第四章 多元函数微分学
§２．１ 偏导数
设D是
R
2中的区域, z= f(x,y)是D上的函数. 设P0 =(x0,y0)∈D, 我们希望定 义f (x,y)在P0点的导数, 即因变量相对于自变量的变化率. 但如果将P=(x,y)作为变量,由 于 其 是 二 维 向 量 , 没 有 除 法 , 因 此 很 难 定 义 f(x,y)− f(x0,y0) 相 对 于 )
,
( 0 0
0 x x y y
P
P− = − − 的变化率. 我们只能将P=(x,y)的分量x和y 分别作为自变量 来定义导数.
将y固定在y0, 则 f(x,y0)是x的函数. 如果
0 0 0
0) ( , )
, lim (
0 x x
y x f y x f
x
x −
−
→ 存在, 则称
) , (x y
f 在(x0,y0)处沿x方向可导, 称极限为f(x,y)在(x0,y0)处关于x的偏导数, 记之 为 (x0,y0)
x f
∂
∂ 或fx(x0,y0).
同 样 我 们 定 义 f(x,y) 在 (x0,y0) 处 沿 y 方 向 的 偏 导 数 (x0,y0) y
f
∂
∂ 为
0 0 0
0, ) ( , )
lim (
0 y y
y x f y x f
y
y −
−
→ .
例: 设f(x,y)= xsin y2 + y3, 则 ( , ) sin 2 x y
y x
f =
∂
∂ , 而
2 2 2
2 2 3 2 cos 3
) cos ,
( x y y y xy y y
y y x
f = ⋅ ⋅ + = +
∂
∂ .
上例说明偏导数的计算仅是一元函数求导的简单推广. 因此一元函数求导的公式和性 质对偏导数都成立.
由偏导数的定义不难看出, f(x,y)在(x0,y0)处存在偏导数 (x0,y0) x
f
∂
∂ , (x0,y0) y
f
∂
∂
仅与 f(x,y)沿x轴方向和 y轴方向变化有关, 与 f(x,y)在其余部分的取值无关. 因而与 一元函数不同, 偏导在一个点的存在不能得出函数在这点连续.
例: 设
= + ≠
=
).
0 , 0 ( ) , ( , 0
);
0 , 0 ( ) , ( ) ,
,
( 2 2
y x
y y x
x xy y
x f
则 0.
0 ) 0 , 0 ( ) , 0 , ( 0 0
) 0 , 0 ( ) 0 ,
( =
−
= −
−
−
y f y f x
f x
f 因 此 (0,0) (0,0) =0
∂
= ∂
∂
∂
y f x
f . 但
) , ( lim
0 0 f x y
y
x→→ 并不存在, f(x,y)在(0,0)处不连续.
引理 1: 设f(x,y)在区域D上处处有偏导, 且 0, ≡0
∂
≡ ∂
∂
∂
y f x
f , 则 f(x,y)在D上为
常数.
这一引理说明与一元函数一样, 处处有偏导的函数在差一常数的意义下由其偏导数唯 一确定. 这一引理的证明留给读者作为思考题. 通过这一引理不难理解, 多元函数的性质是 可以通过其偏导数来反映的. 所以虽然函数在一个点的偏导数仅说明了函数在x轴或y 轴 方向的变化情况, 但在一个区域上, 函数的性质是可以通过偏导数的研究得到的.
§２．２ 全微分
定义: 设f(x,y)定义在(x0,y0)邻域上, 称f(x,y)在(x0,y0)可微, 如果存在线性函
数A(x−x0)+B(y− y0), 使在(x0,y0)邻域上
(
( ) ( ))
.) (
) ( ) , ( ) ,
(x y f x0 y0 A x x0 B y y0 o x x0 2 y y0 2
f − = − + − + − + −
由于上式仅在∆x =x−x0和∆y = y−y0充分小时才有意义, 我们令dx =∆x,dy=∆y, 称 Bdy
Adx
df = + 为 f(x,y)在(x0,y0)处的微分. 上式表明
( )
.) , ( ) ,
(x0 x y0 y f x0 y0 f df o x2 y2 df
f +∆ +∆ − =∆ = + ∆ +∆ ≈
令∆x→ 0,∆y →0, 则有lim ( , ) ( 0, 0)
0 0
y x f y x f
y y
x
x =
→→ . 因此如果 f(x,y)在(x0,y0)处 可微, 则其必在这点连续. 但在上一节中我们已说明 f(x,y)在(x0,y0)处有偏导不能保证
其在这点连续. 因此对于多元函数, 其存在偏导时不一定可微. 但如果其可微, 则由
(
( ))
.) , ( ) ,
( 0 0 0 0 2
x o x A
y x f y x x
f = + ∆
∆
−
∆
+ ,
得 A x
y x
f =
∂
∂ ( 0, 0)
. 同理 B
y y x
f =
∂
∂ ( 0, 0)
. 因此如果 f(x,y)在(x0,y0)处可微, 则其必存
在偏导, 并且 dy
y y x dx f
x y x y f
x
df ∂
+∂
∂
= ∂ ( , ) ( , ) )
,
( 0 0 0 0 0 0 . 这同时表明微分是唯一的.
定理 1: 如果 f(x,y)在(x0,y0)的一个邻域上处处有偏导, 且 x
y x f
∂
∂ ( , ) 和
y y x f
∂
∂ ( , )
在
) ,
(x0 y0 处连续, 则f(x,y)在(x0,y0)可微.
证明: 利用微分中值定理得
, ) )(
, ) (
)( , (
) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , (
0 0
0 0 0
0 0
0
y y y
y x x f
x x y x f
y x f y x f y x f y x f y x f y x f
∂ −
∂ ′ +
∂ −
∂ ′
=
− +
−
=
−
其中x′∈[x,x0], y′∈[y,y0]. 因此
).
) ( , ( ) , ) (
) ( , ( )
, (
) )(
, ) (
)( , ) (
, ( ) , (
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0 0
0
y y y
y x f y
y x x f
x x y x f x
y x f
y y y
y x x f
x x y x y f
x f y x f
−
∂
− ∂
∂
∂ ′ +
−
∂
−∂
∂
∂ ′ +
∂ − + ∂
∂ −
=∂
−
由
y f x f
∂
∂
∂
∂ , 在(x0,y0)连续, 而
, ) (
) ( ,
) (
)
( 0 2 0 2 0 0 2 0 2
0 x x y y y y x x y y
x
x− ≤ − + − − ≤ − + −
得
(
( ) ( ))
.) )(
, ) (
)( , ) (
, ( ) , (
2 0 2
0
0 0
0 0
0 0 0
0
y y x
x o
y y y
y x x f
x x y x y f
x f y x f
− +
− +
∂ − + ∂
∂ −
= ∂
−
) , (x y
f 在(x0,y0)处可微.
推论: 如果 x f
∂
∂ 和
y f
∂
∂ 在D上处处存在且连续, 则 f(x,y)在D上处处可微, 因而也处
处连续.
定理 1 中偏导连续并非可微的必要条件.
例: 令
=
= ≠
. 0 ,
0
; 0 1,
) sin , (
y y y y xy
x f
则由
2 0 1 2
1 sin 1
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 = ∆ +∆ →
∆ +
∆
∆ +
≤ ∆
∆ +
∆
∆
≤ ∆
∆ +
∆
∆ ∆
∆
y x y
x y x y
x y x y
x y y x
得 f(x,y)− f(0,0) =o
(
∆x2 +∆y2)
.因此f(x,y)在(0,0)点可微, df(0,0)=0. 但
−
⋅
⋅ +
∂ =
∂
y x y
x y y
y x
f 1 1
1 cos ) sin
,
( ,
其在x→ 0, y→ 0时并无极限.
§２．３ 微分的几何意义
对一元函数y= f(x), 其微分dy= f′(x0)dx代表的线性函数
) )(
( 0 0
0 f x x x
y
y− = ′ −
是y = f(x)的曲线在(x0,y0 = f(x0))处的切线. 微分就是这一切线的无穷小部分. 我们 在充分小的意义下, 用直线dy= f ′(x0)dx代替y= f(x)的弯的曲线.
对二元函数z= f(x,y), 设其在(x0,y0)处可微, 则其微分
y dy y x dx f
x y x dz f
∂ +∂
∂
= ∂ ( 0, 0) ( 0, 0)
表示的线性函数
) )(
, ) (
)( , (
0 0
0 0
0 0
0 y y
y y x x f
x x y x z f
z −
∂ + ∂
∂ −
=∂
−
是过z= f(x,y)的曲面上点(x0,y0,z0 = f(x0,y0))的平面. ∆f ≈df 表明我们希望在无 穷小的意义下, 用微分表示的平面代替曲面. 即我们希望这一平面是所有过(x0,y0,z0)的
平面中与z= f(x,y)的曲面贴得最紧的平面, 或者说曲面在这点的切面. 为此我们需要先
给切面一个几何的定义.
定义: 设P0 =(x0,y0,z0)是曲面Σ上
的一点, 过P0点的平面α称为Σ在P0点的 切面, 如果曲面上的点P趋于P0时, P到
平面α的距离是比P到P0的距离高阶的无
穷小.
如图, 设M是P点到α的垂线的交点, α为切面等价于lim 0
0 0
→ PP = PM
P
P .
定理 1: 设曲面Σ由z= f(x,y)给出, 则Σ在点(x0,y0,z0 = f(x0,y0))有切面的充分
必要条件是 f(x,y)在(x0,y0)可微. ( , )( ) )
)( , (
0 0
0 0
0 0
0 y y
y y x x f
x x y x z f
z −
∂ + ∂
∂ −
=∂
−
就是Σ在(x0,y0,z0)处的切面.
证明: 如上图. 设α由z−z0 = A(x−x0)+B(y− y0)给出, N 为P沿z轴到α 的投
影点. 由 = PM
PN 常数, 因此α为切面等价于lim 0
0 0
→ PP = PN
P
P . 但
. ) (
) ( )) , ( ) , ( (
, )) (
) ( ) , ( ( ) , (
2 0 2
0 2
0 0 0
0 0
0 0
y y x
x y
x f y x f PP
y y B x x A y x f y x f PN
− +
− +
−
=
− +
− +
−
=
如果z= f(x,y)在(x0,y0)处可微, 即
0 )
( ) (
) )(
, ) (
)( , ) (
, ( ) , (
2 0 2
0
0 0
0 0
0 0 0
0
− → +
−
−
∂ +∂
∂ − +∂
−
y y x
x
y y y
y x x f
x x y x y f
x f y x f
.
由 PP0 ≥ (x−x0)2 +(y−y0)2 得 0
0
PP → PN
. 曲面有切面, 而
) )(
, ) (
)( , ) (
,
( 0 0 0 0 0 0 0 x x0
y y x y f
x y y x y f
x f
z −
∂ +∂
∂ −
=∂
−
就是曲面在(x0,y0,z0 = f(x0,y0))处的切面.
z
α
P0
P M
y N
x
设z−z0 = A(x−x0)+B(y−y0)是Σ在(x0,y0,z0)的切面. 要证明定理的结论, 仅 需证
. 0 ) (
)
( 0 2 0 2 →
− +
−x y y
x
PN
但已知 0
0
PP → PN
, 因此只需证
2 0 2
0 0
) (
)
(x x y y
PP
− +
− 有界即可.
由 0
0
PP → PN
, 不妨取P充分接近于P0, 使
2 1
0
PP <
PN
, 得
2 . ) 1
, ( ) ,
(x y f x0 y0 A x x0 B y y0 PP0
f − ≤ − + − +
两边除 (x−x0)2 +(y−y0)2 , 由 PP0 表达式得
. ) (
) (
) , ( ) , 1 (
2 1
) (
) (
) , ( ) , 1 (
2 1 )
( ) (
) , ( ) , (
2 0 2
0
0 0
2
2 0 2
0
0 0 2
0 2
0
0 0
− +
− + − + +
≤
− +
− + −
+ +
− ≤ +
−
−
y y x
x
y x f y x B f
A
y y x
x
y x f y x B f
A y
y x
x
y x f y x f
因此
( )
1.2 ) (
) (
) , ( ) , (
2 0 2
0
0
0 ≤ + +
− +
−
− A B
y y x
x
y x f y x f
而
(
1)
.2
) (
) (
) , ( ) , 1 (
) (
) (
) , ( ) , 1 (
) (
) (
2 0 2
0
0 0
2
2 0 2
0
0 0 2
0 2
0 0
+ +
≤
− +
− + −
≤
− +
− + −
− = +
−
B A
y y x
x
y x f y x f
y y x
x
y x f y x f y
y x
x
PP
定理得证.
设曲面Σ是F(x,y,z)=0给出, F(x,y,z)可微. 在下一章隐函数定理中我们将证明
如果F(x0,y0,z0) =0, 而 ( 0, 0, 0) 0
∂ ≠
∂ z
z y x
F , 则存在(x0,y0)的邻域U和U 上可微的函
数z = f(x,y), 使在(x0,y0,z0)的一个邻域上, 曲面Σ由z= f(x,y)给出. 特别的, 其有
切面.
对F(x,y, f(x,y))≡0微分得
.
0 df
z dy F y dx F x F
∂ +∂
∂ +∂
∂
= ∂
因此在(x0,y0,z0)的切面dz=df 可表示为
z dz z y x dy F
y z y x dx F
x z y x F
∂ +∂
∂ + ∂
∂
= ∂ ( , , ) ( , , ) ( , , )
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
或
) )(
, , ) (
)( , , ) (
)( , ,
0 ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 z z0
z z y x y F
y y z y x x F
x x z y x
F −
∂ +∂
∂ − + ∂
∂ −
=∂ .
§２．４ 高阶偏导与累次极限
设 f(x,y)在区域D上处处存在偏导, 则 x
y x f
∂
∂ ( , )
, y y x f
∂
∂ ( , )
也是D上的函数. 如果
其仍可导, 则称f(x,y)在D上存在二阶偏导, 记之为
. ,
, ,
2 2 2
2
2 2
∂
∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= ∂
∂
∂
y f y y
f x
f y x y
f
y f x y x
f x
f x x
f
也记为 fxx, fxy, fyx, fyy.
例: 设f(x,y)=sin(x2 +y2)+x3, 则
y x y x x
y x f x y x x
f cos( ) 2 3 , sin( 2 2) 2 2
2 2 2
2 =− + ⋅ ⋅
∂
∂ + ∂
⋅ +
∂ =
∂ ,
而
x y y y x
x y f y y x
f cos( ) 2 , sin( 2 2) 2 2
2 2
2 =− + ⋅ ⋅
∂
∂
⋅ ∂ +
−
∂ =
∂ .
上例中
x y
f y
x f
∂
∂
= ∂
∂
∂
∂2 2
. 因此一个自然的问题是这一等式是否对任意 f(x,y)都成立, 即
求导过程是否可交换?一般来说, 求导过程不是任意可交换的.
例: 设
= + ≠
= −
).
0 , 0 ( ) , ( ,
0
);
0 , 0 ( ) , ( ), (
) ,
( 2 2
2 2
y x
y y x
x y x xy y
x f
则
=
≠
+
−
∂ + ∂ +
= −
∂
∂
=
≠
+
−
∂∂ + +
= −
∂
∂
), 0 , 0 ( ) , ( ,
0
);
0 , 0 ( ) , ( ) ,
, (
), 0 , 0 ( ) , ( ,
0
);
0 , 0 ( ) , ( ) ,
, (
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
y x
y y x
x y x xy y y x
y xx y
y x f
y x
y y x
x y x xy x y x
y yx x
y x f
因而 y
x y
f =−
∂
∂ (0, )
, 得 2 (0, ) 1
−
∂ =
∂
∂ x y
y
f . 而 x
y x
f =
∂
∂ ( ,0)
, 得 2 ( ,0) 1
∂ =
∂
∂ y x
x
f . 特别的,
) 1 0 , 0 1 (
) 0 , 0
( 2
2 =−
∂
∂
≠ ∂
∂ =
∂
∂
x y f y
x
f .
在微积分中求导顺序可交换是一个基本要求, 否则会给许多计算和应用带来麻烦. 从 另一个角度, 在初等数学中我们有加法和数乘这样基本的运算, 微积分中我们引进了极限、
求导、求积分等运算, 这些运算都有线性性, 即其与加法和数乘都是可交换的（或者说是相 容的）. 一个自然的问题是这些运算之间是否可交换. 这一点我们将在以后函数级数和参变 量积分中进行更详细的讨论. 上例说明我们需要加上合适的条件才能保证这样的交换是一 般可行的. 为此我们需要回到偏导数的定义.
由定义得
[
( , ) ( , ) ( , ) ( , )]
.1 lim 1 lim
) , ( ) ,
lim ( ) , (
) ,
lim ( lim 1
) , (
0 0
0 0
0 2
y x f y y x f y x x f y y x x y f x
y
y x f y y x f y
y x x f y y x x f x
y x
y x f
y x
y y
x
+
∆ +
−
∆ +
−
∆ +
∆
∆ +
= ∆
∆
−
∆
− +
∆
∆ +
−
∆ +
∆ +
= ∆
∂
∂
∂
→
∆
→
∆
→
∆
→
∆
→
∆
同理得
[
( , ) ( , ) ( , ) ( , )]
.1 lim 1 ) lim
, (
0 0 2
y x f y y x f y x x f y y x x y f x x
y y x f
x
y +∆ +∆ − +∆ − +∆ +
∆
= ∆
∂
∂
∂
→
∆
→
∆
因此偏导可交换的问题等价于两个极限过程
0 0lim lim→ ∆→
∆x y
与
0 0
lim lim→ ∆ →
∆y x
可交换. 极限
0 0lim lim→ ∆→
∆x y
称
为累次极限, 其一般交换性将在以后讨论. 这里我们利用重极限给出其可交换的一个充分条 件.
定理 1: 设x0是集合A⊂R的极限点, y0是集合B的极限点, f(x,y)是A×B上的
函数. 如果∀y∈B, 单极限lim ( , ) ( )
0
y g y x f
x
x =
→ 存在, 且重极限 lim ( , )
0 0
y x f
y y
x
x→→ 存在, 则累次
极限lim lim ( , )
0 0
y x f
x x y
y→ → 存在并与重极限相等.
证明: 设 f x y c
y y
x
x =
→→ ( , ) lim
0 0
, 则∀ε >0,∃δ >0, 只要0≤ x−x0 <δ,0≤ y−y0 <δ ,
B A y x, )∈ ×
( , 就有 f(x,y)−c <ε. 令x→ x0, 得g(y)−c ≤ε, 即
c y x f y
g
x x y y y
y = =
→
→
→ ( ) lim lim ( , ) lim
0 0 0
.
推论: 在定理 1 中如果假设单极限lim ( , )
0
y x f
y→y 也存在, 则累次极限lim lim ( , )
0 0
y x f
x x y
y→ → 和
) , ( lim lim
0 0
y x f
y y x
x→ → 都存在且相等.
由这一推论, 要得到
x y
f y
x f
∂
∂
= ∂
∂
∂
∂2 2
, 我们只需重极限
[
( , ) ( , ) ( , ) ( , )]
lim 1
0
0 f x x y y f x x y f x y y f x y
y
y x
x +∆ +∆ − +∆ − +∆ +
∆
⋅
→ ∆
∆
→
∆
存在即可.
定理 2: 设 f (x,y)在(x0,y0)邻域上有一阶偏导 x
y x f
∂
∂ ( , )
, y y x f
∂
∂ ( , )
和二阶偏导
y x
y x f
∂
∂
∂2 ( , )
, 并且
y x
y x f
∂
∂
∂2 ( , )
在(x0,y0)连续, 则
x y
y x f
∂
∂
∂2 ( 0, 0)
存在并与
y x
y x f
∂
∂
∂2 ( 0, 0)
相等.
证明: 一阶偏导存在保证了单极限
[
( , ) ( , ) ( , ) ( , )]
lim 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 f x x y y f x x y f x y y f x y
y x
x +∆ +∆ − +∆ − +∆ +
∆
∆
→
∆
以及
[
( , ) ( , ) ( , ) ( , )]
lim 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 f x x y y f x x y f x y y f x y
y x
y +∆ +∆ − +∆ − +∆ +
∆
∆
→
∆
存在. 而利用微分中值定理得
( ) ( )
[ ]
), ,
(
) ,
( ) ,
( 1
) , ( ) ,
( ) , (
) ,
1 (
1 0 2 0 2
1 0 0 1
0 0
0 0 0
0 0
0 0
0
y x
y y
x x
f
y y y
x f y
y y
x x f x
y x f y y x f y
x x f y y x x y f x
∂
∂
∆ +
∆ +
= ∂
∂
∆ +
−∂
∂
∆ +
∆ +
∂
= ∆
−
∆ +
−
∆ +
−
∆ +
∆
∆ +
∆
θ θ
θ θ
其 中 0<θ1 <1,0<θ2 <1. 由
y x
y x f
∂
∂
∂2 ( , )
在 (x0,y0) 连 续 , 得 重 极 限 存 在 并 与
y x
y x f
∂
∂
∂2 ( 0, 0)
相等. 定理得证.
定义: 设D是
R
2中的区域 , 称 f(x,y)∈Cr(D), 如果对D的每一点, f(x,y)的所 有r阶偏导都存在且连续.不难看出, 如果 f ∈Cr(D), 则 f 的所有小于等于r 阶的偏导都连续, 因而求导与顺 序无关.
一般的, 设f(x1,L,xn)有r阶连续偏导, 由于其导数与顺序无关, 因此将其导数按变 元顺序表示为
in
n i
n r
x x
x x f
∂
∂
∂
L L
1
1
1, , )
( , 其中i1+L+in =r.
例: 设f(x,y)=(x3 +4x2−5)sin ey2, 求 4 6
10 ( , ) y x
y x f
∂
∂
∂ .
解: 由 4 0
4 =
∂
∂ x
f , 而
∂
∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
4 4
6 6
6 4 10 ( , )
x f y y
x y x
f , 得 ( , ) 0
6 4
10 =
∂
∂
∂ y x
y x
f .
§２．５ 复合函数求导, 方向导数与梯度
设D是
R
n中开集, F:D→R
m是D上向量函数, 表示为)) , , ( , ), , , ( ( ) , , (
: x1 xn f1 x1 xn fm x1 xn
F L → L L L ,
称F存在偏导 , 如果F 的每一个分量函数fi(x1,L,xn)都存在偏导. 称F 为Cr的映射,
如果F的每一个分量函数fi(x1,L,xn)都是Cr的函数.
设F:D1 →D2,G:D2 →D3都是Cr的映射. 自然的一个问题是GoF:D1 →D3
是否仍是Cr的.
例: 定义
=
=
≠
= ≠
. 0 0
, 0
; 0 0
, ) 1 ,
( x y
y y x
x
f 或
且
) , (x y
f 在(0,0)处是存在偏导的. 令g:(x,y)→(x+ y,x− y), 则g是
R
2上C∞的函数.但f og在原点并不存在偏导.
定理 1: 如果f(x,y)在(x0,y0)处可微, 而G:(u,v)→(x(u,v),y(u,v))在(u0,v0)处 存在偏导, 且x0 =x(u0,v0), y0 = y(u0,v0). 则f oG在(u0,v0)处存在偏导, 并有链法则
) . (
) , (
v y y f v x x f v
G f
u y y f u x x f u
G f
∂
⋅∂
∂ + ∂
∂
⋅∂
∂
=∂
∂
∂
∂
⋅∂
∂ +∂
∂
⋅∂
∂
=∂
∂
∂
o o
证明:
(
( ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , )))
.)) , ( ) , ( )( , )) (
, ( ) , ( )( , (
)) , ( ), , ( ( )) , ( ), , ( (
2 0 0 0
2 0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0
0 0 0 0 0
0
v u y v u y v
u x v u x o
v u y v u y y
y x v f
u x v u x x
y x f
v u y v u x f v u y v u x f
− +
− +
∂ − + ∂
∂ −
= ∂
−
两边除u−u0, 并令u→u0, 得
). , ( ) , ( ) , ( ) , ( )) , ( ), , (
( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
u v u y y
y x f u
v u x x
y x f x
v u y v u x f
∂
∂
∂ +∂
∂
∂
∂
= ∂
∂
∂
利用函数如果处处有连续偏导, 则其处处可微, 因而有
定理 2: 如果F:D1 →D2,G:D2 →D3都是Cr的映射, 则FoG:D1 →D3也是 Cr的.
另外由定理 1 的证明不难看出, 如果f 可微, x(u,v),y(u,v)都可微, 则F oG( vu, )也
可微, 并且由求导公式得
, )
(
ydy dx f x f
vdv du y u y y dv f v du x u x x f
v dv y y f v x x du f u y y f u x x G f
f d
∂ + ∂
∂
= ∂
∂
+∂
∂
∂
∂ +∂
∂
+∂
∂
∂
∂
= ∂
∂
⋅∂
∂ + ∂
∂
⋅∂
∂ + ∂
∂
⋅∂
∂ +∂
∂
⋅∂
∂
= ∂ o
即表达式 dy
y dx f x df f
∂ +∂
∂
= ∂ 不论x和y 是中间变量还是自变量时都成立. 这称为一阶微
分 的 形 式 不 变 性 . 当 然 如 果x,y 是 自 变 量 时dx=∆x,dy=∆y . 但 如 果x =x(u,v),
) , ( vu y
y= 是中间变量, 则dx ≈∆x,dy≈∆y.
一阶微分的形式不变性在现代数学中有重要应用, 一阶微分也因此成为研究微分流形 的基本工具.
设 f(x,y)在(x0,y0)可微. 设t →(x(t),y(t))是满足(x0,y0)=(x(0),y(0))且x(t),
) (t
y 在t =0时可导的曲线. 由定理 1 得f(x(t),y(t))在t =0可导, 且
).
0 ) ( , ) (
0 ) ( , ( )) 0 ( ), 0 (
( 0 0 0 0
y y y x x f
x y x f dt
y x
df ′
∂ +∂
∂ ′
= ∂
dt y x
df( (0), (0))
称为 f(x,y)沿曲线(x(t),y(t))在(x0,y0)处的导数. 上式表明其仅与曲线
)) ( ), (
(x t y t 在(x0,y0)处的切向量有关, 而与(x(t),y(t))的选取无关, 称为f(x,y)对切向 量(x′(0),y′(0)) 的 方 向 导 数 . 其 除 了 与(x′(0),y′(0)) 所 代 表 的 方 向 有 关 外 , 还 与
)) 0 ( ), 0 (
(x′ y′ 的长度有关. 一般的, 我们取(x′(0),y′(0))为单位向量.
定义: 设f(x,y)是(x0,y0)邻域上的函数, (cosα,cosβ)是给定的单位向量. 如果函
数 a(t)= f(x0 +tcosα,y0 +tcosβ) 在 t =0 可 导 , 则 称 f (x,y) 在 (x0,y0) 处 沿 )
cos ,
(cosα β 方向可导, a′(0)称为f (x,y)对方向(cosα,cosβ)的方向导数.
由上例我们得如果 f(x,y)在(x0,y0)处可微, 则其沿任意方向(cosα,cosβ)的方向
导数都存在且为
. )cos , cos (
) ,
( 0 0 0 0
β
α y
y x f x
y x f
∂ + ∂
∂
∂
令
∂
∂
∂
= ∂
y y x f x
y x y f
x
f ( , )
), , ) (
, )(
(
grad 0 0 0 0 0 0 , 称为 f(x,y)在(x0,y0)处 的 梯 度.
令t=(cosα,cosβ), 则f(x,y)沿t方向的方向导数为
(
grad(f)(x0,y0),t)
= grad(f)(x0,y0) ⋅cosγ ,其 中γ 为grad(f)(x0,y0)与t 的 夹 角 . 当γ =0时 , cosγ 取 最 大 值 . 因 此 梯 度 向 量
∂
∂
∂
= ∂
y y x f x
y x y f
x
f ( , )
), , ) (
, )(
(
grad 0 0 0 0 0 0 所代表的方向是 f(x,y)在(x0,y0)处变化率
最大的方向, grad(f)(x0,y0) 是 f(x,y)在(x0,y0)处最大的变化率.
设n元函数 f(x1,L,xn)在(x L10, ,x0n)处可微, 则
∂
∂
∂
= ∂
n n n
n x
x x f x
x x x f
x
f ( , , )
, ), , , ) (
, , )(
( grad
0 0 1
1 0 0 0 1
0 1
L L L L
称为f(x1,L,xn)在(x L10, ,x0n)处的梯度向量 , 其方向表示函数在这点变化最大的方向 ,
其 长 度 表 示 函 数 在 这 点 最 大 的 变 化 率 . 特 别 的 , 如 果grad(f)(x10,L,x0n)=0 , 则
) , ,
(x L10 x0n 称为 f(x1,L,xn)的静止点. 我们将在函数的极值问题中进一步讨论静止点的 性质.
§２．６ 高阶微分和 Taylor 公式
设D是
R
n中区域, f (x1,L,xn)∈Cr(D). 将dxi =∆xi看作常数, 则)
1(
1
D C x dx
df f r
n
i
i i
−
=
∂ ∈
=
∑
∂ .因此r−1≥1时, 其仍可微分, 其微分称为f(x1,L,xn)的二阶微分, 记为d2f . 设m≤r,
定义dmf =d(dm−1f), 称为f(x1,L,xn)的m阶微分.
引理 1:
∑
= +
+ ∂ ∂
= ∂
m i i
i n i i n i
m m
i i m
n
n
n n dx dx
x x C f f
d
L
L L
1 L
1
1 1 1
1
, 其中
!
!
!
1
1
n m
i
i i i
C m
n L
L = .
证明: 以n=2为例. 设公式在m−1时成立, 即
∑
= − +− −
∂
∂
= ∂
1
1 1
m j i
j i j i m m ij
m dx y
y x C f f
d ,
则
( )
. )
(
1 1 1
1 1
1 1
1 1
1
1 1
∑
∑
∑
∑
= +
= +
−−
−−
−
= +
+ +
+ +
−
= +
− −
∂
∂
= ∂
∂
∂ + ∂
=
∂
∂ + ∂
∂
∂
= ∂
∂
∂
= ∂
=
m j i
j i j i m m ij m j i
j i j i m m
j i m
j i m j i
j i j i
m j
i j i
m m ij
m j i
j i j i m m ij m
m
dy y dx x C f
dy y dx x C f C
dy y dx
x dy f y dx
x C f
dy y dx
x d f C f
d d f d
设(x(t),y(t))是D中曲线. 令h(t)= f(x(t),y(t)), 由一阶微分不变性得
ydy dx f x dh f
∂ +∂
∂
= ∂ ,
但dx,dy是t的函数, 一般不是常数. 因此,
y yd x f xd dy f y dxdy f y x dx f
x h f
d 2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
∂ +∂
∂ +∂
∂ +∂
∂
∂ + ∂
∂
= ∂ ,
) ( ),
( 2
2x t d y t
d 一般不为零. 所以二阶微分以及高阶微分没有一阶微分的形式不变性.
但如果在上式中, x(t)=at+b, y(t)=ct+d 分别都是t的线性函数, 则d2x ≡0,
2y≡0
d , 因而dmh=dmf(x,y) (x= x(t),y = y(t))仍保留形式不变性. 下面我们将用 这一点将一元函数的 Taylor 展开推广到多元函数.
定义: 设D是
R
2中区域, f(x,y)∈Cr(D), g(x,y)∈Cr(D). 称 f(x,y),g(x,y) 在(x0,y0)∈D处m阶相切, 如果对任意k ≤m,i+ j=k, 恒有j i k j
i k
y x
y x g y
x y x f
∂
∂
= ∂
∂
∂
∂ ( 0, 0) ( 0, 0)
.
