高中數學(2)習作甲 3-1 一維數據分析 54
第 第
第 第 3 章 章 章 章 數據分析 數據分析 數據分析 數據分析
3-1 一維數據分析 一維數據分析 一維數據分析 一維數據分析
例題例題
例題例題 1 算術平均數算術平均數算術平均數 算術平均數
(1) 試求 3，5，－3，10，－8，11 的算術平均數
(2) 小華連續五週的數學週考成績為 80，90，75，100，90，試求這些成績的算術平均數
解 解 解
解 (1) 1
( 3 5 3 10 8 11) 6× + − + − + ＝1
18 3 6× = (2) 1
(80 90 75 100 90 ) 5× + + + + ＝1
435 87
5× = （分）
例題 例題 例題
例題 2 加權平均數加權平均數加權平均數 加權平均數
小雯手中持有 A、B、C、D、E 五家公司的股票若干，已知上週五與本週五的股價及小雯持股數如下 表，試求：
A B C D E
上週五股價（單位：元／股） 38 36 72 18 19 本週五股價（單位：元／股） 36 40 76 20 20
小雯持股數（單位：千股） 3 3 2 9 8
(1) 上週五小雯持股的平均股價 (2) 本週五小雯持股的平均股價 解
解 解
解 小雯持股總數為 3＋3＋2＋9＋8＝25（千股）
(1) 持股均價須用加權平均計算
1 ( 38 3 36 3 72 2 18 9 19 8 ) 5× × + × + × + × + ×
＝ 1
680 27.2
25× = （元）
(2) 同理，本週五持股均價
1 ( 36 3 40 3 76 2 20 9 20 8 ) 25× × + × + × + × + ×
＝ 1
720 28.8
25× = （元）
高中數學(2)習作甲 3-1 一維數據分析 55
例題例題
例題例題 3 幾何平均數幾何平均數幾何平均數(一) 幾何平均數
(1) 試求 18，28，147 的幾何平均數
(2) 某公司營業額連續三年的成長率依序為 10 %、33.1 %、21 %，試求平均成長率
解 解 解
解 (1) G＝318 28 147× ×
＝32 3× × × × ×2 22 7 3 72
＝2×3×7
＝42
(2) 這三年的營業額分別是前一年的 110 %，133.1 %，121 % 平均成長率為
31.1 1.331 1.21 1× × −
＝31.1 1.1× 3×1.12 −1
＝1.21－1
＝0.21
故平均成長率為 21 %
例題 例題 例題
例題 4 幾何平均數幾何平均數幾何平均數(二)（使用計算機幾何平均數 使用計算機使用計算機） 使用計算機
(1) 試求 12，90，33，45，67 的幾何平均數。（四捨五入取到小數點後第一位）
(2) 某公司的營業額連續五年成長率依序為 3.2 %、－2.8 %、1.3 %、5.4 %、4.7 %，試求平均成長率。
（四捨五入取到百分數的小數點後第一位）
解解
解解 (1) 按計算機可得
G＝512 90 33 45 67× × × ×
＝5107454600
≈ 40.38731692
≈ 40.4
(2) 這五年營業額依序為前一年的 103.2 %，97.2 %，101.3 %，105.4 %，104.7 % 平均成長率為
51.032 0.972 1.013 1.054 1.047 1× × × × −
≈1.023171748－1
＝0.023171748 故約為 2.3 %
高中數學(2)習作甲 3-1 一維數據分析 56
例題例題
例題例題 5 百分位數百分位數百分位數(一)（累積相對次數折線圖百分位數 累積相對次數折線圖累積相對次數折線圖） 累積相對次數折線圖
右圖為一組一維數據的累積相對次數折線圖，試求：
(1) 第 75 百分位數（P75）
(2) 第 40 百分位數（P40） 解
解 解
解 觀察累積相對次數折線圖，可知 橫軸 70 所對應的相對次數是 75 % 橫軸 60 所對應的相對次數是 40 % (1) 第 75 百分位數 P75＝70
(2) 第 40 百分位數 P40＝60
例題 例題 例題
例題 6 百分位數百分位數百分位數(二)（已分組資料百分位數 已分組資料已分組資料） 已分組資料
為配合畢業生申請國外研究所需要，我國許多大學已開始採用「等第績分平均（GPA）」來評估學生成 績。所謂 GPA（Grade Point Average），是透過轉換機制，將原始成績轉換為 0 至 4 分，0 代表不及 格，其餘分數愈高，成績愈佳。已知某校一年級 873 名學生成績如下表，試求：
GPA 0 1 2 3 4
人數 63 104 269 312 125 累計人數 63 167 436 748 873 (1) 第 80 百分位數（P80）
(2) 第 25 百分位數（P25） 解
解 解
解 (1) 873×80 %＝698.4
故 P80 為累計第 699 人的成績，觀察已知條件，得 P80＝3 (2) 同理，873×25 %＝218.25
取 P25 為累計第 219 人的成績，得 P25＝2
例題例題
例題例題 7 變異數與標準差變異數與標準差變異數與標準差 變異數與標準差
已知一組數據 2，14，11，5，20，14，試求：
(1) 變異數 (2) 標準差
解 解 解
解 算術平均數 µ＝1 ( 2 14 11 5 20 14 ) 6× + + + + + ＝11 (1) 變異數 σ2＝1 ( 9 )2 32 02 ( 6 )2 92 32
6× −〔 + + + − + + 〕＝1
6×216＝36
(2) 標準差 σ = 36=6
高中數學(2)習作甲 3-1 一維數據分析 57
例題例題
例題例題 8 數據平移與伸縮數據平移與伸縮數據平移與伸縮 數據平移與伸縮
已知一組數據 xi：1，3，5，7，9，試求依下列規則變換後的新數據：
(1) y＝－2x＋30 (2) y＝10（x－2）
解 解 解
解 (1) 1，3，5，7，9 經 y＝－2x＋30 轉換為 28，24，20，16，12 (2) 1，3，5，7，9 經 y＝10（x－2）
轉換為－10，10，30，50，70
例題例題
例題例題 9 數據平移與伸縮對平均數與標準差的影響數據平移與伸縮對平均數與標準差的影響數據平移與伸縮對平均數與標準差的影響 數據平移與伸縮對平均數與標準差的影響
這次段考因為數學成績不理想，經各班任課老師討論後，決定以原始分數除以 2 再加 50 分的方式調 整。已知高一某班段考平均 38 分，標準差 5.6 分，試求該班調整後的：
(1) 平均分數 (2) 標準差
解 解 解
解 設原始分數為 x，調整後分數為 y 調整公式為 50 2 y= +x
(1) 38
50 69
y 2
µ = + = ∴調整後的平均分數為 69 分
(2) 1 1
5.6 2.8
2 2
y x
σ = σ = × = ∴調整後的標準差為 2.8 分
例題 例題 例題
例題 10 標準化數據標準化數據標準化數據 標準化數據
某公司在 A，B 兩地分別招考員工，成績如右表。已知 小明與小華都參加考試，請根據右表求解下列問題：
(1) 小明在 A 地參加考試得 74 分，試求小明得分的標 準化數據
算術平均數 標準差
A 地 72 16
B 地 78 12
(2) 小華在 B 地參加考試，將得分標準化以後，得標準化數據為 0.5，試求小華的考試分數。
解 解 解
解 (1) 小明得分標準化數據為 74 72 2
0.125 16 16
− = =
(2) 設小華的考試分數為 x 78 0.5
12
x− = x－78＝6 x＝84
∴小華的考試分數為 84 分
