Brown運動與 L´evy 泛函分析 (上) ∗
飛 田武幸 著
李育嘉
陳明廷 合譯
0. 引言:
在 Brown 運動, 加法過程,Markov 過 程等機率論研究領域中,P. L´evy 認為與其將 它們各別處理, 還不如先由泛函分析著手, 再 引入上述機率論一系列的研究中而觀其所扮 演的角色, 一方面可更展現其輝煌的一面, 同 時亦可觸覺到其至今仍繼續影響世人的思想, 且可將這些研究的前端中某些未來展望的問 題變為近代的模式來處理, 此亦為 L´evy 之 貢獻。
L´evy (1886–1971) 的 100 年誕辰之 紀念活動已經結束了, 今天能再認識其偉大 業績, 特別是由泛函分析觀點來探討他在機 率論方面的工作, 尤其是對 Brown 運動研 究方法的改觀方面, 實意義深遠。
吾人之目標為回到 L´evy 所用的隨機過 程理論根源之一的泛函分析, 經由再認識其 思想而探討出其研究的方針。 為此, 本文的大 綱如下:
I. 首先, 想看如何將泛函的分析引入隨機分 析內。
II. 對於多變數參數之 Gauss 隨機場 (Ran- dom field) 的泛函分析處理法, 及
III. 應用方面, 尤其是物理學上的問題的再 認識。 對於這些問題, 若篇幅許可的話 擬詳加論述。
1. 泛函數
定義於區間 [0, 1] 上之函數 x(t), 其平 方的積分為有限, 即
k x k2 =
Z 1
0 | x(t) |2dt <∞ , 記其全體為 L2[0, 1]。 此為 Hilbert 空間, 是 一代表性的無限維向量空間。 定義在此空間 上之實數值函數 U(x), x ∈ L2[0, 1], 為函 數之函數, 稱之為泛函數, 多半表示與通常的 函數有所區別。
1
*原文刊登於“數學研討”第 27 卷, 第 3 期,72 – 76 頁 (1980), 日本評論社, 東京。
定義域為無限維時之此種泛函數, 當 然也可考慮微分或積分等的運算, 以致分析 學的研究仍可進行。 對於此種無限維分析學 L´evy 之想法是, 一方面將其投影在有限維空 間上施以運算後再讓維度趨於無限而考慮其 極限。 另一方面是直接對無限維的特性作精 密的觀察然後在其上處理而作新的嘗試。 對 此兩方面, 吾人對後者將可看出其意義深沉 的成果。
具體成果是由他的學位論文 (1911 年) 開始及以後多篇論文的發表, 這些論文皆收 集在 1951 年文獻 [L.3] “函數分析的基本 問題” 中。 L´evy 自己曾對其所作的泛函分析 工作做評價, 由在 1971 年國際科學史學會 他所提出的論題“曲線之函數與泛函數微分 方程式” 一文中更可看出其重要性。
這方面雖是 L´evy 的業績, 不過從函數 或曲線的泛函數之定義開始, 其全微分 (即變 分), 泛函數微分方程式, 可積分條件,Green 函數之變分或 Hadamard 方程式等問題還 應繼續作詳細研究。 泛函數積分之研究中所 需考慮的平均值, 無限維回轉群 (group of rotations),Laplacian 等問題及無限維的調 和分析均僅以粗糙的形式提出, 但這些合起 來形成一種體系。
目前最深具意義者是在這些一連串的工 作中可以處處看出相對應於近代分析或隨機 分析中的結果。
泛函數之定義域所選擇的函數空間是以 上述 L2[0, 1] 為基準, 而考慮其種種變形, 例 如 Orlicz 空間, 其理論已明確顯示出對偶空 間的重要性。 以一種發展而言,1940 年 L´evy
考慮對 Brown 運動的隨機積分所衍生而成 之隨機面積作詳細研究。 此隨機面積一直被 作為 Brown 運動之典型二次泛函數在處理, 後來 Kolmogorov 等人於二次統計量中看到 它的存在, 又其他如角運動量之量子化, 群之 表現等, 隨機面積在想像不到的地方繼續活 躍著。 如此 L´evy 所引導之基本概念在意外 的地方具重要地位之事例在其他地方也可看 出幾個, 這些事實可顯示出他對重要觀念有 深入的洞察力。
2. 泛函數微分
在 無 限 維 空 間 L2[0, 1] 上 之 泛 函 數 U(x) 之微分, 當然指的是變分。 用座 標 x = (x1, x2, · · ·) 表示 x ∈ L2[0, 1]
而考慮 U(x) 的偏微分 ∂x∂
nU(x), 不如由 x 變為 x + δx 時取 U 之微小變化之主要部分 δU, 此即為其變分, 可表為
δU =
Z 1
0 Ux′(x; t)δx(t) dt, (1) 這個等式稱為 Volterra 公式, 這裡 Ux′(x; t) 表泛函數微分。 描述 U(x) 變化的這個公式, 當 U 代以隨機過程 X(t) 時, 從結果來 看,X(t) 可想像為 X 時間上之變化 δX(t) 對各時點獨立之更新過程所表示之隨機變分 方程式之解, 此方程式下回再談。
二 階 之 泛 函 數 微 分 有 兩 類, 可 表 為Ux′′2(t) 與 Ux,y′′ (t, s)。 對 x 之微小變化 δx 作 Taylor 公式之展開吾人可得
U(x + δx)
= U(x) +
Z 1
0 Ux′(t)δx(t)dt
+1 2
Z 1
0 Ux′′2(t)(δx(t))2dt +1
2
Z 1 0
Z 1
0 Uxy′′ (t, s)δx(t)δx(s)dsdt +O(δx)3。 (2)
L´evy 之 Laplacian △L 便定義為
△LU =
Z 1
0 Ux′′2(t) dt。 (3) 又 Volterra 之 Laplacian △V定義為
△VU =
Z 1
0 Uxy′′ (t, t) dt。 (4) 它們分別表 L2[0, 1] 上不同部分的分析。 特 別是△L 及由此所發展的調和泛函數在隨機 分析上為重要的觀念。
3. 泛函數之平均與白雜訊測 度
在 L2[0, 1] 上,Lebesgue σ-有限測 度並不存在。 於是代替由測度而來之泛函 數積分的方法之一是考慮泛函數之平均值。
在 L2[0, 1] 上之一單位球 V 上 U 之平均 值是先取 V 之 n 維截面 Vn, 計算 U 限制 在 Vn之函數 Un之平均值 mn(= Un在 Vn
上之積分值/Vn之體積)。 若 lim mn = m 存 在時,m 定為 U 在 V 上之平均值。
此事可如下理解之。 因為無限維球 V 之 平均值與球面
S =
x∈ V :
Z 1
0 |x(t)|2dt= 1
之平均值相同。S 之元素 x(t), 0≤ t ≤ 1, 以 階梯函數來近似時, 可得等式
n
X
1
x2i△i = 1, △i = 1 n。
這表示 n 維空間內點 (x1, x2,· · · , xn) 在 √n 為半徑之球面 Sn−1(√
n) 上。 在此 球面上考慮其均勻分配的機率測度, 此為這 球面之曲面面積之常數倍, 這個測度投影在 一維空間上 (如 x1 軸), 則當 n 很大時 與 Gauss 分佈相近。 此說明自由粒子之速度 分佈為 Gauss 分佈時與 Maxwell 公式所 說明的相吻合。 粗言之, 吾人變成要考慮在無 限維球面 S∞(√
∞) 上之均勻分配的機率測 度 µ, 由此可得對各座標軸方向之標準且獨 立之 Gauss 分佈, 即座標軸 {xi} 可視為 具相同標準 Gauss 分佈之獨立隨機變數序 列。 泛函數 U(x) 之平均值無他, 當 U 寫 成 U(x) = U(x1, x2,· · ·) 而視之為獨立隨 機變數序列 {xi} 之函數時, 恰為機率論上之 平均值。
例如泛函數 U(x) =
Z 1 0 · · ·
Z 1
0 ϕ(x(t1),· · · ,
x(tp); t1,· · · , tp) dt1· · · dtp (5)
計算其對 V 之平均值時可得 (2π)−p2
Z 1 0 · · ·
Z 1 0
Z ∞
−∞· · ·
Z ∞
−∞ ϕ(ξ1,· · · , ξp; t1,· · · , tp) exp
−1 2
Xξ2k
dξpdtp (6)
此為 Gˆateaux 公式。
上述所出現之 {xi}, 均遵循著相同標 準 Gauss 分佈的獨立隨機變數序列, 稱之 為白雜訊 (white noise), 其分佈當然擴散在 無限維空間, 但如剛剛所述, 可想像為球面 S∞(√
∞) 上之均勻分佈。 關於此事吾人需 再稍微仔細的看看。
以 l2 表數列 a = (a1, a2,· · ·) 滿 足kak2 ≡Pa2n <∞ 之全體, 以 kak 為範 時 l2 成 Hilbert 空間。 視上述白雜訊為隨機 向量 x = (x1, x2, · · ·), 由大數法則, 則
PN i=1x2i
N → 1
幾乎確實成立, 故 x 不屬於 l2。 考慮 l2 之部 份空間
e1 =
(
a∈ l2 :kak21 ≡
∞
X
1
n2a2n <∞
)
。 以 k k1 為範時 e1 成為一 Hilbert 空間, 其對偶空間記作 e∗1。 顯然
e1 ֒→ l2 ֒→ e∗1 (7) 成立。 回到 x, 由 Schwarz 不等式, a ∈ e1
時可得
X
n
anxn
=
X
n
(nan)
xn
n
≤ kak1 X
n
xn
n
2!12
。
獨立隨機變數之和
X
n
xn
n
2
之平均值P
n n−2與變異數P
n(n24) 均收歛, 故 保證其為概收歛。 此保證隨機向量 x 之特徵 泛函數 C(a) 存在且可計算如下:
C(a) = E{exp[ihx, ai]}
= exp
−1 2kak2
, a∈ e1,
此處 h , i 為 e1 與 e∗1 之序對 hx, ai =X
n
anxn。
參考以上論述,L´evy 泛函數平均值的取法的 想法用吾人的語言表示出來更容易被了解。
若注意上述所見獨立隨機變數序列 {xi} 為 由 L2[0, 1] 之元素 x 的座標表現而來時, 取 相當於 e1 之 L2[0, 1] 的適當之子空間 E1
(其實定 E1 之拓樸為使 i : E1 ֒→ L2[0, 1]
成 Hilbert Schmidt 型者即可), 類似 (7) 吾 人可得
E1 ֒→ L2[0, 1] ֒→ E1∗. (8) 此時對應於 e∗1 上之隨機向量 x 之分佈為 E1∗ 上之機率測度 µ。 於是 µ 之特徵泛函數
C(ξ) =
Z
E1∗ exp[ihx, ξi]dµ(x), ξ ∈ E1, 非為
C(ξ) = exp
−1 2kξk2
, ξ ∈ E1 (9)
不可。
如此, 吾人所考慮之泛函數 U(x) 之集 合, 可定為 Banach 空間 L1(E1∗, µ),U 之平 均值可視為對 µ 之積分。 如此的積分雖非直 接對應 Gateaux 之公式, 但吾人之設定可以 說是為了使 L´evy 的想法盡量活躍起來。 今 在 (8) 中 L2[0, 1] 代之以 L2(R1) 而不變 其基本的論述。 此時所定 E1∗ (⊃ L2(R1)) 上之機率測度稱為白雜訊測度。 由於此測度 為 Gauss 型, 有時稱為 E1∗ 上之標準 Gauss 測度。 又參數 (時間) 限制在 [0, 1] 時在 (8) 之 E1∗ 上所得之測度仍稱之為白雜訊測度。
因此,Lp(E1∗, µ), p ≥ 1 之元素稱為白雜訊 泛函數或稱為 Brown 泛函數。 後者之稱謂 是眾所週知 (次節), 此由於白雜訊是 Brown 運動對於時間微分而得來。
4. Brown 運動與加法過程
由於泛函數之積分已有完善的理論基 礎, 吾人應致力於微分法的推展。 但是在此之 前, 言及與產生白雜訊有密切關係之 Brown 運動, 應先看 Brown 泛函數實值上的意義為 何 ? 然後對尚不清楚的微分法或變分之觀念 努力作深入的理解。
前節裡獨立隨機變數序列是以自然的形 態登場。 對其部分和 Sn, n≥ 1 之系列的考 慮也一樣。 此處 n 代之以連續之參數 t, 而考 慮 Sn 對應之 X(t), t ≥ 0 時, 不知變為如 何 ? 此為具獨立增量之隨機過程, 即任意選 取 t0 < t1時,X(t1)−X(t0) 與{ X(s), s ≤ t0} 為獨立。 此種過程稱之為加法過程。 特別
是當此過程為隨機連續時 : 即對任意 ε > 0 與 t0, 具有
P(|X(t) − X(t0)| > ε) → 0 (t → t0) 之性質者, 樣本函數為第一種不連續且為右 連續時稱為 L´evy 過程。 再者 X(t + h)− X(t) 之 分佈僅與 h 有關 (即具定常數增量) 時可得如下式所示的 L´evy-Itˆo 分解
X(t) = mt+σB(t) + lim
p→∞
Z
p>|u|>p1
uPdu(t)− tu
1 + u2dn(u)
,
t≥ 0。 (10)
此處 m 為常數,B(t) 為 Brown 運 動,PI(t),I 為曲間, 為 Poisson 過程, 若 I∩ I′ =∅ 則 PI(t) 與 PI′(t) 為獨立且
E(PI(t)) = t· n(I), dn 為 R1\ {0} 上具台之測度, 且滿足
Z u2
1 + u2 dn(u) <∞
(由此可知上述 (10) 中關於 Pdu(t) 之積分的 定義), 其中 lim 表概收歛之意。 如此的 X(t) 之分解為唯一的。
上述分解除明顯部分 mt 外,Brown 運 動部分為連續樣本函數 (sample function), 而剩下部分為可跳躍樣本函數。 L´evy 是應 用 (10) 於滿足無限可分解法則特性之函數 訂定之, 此被認為具很大意義。 以現在的觀點 來看,(10) 之分解為機率論中最美麗基本定 理之一, 實不能忍受讓它僅留在機率論中。
此時 Brown 運動 B(t), 可被視為是 由連續之 L´evy 過程而定之樣本函數, 且可 導出為 Gauss 型。 特別是 B(t) − B(s), 其平均值為 0, 變異數為 |t − s| 且遵 循 Gauss 分佈。 由加法性, 若取時間微
分 d
dtB(t) = B˙(t), 以形式上而言可得 各 (時) 點獨立之系統 { ˙B(t)}。 其嚴謹之 定義在 [1] Gel’fand and Vilenkin 書中 有詳論。 ˙B(t) 之樣本函數可視為$ 3 中 E1∗ 之元素, 取 ξ ∈ E1 時,h ˙B, ξi 為平均值 為 0, 且變異數為 kξk2之 Gauss 型隨機變 數。 因此 exp[ih ˙B, ξi] 之特徵泛函數 C(ξ) 可由 (9) 式而得。 吾人應注意 { ˙B(t)} 之 分佈為白雜訊測度 µ, 於是稱 { ˙B(t)} 為白 雜訊, 為廣義之隨機過程。 如此, 前節中為了 考慮泛函數平均而自然的引入白雜訊測度 µ, 由座標獨立之隨機變數序列之討論開始到部 分和 Sn, 然後是類似連續過程而到加法過程, 再取 Brown 運動作為典型, 取時間微分而建 立白雜訊及其機率分佈, 再次發現 µ。 在研究 泛函數積分或函數空間之自然測度時, 吾人 應注意這些觀念相互之間有著密切的關連。
在 1920 年代, 仍然在思考函數空間上 的測度是有 N. Wiener。 他受 L´evy 工作影 響, 導入今日所謂 Wiener 測度, 以吾人之語 言而言, 可以說是 Brown 運動機率分佈。
5. 回轉群
L´evy 之著作 [L.3] 內, 曾考慮 L2[0, 1]
之某種回轉 (rotation), 對於 Laplacian
△L 之研究有用。 吾人在注意此事的同時, 也 應特別注意$ 3 中所見之事實, 即 µ 在形式 上而言為無限維球面 S∞(√
∞) 上具均勻分 配之測度, 而試導入無限維回轉群。 這種群是 由於吉澤尚明氏的提倡而有如下之定義。 取$
3 中之空間 E1 或取具更強的拓樸的核型空 間 (nuclear space), 今以 E 來表示。E 之
自同構 (automorphism) g 為E之回轉意 指 (i)g為E 之線性同胚函數 (linear home- omorphism mapping),(ii) 對任意 ξ ∈ E,kgξk = kξk。E 之回轉之集合記作 O(E) 而稱之為 E 之回轉群。 也有簡稱為 (無限維) 回轉群。
設 g 為 E 之回轉。 其共軛函數 g∗ 可 由
hx, gξi = hg∗x, ξi, x ∈ E∗, ξ ∈ E, 定之。 如吾人所期待的,O(E) 使白雜訊測度 不變:
g∗µ= µ。 (11) 為使泛函數之分析使回轉群 O(E) 活躍, 吾 人於是以回轉群 O(E) 所產生之機率調和分 析作為目標來進行討論。
首先, 由於 O(E) 為非常大的群, 吾 人從尋找與已知之群同構 (isomorphism) 的 O(E) 之子群開始。
1) 取 E 之所有有限維子空間 F 之回轉群 的代數和, 所得之集合記為 G∞。G∞可 視為 O(E) 之子群, 其元素稱為有限維 回轉。
2) L´evy 群 g; 設 {ξ} 為 L2(R1) 之完全 正規直交系 (complete orthonormal system),N 為自然數全體,π 為 N 之 自同構 (automorphism)。ξ =Panξn
時, 令
gπξ=Xanξπ(n), 則 gπ 可定義 E 之變換, 此時, 令 g = { gπ ∈ O(E) : ∀ε>0, ∃N, (12)
∀n>N, #[i ≤ n; π(i) > n]<εn. }
#[· · ·] 表 [ ] 內之元素個數。 顯然 g 成一個群。
3) 由 R1 之自同構 (automorphism) 之 族,
(gtξ)(u) = ξ(ψt(u))
v u u t
∂
∂uψt(u)
, t∈ R1,
所定義之單參數群 {gt} 族。
這些子群對泛函數之分析均有用, 同時 也是看通整個情形的強力工具, 尤其是對與 微分算子有關連之問題特別有效。 其詳細問 題在以下各節裡再進行討論。
參考文獻
L´evy 之著作
[L.1] Th´eorie de l’addition des variables al´e- atoires, Paris, Gauthier-Villars, 1937, 2´eme ´ed. 1954.
[L.2] Processus stochastiues et mouvement brownien, Paris, Gauthier-Villars, 1948, 2´eme ´ed.
1965.
[L.3] Probl´emes concrets d’analyse function- elle, Paris, Gauthier-Villars, 1951.
[L.4] Quelques aspects de la pens´ee d’un ma- th´ematicien, Albert Blanchard, 1970. 飛田-山本譯, 一機率論研究者之回 想, 岩波書店, 1973.
其他參考著作
[1] I.M. Gel’fand and N. Ya Vilenkin, Gen- eralized functions, vol. 4, 俄語 1961;
英譯 Academic Press 1964.
[2] 飛田武幸, 布朗運動, 岩波書店, 1970. (日 文)
[3] —, 白雜訊, 數學研討, 1982 年 6 月號, 38–
42. (日文)
作者: 飛田武幸,日本名古屋大學教授, 1991 年退休,現任教於名城大學.
譯者: 李育嘉,成功大學數學系教授. 陳明廷,成功大學數學系副教授.
