國中數學常規思維方法以及訓練
何昌俊
一. 綜合法與導向思維
綜合法是由因導果。 就是從已知條件出 發, 看看經過一些推理, 還可以得到一些什麼, 簡稱“可知”。 運用這種方法往往枝節橫生, 去 向不明。 因此, 這種演繹推理要有正確的導向 性即導向思維。
1.
聯想性導向思維
這種思維就是把所學的數學知識之間建 立聯繫, 形成一個知識鏈。 儲存在腦中, 一旦 接觸到某題中的題設條件就能聯想到與之相 關的知識。 即看到了什麼, 就應該聯想到什 麼。 因此在教學中要有意識地培養學生聯想 性導向思維。
如: 1. △ABC 三邊有 a2− b2− c2− bc= 0, 求角 A 的度數。
由 a2− b2− c2− bc = 0 聯想到餘弦 定理。
2. △ABC 中, (1) 若 sin Csin A = cos Acos C, 則 △ABC 形狀如何?
(2) 若 cos A = 2 sin Csin B , 試證: △ABC 是等腰三角形。
(3) 若 sin2A + sin2B = sin2C, 且 sinC = 2 sin A · sin B, 求證: △ABC 是
等腰直角三角形。
(4) 若 cos Aa = cos Bb = cos Cc , 試證:
△ABC 是等邊三角形。
3. 已知: △ABC, 求證: (1) a2+ b2+ c2 = 2(bc cos A + ac cos B + ab cos C)。
(2) (a+b) cos C +(b+c) cos A+(a+
c) cos B = a + b + c。
2、3 兩題中含有正、 餘弦函數, 則應聯想 到到正、餘弦定理。 實際上把正、 餘弦定理代 入整理即可證明。
4. 若方程式 ax2 − √
2bx + c = 0。a, b, c 為鈍角三角形三邊之長, b 為最大 邊。證明: 方程式有兩個不相等的實數根。
由結論聯想到證明: △ > 0。 即 △ = 2b2− 4ac, 由 a, b, c 為三角形三邊, 且存在 最大邊 b 的平方聯想到餘弦定理: b2 = a2+ c2− 2ac cos B > a2+ c2(因為 cos B < 0), 則 △ > 2(a2+ c2) − 4ac = 2(a − c)2 ≥ 0, 由討論可知 △ > 0。
2.
目標性導向思維
目標性導向思維是從命題設條件根據探 求的結論為目標的演繹推理的過程。 具有方 向性的思維。 在教學中培養學生樹立具有強 烈的指向意識。
1
例1. 在等邊 △ABC, 邊 AC、BC 上 分別截取 AP 、CQ, 使 AP = CQ, AQ 與 BP 相交於 H。 求證:6 P HQ 是定值。 如圖 1。
圖1
要證: 6 P HQ 是定值, 若盲目去演 繹, 很難找到解題的途徑。 由題可知, 無論 P 、Q 取在 AC、BC 上哪一位置, 只要 AP = CQ, 6 P HQ 值是不變的, 於是取 AC、BC 上中點 P 、Q, 這種情況下探求。 易 知 AQ⊥BC, BP ⊥AC, 而 6 C = 60◦, 所 以6 P HD = 120◦。 故定值目標是 120◦, 如 圖 2。
圖2 略證: 如圖1, 易知
△ABP ∼=△ACQ,
⇒
(
61 +6 3 = 180◦
6 1 = 6 2
⇒
(
62 +6 3 = 180◦
6 C= 60◦ ⇒ 6 P HQ= 120◦。 定值得證。
例2. 如圖 3, 在半圓直徑 AB 上任取 一點 C, 分別以 AC、BC 為直徑作半圓, 過 C 作 CD⊥AB 交圓於 D, CD 長為 a, 則 陰影面積為 。
(A) πa2, (B) 12πa2, (C) 14πa2, (D) 18πa2。
圖3
圖4
因為 C 點為 AB 上任意一點, 使圖形 中陰影面積一定。 故考慮到 C 點與 0 點重合 情況探求。設 AB = 4, 則 AC = BC = 2, a= CD = 2。 如圖 4。
所以, S陰影= 12π× 22 = (12π× 12+
1
2π× 12) = 14π× 22 = 14πa2。 故選 (C)。
3.
類比性導向思維
類比性導向思維是將所學的新知識與所 學過的知識類似之處進行類比。 使學生更有 系統地掌握知識, 因為不同的事物往往存在 一些相似的屬性, 若將其類比, 可明確方向找 出其規律性。
如幾何中全等三角形與相似三角形類 比。 平行四邊形與矩形、 菱形、 正方形的定 義、 判定、 性質列表進行類比。
一次函數與正比例函數類比。
二次函數 y = ax2, y = ax2 + c, y = a(x + h)2, y = a(x + h)2 + l, 在 同一坐標系內進行類比分析、 歸納出二次函 數性質和圖像的平移規律。
學習求函數定義域時與學習的分式及二 次根式有意義的條件進行類比等等。
二. 分析法與逆向思維
分析法是執果索因, 是要證得結論, 需 要找出什麼, 簡稱“需知”。 這個過程是逆向思 維。
1.
分析法解題
,培養學生逆向思維的 品質
例.求證: √ 2 +√
7 <√ 3 +√
6。
分析: 為了該式成立, 只需證明 (√
√ 2 +
7)2 < (√ 3 +√
6)2, 即 √
14 < √ 18 或 14 < 18, . . .。
2.
逆向設問
,加強逆向思維的意識
在教學中, 要挖掘教材中互逆因素, 進行 逆向設問, 以破除學生思維的固有定勢。
如學習了 √
ab=√ a·√
b(a ≥ 0, b ≥ 0) 可設問題, 把根號外因式適當改變後移到 根號內。 如 −3√
a, a
q
−a1 等。再如已知方程組
(
ax− y = b3x + by = a 的解 是 x = 1, y = 2, 求 a、b 的值。 若理解同 類根式概念後, 反問: m、n 為何值時, 最簡 根式 √3
2n+1x 與 m√
2x 是同類根式。
教材中逆向設問的問題無處不有, 要有 意識地把握與具有相對性的處理, 可促使學 生加強逆向思維的意識。
3.
逆用公式法則
,激發逆向思維的興趣
一些數學問題, 若正向思維去考慮, 有時 會很困難。 若能逆用公式法則, 則很快找到解 決辦法, 順利地解決問題。
如求 (12)1993· (−2)1992 的值。
逆用 (ab)m = ambm, am·an= am+n。 原式 = (12)1992+1 · (−2)1992
=12(2×1 2)1992
= 12。
逆用公式法則, 學生會嚐到甜頭, 進而激 發逆向思維的興趣。
三. 雙向思維
一些數學命題, 尤其幾何命題, 同時運 用綜合法與分析法效果較好, 它是雙向思維 過程。
例1. 如圖 5 AD、AE 分別是 △ABC 的6 A 的內、 外角平分線。 求證 BD1 +BE1 =
2 BC。
圖5
分析: 欲證: BD1 + BE1 = BC2 , 只要證
BC
BD+BCBE = 2 。 即 BDBD+CD +BEBE−CE = 2, 即 CDBD = CEBE。
此式只要利用三角形的內 (外) 角平分 線的性質就可得到。
略證: 因為 AD 是6 BAC 的內角平分 線,
所以 CDBD = ACAB 因為 AE 是 6 BAC 的外角平分線,
所以 CEBE = ABAC, 從而 CDBD = CEBE。 以下只要將分析過程倒轉即可。
四. 輻射式思維
輻射式思維是知識靈活地放射出去。 即 放射到相關問題上或延伸拓寬的一種思維, 它帶有創造性。
問題: 如圖6, A 為圓 O 上的任意一點, 圓 A 與圓 O 相交於 B、C 兩點, E 為圓 O 的優弧 BEC 上的一點
d
, AE 交圓 A 於 D, 交 BC 於 F , 則 AD2 = AE · AF 。圖6
1.
題意不變
,改變結論的形式
如圖 7, A 為圓 O 上一點, 圓 A 與圓 O 相交於兩點 B、C, AB = 4, 圓 O 的弦 AD 交 BC 於 E, 則 AE · AD = 。
圖7 2.
題意不變
,挖掘結論
(1) 如圖 8, 圓 M 與圓 O 相交於 A、B 兩點, 點 M 在圓 O 上, 圓 O 的弦 MC 分別與弦 AB, 圓 M 交於 D、E 兩點。 求 證: (1) △AMC ∼ △DBC。(2) E 是
△ABC 的內心。 (3) 設圓 M 半徑為 r, 則 r=√
M D· MC。
圖8
(2) 如圖 9, 已知: 圓 O2 經過圓 O1 的 圓心, 與圓 O1 相交於 A、B 兩點, O1O2 交 圓 O1 於 E, 延長 O1O2 交圓 O2 於 C。 求 證: (1) AC 是圓 O1 的切線。(2)6 EO1B = 26 CAE。(3) AC2 = CE2+ 2CE · O1E。
圖9
3.
重新加工
,得出新的結論
如圖 10, 圓 O 經過圓 P 的圓心, 與 圓 P 相交於 A、B 兩點, AC 是圓 O 的 弦, CB 的延長線交圓 P 於點 D, CP 交 AB 於點 E, 它的延長線交 AD 於點 M, 求證: (1) ACBC = BEAE。(2) CM⊥AD。(3) AP · AC = AE · CP 。
圖10
4.
題意不變
,輻射到解三角形中
如圖 11, A 為圓 O 上一點, 以 A 為圓
心的圓 A 交圓 O 於 B, C 點, 圓 O 的弦 AD 交公共弦 BC 於 E 點, 連結 BD、CD。
若6 BCD= 60◦, 求 BDAD+DC 的值。
圖11
這樣題目的背景逐漸複雜了, 訓練要求 也逐漸提高, 有益於舉一反三能力的培養。
—本文作者任教於黑龍江省七台河市二中—
