0227 數學第二冊解答

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0227 數學第二冊 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

( )1.在 x  0,y  1,x  y  2 的條件下,2x  y 的最大值為何? (A)  2 (B)  1 (C)1 (D)2 【101 年歷屆試題.】 解答 C 解析 滿足不等式條件的圖解如下: 其頂點為(0 , 1)、(1 , 1)、(0 , 2),而 ( , ) (0,1) (1,1) (0, 2) 2 1 1 2 x y xy   故 2x y 的最大值為 1 ( )2.若 3x2  2x  k  0 有兩相等實根,則 k  (A)1 3 (B) 1 2 (C)1 (D) 4 3 【092 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ 3x2 2x k 0 有兩相等實根 22 4 3 k 1 3 k ( )3.若、 均為實數,且3 2 5,3 2 5,則    (A)  1 (B)1 (C)2 (D)4 【098 年歷屆試題.】 解答 B 解析  3 3(2 5)(2 5)22( 5)2 1    1 3  3 (   )(2    2 )  (   )(2  2  )  (   )[(   )2 2   ]  (   )[(   )2 3 ]  (   )[(   )2 3  (  1)]  (   )3 3(   ) 設    x,則3  3 x3 3x,而33(2 5)(2 5)4 因此 x3 3x  4  x3 3x  4  0  (x 1)(x2 x  4)  0  x  1  0 或 x2 x  4  0 而 x2 x  4  0 無實數解 故 x  1,即    1 ( )4.設x、 y 、k均為實數,若x 1 2x   y 4 x 3y k 0,則k之值為何? (A) 3 (B)1 (C) 4 (D) 5 【103 年歷屆試題.】 解答 D 解析 從題意可知 1 0 2 4 0 3 0 x x y x y k              由 得x 1 1 x  代入 得2

 

   1 y 4 0  y2 1 x  、y2代入 得    1 3 2 k 0  k 5 ( )5.在坐標平面上,滿足 x  y   2,x  2y   2,x  2 不等式組的區域面積為何? (A)12 (B)20 (C)24 (D)28 【093 年歷屆試題.】 解答 A

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解析 2 2 2 2 x y x y x             所成區域為△ABC(如下圖所示) 所求面積(即△ABC 面積) 1 2AB  (AB邊上的高) 1 6 4 12 2     ( )6.若、 為方程式x 3 1 x    的兩相異實根,則(2 1)(2 1)      (A)  1 (B) 1 3 (C)1 (D) 5 3 【100 年歷屆試題.】 解答 B 解析 x 3 1 x    左右同乘 x x2 3  x x2 x 3 0  1 1 1       , 3 3 1    2 2 4 2 2 4 1 1 4 ( 1)( 1) 1 2( ) 1 2   1                          4 2 1 1 1 3 3 3         ( )7.設 k 為自然數,若行列式 1 2 3 1 2 3 0 1 2 3 k k k     ,則 k  (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 【094 年歷屆試題.】 解答 D 解析 1 2 3 6 2 3 1 2 3 0 6 2 3 0 1 2 3 6 2 3            k k k k k k k k 1  1  1 2 3 (6 ) 1 2 3 1 2 3 k k k      ( 1)  0 ( 1)   2 1 2 3 (6 ) 0 0 0 (6 ) 0 0 0 k k k k k         但已知 k 為自然數 ∴ k  6

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解答 B 解析 ∵ (a bi)(1 3i)  8  4i 8 4 (8 4 )(1 3 ) 20 20 2 2 1 3 (1 3 )(1 3 ) 10 i i i i a bi i i i i               ∴ (a bi)2 (2  2i)2 4  8i 4i2 8i ( )9.設 a、b、c 為實數,若 2 2 2 1 1 12 1 a a b b c c  且 3 3 3 1 1 156 1 a a b b c c  ,則 2 2 2 1 1 ( 1) 1 1 ( 1) 1 1 ( 1) a a a b b b c c c        (A)13 (B)144 (C)168 (D)1872 【095 年歷屆試題.】 解答 C 解析 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 156 12 168 1 1 ( 1) 1 1 1 a a a a a a a a a a b b b b b b b b b b c c c c c c c c c c                ( 1)   ( )10.在坐標平面上,滿足不等式方程組 2 6 0 3 3 0 0 x y x y y             的區域,其面積為何? (A)22 5 (B) 32 5 (C) 42 5 (D) 48 5 【098 年歷屆試題.】 解答 D 解析 滿足不等式方程組的區域如圖所示: 面積 1 [3 ( 1)] 24 48 2 5 5       ( )11.設i 1,試求(  i)8  (  i)7  (  i)6  (  i)5  (  i)4  (  i)3  (  i)2  (  i)  1  (A)2  5i (B)2  5i (C)  5  2i (D)5  2i 【097 年歷屆試題.】 解答 D 解析 (  i)2 i 2 1;(  i)3 i 3 i 2 i  (  1)  i i;( i)4 i 4 1 (  i)5 i 5 i 4 i ( 1) i  i;( i)6 i 6 i 4 i 2 1 ( 1)  1 (  i)7 i 7 i 4 i 3 1 ( i) i;( i)8 i 8 i 4 i 4 1 1 1 ∴ (  i)8 ( i)7 ( i)6 ( i)5 ( i)4 ( i)3 ( i)2 ( i) 1  1  i  (  1)  (  i)  1  i  (  1)  i  1  1  i  1  i  1  i  1  i  1  5  2i ( )12.行列式 1 10 20 5 50 1 10 1 5  (A)  992 (B)  1002 (C)992 (D)1002 【097 年歷屆試題.】 解答 A 解析

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1 10 20 1 10 20 5 50 1 0 0 99 10 1 5 0 99 195     (依第一行降階)

( 10)

 

( 5)   0 99 2 1 99 99 195        ( )13.已知 f (x)為一實係數多項式,且 ( )3 27 2 f  , ( 5) 8 3 f   。若 f (x)除以 6x2  x  15 的餘式為 ax  b,則 a  b  (A)4 (B)6 (C)18 (D)24 【100 年歷屆試題.】 解答 D 解析 設 f (x) (6x2 x  15)  q (x)…ax b f (x) = (6x2 x 15)q (x) ax b (2x 3)(3x 5)q (x) ax b ∵ ( )3 27 2 f  , ( 5) 8 3 f   ∴ 3 27 2a b , 5 8 3a b     a 6,b  18 因此 a b  6  18  24

( )14.若 x2  x  1 為 x3  ax2  bx  2 的因式,則下列何者正確? (A)a  b (B)a2  b2  10 (C)a  b   2 (D)a  b  6

【101 年歷屆試題.】 解答 D 解析 先以 x2 x 1 去除 x3 ax2 bx 2: 1 ( 1) 1 1 1 1 2 1 1 1 ( 1) ( 1) 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( ) (3 ) a a b a b a a a b a a                      ( )15.已知 m、n 為實數,Q(x)為二次多項式。若 x4  mx3  x2  5x  n  (x2  3x  2)Q(x), 則 2m  n  (A)  6 (B)  2 (C)4 (D)8 【102 年歷屆試題.】 餘式為(b a)x  (3  a) ∵ x2 x 1 為 x3 ax2 bx  2 的因式 ∴ 餘式為 0 即 b a  0 且 3  a  0  a 3,b  3 (A) a b (B) a2 b2 32 32 18 (C) a b  3  3  0 (D) a b  3  3  6 解答 D 解析 令 f (x) x4 mx3 x2 5x n ∵ f (x) (x2 3x 2)Q(x) (x 1)(x 2)Q(x) ∴ x 1 與 x 2 均為 f (x)的因式 f (1) 0,f (2)  0 f (1)  1  m  1  5  n  0   m n  5…… f (2)  16  8m  4  10  n  0   8m n  2……    7m  7  m  1 m  1 代入  1  n  5  n  6

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( )16.已知i 1,且 a、b 均為實數。若13i為方程式 x3  3x2  ax  b  0 的一根,則 a  b  (A)  4 (B)  2 (C)8 (D)14 【098 年歷屆試題.】 解答 D 解析 1 3i為 x3 3x2 ax b 0 的一根,且 a、b 均為實數 1 3   i也是 x3 3x2 ax b  0 的根 而 2 [x (1 3 )][i x (1 3 )]ix 2x4 則 3 2 2 3 ( 2 4)( ) 4 b xxax b xxx 3 ( 2 ) 2 (4 ) 4 2 b b x x x b        2 3 4 4 2 b b a            b 20,a  6 故 a b  6  20  14 《另解》 1 3i為實係數方程式,x3 3x2 ax b 0 之一根,則13i為其另一根 設為方程式的第三根 則三根和(1 3 ) (1 3 ) 3 3 5 1 i i              ∴ x33x2ax   b [x (1 3 )][i x (1 3 )][i x ( 5)]x33x26x20 a  6,b  20 故 a b  6  20  14

( )17.已知i 1,a 為複數,若二次方程式 x2  ax  4  7i  0 有一根為 2  i,則另一根為何? (A)2  3i (B)  3  2i (C)2  i (D)2  3i 【092 年歷屆試題.】 解答 B 解析 設另一根為,則(2  i)  4  7i 4 7 ( 4 7 )(2 ) 15 10 3 2 2 (2 )(2 ) 5 i i i i i i i i                   ∴ 另一根為  3  2i 《註》本題並非實係數二次方程式,故兩根不一定共軛存在 ( )18.設a、 b 、c均為實數,若

ab b



c c



a

 2,則 2 6 3 3 2 2 a b b c c b ca ca ca 之值為何? (A) 12 (B) 6 (C) 6 (D)12 【105 年歷屆試題.】 解答 D 解析 原式

2 2 3 3 3 2 a b b c c b c a c a c a       (第一行提出 2 , 第二列提出3 , 第三列提出

ca

) ( 1)   ( 1)   2 3

1 1 1 a b b c a c c b      6

0 1 0 0 a b a b a c a c b c       (第三列降階展開)

(6)

6

1 0 b a b a c a b c        (第一列提出

ba

) 6

 

1 1 0 c a b a b c       6

ca b a



     

1

b c

0 16 c

a

ba

bc

6 c

a

 

a b

bc

 6 a

b b



c c



a

   6

 

2 12 ( )19.若為方程式 x2  x  1  0 之一複數根,則2005  (A)  1 (B)1 (C)  (D) 【094 年歷屆試題.】 解答 D 解析 ∵ 為 x2 x  1  0 之一複數根   2 1  0  (  1)( 2   1)  0   3 1  0,即 3 1 ∴  2005 ( 3 )668   1668    ( )20.已知i 1,則下列何者為複數 4 4 3i 的一個平方根? (A) 6 2i (B) 6 2i (C) 6 2i (D) 3 2i 【093 年歷屆試題.】 解答 B 解析 4 4 3 8(1 3 ) 8(cos sin ) 2 2 3 3 i ii        44 3i的平方根為 2 2 3 3 8(cos sin ) 2 2 k k k z i         (其中 k  0, 1) 即 0 8(cos sin ) 2 2( 3 1 ) 6 2 6 6 2 2 z   i    i   i 1 7 7 3 1 8(cos sin ) 2 2( ) 6 2 6 6 2 2 z   i     i    i ∴ 44 3i的平方根為 6 2i及 6 2i ( )21.已知i 1,則 10 ( 3i)  (A) 9 2 (1 3 )i (B) 9 2 (1 3 )i (C) 9 2 ( 3i) (D) 9 2 ( 3i) 【091 年歷屆試題.】 解答 B 解析 由題目中 (1)先求 3i的極式 (2)再用(1)求( 3i)10 (1) 3 2( 3 1) 2(cos30 sin 30 ) 2 2 i i i         其中 2 2 2 ( 3) 1  4 | |z

(2)( 3i)10[2(cos30 isin 30 )] 102 (cos30010  isin 300 )

1024[cos 60 ( sin 60 )] 1024(1 3 ) 2 2 i i        9 512(1 3 )i 2 (1 3 )i     ( )22.設 4 1 5 5 cos sin 3 3 z  i    , 2 2 cos sin 3 3 z   i     ,則 1 2 z z 之值為何? (A) 1 (B) i (C) 0 (D)1 【103 年歷屆試題.】

(7)

解析 4 1 5 5 cos sin 3 3 z  i    5 5 cos 4 sin 4 3 i 3          20 20 cos sin 3  i 3    2 2 cos 3 2 sin 3 2 3 i 3                  2 2 cos sin 3 i 3   2 2 cos sin 3 3 z   i     cos 2 3 isin 2 3            2 2 cos sin 3 i 3   ∵ z1z2 ∴ 1 2 1 z z( )23.下列何者與不等式|x  4|  8 的解相同? (A)(x  4)(x  12)  0 (B)(x  4)(x  12)  0 (C)(x  4)(x  12)  0 (D)(x  4)(x  12)  0 【095 年歷屆試題.】 解答 C 解析 |x  4|  8   8  x  4  8   4  x  12  (x 4)(x  12)  0 ∴ |x  4|  8 與(x 4)(x  12)  0 的解相同 ( )24.已知i 1且a、 b 為實數,若(2i a)

bi

15 5 i ,則a b (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D)  10 【104 年歷屆試題.】 解答 B 解析 (2i a)( bi) 15 5  i  15 5 5(3 ) 2 2        i i a bi i i 5(3 )(2 ) (2 )(2 )      i i i i 2 2 2 5(6 3 2 ) 2 1      i i i 5(7 ) 7 5   i  ia7,b 1,故a    b 7 ( 1) 6 ( )25.下列何者為不等式 3x2  3x  6 之解? (A)x   2 或 x  1 (B)  2  x  1 (C)  1  x  2 (D)x   1 或 x  2 【101 年歷屆試題.】 解答 C 解析 3x2 3x  6  3x2 3x  6  0 3   x2 x  2  0  (x 1)(x  2)  0   1  x  2

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