積分定理

積分定理

各種轉換公式(重要！) 必須了解三者間的關係

z Green’s 定理：線積分

↔面積分(雙重積)

z Gauss’s 定理：面積分

↔體積分(三重積)

z Stokes’s 定理：線積分

↔面積分

事實上為曲線積分

：沿著x 軸對 f(x)(被積分項)積分，

起始點a，終點 b

被積分項

代表曲線C 之參數表示式(即為積分路徑) 封閉路徑 積分

∫

箭頭表示積分方向

∫

( )

=r b

( ) r a =

平滑曲線的條件

純量

1 2 3

( ) ( )

F F i F j F k dr dxi dyj dzk

dr t dx dy dz

r t i j k

dt dt dt dt

x i y j z k

= + +

= + +

′ = = + +

′ ′ ′

= + +

重要公式！

dx dt

dz dt dy

dt

封閉路徑積分

功積分

注意解題步驟！ Step 1:圓曲線方程式

Step 2:r t 代入 F 中 ( )

Step 3:dr dt Step 4:

( ) F r r dt′

=

∫

Step 1:螺線方程式

Step 2 Step 3

Step 4:

( ) F r r dt′

=

∫

√

√

√

1. C 的不同形式表示式，並不影響積分值；

2. 路徑不同(例 C1 與 C2 路徑)會影響積分值。

功等於動能的獲增量

位移

dr dt

積分後為向量

( ) cos sin 3 r t = t i + t j + t k

個別分量取積分 積分後為純量

( ) ( )

b b

a

F r dr =

F r r dt ′

∫ ⁱ ∫ ⁱ

比較

注意P415 教過的 解題步驟！

1

2 1

1

2

1 1

1

1 1

0 1 2 0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 3 r t ti tj F r t j r t i j

F r r t t F r r t dt

t dt

= +

=

′ = +

• ′ =

• ′

= =

∫

∫

故

2 2

3 2

2

4

2 2

1

2 2

0

1 4

0

( ) ( )

( ) 2

( ) ( ) 2

( ) ( ) 2 2

5 r t ti t j F r t j r t i tj

F r r t t

F r r t dt t dt

= +

=

′ = +

• ′ =

• ′

= =

∫

∫

故

補充資料(台師大機電 15%)：

Evaluate the line integral with

F( r ) = [5z, xy, x

z] = 5z i + xy j + x

z k

Along two different paths with the same initial point A: (0, 0, 0) and the same terminal point B: (1, 1, 1), namely (As shown in Figure)

(a) C

: the straight-line segment

( t ) = t i + t j + t k, 0 ≤ t ≤ 1, and

(b) C

: the parabolic arc

( t ) = t i + t j + t

k, 0 ≤ t ≤ 1.

【Solution】

與路徑無關之線積分 → 必須注意其成立之條件！

( ) ( ) f B f A

= − 僅與起始點、終點有關，與積分路徑無關

三種與路徑無關之線積 分需滿足之條件！

If Fis given.

步驟1：證明Curl F = ∇× =F 0 步驟2：利用grad f =F求出 f 步驟3： f B( )− f A( )

If Fis given.

步驟1：證明Curl F = ∇× =F 0 步驟2：利用grad f =F求出 f 步驟3： f B( )− f A( )

用以求出 ( , , )f x y z 函數

CF r dr

( ) =

∫ ⁱ

C

F r dr ( ) =

∫ ⁱ

1, 2, 3

F F F 代入

Chain rule:

df f dx f dy f dz dt x dt y dt z dt

∂ ∂ ∂

= + +

∂ ∂ ∂

( ( ), ( ), ( )) ( ( ), ( ), ( )) A x a y a z a B x b y b z b

重要公式！

定積分公式！

先求出 f

(見以下補充資料：有完整的計算過程)

+c

+c

1 2 3

F F F

If Fis given.

步驟1：證明Curl F = ∇× =F 0 步驟2：利用grad f =F求出 f 步驟3： f B( )− f A( )

心算速解：

3

2 2

2

3 2

2

3 2

x

y

z

x

y z

f f x

x

f f yz

y

f f y

z y z

f x y z c

= ∂ = →

∂

= ∂ = →

∂

= ∂ = →

∂

= + + 故

2

C1+C2 形成封閉曲線，則積分 C1 (正值

0，

故 C1 曲線：積分 A→B C2 曲線：積分 A→B

即封閉曲線積分為零時，積分式(1)與路徑無關。

相同的式寫 一次即可！

兩者有相同值(固定起始點 A 與終點B，沿不同路徑積分)

1 2 3

F F F

+c

功、保守(守恆)與非保守(非守恆)物理系統！

1. 功與路徑無關。

2. 任意封閉路徑所作的功為零。

3.

為一潛位

之梯度

， 則

及其所定義之向量場稱守恆的。

4. 守恆系統必須滿足

5.

完全性

兩個式子相同

1 2 3

F F i F j F k dr dxi dyj dzk

= + +

= + +

Chain rule:

df f dx f dy f dz dt x dt y dt z dt

∂ ∂ ∂

= + +

∂ ∂ ∂

用以求出 f

1 2 3

0

Curl F F

i j k

x y z

F F F

= ∇×

∂ ∂ ∂

= ∂ ∂ ∂

=

i 的分量=0

j _的分量=0

k 的分量=0

1 2 3

f f f

F grad f i j k F i F j F k

x y z

∂ ∂ ∂

= = + + = + +

∂ ∂ ∂

) 0 (9. 9 ) Curl grad f =

即 ( 節教過

(1)式積分與路徑無關的條件

3

0

F =

(補充資料)

速解：

1

2

3

( , , )

x

y

z

f f F

F F f x y

x f f

y f z

z f

= ∂ =

∂

= ∂ =

∂

= ∂ =

∂ 求出

滿足(6’)式(即

)，

故積分與路徑無關

1

F F F

+c

雙重(面)積分 → 僅做簡單複習，細節請Review 微積分

dA=dxdy

dydx

R

A = ∫∫ dxdy

均值定理

先對 y 積分，再對 x 積分 R

面積A

●

0 0

( , ) x y

先對 x 積分，再對 y 積分

求體積 求面積

視為高(厚)度

求極慣性矩 求重心位置

求慣性矩

求R 內的總質量

視為密度(kg cm/ ²)

r

=

請 複 習 靜 力 學

！

√

√

取絕對值，故 一定是正值

1. 改變積分變數後，積分範 圍也要改變。

2. 一定要增加 Jacobian 項

√

x y

u u

x y

v v

∂ ∂

∂ ∂

= ∂ ∂

∂ ∂

注意解題步驟！

Step 1:先找出 x,y 為 u,v 的函數關係

Step 2:求出Jacobian 項

Step 3:找出u,v 的範圍

Step 4: 代入積分

取絕對值

x + = y u

x − = y v

極座標

θ

r

x y

( cos , sin ) r θ r θ

•

重要！

自行練習

cos sin

0 1

0 2

x r y r r

θ θ θ π

=

=

≤ ≤

≤ ≤

公式P429

R 為封閉區域 C 為封閉區域的邊界曲線

1 2 1 2

( ) ( )

C C

C C

dx d

dt dt

F F y F x F y dt

dt

dr F dt

F r

′ ′

= + +

= ′

=

=

∫ ∫

∫

∫

( )

R

Curl F k dxdy =

∫∫ ⁱ

平面的Stokes’s 定理即 為Green’s 定理

R C

1 2 3

Curl F F

i j k

x y z

F F F

= ∇×

∂ ∂ ∂

= ∂ ∂ ∂

R 必須在積分方向的左側

1 2

C C

R

= −

∫∫ ∫ ∫

Green’s 定理：線積分↔面積分(雙重積)

先對y 積分

(補充資料！)

f g

87 成大航太(15%)

圓面積

( )

C F r dt′ ′

=

∫

注意積分技巧！

R

C:x²+ y² =1

2 3 2 2 2

0

2 3 2 2 2 2

0 0 0 0

2 2

0 0

2

2 2

2

2

( sin 7sin 2cos s sin

1 1

sin (1 cos 2 ),cos (1 cos 2 )

2 2

sin cos

i

1 cos

n 2cos )

7 2 cos 2

d(sin

s ) cos , d(co

sin co

s ) sin

2

in

s 2

7

t t

t t t t t dt

dt t d

t t t t

t t dt t t dt

td tdt

t t

td

t t

π

π π π π

π π

− + +

−

= − = +

= =

+

= + + +

= + −

−

∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫

公式

2 2 2

0 0

2 2 2 2 2 2

0 0 0 0

2 2 2

3

0

3 2

0 0 0

1 cos 2 2

1 cos 2 1

2 cos 2

7 2 cos

cos

co

(1 c 2

[ ] 7[ ] 2[ ] 2[ ]

9

s c

cos 3

os 2

2 2

sin 2 sin 2

2 4 2 4

7 2

os ) cos c cos

0

os 3

0

t d t

t t

t

t t

dt t dt

dt t dt

d t

t

t t t

d t t

π π

π π π π

π π π π

π

π π

+

− +

−

+

= + +

= + − +

= + −

−

−

+

=

+

−

−

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

2 1

1 2

( ) ( )

C R

F F

dxdy F dx F dy

x y

∂ − ∂ = +

∂ ∂

∫∫ ∫

Green’s 定理證明(前已有補充)

同理可證

(A)式

(B)式

(B)式–(A)式得證 Green’s 定理

有 dx 項者為 0

1. 一個密封區域的面積分，可以分成幾個小密 封區域的面積分和。

2. 每個小區域的 R，仍必須在積分方向的左側

R1

R3

R2 R5

R4

A= A=

兩式相加 再除以2

利用線積分求出面積

橢 圓 面 積

dx dt dy dt

1 1

2 ( ) 2 ( )

C C

dy dx

x y dt xy yx dt

dt dt

′ ′

=

∫

∫

心 臟 形 曲 線 面 積

封閉區域面積公式(4)，在極座標 時的適用公式

心臟形曲線

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1

( ) ( sin cos cos sin cos sin )

2 2

1 1

(cos sin )

2 2

C C

C C

xdy ydx r dr r d r dr r d

r d r d

θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

− = + − +

= + =

∫ ∫

∫ ∫

面積分之表面(表示法)(參數表示式)

投影

先找出面的參數表示式→作面積分 投影於u, v 平面後，變成對 u, v

作積分，故要知道u, v 的範圍

對t 作積分

a ≤ ≤ t b

表面的表示法

半球

曲線參數表示法

( )

( ) ( ) ( )

r r t

x t i y t j z t k

a t b

=

= + +

≤ ≤

( )

b

C a

b a

F dr F dr dt dt F r t dt

=

= ′

∫ ∫

∫

i i

i

線積分

表面的參數表示法

重要！

圓柱體的參數表示式

球體的參數表示式

理解後必須記憶...

少用

x y z

x y z

a x=acosu

sin y=a u

sin z=a v

cos

a v

( , , )x y z

v

sin u y

× =

cos u x

× =

a v for (3*)

圓錐體的參數表示式

請比較與圓柱體的差異性！

切線平面 表面法線

單位法線向量 法線向量

z z

y

x

H

0

2 2

H− =z x + y

u v

du dv

u v

dt d

r r

r r

u v

t ′ ′

=

+

=

∂

+

∂

以 參 數 表 示 法 表示曲面時，求 N 與n，是面積 分的關鍵步驟

切線向量，展開成切 線平面，r_u× =r_v N 面方程式

面上的線方程式 (沿著時間 t 的變化)

( ( , ) ) ( , )

S R

r u

F n dA = F v N u v d udv

∫∫ ⁱ ∫∫ ⁱ

面積分

r 分別對 u, v 取微分

以純函數式表示曲面時…

重要觀念！

= ∇

( , , ) ( , , )

( , , ) grad g x y z

g x y z

g x y z

代表曲面 之法線向量

單位法線向量

grad g grad g

=

2 2 2

2 2 2

2 2

grad g x i y j z k

grad g x y z a

= + +

= + + =

2 2 2 2

2

x y

grad g i j k

x y x y

grad g

= + −

+ +

=

注意解題步驟

由10-5 節 所定義

純量

Step 1: 定義曲面的參數表示式

Step 2: 求出法線向量

R 為 S 在 u-v 平面的投影面 類似線積分的觀念

見P414 的 eq(3) 重要！

( ( )) ( )

b

C

F dr =

F r t r t dt ′

∫ ⁱ ∫ ⁱ

(補充資料！)

( r r) ( _{u v}) dudv r r dudv u v

∂ ∂

= × = ×

∂ ∂

Step 3:r u v 代入 F( , ) Step 4: F r( )iN

Step 5:

∫∫

S

R

【向量面積分定義】

dr r du r dv dt u dt v dt

∂ ∂

= +

∂ ∂

(補充資料)

向量解法 純量解法

比較兩者的差異

大小 向量

(v 為常數) (u 為常數) N dudv

=

大小

向量 If F given,

Step 1:找出φ

Step 2:求出∇ 或φ ∇ φ

Step 3:算出∇φii , ∇φij或∇φik Step 4:代入 dA 或ndA公式 Step 5:^再代入

∫∫

( )

φ

∇ 法線向量

dxdy dA

dxdy

(投影面積) k

θ θ =γ

θ 曲面φ

dA

切線向量

(r_u r dudv_v) Ndudv

= × =

x-y 平面

【補充題】(清大電機, 12 分)

Use the method of parametric representation to find the surface integral of the vector function

3 3 3

F = y i + x j + z k

over the portion of the surface defined as

2 2

: 4 4, 0, 0, 0

S x + y = x ≥ y ≥ ≤ ≤ z b

【Solution】(必須以參數法做運算)

3 3 3

3 3

2 3

0 0

0 , 0

2

2sin cos 2cos

0

0 0 1

cos 2sin 0

( ) sin 8cos

(sin cos 16cos sin )

[ si in

s

n s 1

in

u v

u v

b

u v b

r ui uj k

r i j k

N r r ui uj k

r ui uj vk

F r ui uj v k

F ndA F Ndudv

u u u u dud

d

v u

u

π

≤ ≤ π ≤ ≤

= − + +

= + +

= × = + +

= + +

=

=

− + +

=

+

∫∫ ∫∫

∫∫

∫ ∫

i i

2 3 0

4 4

02 0

0

6 cos ]

sin c

c

[ 16 os ]

4 4

17

o

4 4

s

17

b

b

u dv

u u

dv

dv b

d u

π

π

= −

= =

∫

∫

∫

( ( , ) ) ( , )

S R

r u

F n dA = F v N u v d udv

∫∫ ⁱ ∫∫ ⁱ

面積分

見 前 補 充 資 料

流量積分(通量積分)

R

F Ndudv

= ∫∫ ⁱ

必須先找出cos ,cos ,cosα β γ 的正負號

Ifcosβ <0, 則必須放負號

判斷n的方向 (見 P447 的圖 247)

拋物線圓柱體

自行練習！

參數法解題步驟！

Step 1:曲線參數表示式

Step 3:r u v 代入 F( , )

Step 2: N ^{dr dr}

du dv

= ×

算出法線向量

Step 4: F r( )iN

Step 5:

∫∫

投影在xz 平面！

2

2

3 2 2

0 0

(2 )

(6 6) (6 6) 72 x y

ndA dxdz xi j dxdz

j

F ndA xz dxdz xz dxdz φ

φ φ

= −

= ∇ = −

∇

= −

− =

∫ ∫

i i

(另一種解法) P444 的 Eq (5)

1 2 3

( )

S

F dydz F dzdx F dxdy

=

∫∫

亦可用投影法計算(Try it!) cos

[cos , cos , cos ]

cos 2

cos 1, cos 0 n i

N N

N N n i N N i u

N

N N

α

α β γ

α

β γ

=

=

= = =

= − =

i

i i

前頁

同理得

Step 1:曲線參數表示式

第一象限的範圍

投影法解題步驟！

Step 3:r u v 代入 F( , )

Step 2: N ^{dr dr}

du dv

= ×

算出法線向量

Step 4: F r( )iN

Step 5:

∫∫

定向

以447 頁的 圖形說明

與example 1 差一個負號 與example 1

的u,v 參數設 定相反

可定向的

逆時針

順時針

( ) [cos ,cos ,cos ] + = α β γ

( ) −

Step 1:曲線參數表示式

Step 2: dr dr

N = du×dv

算出法線向量

圓環表面

看圖自 行思考 Step 1:曲線參數表示式(P440)

Step 2: N ^{dr dr}

du dv

= ×

算出法線向量

球的面積

Step 3: N = r_u×r_v

Step 4:

∫∫

請與P443 的(3)式 形式比較

S

R 面積A

●

0 0

( , ) u v

du dx dv dy

=

=

( , )

dA = N u v dudv 參數法變形解法

(亦可使用 x-y 投 影法計算)

b

sin z = b v

cos

b v

( a + b cos ) v

sin cos

y x u

u

×

×

=

=

Step 3:

N = r

× r

Step 4:

∫∫ r

× r dudv

Gauss’s 散度定理：面積分 ↔ 體積分(三重積)

3D 的封閉區域

Gauss’s 定理：面積分↔體積分(三重積) 散度(純量)= ∇iF =

3D 的封閉區域 T 的外圍封閉曲面(T 的外殼)

觀念同444 頁 (同 10.6 節面積分)

常出現的型式 真正要您計算的型式

85 年台大造船 (10%) 注意解題步驟！

Step 1:算出divF

Step 3:積分參數變換(圓柱座標) Step 2:

T

divF dxdydz

∫∫∫

算出

積分功力問題

T

divF dxdydz

=

∫∫∫

F1 F2 F3

cos sin x y z z

θ θ

=

=

=

注意解題步驟！

Step 1:球參數表示式(一定要會！)

Step 3:r u v 代入 F( , )

Step 2: dr dr N = du×dv 算出法線向量

Step 4: F r( )iN

Step 5:

∫∫

0 2 ,

2 2

u π π v π

≤ ≤ − ≤ ≤

3 32

3 4

3πr π

= =

球體積 F

x y z ( )

(7 )

6 6

=64 6

( )

S

a

xi zk ndA dxdydz dxdydz dxd Gaus

ydz s

divF

π

−

=

=

=

=

∫∫

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

i 定理解法

球體積

(b) 參數法面積分的解法

Stokes’s 定理：線積分 ↔ 面積分

旋度(向量)= ∇ × =F 各種轉換公式(重要！)

必須了解三者間的關係

z Green’s 定理：線積分

↔面積分(雙重積)

z Gauss’s 定理：面積分

↔體積分(三重積)

z Stokes’s 定理：線積分

↔面積分

x-y 平面的 Stokes’s 定 理即為Green’s 定理

Stokes’s 定理：線積分↔面積分

2 1

1 2

( )

(

(

) )

R

R

C

Curl F k dxdy

F F

x dxdy

y

F d

em

x F y

d

∂ ∂

= −

∂ ∂

= +

∫∫

∫∫

∫

i

若S 退化為 x-y 座標上 的平面，則Stokes’s 定 理退化為Green’s 定理

將S投影於u-v 平面，以投 影面R(或其封閉邊界曲線

C)做計算

R

CurlF Ndudv =

∫∫ ⁱ

z=1

2 2

: 1, 0

C x + y = z= R S

2 2

( , ) 1

z f x y z x y

φ = − = + + −

97 彰師大機電(15%) 97 中興生物機電(16%)

CF dr

=

∫

注意解題步驟！ Step 1:圓曲線方程式r s( ) Step 3:r s 代入 F 中 ( ) Step 2:dr

ds

Step 4:

∫

Stokes’s 式的左側計算

2 1 cos 2

sin 2

α = ⁻ α

Step 1:求出Curl F = ∇ ×F

Step 2:求出N =gradφ (法線向量)

Step 3:求出Curl F Ni

Step 4:求出

R

Curl F Ndxdy

∫∫

2 2 1

(2 2 )

ndA

x y z

ndA dxdy

k

xi yj k dxdy φ

φ φ

= + + −

= ∇

∇

= + + i

以投影法求出 或 積分參數變換(圓座標)

cos sin x y

θ θ

=

=

x-y 平面，其單位法向量為k

1 2 3

Curl F F

i j k

x y z

F F F

= ∇×

∂ ∂ ∂

= ∂ ∂ ∂ Green’s 定理

2 1

( )

( 28) ( 28)

(4 ) ( 28)

112

C

S

S

S

S

F r ds

CurlF ndA

F F

x dy dA dA dA π π

′

=

∂ ∂

= −

∂

= −

= −

= −

= −

∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

i i

與積分路徑無關的條件

0

不管路徑C 的選擇為何？在 S 上的積分必為零

= 0

(補充資料！)

【練習題】

(補充資料！)

C 曲線

(z=4)

指C 曲線為順時針方向

投影至x-y 平面

cos sin

0 2

0 2

x r y r r

θ θ θ π

=

=

≤ ≤

≤ ≤

極座標轉換

2 2

x y

= +

必須加強積分功力

封閉曲線積分範圍：

逆時針方向：0→2π 順時針方向：2π →0

0