第第第第3章章章章 數據分析數據分析數據分析數據分析

第 第

第 第 3 章 章 章 章 數據分析 數據分析 數據分析 數據分析

3-1 一維數據分析 一維數據分析 一維數據分析 一維數據分析

基礎題基礎題 基礎題基礎題

1. 某地 107 年每月的平均溫度如下，單位為°C：

16.9，15.6，20.6，23.5，28.2，28.5，30.3，29.5，28.2，23.3，22.7，19.5，

試求這些數值的 (1) 算術平均數 (2) 變異數

(3) 標準差 （利用計算機求值，四捨五入至小數點後第三位）

解 解解

解 (1) 算術平均數為

16.9 15.6 20.6 23.5 28.2 28.5 30.3 29.5 28.2 23.3 22.7 19.5 12 23.9

+ + + + + + + + + + + =

(2)(3) 變異數為

σ^{2＝ 1} ( (16.9 23.9 )² (15.6 23.9 )² ( 20.6 23.9 )² ( 23.5 23.9 )²

12 − + − + − + −

2 2 2 2

( 28.2 23.9) ( 28.5 23.9 ) ( 30.3 23.9 ) ( 29.5 23.9 )

+ − + − + − + −

2 2 2 2

( 28.2 23.9) ( 23.5 23.9 ) ( 22.7 23.9 ) (19.5 23.9 ) )

+ − + − + − + −

＝23.38

故標準差 σ = 23.38≈4.835

2. 某班 30 位同學的數學成績由小排到大，如下所示，

38，38，45，47，50，52，55，56，58，60，

60，62，64，65，68，70，72，73，75，77，

78，80，81，83，88，90，91，93，94，96 試求：

(1) 第 40 百分位數（P40）為何？

(2) 第 75 百分位數（P75）為何？

解解解

解 (1) 第 40 百分位數 40

30 12

×100= ，取排在第 12，13 筆成績的平均值，得

40

62 64 2 63

P = + = （分）

(2) 第 75 百分位數 75

30 22.5

×100= ，取排在第 23 筆成績的值，得 P75＝81（分）

3. 甲、乙、丙、丁四人玩撲克牌遊戲，並規定第一 名、第二名、第三名、第四名每場的得分分別為 3 分、2 分、1 分、0 分。現在遊戲進行 20 場後，

得分情形如右表。若 a，b，c，d 分別為四人得 分的平均分數，則下列何者正確？

(A) a＞b＞c＞d (B) b＞c＞a＞d (C) a＝b＞c＞d (D) a＝b＝c＝d (E) c＞b＞a＞d

解 解解

解 3 0 8 1 5 2 4 3 30 3 8 5 4 20 1.5 a= × + × + × + × = =

+ + +

5 0 6 1 3 2 6 3 30 5 6 3 6 20 1.5 b= × + × + × + × = =

+ + +

6 0 4 1 4 2 6 3 30 6 4 4 6 20 1.5 c= × + × + × + × = =

+ + +

6 0 2 1 8 2 4 3 30 6 2 8 4 20 1.5 d = × + × + × + × = =

+ + + 故選(D)

4. (1) 某地區統計其三年來的人口成長率分別為 60 ％、20 ％、－10 ％，則此地區這三年的每年 人口平均成長率為何？

(2) 已知 A 都市房價在 2016 年年初為每坪 10000 元，到了 2018 年年底每坪增加至 17280 元，

試問這三年來，房價每坪的每年平均成長率為何？

解解

解解 (1) 假設平均成長率為 r，則有

(1+r)3 = +(1 60% ) (1 20% ) (1 10% )+ −

整理可得 r= ³(1 60% ) (1 20% ) (1 10% ) 1+ + − − ＝0.2＝20 ％ 即這三年的每年人口平均成長率為 20 ％

(2) 假設這三年來每年的平均成長率為 r，則可得 10000 (1+r)3 =17280

整理可得

317280

1 0.2 20%

10000

r= − = =

即這三年房價每坪的每年平均成長率為 20 ％

得分

人 0 分 1 分 2 分 3 分 甲 3 8 5 4 乙 5 6 3 6 丙 6 4 4 6 丁 6 2 8 4

5. 下列為五個班級模擬考成績的分組資料，則何者的成績標準差最小？

級分 8 9 10 11 12 13 級分 8 9 10 11 12 13 (A) 人數 8 6 7 7 6 8 (B)

人數 18 2 1 1 2 18 級分 8 9 10 11 12 13 級分 8 9 10 11 12 13 (C) 人數 1 2 18 18 2 1 (D)

人數 10 10 1 1 10 10 級分 8 9 10 11 12 13

(E) 人數 7 7 7 7 7 7

解 解解

解 因為每組資料都是對稱分布，故平均都是 10.5

因(C)的人數多分布於平均數附近，成績標準差為最小 故選(C)

6. 右圖為全校 300 位學生的數學期中考試成績累積相對次 數折線圖，則：

(1) 成績的第 85 百分位數為何？

(2) 50 分是第幾百分位數？

(3) 若小芬成績是 90 分，則成績不比小芬高的學生約有 百分之多少？

解 解解

解 (1) 80 分

(2) 第 40 百分位數 (3) 百分之 95

7. 國外某一男子籃球隊來臺接受訪問，陣容整齊，七位選手的身高分別為 6 呎 4 吋、

5 呎 8 吋、6 呎 2 吋、5 呎 10 吋、5 呎 6 吋、6 呎、6 呎 6 吋。

(1) 我們習慣以公分來表示，試問這群選手的平均身高及標準差為何？（以公分為單位，1 呎＝12 吋，1 吋＝2.54 公分）

(2) 若將上述資料經過 X_i＝ax_i＋b 轉換後，其中 a＞0，得到新數據的平均數是 0，標準差是 1，

試求 a，b 之值。

解 解解

解 (1) 將選手身高整理成以吋為單位，可得原數據 x_i 分別為 76 吋、68 吋、74 吋、70 吋、66 吋、72 吋、78 吋 則 76 68 74 70 66 72 78

7 72

µx = ^{+ + + + + +} =

σx^{＝ ( 76 72)2 ( 68 72)2 ( 74 72)2 ( 70 72)2 ( 66 72)2 ( 72 72)2 ( 78 72)2}

7

− + − + − + − + − + − + −

＝4

將原數據 x_i 乘上 2.54，可得新數據 y_i（y_i＝2.54x_i），即 µy＝2.54µx＝2.54×72＝182.88，σy＝2.54σx＝10.16

故平均身高為 182.88 公分及標準差為 10.16 公分 (2) 因標準化數據的平均數是 0，標準差是 1

令 _i ^{i x}

x

X x µ

σ

= − ，此時 Xi 平均數是 0，標準差是 1

故得 1 1

x 4

a⁼σ ^{= ，}

72 18 4

x x

b µ

= −σ = − = −

8. 已知 x，y，1，4，5 這 5 個數的標準差為 2，若標準化後的數據依序為－0.5，1.5，a，b，c，

試求 x，y，a，b，c 分別為何？

解 解解

解 x，y，1，4，5 這 5 個數的平均數為 1 4 5 10

5 5

x+ + + +y = x+ +y

x 經標準化後為

10

5 0.5

2 x y x− + +

= −
4x－y＝5···①

y 經標準化後為

10

5 1.5

2 x y y− + +

=
－x＋4y＝25··· ②

由 ①、② 得 x＝3，y＝7，故原來 5 個數的算術平均數為 4 1 經標準化後得 1 4

2 1.5

a= − = − ，

4 經標準化後得 4 4 2 0

b= − = ，

5 經標準化後得 5 4 2 0.5 c= − =

9. 某班數學模擬考試的成績平均為 8 級分，標準差為 2.5 級分；而數學期中考試的成績平均為 64 分，標準差為 6 分。小甄的數學模擬考試與期中考試成績分別為 7 級分與 60 分，試問相對 於全班，小甄哪一項的成績表現比較好？

解解解

解 將成績標準化後 模擬考試：7 8 2

2.5− = −5 期中考試：60 64 2

6 3

− = −

因為 2 2

3 5

− ＜− ，故相對於全班，小甄在模擬考試的表現比較好

進階題進階題 進階題進階題

10. 某次段考試題共有 20 題，每題 5 分，經統計後知全班平均為 50 分，標準差為 10 分。

若計分方式改為每題答對得 6 分，且總分一律再加 8 分，則調整後分數的平均和標準差分別為 何？

解解解

解 設原分數為 x，調整後的分數為 y，依題意得 6 5 8 y= x+ 因此 6

50 8 68

y 5

µ = × + = ， 6

10 12

y 5

σ = × =

故調整後分數的平均為 68 分，標準差為 12 分

11. 某次考試將全班分成甲、乙兩組進行測驗，甲組學生 15 人，其平均成績 70 分，標準差 8 分；乙組學生 25 人，其平均成績 62 分，標準差 4 分。試問全班 40 位學生合併後的平均 成績為何？標準差為何？

解解解

解 合併後的平均成績為 15 70 25 62 40 65

× + × = （分）

甲組的標準差為 8，得 1 ₁² ₂² ₁₅^{2 2}

( ) 70 8

15 x +x +L L +x − =

x1²+x2²+L L +x15² =74460

乙組的標準差為 4，得 1 ₁² ₂² ₂₅^{2 2}

( ) 62 4

25 y +y +L L +y − =

y1²+y2²+L L +y15² =96500

故合併後全班的標準差為 1 ²

( 74460 96500 ) 65 49 7

40 + − = = ^（分）

…

…

…

…