ‧ 國. 學. 甚至在輸入流量   10.9 時 JSQ 策略的表現大多都會比 RR 策略更好，可以說是. ‧. 印證了最小加權佇列長度策略的優良性質。. sit. y. Nat. 圖 4 為以表 2 結果所繪的車輛的輸入流量對於車輛滯留時間的第九十五百分. io. er. 位數之折線圖。從圖 4 中可看出在較小的輸入流量之下，RR 策略的第九十五百. al. 分位數的表現與其他策略相差不大。但較大的輸入流量的時候，RR 策略第九十. n. v i n Ch 五百分位數的表現會比其他的策略差，僅在車輛速度較小時的表現尚可接受。此 engchi U. 外，這些策略的表現以 JWSQ 策略、JDWSQ 策略表現較好，JDWSQ 策略在較大的輸入流量時，第九十五百分位數的表現較 JWSQ 策略稍遜一些，原因在先前已經說明過，在此不再詳述，但我們還是認為 JDWSQ 策略在我們的系統中是最佳的路由策略。. 25.

(34) 表 2 最大吞吐量策略之間車輛的滯留時間第九十五百分位數比較 JWSQ. JDWSQ. 0.1. 271.5778. 269.1659. 268.9362. 146.2156. 0.5. 54.6573. 55.3601. 54.3309. 30.6395. 2. 14.2688. 15.064. 14.1129. 9.3149. 5. 6.3373. 6.8545. 6.1001. 4.8814. 10. 3.8096. 4.2227. 3.4597. 3.1693. 0.1. 271.5076. 279.0493. 270.3329. 147.3458. 0.5. 54.9119. 58.145. 54.6128. 31.2419. 2. 14.4851. 15.9994. 14.2626. 9.6955. 5. 6.5469. 7.5957. 6.2501. 5.1764. 10. 4.3012. 4.6839. 3.6548. 3.4438. 0.1. 271.3091. 0.5. 55.2589. 0.5 5. 10.9. 10.6583. 7.2011. 8.8499. 6.4576. 5.8001. 5.2107. 5.417. 3.896. 3.9287. 272.7252. 384.91. 270.2296. 190.2005. 55.695. 79.7794. 55.1701. 39.6816. 15.5865. 22.15. 15.0712. 12.6522. 8.5044. 10.4015. 6.8113. 6.7494. 6.4762. 6.4426. 4.2246. 4.8303. 471.638. 10. io. 10. 14.5048. Nat. 2. 18.2119. 0.1. 273.6653. 0.5. 58.0283. 2. 19.6326. 5. al. Ch. e97.4786 ngchi. ‧. 0.1. 33.2963. y. 10. 150.648. 學. 2 5. 9. 立 14.87. 政319.457治大270.7855 65.5609 54.8576. n. 8. JSQ. sit. 7. RR. er. 6. v. ‧ 國. . iv n U 56.7835. 273.1148. 243.7223 53.3279. 26.9011. 15.9409. 16.4946. 13.322. 13.1706. 8.1431. 10.0089. 10. 10.5513. 8.8458. 5.8371. 6.7339. 0.1. 307.0588. 543.0007. 288.7714. 318.0125. 0.5. 149.7827. 121.4842. 66.6154. 89.599. 2. 139.5393. 53.1211. 36.6115. 37.272. 5. 128.8377. 42.6334. 24.4272. 24.5791. 10. 99.139. 29.7249. 19.877. 23.0608. 26.

(35) 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 4 車輛滯留時間在不同車輛速度之下第九十五百分位數的折線圖. 27.

(36) 第 5.4 節系統繁忙的模擬表現值在前面的討論中，我們曾對於 JDWSQ 策略在當系統繁忙(輸入流量   10.9 ) 且車輛速率比較慢時，車輛滯留時間平均值的表現會比 JWSQ 策略還差的情況感到疑惑。我們懷疑在最小加權佇列長度策略中， X j (ti ) 是一個不合適的考量。意思是當系統繁忙時 X j (ti ) 數目非常大，但是 X j (ti ) 當中有可能會有一部分車輛比 ti 時間出現的車輛更晚進入服務站。所以我們將 X j (ti ) 作為考量因素在這樣的情況底下，有可能會將車輛送至不適當的服務站，所以在系統繁忙的時候我們必. 治政 ) 為各個分流上，比 t 觀測時須將最小加權佇列長度策略作改進。我們定義 Y (t 大立 j. i. i. ‧ 國. 學. 間出現的車輛更早進入服務站的車輛數目，並且我們使用 Y j (ti ) 將最小加權佇列長度策略改進，將原本策略中的 X j (ti ) 替換為 Y j (ti ) 。我們稱這些改良後的最小. ‧. 加權佇列長度策略為 JSQ*策略、JSWQ*策略以及 JDWSQ*策略。再以這些改良. y. Nat. io. sit. 後的策略進行電腦模擬，並且我們將模擬的結果與先前所做的結果合併成表 3. n. al. er. 與表 4。使用表 3 與表 4 的結果進行這種特殊情況之下的策略評估。. Ch. i n U. v. 在表 3 中可觀察到原本在輸入流量大    10.9  並且車輛行駛速度較慢. engchi.  v  0.1, 0.5 的時候，車輛滯留時間平均值表現較差的問題稍微得到改善，這證實了我們的猜測應是正確的。只有在車輛行駛速度 (v  2) 仍是 JWSQ 表現最佳，但我們還是認為 JDWSQ 策略會比 JWSQ 策略更有效率。而我們在表 4 中可觀察到車輛滯留時間第九十五百分位數的表現仍以 JWSQ 策略較佳，因為在 JDWSQ 策略當中考慮了距離的因素，所以 JDWSQ 策略中車輛滯留時間的變異數會比 JWSQ 策略的變異數來的大，這是先前所述的原因，在此我們不需多做解釋。. 28.

(37) 表 3 最小加權佇列長度策略之車輛滯留時間平均值比較. . v 0.1. 10.9. JSQ. JSQ*. JWSQ. JWSQ*. JDWSQ. JDWSQ*. 270.6379 331.1967 176.3171 294.6361 192.3517 172.0714. 0.5. 60.707. 67.0738. 41.3873. 64.8834. 47.3628. 40.6596. 2. 23.5874. 24.8357. 19.3433. 20.8090. 17.3057. 18.1324. 5. 16.0151. 15.2902. 13.4462. 15.1254. 10.5595. 11.1487. 10. 10.8622. 10.6104. 9.4841. 12.9514. 8.815. 9.2341. 表 4 最小加權佇列長度策略之車輛滯留時間第九十五百分位數比較. 10. 66.6154. 104.6780. 89.599. 73.0212. 53.1211. 50.8880. 36.6115. 41.8415. 37.272. 39.7476. 42.6334. 44.2223. 24.4272. 32.0705. 26.2373. 25.0990. 19.877. 33.5642. y. 5. 121.4842 122.2929. ‧. 2. JDWSQ*. 543.0007 604.1080 288.7714 498.6353 318.0125 302.6141. 學. 10.9. 立. JDWSQ. Nat. 0.5. 治 JWSQ* 政 JWSQ 大. JSQ*. 23.5420. 29.7249. 24.5791 23.0608. io. sit. 0.1. JSQ. er. v. ‧ 國. . 依據以上所敘述的說明，我們相信 JDWSQ 策略會比 JWSQ 策略的表現來得. al. n. v i n 更好一些。但就模擬的表現來說， CJDWSQ U h e n 策略的模擬結果並不如同想像中的優異 i h gc. 所以對於我們所描述的車輛服務系統距離因素是否為一個重要的因素？我們還需要更清楚的厘清。於是我們將原本的系統做了以下的改變，考慮這三座服務站. 處理車輛的服務時間服從平均處理速率    4, 4, 4  的指數分配。並且系統一樣 3. 需要保持穩定，所以輸入流量  必須要符合(2.13)式，即     j j 1. 。考慮這樣的系統用意是服務站之間如果具有相同的車輛處理速率，就會使得每台車輛在選擇服務站時就不會有考慮較大處理速率服務站的傾向。順便一提，在這樣的設定之下，JWSQ 策略因為服務站的平均處理速率相等，所以等同於 JSQ 29.

(38) 策略。我們將以上設定進行程式模擬，並且模擬結果依照不同的系統分流定義，依照平均值與第九十五百分位數呈現為表 5 以及表 6。在表 5 以及表 6 中，我們能觀察到不論是平均值或是第九十五百分位數的表現，JDWSQ 策略都比其他的策略來得好。而 JDWSQ 策略僅有在行駛速率 v  2 的時候，第九十五百分位數較 JWSQ 策略大一些，先前我們也曾提過第九十五百分位數較易受到變異數影響。並且我們認為車輛滯留時間的平均值對評估策略的重要性比較高，所以我們還是覺得 JDWSQ 策略比 JWSQ 策略更加優良。所以在這樣的條件底下，可以驗證最小加權佇列長度策略的權重當中考慮距離因素的. 政治大及距離兩種因素對於車輛服務系統會是最佳策略。立. 重要性。並且我們認為在最小加權佇列長度策略中同時考慮服務站的處理速率以. ‧ 國. JDWSQ*. 0.1. 179.8787. 324.6072. 102.2712. 148.5670. 0.5. 40.1717. 71.9770. 27.2998. 2. 20.4066. 22.8654. 7.8103. 11.8593. Ch. engchi. 36.3108. 15.0845. 17.5629. 6.0817. 9.0661. er. al. n. 10. y. JDWSQ. sit. JSQ*/JWSQ*. io. JSQ/JWSQ. ‧. 11.9. v. Nat. . 學. 表 5 在相同處理速率之下不同策略的車輛滯留時間平均值比較. i n U. v. 表 6 在相同處理速率之下不同策略的車輛滯留時間第九十五百分位數比較. . 11.9. v. JSQ/JWSQ. JSQ*/JWSQ*. JDWSQ. JDWSQ*. 0.1. 292.6520. 484.7434. 181.6990. 261.1351. 0.5. 65.6050. 106.8769. 47.3883. 61.7241. 2. 34.6401. 41.3990. 31.8171. 33.2373. 10. 16.0669. 24.5016. 13.9370. 22.3937. 30.

(39) 第六章結論與討論在本文中介紹了數種車輛服務系統的路由策略，如最近服務站策略、循環服務策略、最大服務率策略、隨機路由策略以及最小加權佇列長度策略。其中我們證明了隨機路由策略、最小加權佇列長度策略為最大吞吐量策略。並且我們利用偏離分析證明在相互獨立且具有相同分配的車輛間隔時間  i 以及車輛服務時間.  i j 的假設之下，使用最小加權佇列長度策略的系統具有所謂的強穩定性。此外，我們在第五章中藉由電腦模擬評估這些策略之間的優劣表現，其中車輛的抵達過. 政治大輛服務系統中選擇路由策略，我們給予以下的建議：立. 程是以卜瓦松過程以及相互獨立且具有相同分配的車輛服務時間。最後，對於車. ‧ 國. 學. 1.. 如果目標為最小化車輛滯留時間平均值，當輸入流量  大且車輛行駛速度小. ‧. 的時候，路由策略應該使用 JDWSQ*策略。在其他的情況之下，則應該使用 JDWSQ 策略。. y. Nat. 如果目標為最小化車輛滯留時間第九十五百分位數，當輸入流量  以及車輛. io. sit. 2.. n. al. er. 行駛速度都較大的時候，路由策略應該使用 JWSQ 策略。除此之外，應該使用 JDWSQ 策略。. Ch. engchi. i n U. v. 當然在最小加權佇列長度策略中也可以考慮其他不同的權重。並且使用其他的權重仍然符合前述的系統強穩定性，這是我們在本文當中所得到的優異結果。綜合以上本文所述的策略以及電腦模擬的表現值，我們提出的最小加權佇列長度策略具有以下優點： 1.. 為動態策略，可依照當下系統分流中的狀況及時調整後面的車輛要送的服務站，比起隨機路由策略是以固定輸送的路由比例更好。並且可以依照不同系統設定之下考慮不同的權重  j ，而我們在本文中使用偏離分析證明了不論 31.

(40) 權重  j 為何，使用最小加權佇列長度策略，系統都具有強穩定性。. 2.. 為最大吞吐量策略，其在系統繁忙時有最好的表現。並且如果我們考慮更合理的權重，此策略會比原先的策略更加有效率。而根據本文所使用的車輛路由服務系統及路由策略，在未來仍有一些可以深. 入探究的部分： 1.. 1 在最小加權佇列長度策略中，我們考慮了  j  1，，. i. j. Sj. j. 作為權重的選. 政治大該因素加入策略中會具有更好的表現，這是值得努力研究的方向。立. 擇。除了這些權重之外，是否還有其他的重要因素可以作為權重的考慮，將. 在最小加權佇列長度策略中，是否能夠以其他的系統狀態過程作為考慮，而. ‧ 國. 學. 2.. 不是現行的 X j  tn  或者 Y j  tn  ，如 N j  tn  或是 N j  tn   M j  tn  等等。. ‧. 在本文所討論的系統當中，對於系統的基本假設為車輛到達時間之間相互獨. Nat. sit. y. 立，並且車輛以固定速率行駛，也不會受到管制(如路上的交通號誌燈)，車. io. 輛行駛者途中不會改變目標服務站。未來可以將這些假設變得更加複雜，考. n. al. er. 3.. i n U. v. 慮車輛到達時間之間不會相互獨立、車輛並非固定速率行駛或者每台車輛具. Ch. engchi. 有不同的速率，並且會在系統中在受到交通管制、可依照輸送路程當中所發生的情況而改變目標服務站，改變這些因素會使得整個系統變得更加生動，也更加貼近現實生活的情況，故我們認為放寬這些假設是未來可以嘗試研究的部分。. 32.

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