0227 數學第二冊解答

0227 數學第二冊 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

（ ）1.在 x  0，y  1，x  y  2 的條件下，2x  y 的最大值為何？ (A)  2 (B)  1 (C)1 (D)2 【101 年歷屆試題.】 解答 C 解析 滿足不等式條件的圖解如下： 其頂點為(0 , 1)、(1 , 1)、(0 , 2)，而 ( , ) (0,1) (1,1) (0, 2) 2 1 1 2 x y xy   故 2x  y 的最大值為 1 （ ）2.若 3x2  2x  k  0 有兩相等實根，則 k  (A)1 3 (B) 1 2 (C)1 (D) 4 3 【092 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ 3x2 _2x  _k  _{0 有兩相等實根}  ₂2 ₄  ₃  _k  1 3 k （ ）3.若、 均為實數，且3 2 5，3 _{2 5，則}    (A)  1 (B)1 (C)2 (D)4 【098 年歷屆試題.】 解答 B 解析  3 3(2 5)(2 5)22( 5)2 1    1 3  3 (   )(2    2 )  (   )(2  2  )  (   )[(   )2 2   ]  (   )[(   )2 3 ]  (   )[(   )2 3  (  1)]  (   )3 3(   ) 設    x，則3  3 x3 3x，而33(2 5)(2 5)4 因此 x3 3x  4  x3 3x  4  0  (x  1)(x2 x  4)  0  x  1  0 或 x2 x  4  0 而 x2 x  4  0 無實數解 故 x  1，即    1 （ ）4.設x、 y 、k均為實數，若x 1 2x   y 4 x 3y k 0，則k之值為何？ (A) 3 (B)1 (C) 4 (D) 5 【103 年歷屆試題.】 解答 D 解析 從題意可知 1 0 2 4 0 3 0 x x y x y k              由 得x 1 1 x  代入 得2

 

   1 y 4 0  y2 1 x  、y2代入 得    1 3 2 k 0  k 5 （ ）5.在坐標平面上，滿足 x  y   2，x  2y   2，x  2 不等式組的區域面積為何？ (A)12 (B)20 (C)24 (D)28 【093 年歷屆試題.】 解答 A

解析 2 2 2 2 x y x y x             所成區域為△ABC（如下圖所示） 所求面積（即△ABC 面積） 1 2AB  （AB邊上的高） 1 6 4 12 2     （ ）6.若、 為方程式x 3 1 x    的兩相異實根，則(2 1)(2 1)      (A)  1 (B) 1 3 (C)1 (D) 5 3 【100 年歷屆試題.】 解答 B 解析 x 3 1 x    左右同乘 x  x2 ₃  _x  _x2 _x  ₃  ₀  1 ₁ 1       ， 3 3 1    2 2 4 2 2 4 1 1 4 ( 1)( 1) 1 2( ) 1 2   1                          4 2 1 1 1 3 3 3         （ ）7.設 k 為自然數，若行列式 1 2 3 1 2 3 0 1 2 3 k k k     ，則 k  (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 【094 年歷屆試題.】 解答 D 解析 1 2 3 6 2 3 1 2 3 0 6 2 3 0 1 2 3 6 2 3            k k k k k k k k 1  1  1 2 3 (6 ) 1 2 3 1 2 3 k k k      ( 1)  0 ( 1)   2 1 2 3 (6 ) 0 0 0 (6 ) 0 0 0 k k k k k         但已知 k 為自然數 ∴ k  6

解答 B 解析 ∵ (a  bi)(1  3i)  8  4i 8 4 (8 4 )(1 3 ) 20 20 2 2 1 3 (1 3 )(1 3 ) 10 i i i i a bi i i i i               ∴ (a  bi)2 (2  2i)2 4  8i  4i2 8i （ ）9.設 a、b、c 為實數，若 2 2 2 1 1 12 1 a a b b c c  且 3 3 3 1 1 156 1 a a b b c c  ，則 2 2 2 1 1 ( 1) 1 1 ( 1) 1 1 ( 1) a a a b b b c c c        (A)13 (B)144 (C)168 (D)1872 【095 年歷屆試題.】 解答 C 解析 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 156 12 168 1 1 ( 1) 1 1 1 a a a a a a a a a a b b b b b b b b b b c c c c c c c c c c                ( 1)   （ ）10.在坐標平面上，滿足不等式方程組 2 6 0 3 3 0 0 x y x y y             的區域，其面積為何？ (A)22 5 (B) 32 5 (C) 42 5 (D) 48 5 【098 年歷屆試題.】 解答 D 解析 滿足不等式方程組的區域如圖所示： 面積 1 [3 ( 1)] 24 48 2 5 5       （ ）11.設i 1，試求(  i)8  (  i)7  (  i)6  (  i)5  (  i)4  (  i)3  (  i)2  (  i)  1  (A)2  5i (B)2  5i (C)  5  2i (D)5  2i 【097 年歷屆試題.】 解答 D 解析 (  i)2 i 2 1；(  i)3 i 3 i 2 i  (  1)  i  i；(  i)4 i 4 1 (  i)5 _i 5 _i 4 _i  ₍  ₁₎  _i  _i；(  _i)6 _i 6 _i 4 _i 2 ₁  ₍  ₁₎  ₁ (  i)7 _i 7 _i 4 _i 3 ₁  ₍  _i)  _i；(  _i)8 _i 8 _i 4 _i 4 ₁  ₁  ₁ ∴ (  i)8 ₍  _i)7 ₍  _i)6 ₍  _i)5 ₍  _i)4 ₍  _i)3 ₍  _i)2 ₍  _i)  ₁  1  i  (  1)  (  i)  1  i  (  1)  i  1  1  i  1  i  1  i  1  i  1  5  2i （ ）12.行列式 1 10 20 5 50 1 10 1 5  (A)  992 (B)  1002 _(C)992 _(D)1002 【097 年歷屆試題.】 解答 A 解析

1 10 20 1 10 20 5 50 1 0 0 99 10 1 5 0 99 195     （依第一行降階）

( 10)

 

( 5)   0 99 2 1 99 99 195        （ ）13.已知 f (x)為一實係數多項式，且 ( )3 27 2 f  ， ( 5) 8 3 f   。若 f (x)除以 6x2  x  15 的餘式為 ax  b，則 a  b  (A)4 (B)6 (C)18 (D)24 【100 年歷屆試題.】 解答 D 解析 設 f (x)  (6x2 x  15)  q (x)…ax  b  f (x) = (6x2_ x  15)q (x)  ax  b  (2x  3)(3x  5)q (x)  ax  b ∵ ( )3 27 2 f  ， ( 5) 8 3 f   ∴ 3 27 2a b ， 5 8 3a b     a  6，b  18 因此 a  b  6  18  24

（ ）14.若 x2 _{ x  1 為 x}3 _{ ax}2 _{ bx  2 的因式，則下列何者正確？ (A)a  b (B)a}2 _{ b}2 _{ 10 (C)a  b   2 (D)a  b  6}

【101 年歷屆試題.】 解答 D 解析 先以 x2 _x  _{1 去除 x}3 _ax2 _bx  _2： 1 ( 1) 1 1 1 1 2 1 1 1 ( 1) ( 1) 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( ) (3 ) a a b a b a a a b a a                      （ ）15.已知 m、n 為實數，Q(x)為二次多項式。若 x4  mx3  x2  5x  n  (x2  3x  2)Q(x)， 則 2m  n  (A)  6 (B)  2 (C)4 (D)8 【102 年歷屆試題.】 餘式為(b  a)x  (3  a) ∵ x2 x  1 為 x3 ax2 bx  2 的因式 ∴ 餘式為 0 即 b  a  0 且 3  a  0  a  3，b  3 (A) a  b (B) a2 b2 32 32 18 (C) a  b  3  3  0 (D) a  b  3  3  6 解答 D 解析 令 f (x)  x4 mx3 x2 5x  n ∵ f (x)  (x2 _3x  _2)Q(x)  _(x  _1)(x  _2)Q(x) ∴ x  1 與 x  2 均為 f (x)的因式  f (1)  0，f (2)  0 f (1)  1  m  1  5  n  0   m  n  5…… f (2)  16  8m  4  10  n  0   8m  n  2……    7m  7  m  1 m  1 代入  1  n  5  n  6

（ ）16.已知i 1，且 a、b 均為實數。若1 3i為方程式 x3  3x2  ax  b  0 的一根，則 a  b  (A)  4 (B)  2 (C)8 (D)14 【098 年歷屆試題.】 解答 D 解析 1 3i為 x3_ 3x2 ax  b  0 的一根，且 a、b 均為實數 1 3   i也是 x3 3x2 ax  b  0 的根 而 2 [x (1 3 )][i x (1 3 )]i x 2x4 則 3 2 2 3 ( 2 4)( ) 4 b x  x ax b x  x x 3 ( 2 ) 2 (4 ) 4 2 b b x x x b        2 3 4 4 2 b b a            b  20，a  6 故 a  b  6  20  14 《另解》 1 3i為實係數方程式，x3 _3x2 _ax  _b  _{0 之一根，則1} _{3i為其另一根} 設為方程式的第三根 則三根和(1 3 ) (1 3 ) 3 3 5 1 i i              ∴ _x3_3x2_ax   _{b [x (1 3 )][i x} _{(1 3 )][i x} _{( 5)]} _x3_3x2_6x₂₀  a  6，b  20 故 a  b  6  20  14

（ ）17.已知i 1，a 為複數，若二次方程式 x2 _{ ax  4  7i  0 有一根為 2  i，則另一根為何？ (A)2  3i (B)  3  2i (C)2  i (D)2}  3i 【092 年歷屆試題.】 解答 B 解析 設另一根為，則(2  i)  4  7i 4 7 ( 4 7 )(2 ) 15 10 3 2 2 (2 )(2 ) 5 i i i i i i i i                   ∴ 另一根為  3  2i 《註》本題並非實係數二次方程式，故兩根不一定共軛存在 （ ）18.設a、 b 、c均為實數，若



ab b



c c



a



 2，則 2 6 3 3 2 2 a b b c c b c a ca ca 之值為何？ (A) 12 (B) 6 (C) 6 (D)12 【105 年歷屆試題.】 解答 D 解析 原式





2 2 3 3 3 2 a b b c c b c a c a c a       （第一行提出 2 ， 第二列提出3 ， 第三列提出



ca



） ( 1)   ( 1)   2 3





1 1 1 a b b c a c c b      6





0 1 0 0 a b a b a c a c b c       （第三列降階展開）

6





1 0 b a b a c a b c        （第一列提出



ba



） 6



 



1 1 0 c a b a b c       6



ca b a



     



_1



b c



0 1_ 6 c



a





ba





bc



6 c



a



_ 



a b



_



bc



 6 a



b b



c c



a



   6

 

2 12 （ ）19.若為方程式 x2 _{ x  1  0 之一複數根，則}2005 _{ (A)  1 (B)1 (C) }  _(D) 【094 年歷屆試題.】 解答 D 解析 ∵ 為 x2 x  1  0 之一複數根   2_  _ 1  0  (  1)( 2   1)  0   3_ 1  0，即 3 1 ∴  2005_ ( 3 )668   1668    （ ）20.已知i 1，則下列何者為複數 4 4 3i 的一個平方根？ (A) 6 2i (B) 6 2i (C) 6 2i (D) 3 2i 【093 年歷屆試題.】 解答 B 解析 4 4 3 8(1 3 ) 8(cos sin ) 2 2 3 3 i i  i        44 3i的平方根為 2 2 3 3 8(cos sin ) 2 2 k k k z i         （其中 k  0, 1） 即 ₀ 8(cos sin ) 2 2( 3 1 ) 6 2 6 6 2 2 z   i    i   i 1 7 7 3 1 8(cos sin ) 2 2( ) 6 2 6 6 2 2 z   i     i    i ∴ 44 3i的平方根為 6 2i及 6 2i （ ）21.已知i 1，則 10 ( 3i)  (A) 9 2 (1 3 )i (B) 9 2 (1 3 )i (C) 9 2 ( 3i) (D) 9 2 ( 3i) 【091 年歷屆試題.】 解答 B 解析 由題目中 (1)先求 3i的極式 (2)再用(1)求( 3i)10 (1) 3 2( 3 1) 2(cos30 sin 30 ) 2 2 i i i         其中 2 2 2 ( 3) 1  4 | |z

(2)( 3i)10[2(cos30 isin 30 )] 102 (cos30010  isin 300 )

1024[cos 60 ( sin 60 )] 1024(1 3 ) 2 2 i i        9 512(1 3 )i 2 (1 3 )i     （ ）22.設 4 1 5 5 cos sin 3 3 z _ i _   ， 2 2 cos sin 3 3 z _  i  _   ，則 1 2 z z 之值為何？ (A) 1 (B) i (C) 0 (D)1 【103 年歷屆試題.】

解析 4 1 5 5 cos sin 3 3 z _ i _   5 5 cos 4 sin 4 3 i 3      _  _ _  _     20 20 cos sin 3  i 3    2 2 cos 3 2 sin 3 2 3 i 3          _   _ _   _     2 2 cos sin 3 i 3   2 2 cos sin 3 3 z _  i  _   cos 2 3 isin 2 3        _  _ _  _     2 2 cos sin 3 i 3   ∵ z₁z₂ ∴ 1 2 1 z z  （ ）23.下列何者與不等式|x  4|  8 的解相同？ (A)(x  4)(x  12)  0 (B)(x  4)(x  12)  0 (C)(x  4)(x  12)  0 (D)(x  4)(x  12)  0 【095 年歷屆試題.】 解答 C 解析 |x  4|  8   8  x  4  8   4  x  12  (x  4)(x  12)  0 ∴ |x  4|  8 與(x  4)(x  12)  0 的解相同 （ ）24.已知i 1且a、 b 為實數，若(2i a)



bi



15 5 i ，則a b (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D)  10 【104 年歷屆試題.】 解答 B 解析 (2i a)( bi) 15 5  i  15 5 5(3 ) 2 2        i i a bi i i 5(3 )(2 ) (2 )(2 )      i i i i 2 2 2 5(6 3 2 ) 2 1      i i i 5(7 ) 7 5   i  i 則a7，b 1，故a    b 7 ( 1) 6 （ ）25.下列何者為不等式 3x2  3x  6 之解？ (A)x   2 或 x  1 (B)  2  x  1 (C)  1  x  2 (D)x   1 或 x  2 【101 年歷屆試題.】 解答 C 解析 3x2 3x  6  3x2_ 3x  6  0 3   x2_ x  2  0  (x  1)(x  2)  0   1  x  2