4 二維與三維運動

(1)

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4 二維與三維運動

Two-and Three-Dimensional Motion

(2)

4-1 物理學探討什麼 4-2 位置與位移

4-3 平均速度與瞬時速度

4-4 平均加速度與瞬時加速度 4-5 拋體運動

4-6 分析拋體運動 4-7 等速圓周運動 4-8 一維的相對運動 4-9 二維的相對運動

(3)

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4-1 物理學探討什麼

本章中我們將繼續探討關於運動分析方面的物理。不過，現在要考慮的運動可以是二維或三維的。

要研究二維及三維的運動，我們先由位置及位移的概念開始。

P.56

(4)

4-2 位置與位移

通常我們會用位置向量（position vector）r 來標示粒子（或像粒子的物體）的位置。位置向量是一個從參考點（通常為座標系的原點）延伸至粒子的向量。

以第 3 章的單位向量符號表示法，r 便可以被寫為

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圖4-1

一個粒子的位置向量 r，是 r 的向量分量的向量和。

P.56

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4-2 位置與位移

^(續)

假若在某一時間間隔內，粒子的位置向量從 r

₁

改變 至 r

₂

，則粒子在那段時間間隔內的位移Δr 為

用 4-1 式中的單位向量符號表示，

其中 (x

₁ , y ₁ , z ₁

) 為位置向量 r

₁

的座標；(x

₂ , y ₂ , z ₂

) 為位置 向量 r

₂

的座標。以Δx 代表 (x

₂ –x ₁

)、Δy 代表 (y

₂ –y ₁

)、

Δz 代表 (z

₂ –z ₁

)，並將它們代入位移中重寫成：

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4-3 平均速度與瞬時速度

假若一個粒子在時間間隔Δt 內移動了Δr，則它的平 均速度（average velocity）v

_avg

為

或以符號寫成

利用 4-4 式，我們可將 4-8 式寫為向量分量的和

P.59

(8)

4-3 平均速度與瞬時速度

^(續)

當我們講到粒子的速度（velocity）時，通常指的是粒子在某一時刻的瞬時速度（instantaneous velocity）

v。v 是當Δt 趨近於 0 時 v _avg

的極限值。以微積分的 語言，v 可寫成導數

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4-3 平均速度與瞬時速度

^(續)

圖 4-4 畫出一個被限制在 xy 平面上的粒子之運動路 徑。當粒子沿著曲線向右運動時，它的位置向量隨著 粒子掃向右邊。在時間間隔 Δt 內，粒子的位置向量 從 r

₁

改變到 r

₂

，粒子的位移便是 Δr。

要得到粒子在時刻 t

₁

的瞬時速度（此時粒子的位置 在 r

₁

），我們縮短在 t

₁

附近的時間間隔 t，並使其趨 近於 0。

P.59

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4-3 平均速度與瞬時速度

^(續)

當Δt →0 極限時，我們有 v

_avg

→v；同時，最重要的 是 v

_avg

在切線的方向上，所以 v 也在同樣的方向上：

在三維空間的運動也是同樣的結果：v 總是與粒子的路 徑相切。

(11)

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圖4-4

在時間 t₁ 時，粒子在位置 1，其位置向量是 r₁；在 時間 t₂ 時，粒子在位置 2

，其位置向量是 r₂。在時間間隔Δt 內粒子的位移便是Δr。同時也畫出粒子於位置 1 時路徑的切線。

P.59

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圖4-5

粒子的速度 v 跟 v 的純量分量。

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4-4 平均加速度與瞬時加速度

在時間Δt 間隔內，若粒子的速度從 v

₁

改變到 v

₂

。那 麼，粒子在時間Δt 內的平均加速度（average

acceleration）a

_avg

為

P.61

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4-4 平均加速度與瞬時加速度

^(續)

對於某一時刻，我們縮短Δt 並使它趨近於 0。那麼

，在此極限下，a

_avg

趨近於在那一時刻的瞬時加速度

［instantaneous acceleration；或簡稱加速度（

acceleration）］ a；也就是

將 4-16 式以單位向量表示

可以將它改寫成

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4-4 平均加速度與瞬時加速度

^(續)

4-17式中，a 的純量分量為

對 v 的純量分量做微分可以得到 a 的純量分量。

P.62

(16)

4-5 拋體運動

一粒子在鉛直面上運動，它的初速是 v

₀

；不過，加速 度一直都是向下的自由落體加速度 g。這樣的粒子就 叫作拋體（projectile；意指投射或投擲），而它的這種運動就稱為拋體運動（projectile motion）。

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4-5 拋體運動

^(續)

拋體運動，乍看之下似乎很複雜，但卻可以用以下的特性（由實驗得知）簡化：

利用這個特性，我們能將二維運動的問題分成兩個獨立且較簡單的一維運動問題。其中之一為水平運動（

加速度為 0），另外一個是鉛直運動（有向下的等加速度）。

P.64

(18)

4-5 拋體運動

^(續)

兩個高爾夫球

圖 4-10 為兩張高爾夫球的連續快照，其中一球只是被簡單地釋放並落下，另一顆球則是用彈簧將它水平射出落下。在相同的時間內它們落下的鉛直距離一樣

，因此它們在鉛直方向上的運動是相同的。

雖然第二顆球在落下時有水平運動，但這個事實並沒有影響到它的鉛直運動；也就是說，水平和鉛直運動互相獨立。

(19)

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圖4-10

一球由靜止被釋放；同一時刻，另一顆球則是水平地往右方射出。它們在鉛直方向上的運動是相同的（圖片來

源：Richard Megna/Fundamental Photographs）。

P.64

(20)

4-5 拋體運動

^(續)

一個令人深思的實驗

圖 4-11 是一個生動有趣的實驗示範。它包括以一顆小球當作拋體的吹管 G，目標為懸於磁鐵 M 下方的鐵罐，並使吹管對準鐵罐。我們特意安排實驗，使小球離開吹管的那一瞬間，磁鐵的磁力恰好消失並釋放鐵罐。

假若 g（自由落體加速度的大小）為 0，小球將會沿 著圖 4-11 中的直線前進；而磁鐵釋放鐵罐後，鐵罐仍會漂浮在原地。因此，小球一定能擊中鐵罐。

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圖4-11

射出的小球總能擊中掉下來的鐵罐。小球和鐵罐兩者均從無自由落體 加速度時的位置落下 h 的距離。

P.65

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水平方向的運動

由於在水平方向沒有加速度，拋體的整個運動過程 中，速度的水平分量保持不變並與初始值 v

_0x

相同。

在任何時刻 t，拋體與其初始位置 x

₀

的水平位移

x– x ₀

可由 2-15 式並令 a=0 求得。我們可以寫出

因為 v

_0x = v ₀

cosθ

₀

，上式寫為

4-6 分析拋體運動

(23)

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鉛直方向的運動

鉛直方向的運動即為 2-9 節中所討論過的自由落體運動，最重要的特點是加速度是個常數。因此表 2-1 的方程式可以應用，只要將 a 以 –g 代替，並轉換成

y 座標的記號。例如 2-15 式就變成

4-6 分析拋體運動

^(續)

P.66

(24)

路徑方程式

將 4-21 式和 4-22 式中的時間變數 t 消去，便可求得 拋體的運動路徑（軌跡；trajectory）方程式。將 4- 21 式的 t 解出，並將它代入 4-22 式中。整理後得

由於 g、θ

₀

及 v

₀

均為常數，4-25 式有 y=ax+bx

²

的 函數形式，其中的 a 及 b 均為常數。這是一個拋物 線方程式，因此該路徑呈拋物線形。

4-6 分析拋體運動

^(續)

(25)

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水平射程

拋體的水平射程（horizontal range）R 是該物體與它 初始位置（拋射時位置）在同一高度時的水平距離

。要求出 R，我們令 4-21 式中的 x – x

₀ =R 及 4-22 式

中的 y – y

₀ =0，可得

利用恆等式 sin 2θ

₀ =2 sinθ ₀

cosθ

₀

，可得

4-6 分析拋體運動

^(續)

P.66

(26)

當 sin 2θ

₀ =1 時，4-26 式中的 R 有最大值，此時對

應的角度是 2θ

₀ =90°，也就是θ ₀ =45°。

4-6 分析拋體運動

^(續)

(27)

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空氣的效應

我們曾經假設空氣不會影響拋體的運動。在很多情形下，由於空氣會（反向）阻擋物體的運動，這使得我們計算出的結果與拋體的實際運動有很大的不同。

例如圖 4-13 繪出一個被擊出的球之兩種運動路徑。

這個球的初速是 44.7 m/s 並與水平成 60°。路徑 I（

由打擊手實際擊出的高飛球）是考慮一般球賽周遭的空氣條件時，所算出的運動路徑；路徑 II（物理教授的高飛球）是球在真空中的運動路徑。

4-6 分析拋體運動

^(續)

P.67

(28)

圖4-13

路徑 I 是考慮空氣的阻擋效應所算出的運動路徑。球在真 空中的運動路徑 II 是以本章的方法計算出的。參考表 4-1 中的資料。（取材自“ The Trajectory of a Fly Ball, ” by Peter J. Brancazio,

(29)

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表4-1

P.67

(30)

假若一粒子以固定的（均勻的）速率在一圓周或圓弧上運動，我們稱此粒子正在做等速圓周運動（

uniform circular motion）。

等速圓周運動時的加速度又被稱為向心加速度（

centripetal acceleration）。加速度 a 的大小為

上式中，r 為圓的半徑，v 是粒子的速率。

4-7 等速圓周運動

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雖然粒子正在做加速，但卻是維持等速率運動。因 此，粒子繞行圓周一圈（距離 2πr）所需時間便是

T 稱為迴轉週期（period of revolution），或簡稱為週

期（period）它通常是指粒子繞行一個封閉路徑一次所需的時問。

4-7 等速圓周運動

^(續)

P.71

(32)

圖4-18

(33)

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4-8 一維的相對運動

一粒子的速度與觀察者或測量者所使用的參考座標系

（reference frame）有關。

假設 Alex（位於圖 4-20 內參考座標系 A 的原點）將 車停於公路旁，觀察 P 車（視為「粒子」）的速度

。Barbara（位於參考座標系 B 的原點）以等速率沿 著公路行駛並同樣觀察 P 車。由圖 4-20可以看出

這方程式的意義是「A 測量到的 P 的位置座標 x

_PA

， 等於 B 測量到的 P 的位置座標 x

_PB

加上 A 測量到的 B 的位置座標 x

_BA

」。

P.73

(34)

4-8 一維的相對運動

^(續)

此方程式的意思為「A 測量到的 P 的速度 v

_PA

，等於

B 測量到的 P 的速度 v _PB

加上 A 測量到的 B 的速度

v _BA

」。

(35)

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4-8 一維的相對運動

^(續)

要將 Barbara 和 Alex 測量到的 P 之加速度關聯起來

，我們可以對 4-41 式取時間導數，得

因為 v

_BA

是常數，最後一項是 0，所以

P.74

(36)

圖4-20

Alex（座標系 A）及 Barbara（座標系 B）以不同的速度，

沿著兩座標系共同的 x 軸運動，並觀察 P 車。圖中畫出某 一時刻的情形。 x_BA 是 B 在座標系 A 的座標，x_PB 是 P 在 座標系 B的座標，x = x + x 則是 P 在座標系 A 的座標。

(37)

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4-9 二維的相對運動

再次考慮，有兩名分別在參考座標系 A 和 B 原點上 的觀察者，他們觀察一粒子 P 的運動。同時，對 A 而言，B 以一固定速度 v

_BA

運動（假設兩參考系上對應的軸依然平行）。

P.75

(38)

4-9 二維的相對運動

^(續)

因為 a

_BA

是常數，它的時間微分為 0。因此，可得

(39)

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圖4-21

相對於座標系 A，座標系 B 有一固定的二維速度 v_BA， 且 B 的位置向量是 r_BA。粒子 P 的位置向量，對 A 而言 是 r_PA，對 B 而言是 r_PB。

P.76

4 二維與三維運動