 方向导数与梯度 方向导数与梯度 第七节

第七节

一、方向导数 二、梯度

三、物理意义

方向导数与梯度

l

) , ,

(x y z P

一、方向导数

定义 : 若函数





 f lim0

则称





l f











, ) (

) (

)

(x ²  y ²  z ²

 

, cos





x y   cos  , z   cos ^



为函数在点

处沿方向

_{的方向导数}

.





) , , ( )

, ,

lim (

0

z y x f z

z y y

x x

f       

 

在点

_处 沿方向

⁽ _方向角为

^{) 存在下列极限}

:

P

记作



, )

, , ( )

, ,

( 在点 处可微

若函数 f x y z P x y z

) , ,

(x y z P

l

定理 :

则函数在该点沿任意方向

_{的方向导数存在}

,





f l

f  





lim0





 cos cos

cos z

f y

f x

f l

f



 



 



 





. ,

, 为 的方向角

其中   l

证明 : 由函 数

) , ,

(x y z f

) ( o z z

y f y

x f x

f f  



 

 

 

 

 









 cos cos  cos

z f y

f x

f



 



 





且有

) (

 o

在点 P 可微 ,得

 ^P

故

f y

f x

f



 



 



 

对于二元函数

为

的方向导数为

方 处沿方向

在点P(x, y) l (





) , ( )

, lim (

0

y x f y

y x x

f l

f      









 ( , )cos cos

) ,

(x y f x y

f_x  _y



, ) (

) (

(  x ²  y ² x   ^cos ^, ^.y   ^cos  ⁾ P

l x y

o

x f l

f



 



特别 :

• 当

与 x 轴同向

, 2

0  

  

• 当

与 x 轴反向

,  2



  

x f l

f



 

 



l

向角

例 1. 求函数 在点

沿向 量

z y x

u  ² l  (2,1,

3) 的方向导数 .

14 , cos  2



 



 

l P

u

) 1 , 1 , 1 ( 14

 6

14 , cos   1

14 cos  3

14 2xyz  2

14

2  1

 zx 



 

 14

2 y 3 x

解 : 向量

的方向余弦

为

例 2. 求函

数

在点 P(2, 3) 沿曲线

朝

_{增大方向的方向导数}

. 解 : 将已知曲线用参数方程表示为

) 2

2 , 1

( x _x



 

 l P z

它在点 P 的切向量

为

17 cos  1

 

17

 60

x o

y

2

P



   1 x2

y

x x

17 6xy  1

17 ) 4

2 3

( ²  

 x y

) 3 , 2

 (

 ) 4 , 1

 (

17 cos   4

1

例 3. 设 是曲面

在点 P(1, 1, 1 ) 指向外侧的法向量 , 处

解 :

方向余弦为

14

cos  2 ,

14 cos   3

14 cos  1

而

u





14 ,

 8



 y P

u   14



 z P

u

 

 

n P

u

同理得

) 1 , 3 , 2 (

 2

6 3

2x²  y²  z² 

方向 的方向导数 .

z P

y

x , 6 , 2 ) 4

(

14

 6

7

 11





14

1     

y P

x z

x

2

2 8

6 6

 

z

y u x

2

2 8

6 



在点 P 处 求函数 沿

 n n

二、梯度

方向导数公式

f y

f x

f l

f



 



 



 





令向量

这说明 方向： f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值

方向导数取最大值

：



 









 



 

z f y

f x

G f , ,

) cos ,

cos ,

0  (cos  

l

) ,

cos(G l ⁰

 G ( l ⁰  1 )

l 0

l G

f  





0 与 方向一致时,

当l G

: G

 

lf 

 max 

1.

定义

g

_即

f ad r g

同样可定义二元函数











 



 



 



 

y f x

j f y i f

x

f f   ,

grad

称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度



 









 



 

z f y

f x

f , , k

z j f

y i f

x

f   



 



 



 

记作

(gradient),

在点 处的梯度

G

说明 : 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影 . 向量

2.

梯度的几何意义

函数在一点的梯度垂直于该点等值面 ( 或等值 线 ) ,

面 面 面 面 面

面 面 xoy

C z

y x f z



  ( , ) C

y x f

L^* : ( , ) 

面

称为函数 f 的等值线 .

, 不同时为零

设 f_x f _y

_{则 L}

上点 P 处的法向量为

P y

x f f , )

(  grad f _P

o y

x c1

f 

c2

f  f  c³

) (设c₁  c₂  c₃

同样 , 对应函数

有等值面 ( 等量面 )

当各偏导数不同时为零时 , 其上 点 P 处的法向量为

, ) , ( yx f

z  对函数

指向函数增大的方向 .

3.

梯度的基本运算公式

grad

(1) C  

u C

u

C ) grad

( grad

(2) 

v u

v

u ) grad grad

( grad

(3)   

u v

v u

v

u ) grad grad

( grad

(4)  

u u

f u

f ( ) ( )grad grad

(5)  

例 4.

证 :



 ( )

  f (r)

 



y r f )(

) ( grad f r



) 1(

)

( x i y j z k r r

f      



r r r

f 1  )

(



r r z z f

r

f ( )  ( )





) 0

( rr f  



y j r

f 



  ( )

z k r

f 



  ( ) x

r r

f 

 

 ( ) _{2 2 2}

z y

x

x





P

x o

z

y ,

) ( r

r y f 

x i r

f 



  ( )

试证

r r x f ( )

 .

) ( )

( rad

g f r  f  r r ⁰

处矢径 r 的模

,

r

三、物理意义

函数

( 物理量的分 布 )

数量场 ( 数性函 场 数 )

向量场 ( 矢性函数 )

可微函数

梯度场

( 势 )

如 : 温度场 , 电位场 等

如 : 力场 , 速度场 等

( 向量场 )

注意 : 任意一个向量场不一定是梯度场 .

例 5. 已知位于坐标原点的点电荷

在任意

点

4

2 2

2 y z

x r r

u  q   





) , ,

(x y z P

试证

证 : 利用例 4 的结果

这说明场强 : 处所产生的电位为

垂直于等位面 ,

且指向电位减少的方向 .

u  

grad )

( 4 ₂ r ⁰

r ε π E  q

场强

 

grad 4 r

r

u  q 





0

4 2 r r q



 

  E

) 0

( )

(

grad f r  f  r r

内容小结

1.

方向导数

• 三元函数

在点

_沿方向

方向角

, ,  

为

的方向导数为





 cos cos

cos z

f y

f x

f l

f



 



 



 





• 二元函数

_在点

, 



的方向导数为



 cos

cos y

f x

f l

f



 



 





沿方向

方向角 为

y f x

f



 



  cos sin

2.

梯度

• 三元函数

在点

_{处的梯度为}



 









 



 

z f y

f x

f f , ,

grad

• 二元函数

_在点

_{处的梯度为}

, ( ,

) , ( (

grad f  f_x x y f _y x y 3.

关系

方向导数存在 偏导数存在

•

• 可微

grad f l 0

l

f  





梯度在方向 l 上的投影 .

思考与练习

1. 设函数

(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线













1 2

3 2

t z

t y

t x

在该点切线方向的方向导数 ;

(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与 (1) 中切线 的夹角 方向

.

2. P131 题 16

, )

, ,

(x y z x² y ^z

f  

_曲线













1 2

3 2

t z

t y

t x

1. (1) 在点

) 3 , 4 , 1 1 (

d , d d

, d d

d 

 



 



 

t t z t

y t

x

 

) 1 , 1 , 1 cos (

cos

cos      



 



z y

M fx f f

l f

26

 6

解答提示 :

函数沿 l 的方向导数

M (1,1,1)

处切线的方向向量

) 0 , 1 , 2 ( grad

) 2

( f _M 

M M

f l f grad





 130

 6

130 arccos 6



 

M  f

grad l

cos 

f M

grad l

4 02 4

02 4

02

20 20 0

20 0 0

2

2 2 2 2

2 2

0

c z b

y a

x

c z z

b y y

a x x

n u

M  











 



4 02 4

02 4

02

2

c z b

y a

x  



2. P131 题 16

Ex: 1.

函数

_在点

处的梯度

) 2 , 2 , 1

, (

,

grad  











 



 

z u y

u x

u _M u

解 :

2 ,

2

2 y z

x

r   

令

则



 x u

2

1

r  2x

注意 x , y , z 具有轮换对称性

) 2 , 2 , 1 2 (

2 2

, 2 , 2

2

 



 



 

r z r

y r

x (1, 2, 2)

9

2 

 ) 2 ,

2 , 1 9 (

2 

指向 B( 3, － 2 , 2) 方向的方向导数是 .

在点 A( 1 , 0 , 1) 处沿点

x d

d

2.

函数

提示

: 



 



 

3 , 1 3 , 2

3 2

则

} cos ,

cos ,

{cos  



 

 x A

u ln(x 1)

1

x ,

2

 1

y d

 d



 y A

u ln(1 y² 1)

 0

y  0, ,

) 1 , 2 ,

2 ( 

 AB

AB 0

l 

12

2

 1



 z A

u





 cos cos

cos z

u y

u x

u l

u



 



 



 



 

2

 1