高中基礎數學統整講義

第十四回 空間幾何(1)

空間基本概念

高中基礎數學統整講義

一、空間基本概念

1. 1.

1. 1. 空間中的基本元素是點，點可以形成直線與平面等簡單的幾何圖形，亦可形成正多面體、

球體、錐體等較複雜的幾何圖形。

2. 2.

2. 2. 空間幾何的基本公設空間幾何的基本公設空間幾何的基本公設空間幾何的基本公設：：：：

(1)公設一：通過空間中相異兩點，恰有一直線存在。

(2)公設二：通過空間中不共線的三點，恰有一平面存在。

3. 3.

3. 3. 空間中直線與直線的關係空間中直線與直線的關係空間中直線與直線的關係空間中直線與直線的關係：：：：

空間中兩直線L₁與L₂之間的關係只有下面四種：

(1)L₁與L₂重合，如圖(1)所示：

(2)L₁與L₂相交於一點，如圖(2)所示：

(3)L₁與L₂互相平行，即L₁// L₂，如圖(3)所示：

(4)L₁與L₂互為歪斜，如圖(4)所示：

圖(1) 圖(2) 圖(3) 圖(4) 4. 空間中直線與平面的關係空間中直線與平面的關係空間中直線與平面的關係空間中直線與平面的關係：：：：

空間中的一直線 L 與一平面 E 相交的情形只有下面三種：

(1)L ∩E=φ，即L//E，如圖(5)所示：

(2)L 與 E 相交於一點 P，如圖(6)所示：

(3)L 落在 E 上，如圖(7)所示：

圖(5) 圖(6) 圖(7) 5. 空間中平面與平空間中平面與平空間中平面與平空間中平面與平面的關係面的關係面的關係面的關係：：：：

已知空間中二平面E 與₁ E ，則₂ E 與₁ E 相交的情形只有下面三種： ₂ (1)E ∩₁ E₂ = φ ，即E₁// E₂，如圖(8)所示：

(2)E 與₁ E 相交於一直線 L，如圖(9)所示： ₂ (3)E 與₁ E 重合，即₂ E₁ =E₂，如圖(10)所示：

圖(8) 圖(9) 圖(10)

E E E

L L L

P

E1

E2

2

1 E

E = E2

E1

L L1

L2

L1

L2

L1

L2

E

1 2

L =L

6. 三垂線定理三垂線定理三垂線定理三垂線定理：：：：

設直線 L 與平面 E 垂直而相交於 P 點，L₁為 E 上過 P 之一直線，L₂為 E 上另一直線且交L₁於 Q 點，若L₁ ⊥L₂，則對 L 上任一點 R， RQ 恆與L₂垂直。

【例題 1】已知四面體 ABCD 中，AB=12，BC=9，AD=10，且 AD 垂直於平面 BCD，BC ⊥BD，

試求AC之長。 [15]

解：

【類題 1】有一新銳建築師為一新棒球場設計一個前衛的看臺，他先製作一個二十分之一的模 型，利用一矩形的鋁片 ABCD，其中AB= 10公尺，BC=1公尺，先沿著對角線AC將鋁片

對摺，使 ACD∆ 上摺至∆ACD'，再由 D’ 作平面 ABC 之垂線D H ，其垂足 H 恰在 AB 邊上，'

然後在 D′ 與 B 點間以一條鋼纜連接，試求此鋼纜BD 的實際長度。[60 公尺] '

解：

E

L

P R

A L1

L2

Q

H

D C

A B

' D

10

1 10

1

1

【例題 2】四面體 O-ABC 中，已知OA=OB=OC=5，AB=BC=CA=4，試求：

(1)平面 OAB 與平面 ABC 所夾兩面角θ 之餘弦值。[2 7 21 ] (2)點 O 到平面 ABC 之距離。[ 177

3 ]

解：

【類題 2】二平面 E、F 之交角為 60°，在 E、F 交線上取二點 A、B，又在 E 上取一點 C，使AC=8，

°

=

∠BAC 30 ，求AC在平面 F 上之正射影長。 [ 2 13 ]

解：

777

7. . . . 正四面體正四面體正四面體正四面體：：：：

若一正四面體之稜長為 1，則其高為 6

h= 3 ，體積為 2

V = 12 ，表面積為S= 3，內切球半

徑為 6

4 12

r= h = ，外接球半徑為 3 6 3 4 4 R= r= h= 。

二、空間坐標系

1. 空間直角坐標系空間直角坐標系空間直角坐標系空間直角坐標系：：：：

空間中任一點 P 皆對應一組實數(a,b,c)，以指示點 P 點的所在位置；反之，給定一組實數，

亦可在空間中找到一點 P，使 P 的坐標是(a,b,c)。 (1) xy 平面＝{(a，b，0) | a，b∈R}，方程式為：z＝0。

yz 平面＝{(0，b，c) | b，c∈R}，方程式為：x＝0。

xz 平面＝{(a，0，c) | a，c∈R}，方程式為：y＝0。

(2) x 軸＝{(a，0，0) | a∈R}，方程式為：x=t y, =0, z=0 (t∈R)。 y 軸＝{(0，b，0) | b∈R}，方程式為：x=0, y=t z, =0 (t∈R)。 z 軸＝{(0，0，c) | c∈R}，方程式為：x=0, y=0, z=t t( ∈R)。

2. 空間中兩點的距離公式空間中兩點的距離公式空間中兩點的距離公式空間中兩點的距離公式：：：：

空間中任意兩點A x( ,₁ y₁, z₁)，B x( ₂, y₂, z₂)之距離為AB= (x₂−x₁)²+(y₂−y₁)² +(z₂−z₁)² 。

A

y z

O

B

|

|y₂ −y₁

|

|x₂−x₁

|

|z₂−z₁ ) , , (a b c P

x

y z

O

a

b c ^R(0,0,c)

) 0 , , (a b Q

xy平面 xz平面

yz平面

3. 空間中兩點的中點公式空間中兩點的中點公式空間中兩點的中點公式空間中兩點的中點公式：：：：

空間中任意兩點A x( ,₁ y₁, z₁)，B x( ₂, y₂, z₂)連線段之中點為 ) , 2

, 2

(x¹ 2x² y¹ y² z¹ z²

M + + +

。 4. 空間中任意點到坐標面及坐標軸的距離空間中任意點到坐標面及坐標軸的距離空間中任意點到坐標面及坐標軸的距離空間中任意點到坐標面及坐標軸的距離：：： ：

(a) ( ,P a b c 到 xy 平面的正射影為(a，b，0)，P 到 xy 平面的距離為| c |。 , ) ( , , )

P a b c 到 yz 平面的正射影為 (0，b，c)，P 到 yz 平面的距離為| a |。

( , , )

P a b c 到 xz 平面的正射影為 (a，0，c)，P 到 xy 平面的距離為| b |。

(b) ( ,P a b c 到, ) x 軸的正射影為(a，0，0)，P 到 x 軸的距離為 b² +c² 。

( , , )

P a b c 到y 軸的正射影為(0，b，0)，P 到 y 軸的距離為 a² +c² 。

( , , )

P a b c 到z 軸的正射影為(0，0，c)，P 到 z 軸的距離為 a² +b² 。 5. 5.

5. 5. 【【【【平面平面平面平面／／／／空間空間】空間空間】】】向量的線性組合向量的線性組合向量的線性組合向量的線性組合：：： ： 設OP= xOA+yOB x y( , ∈R)

  

，則向量OP



稱為向量OA



與OB



的線性組合，

如右圖，若OA'= −OA OB, '= −OB

   

，則依 P 點所在位置， ,x y 有下列幾種情形：

(1)若P∈L AB₁( )



，則x+ y= ；若 P1 ∈AB，則 0≤x y, ≤ 。 1

(2)若P∈L A B₂( ' ')



，則− −x y= ；若1 P∈A B' '，則 1− ≤ x y, ≤0。

(3)若P∈L AB₃( ')



，則x− y= ；若1 P∈AB'，則 0≤x≤1, 1− ≤ y≤ 。 0

(4)若P∈L A B₄( ' )



，則− +x y= ；若1 P∈A B' ，則 1− ≤x≤0, 0≤ y≤ 。 1

【例題 3】空間中有三點 A(0，2，3)，B(3，0，2)，C(0，0，1)，若 P 點在 xz 平面上，且PA=PB=PC， 試求 P 點之坐標。[(1，0，3)]

解：

A

OB



B

O OA



OA

−



OB

−



L1

L2

L3

L4

P

' A

' B

【類題 3】由空間中第一卦限的一點 P 向三坐標軸分別引三條垂線，且 P 到 x 軸，y 軸，z 軸之 距離依次為2 13，5，3 5，試求 P 點的坐標。[(3,6,4)]

解：

【例題 4】正四面體 O-ABC，已知 (12, 0, 0)A ， (0, 12, 0)B ， (0, 0, 12)C ， (1)試求 O 點坐標。[ ( 4,O − −4, −4)或 (12, 12, 12)O ]

(2)若二稜OA與BC之中點分別為 M, N，試求 OA

MN 之值。[ 2]

解：

【類題 4】右圖 P-ABCD 為一金字塔形，它是由四個正三角形的斜面與一個正方形的底面所組成，

故各稜等長，設四個正三角形的斜面中相鄰任二面的夾角為α，而斜面與底面之間的夾角為 β，試求：(1) sinα之值。[2 2

3 ] (2) cosβ之值。[ 3 3 ]

解：

三、外積、體積與行列式

1. 空間向量的外積：

(1) 在 空 間 坐 標 系 中 ， 若 v₁ =(x₁,y₁,z₁),v₂ =(x₂, y₂,z₂) ， 則 規 定 v 與₁ v₂ 的 外 積

1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1

2 2 2 2 2 2

( y z , z x , x y ) ( , , )

v v y z y z z x z x x y x y

y z z x x y

× = = − − −

 

，為一新的向量。

(2)若令w=v₁×v₂

  

，則w⊥v₁

 

且w⊥v₂

 

，即外積w=v₁×v₂

  

與原有二向量v₁, v₂ 都垂直。

(3)外積是向量，內積是實數(純量)。

2. 兩向量所張出的平行四邊形面積：

設A(x₁,y₁,z₁),B(x₂,y₂,z₂)為空間中相異兩點，且 A,B 與原點 O 不共線，OA 與OB 之夾角為 θ ，則二向量所形成的平行四邊形 OAPB 之面積 T 為：

2 2 2

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

| | | | | | sin y z z x x y T OA OB OA OB

y z z x x y

θ

= × = ⋅ ⋅ = + +

   

。

3. 兩向量所張出的三角形面積：

設A(x₁,y₁,z₁),B(x₂,y₂,z₂)為空間中相異兩點，且 A,B 與原點 O 不共線，OA 與OB 之夾角為 θ ，則二向量所形成的 OAB∆ 之面積為：

2 2 2

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

| | | | | | sin

2 2 2 2

y z z x x y

T OA OB OA OB

y z z x x y

θ

= × = ⋅ ⋅ = + +

   

。

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

x y z x y z

x y z x y z

) , , (x₁ y₁ z₁ A

P

θ )

, , (x₂ y₂ z₂ B

O

) , , (x₁ y₁ z₁ θ A

) , , (x₂ y₂ z₂ B

O

【例題 5】設v₁ =(3, −2, 1),v₂ = −( 1, 4, −3)

 

為空間中兩向量，試求：

(1)v 與₁ v₂的外積v₁×v₂

 

；[ (2, 8, 10) ] (2)一向量，使其與v₁, v₂

 

都垂直，並驗證之；[ (2, 8, 10) ]

(3)由v 與₁ v₂所形成之平行四邊形之面積。[2 42]

解：

【類題 5a】設 (3, 2, 0)P − ,Q(2,0,−3), (0, 3,R −4)為空間中三點，試求由PQ PR,

 

所張出之平行

四邊形面積。[ 5 3 ]

解：

【類題 5b】空間中三點坐標為 (1, 3, 2), (5, 2,A − B − −4),C( 2, 3,− − ，試求 ABC3) ∆ 之面積。[5 2 14]

解：

【類題 6】下 列 有 關 空 間 的 敘 述 ， 那 些 是 正 確 的 ？ （ 多 選 ） [(1)(5)]

(1 )過 已 知 直 線 外 一 點 ，「 恰 有 」 一 平 面 與 此 直 線 垂 直 (2 )過 已 知 直 線 外 一 點 ，「 恰 有 」 一 平 面 與 此 直 線 平 行 (3 )過 已 知 平 面 外 一 點 ，「 恰 有 」 一 直 線 與 此 平 面 平 行 (4 )過 已 知 平 面 外 一 點 ，「 恰 有 」 一 平 面 與 此 平 面 垂 直

(5 )過 已 知 平 面 外 一 點，「 恰 有 」一 平 面 與 此 平 面 平 行 【83.學測】

解：

【類題 7】圖 3 中 ABCD 為 正 四 面 體，M 為CD的 中 點，試 問 下 列 那 些 敘 述 是 正 確 的 ？ [(1)(2 )(3)(4 )]

(1 )直 線 C D 與 平 面 ABM 垂 直 (2)向 量 AB 與 向 量 C D 垂 直 (3)∠AMB>∠ADB (4 )平 面 ACD 與 平 面 BC D 的 二 面 角（ 銳 角 ）大 於 60 (5 )^° BA= BM 【84.學測】

解：

【類題 8】學 校 蓋 了 一 棟 正 四 面 體 的 玻 璃 溫 室（ 如 圖 6）。今 欲 將 一 鋼 柱 橫 架 在 室 中 ， 作 為 吊 花 的 橫 樑 。 其 兩 端 分 別 固 定 在 兩 面 牆 ABC 和 ACD 的 重 心 E ， F 處 。 生 物 老 師 要 先 知 道 這 個 鋼 柱 多 長 ， 才 能 請 工 人 製 作 。 雖 然 BD 的 長 度 很 容 易 量 出 ， 卻

很 難 爬 到 E ， F 點 測 量 EF 長 。 生 物 老 師 在 上 課 時 說 出 他 的 問 題 ， 立 刻 有 一 位 同

學 舉 手 說 他 有 辦 法 。 這 位 同 學 在 紙 上 劃 出 圖 6， 算 出 EF BD: 就 解 決 了 問 題 。 問

EF BD: = (F) 。 [1:3] 【85.學測】

解：

【類題 9】在空間中，下列那些點可與A

(

)

(

)

(

)

(1)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

解：

B A

C

圖一

D

C B

A

【類題 10】圖一為一正立方體，A,B,C 分別為所在的邊之中點，通過 A,B,C 三點的平面與此立方 體表面相截，問下列何者為其截痕的形狀？[(4)] 【88.學測】

(1)直角三角形 (2)非 直 角 的 三 角 形 (3)正 方 形 (4)非 正 方 形 的 長 方 形 (5 )六 邊 形

解：

【類題 11】如 右 圖 的 四 角 錐 展 開 圖 ， 四 角 錐 底 面 為 邊 長 2 的 正 方 形 ， 四 個 側 面 都 是 腰 長 為 4 的 等 腰 三 角 形，試 求 此 四 角 錐 的 高 度。[ 14] 【90.學測】

解：

【類題 12】將 一 個 正 四 面 體 的 四 個 面 上 的 各 邊 中 點 用 線 段 連 接 ， 可 得 四 個 小 正 四 面 體 及 一 個 正 八 面 體 ， 如 下 圖 所 示 。 如 果 原 四 面 體 ABCD 的 體 積 為 12， 試 求 此 正 八 面 體 的 體 積。[6] 【90.學測】

解：

【類題 13】一正立方體的八個頂點中有四個頂點，各頂點彼此之間的距離都是 1，則此正立方 體的體積為(1) 2 2 (2) 2

4 (3) 1 (4) 2 [(2)] 【91.指考甲】

解：

【類題 14】有一四面體 OABC，它的一個底面 ABC 是邊長為 4 的正三角形，且知 OA ＝ OB ＝

OC ＝a；如果直線 OA 與直線 BC 間的公垂線段長 ( 亦即此兩直線間的距離 ) 是 3 ，則

a＝ 。(以最簡分數表示 )[ 8

3 ] 【92.指考甲】

解：

【類題 15】右圖為一單位正立方體 ABCDEFGH (即稜長 1)，則四面體 ACFH 的表面積為 ， 體積為 。[2 3 ， 1

3 ] 【92.指考乙】

解：

【類題 16】在空間中，一平面與一正立方體相截，若在平面的兩側各有正立方體的 4 個頂點，

則其截面的形狀可能是下列哪種圖形？[(2)(4)]

(1) 三角形 (2) 四邊形 (3) 五邊形 (4) 六邊形 (5) 八邊形 【93.指考乙】

解：

【類題 17】坐標空間中，在六個平面 14

x=13, 1

x=13, y= , 1 y= − , 1 z= − 及1 z= − 所圍成的長4 方體上隨機選取兩個相異頂點。若每個頂點被選取的機率相同，試求選到兩個頂點的距離大 於 3 之機率。（化成最簡分數）[3/7] 【101.學測】

解：

【類題 18】設 A、B、C、D 為空間中四個相異點，且直線 CD 垂直平面 ABC。已知 AB ＝ BC ＝

CD ＝10，sin∠ABC＝ 4

5 ，且∠ABC 為銳角，求 AD 。[ 6 5 ] 【102.指考甲】

解：

【類題 19】令 A(5, 0, 12)、B(－5, 0, 12)為坐標空間中之兩點，且令 P 為 xy 平面上滿足 PA ＝ PB ＝13 的點。請問下列哪一個選項中的點可能為 P？[(4)]

(1)(5, 0, 0) (2)(5, 5, 0) (3)(0, 12, 0) (4)(0, 0, 0) (5)(0, 0, 24) 【103.學測】

解：

【類題 20】有一底面為正方形的四角錐，其展開圖如右圖所示，其中兩側面的三角形邊長為 3，

4，5，則此角錐的體積為

______________。(化為最簡根式)[ 16 5

3 ] 【104. 學測】

解：

【類題 21】在空間中，一個斜面的「坡度」定義為斜面與水平面夾角 θ 的正切值 tanθ。若一金 字塔(底部為一正方形，四個斜面為等腰三角形)的每一個斜面的坡度皆為 2

5 ，如圖。則相鄰 斜面的夾角的餘弦函數的絕對值為

_________。(化為最簡分數)[ 25

29 ] 【104. 學測】

解：

【類題 22】在右下圖的正立方體上有兩質點分別自頂點 A, C 同時出發，各自以等速直線運動，

分別向頂點 B, D 前進，且在 1 秒後分別同時到達 B, D。請選出這段時間兩質點距離關係 的正確選項。[(4)]

(1)兩質點的距離固定不變 (2)兩質點的距離越來越小 (3)兩質點的距離越來越大 (4)在1

2秒時兩質點的距離最小 (5)在1

2秒時兩質點的距離最大 【106.學測】

解：

【類題 23】給定相異兩點A、B，試問空間中能使∆PAB成一正三角形的所有點P所成集合為下 列哪一選項？[(4)]

(1)兩個點 (2)一線段 (3)一直線 (4)一圓 (5)一平面 【107.學測】

解：

【類題 24】將 一 塊 邊 長AB=15公 分、BC=20公 分 的 長 方 形 鐵 片ABCD沿 對 角 線 BD對 摺 後 豎立 ， 使 得 平 面 ABD與 平 面CBD垂 直 ， 則 A、C兩 點 （ 在 空 間 ） 的 距 離 AC等 於 多 少 公 分 ？（ 化 成 最 簡 根 式 ）[ 337 ] 【107.學測】

解：

【類題 25】坐 標 空 間 中，考 慮 有 一 個 頂 點 在 平 面 z=0 上、且有另一個頂點在平面 z=6 上 的 正 立 方 體 。 則 滿 足 前 述 條 件 的 正 立 方 體 之 邊 長 最 小 可 能 值 為 何 ？ (化 成 最 簡 根

式 )[2 3] 【108.學測】

解：

【類題 26】如示意圖，四面體 OABC 中， OAB∆ 和 OAC∆ 均為正三角形，∠BOC=30° ，試選 出正確的選項。[(2)(4)]

(1)BC>OC (2) OBC∆ 是等腰三角形 (3) OBC∆ 的面積大於 OAB∆ 的面積 (4)∠CAB=30°

(5)平面 OAB 和平面 OAC 的夾角(以銳角計)小於 30° 【109.學測】

解：

O

A

C

B