兩角和與差的三角函數

數學傳播

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, pp. 51-54

“ 兩角和與差的三角函數 _” 的一個教學設計

朱 哲

“兩角和與差的三角函數” 這一教學內容, 一般教材是以單位圓中由兩點間的距離公式, 推 導出 C_(α+β); 再由誘導公式推出 C_(α−β)、 S_(α+β)、 S_(α−β), 然後根據正切定義推出 T_(α+β)、

T_(α−β); 之後, 從一般到特殊, 導出二倍角的正弦、 余弦、 正切公式。 可以說, 教材如此安排, 邏

輯嚴密、 推理自然流暢、 體系完整, 體現出數學思維的嚴謹性。 不過, 在實際教學中, 教師可以 通過合理而精心地設計, 引導學生對這些公式進行探究, 進行充滿趣味的數學活動。 以下是 “兩 角和與差的三角函數” 的一個教學設計。

1. sin 2α 公式的教學 (教師演示、 啟發為主)

出示一長方形紙片 (如圖 1) , 對角線 AC 長為 2, 長 AD 與 AC 夾角為 α, 則 AD 為 2 cos α, CD 為 2 sin α, 則 S_△ACD = 2 sin α cos α; 另一方面, ∠DOE = 2α, OD = 1, DE = sin 2α, S_△ACD = 1

2 · AC · DE = sin 2α。 所以, sin 2α = 2 sin α cos α。

O E

C

A D

B

圖1

2. cos 2α 公式的教學 (由學生自主探索)

問題: 你能利用類似的方法推導 cos 2α 的公式嗎? 學生自主思考並結合小組討論, 若干 時間後, 展示所得成果。

方法1: 在圖 1 中, 由 AD² = AE · AC, 得 (2 cos α)² = (1 + cos 2α) · 2, 得 cos 2α = 2 cos²α − 1; 由 CD² = CE · AC, 得 cos 2α = 1 − 2 sin²α。 由 DE² = AE · CE, 可得

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sin²2α + cos²2α = 1。 利用 sin²α+ cos²α= 1, 可得 cos 2α = cos²α − sin²α。

方法2: 在圖 1 中, cos α = AE

AD = (1 + cos 2α)

2 cos α , 可得 cos 2α = 2 cos²α − 1。 同樣我 們可由 sin α = DE

AD = sin 2α

2 cos α, 得 sin 2α = 2 sin α cos α。 此方法比方法 1 更簡單。

方法3: 如圖 2 所示, 左邊陰影長方形的面積 S = cos α · 2 cos α = 2 cos²α; 右邊陰影 平行四邊形底為 1, 高為 1 + cos 2α, 則面積 S = 1 + cos 2α 。 圖中長方形與平行四邊形面積 相等, 所以 2 cos²α= 1 + cos 2α, 即 cos 2α = 2 cos²α − 1 。^[1]

圖2

課後學生可以進一步思考, 還有沒有其他的方法。

3. tan 2α 公式的教學 (由學生課後自主探索)

由定義及以上公式, 可得 tan 2α = 2 tan α 1 − tan²α 。

問題: 你能利用圖形來推導、 表示公式 tan 2α = 2 tan α 1 − tan²α 嗎?

4. sin(α + β)、 cos(α + β) 公式的教學 (由學生自主探索)

方法 2 啟發我們對 sin(α + β) 和 cos(α + β) 的公式進行探索。 給學生足夠的時間思考 交流, 然後展示他們的成果。

如圖 3 所示, ∠A = α, ∠B = β, 作 BD⊥AC 交 AC 延長線於 D, 則 ∠BCD = α+β, 作 CE⊥AB。 令 BC = 1, 則 BD = sin(α + β), CD = cos(α + β), BE = cos β, CE = sin β, AC = sin β

sin α, AE = cos α sin β sin α 。

“

_”

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E

A D

B

C

圖3

則 sin α = BD

AB, 即 sin α(cos β + cos α sin β

sin α ) = sin(α + β), 整理得 sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β。

而 cos α = AD

AB, 即 cos α(cos β +cos α sin β

sin α ) = sin β

sin α+cos(α+β), 則 cos(α+β) = cos α cos β + cos²αsin β

sin α − sin β

sin α = cos α cos β + (cos²α − 1) sin β

sin α = cos α cos β − sin α sin β。

利用誘導公式, 還可以得到 sin(α − β)、 cos(α − β) 公式。

問題: 你能利用類似的方法推導 sin(α − β)、 cos(α − β) 這兩個公式嗎?

5. tan(α + β)、 tan(α − β) 公式的教學 (由學生課後自主探索)

由定義及以上公式, 可得 tan(α ± β) = tan α ± tan β 1 − tan α tan β 。 問題: 你能利用圖形來推導、 表示這兩個公式嗎?

(註: 例題、 練習和小結都略去。 以上內容可視具體情況分一至三課時進行。)

這一教學設計的最大特點在於充分利用數形結合, 而一般教材更多地是運用代數運算。 本 文以三角函數的定義為基礎, 輔之以直觀圖形, 並利用面積公式和射影定理等, 對公式進行推 導。 幾種推導方法之間有聯繫也有變化, 正是這些變化給學生留出了自主探索的空間。 提出有沒 有其他方法等問題則拓廣了學生的思維, 讓學生在課後去做進一步的思考。

筆者在文 [2] 中對教學設計提出如下三個觀點: 要在對教材的深加工上進行“再創造”, 要 在數學教學的過程中讓學生進行“再創造”, 要讓學生在“再創造”中學習數學化。 本文可以說是 對這三個觀點的一個實例說明。 一般教材展示了問題及其完整答案, 這樣就掩蓋了前人的思考 過程; 如果照本宣科, 就容易把學生的探索淹沒在教師的講解中。 所以教師應該根據自己對教 學內容的深入理解和對學生認知情況的細緻洞察, 對教材進行深加工, 設計出一個以教材為藍

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本, 但又不拘泥於教材的教學過程。 在這個教學中應充分暴露、 展現學生的思維和探索過程, 讓 學生經歷知識的再創造。 讓他們能體會到所學的知識不是教師和教材告訴他們的, 而是自己“發 現”的。 此外, 學生的探索和發現很可能是盲目的、 支離破碎的、 非形式化的, 教師則應引導學生 建構知識網路, 形成形式化的數學知識, 完成數學化的過程。

對教學設計, 我們還可以從知識的聯繫這一角度進行分析。 上述三角函數公式在一般教材 中往往是分開來介紹的, 它們之間的聯繫也不是特別緊密; 而在本文中, 它們則是通過數學方法 與思維為聯繫, 經由學生的自主探索, 最終作為一個知識整體完整地呈現出來。 所以說, 教師在 處理教學內容時, 應深入挖掘與其他數學知識的關聯, 並在教學中通過適當的方式呈現, 讓學生 感到數學是有趣的, 是好玩的, 是美的。 當然這種美妙的感受並不能輕而易舉地獲得。 如果在教 學中, 教師還能適當加入這些公式的歷史, 則可以形成“縱橫交錯”的數學教學, 從而讓學生在比 較高的層次欣賞數學。

參考文獻

1. 汪曉勤、 韓祥林, 中學數學中的數學史, 北京: 科學出版社, 2002.

2. 朱哲, 教師成長: 以教學案例為載體的行動研究, 數學數學, 2005(4).

—本文作者任教中國浙江師範大學數理與信息工程學院—