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1-4 分析二維數據
例題 1
如右圖表兩組數據 x，y 的散佈圖，試問其相關係數 r 最接近下列何 值？ ( )A 1 ( ) B 0.5 ( )C 0 ( )D－0.5 ( )E－1‧
■解：∵所給八點呈上下對稱、左右對稱
∴相關係數 r＝0，故選 ( )C
例題 2
下列有關兩變量 X 與 Y 的 20 對點資料的五個散佈圖中，哪些相關係數為正相關？
( )A ( ) B ( )C
( )D ( )E
■解： ( )A 為低度正相關； ( ) B 為中度正相關； ( )C 為高度正相關； ( )D 和 ( )E 皆為中度負相關 故選 ( )A ( ) B ( )C
例題 3
十位考生之國文與數學成績列表如下：
考生編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 國 文 89 65 76 69 82 57 66 72 78 66 數 學 75 57 65 65 83 63 58 62 63 69
今算出國文成績之標準差為 9.4 分（取至小數點第一位），數學成績之標準差為 7.9 分
（取至小數點第一位），則此十位考生兩科成績之相關係數最接近 ( )A－0.85 ( ) B 0.25 ( )C 0.66 ( )D 0.78 ( )E 0.85‧
■解：
國文平均 ¯x＝ 1
10 （89＋65＋76＋69＋82＋57＋66＋72＋78＋66）＝72 數學平均 ¯y＝ 1
10 （75＋57＋65＋65＋83＋63＋58＋62＋63＋69）＝66 又 （xi－¯x）（yi－¯y）＝442
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1
故相關係數 r＝
（xi－¯x）（yi－¯y）
（n－1）×Sx×Sy ＝ 442
9×9.4×7.9 ＝0.66……，故選 ( )C
例題 4
四人參加性向及成就測驗，其成績如右表所示‧
( )1 若性向、成就測驗成績的算術平均數分別為 ¯x，¯y，則
數對（¯x，¯y）＝ ‧
( )2 性向、成就兩者成績的相關係數為 ‧
■解：
( )1 ¯x＝ 1＋8＋4＋7
4 ＝5，¯y＝ 2＋4＋2＋8 4 ＝4 故數對（¯x，¯y）＝（5，4）
( )2 （xi－¯x）2＝（1－5）2＋（8－5）2＋（4－5）2＋（7－5）2＝16＋9＋1＋4＝30
（yi－¯y）2＝（2－4）2＋（4－4）2＋（2－4）2＋（8－4）2＝4＋0＋4＋16＝24
（xi－¯x）（yi－¯y）＝（－4）（－2）＋3×0＋（－1）×（－2）＋2×4＝18
相關係數 r＝ 18
30 ． 24 ～～0.67
例題 5
下圖中，有五組數據，每組各有 A，B，C，D，E，F 等六個資料點‧
( )1 ( )2 ( )3 ( )4 ( )5
設各組的相關係數由左至右分別為 r1，r2，r3，r4，r5，則下列關係式何者為真？
( )A r1＝r2 ( ) B r2＜r3 ( )C r3＞r4 ( )D r3＜r5 ( )E r4＝r5‧
■解：圖 ( )1 、 ( )2 之各組資料對稱於點（¯X，¯Y） ∴r1＝r2＝0 圖 ( )3 、 ( )4 之結構相同，且是正相關 ∴r3＝r4＞0
又比較圖 ( )3 、 ( )5 知 r（X，Y）＝r（X，2Y－1） ∴r3＝r5，故選 ( )A ( ) B ( )E
代 號 A
B C D
性向 x 1 8 4 7 成就 y 2 4 2 82 ︱
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例題 6
調查全校三年級學生的第一次段考數學成績（x）與物理成績（y），抽查其中 40 位同 學，得到平均數、標準差及相關係數如下：¯x＝70，¯y＝65，Sx＝10，Sy＝5，r＝0.8‧
( )1 求物理成績（y）對數學成績（x）的最佳直線為 ‧
( )2 已知三年級學生中數學成績最高分為 95 分，試推估其物理成績約為 分‧
■解：
( )1 設 L：y＝a＋bx，則 b＝
（xi－¯x）（yi－¯y）
（xi－¯x）2 ＝r． Sy
Sx＝0.8． 5 10 ＝0.4 a＝¯y－b¯x＝65－0.4×70＝37，故最佳直線 L 為 y＝37＋0.4x
( )2 ∵x＝95 ∴y＝37＋0.4×95＝75，故物理成績約為 75 分 例題 7
設有一群資料：
x 1 3 4 6
8 9 11 14y
1 2 4 4 5 7 8 9 ，則：( )1 x 對 y 的相關係數為 ‧
( )2 y 對 x 的最佳直線（迴歸線）方程式為 ‧
■解： xi yi xi－¯x yi－¯y （xi－¯x）（yi－¯y） （xi－¯x）2 （yi－¯y）2
1 1 －6 －4 24 36 16
3 2 －4 －3 12 16 9
4 4 －3 －1 3 9 1
6 4 －1 －1 1 1 1
8 5 1 0 0 1 0
9 7 2 2 4 4 4
11 8 4 3 12 16 9
14 9 7 4 28 49 16
合計 56 40 84 132 56
¯x＝Σxi
8 ＝ 56
8 ＝7，¯y＝Σyi
8 ＝ 40 8 ＝5 ( )1 x 對 y 的相關係數 r＝ 84
132 56 ～～0.98 ( )2 b＝ 84
132 ＝7 11 a＝¯y－bׯx＝5－7
11 ×7＝ 6 11
∴y 對 x 的迴歸線方程式為 y＝ 6 11 ＋7
11 x
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例題 8
設有兩組變量 x 與 y，x：x1，x2，……，x10；y：y1，y2，……，y10，已知
x
i＝11，x
i2＝32.1， yi＝14， yi2
＝39.6，
x
iy
i＝28，則：( )1 這兩組變量 x 與 y 的相關係數為 ‧
( )2 滿足這十個點（x1，y1），（x2，y2），……，（x10，y10）的最適合直線方程式為 ‧
■解：
由題意知 ¯x＝ 11
10＝1.1，¯y＝ 14 10＝1.4
（xi－¯x）2＝ xi2
－10（¯x）2＝32.1－10×1.12＝20
（yi－¯y）2＝ yi2
－10（¯y）2＝39.6－10×1.42＝20
（xi－¯x）（yi－¯y）＝ xiyi－10（¯x）（¯y）＝28－10×1.1×1.4＝12.6
( )1 r＝
（xi－¯x）（yi－¯y）
（xi－¯x）2 （yi－¯y）2
＝ 12.6
20 20 ＝0.63
( )2 b＝
（xi－¯x）（yi－¯y）
（xi－¯x）2
＝ 12.6
20 ＝0.63 a＝¯y－b¯x＝1.4－0.63×1.1＝0.707
故最適合直線方程式為 y＝0.63x＋0.707
例題 9
五個學生參加一項包含數學與英文之能力測驗（每科皆為滿分十 分）得其成績之散佈圖如右（x 表數學成績，y 表英文成績），試 求：
( )1 數學之算術平均數 ¯x 為 ，標準差 Sx 為 ‧ ( )2 x，y 之相關係數為 ‧
( )3 y 對 x 之最佳直線為 ‧（以 y＝a＋bx 之形式表示）
■解： ( )1 由圖知 x，y 之對應關係如下：
x 3 5 7 7 8 y 6 5 6 8 10
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可得 ¯x＝ 1
5（3＋5＋7＋7＋8）＝6
¯y＝ 1
5（6＋5＋6＋8＋10）＝7
xi yi xi－¯x yi－¯y （xi－¯x）2 （yi－¯y）2 （xi－¯x）．（yi－¯y）
3 6 －3 －1 9 1 3
5 5 －1 －2 1 4 2
7 6 1 －1 1 1 －1
7 8 1 1 1 1 1
8 10 2 3 4 9 6
16 16 11
Sx＝ 1
4（xi－¯x）2 ＝ 1
4（9＋1＋1＋1＋4）＝ 16 4 ＝2 ( )2 相關係數 r＝ 11
16 16 ＝ 11
16 ～～0.69 ( )3 設最適直線 L：y＝a＋bx，則
b＝ （xi－¯x）（yi－¯y）
（xi－¯x）2 ＝ 11 16 a＝¯y－b¯x＝7－ 11
16×6＝ 23 8
∴最佳直線方程式為 y＝ 11
16 x＋ 23 8
例題 10
空氣品質會受到汙染物排放量及大氣擴散等因素的影 響‧某一機構為了解一特定地區的空氣品質，連續二 十八天蒐集了該地區早上的平均風速及空氣中某特定 氧化物的最大濃度‧再繪製這二十八筆資料的散佈圖
（見右圖），現根據該圖，可知
( )A此筆資料中，該氧化物最大濃度的標準差大於 15
( ) B此筆資料中，該氧化物最大濃度的中位數為 15
( )C此筆資料中，平均風速的中位數介於 45 與 50 間
( )D若以最小平方法決定數據集中直線趨勢的直線，則該直線的斜率小於 0‧
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■解： ( )A ╳：最大濃度之平均約為 15（毫克／立方公尺），而所有的點幾乎集中在
15±10（毫克／立方公尺）內，即 5～25（毫克／立方公尺）
∴標準差不可能大於 15
( ) B ╳：最大濃度之樣本由小到大 a1，a2，……，a28 共有 28 個 由圖形知最大濃度 a14～～13，a15＝15，即中位數 a14＋a15
2 ＝14＜15
∴中位數小於 15
( )C ○：平均風速之樣本由小到大 b1，b2，……，b28 共有 28 個 由圖形知平均風速之 b13＝b14＝b15＝48
即中位數 b14＋b15
2 ＝48 ∴中位數介於 45 與 50 之間 ( )D ○：根據 28 個點之散佈圖知平均風速與最大濃度兩者為負相關
∴直線之斜率小於 0 故選 ( )C ( )D
