數學系課程簡介
特色
我們的特色就是「看到數字的圖畫，聽見幾何的樂音。」
「數」與「形」二字總括了數學的一切。打個比方，數字的規律和諧如音樂，
幾何的多采美如繪畫。你可能會說：「那數學的特色應該是『聽到數字的樂音，
看見幾何的圖畫』才對啊！」這正是重點；數學的發展從幾千年前直到今日，
從研究單純的數字、具體的圖形開始，因為「數字」的意義愈來愈廣，許多 東西都可以當作數字來「運算」，而「空間」的看法也愈來愈超越直覺，許多 對象都可以當做圖形來「看」。這高度的抽象化是今日數學的圖騰，同時也蘊 含了能帶著數學走向未來的發展、能用以攻克來自自然科學與應用學科的各 個難關的巨大潛力
本系大學部的課程與訓練致力於培養學生的「基礎數學能力」，談論的對象既 是數學理論研究的基本物件，又常是基礎科學與應用學科中處理許多問題極 有威力的工具、許多現象的絕佳模型。「基礎數學能力」至少包括與以下幾類 概念有關的知識，以及在具體情況下運用它們的能力：
(一)函數、方程式(等式)與估計(不等式)：探討各類方程式(如常微分與偏微分 方程、代數方程等)的解的存在性、定性與定量性質；對於意義明確但未必能 直接求得的量、函數，研究如何間接地理解、估計它們。
(二)抽象結構：了解具有某些抽象特性的各種結構，如結合運算(群)、乘積結 構(環、體等)與線性結構(向量空間)的一般性質，並熟悉它們的各種具體實 例。
(三)幾何概念：研究空間中幾何形體的局部與整體性質(如曲線/曲面的弧長/
面積、彎曲率與拓樸特性，以及它們之間的關係)，並進而理解更高維度空間 的幾何概念。
這些概念一直是數學的核心，更是各類科學應用中不可或缺的；同時，它們 彼此間有許多交互作用。本系絕大部分的課程都與以上至少一項有關。基礎 課程大略可分以下三類，每類均列舉幾門課簡介。
(A)分析學
(1) 微積分與分析導論：微積分是關於連續量如何變化的知識，始於古代人 求切線與面積、理解天體運行的諸多努力，於 17 世紀由牛頓與萊布尼茲 集先前知識之大成，開始有系統地研究。微積分研究函數的許多量化性 質，是所有數學(如高維度幾何學、拓樸學與各類數學分析)與量化學問(如 許多科學類與商管類的學問分支)的重要基石。分析導論是微積分的延伸，
一方面提供微積分中諸多概念更嚴格的論證基礎，另一方面也將這些概 念推廣到更抽象的對象，比如說一些常用的函數空間。
(2) 常微分方程與偏微分方程：微分方程式指的是一些函數(稱未知函數)的 變數之各階變化率所滿足的某些數學等式。常微分方程指的是未知函數 只有一個變數的情況，例如給定作用力，將物體的質心位置當作未知函 數時，牛頓第二運動定律就是位置函數的二次變化率所滿足的常微分方 程。亦可平行地考慮具單個複數變數的常微分方程，此時在複變數函數 論(以下(3))的幫助下對方程的解有更精細的理論。至於描述熱傳導的熱方 程、波傳遞的波方程等，其未知函數則有多個變數，屬於偏微分方程的 範疇。除了某一類稱作橢圓類的偏微分方程有較完整的一般理論外，研 究其他的偏微分方程時往往必須對其來源(幾何學、科學或應用學科的問 題)的特性有較多的了解。在大學部的各種微分方程課程談論既有的一般 理論，以及基礎實例的計算與論證。許多結構更複雜的，如描述時空重 力的愛因斯坦方程、流體行為的 Navier-Stokes 方程等方程式則可能在進 階的選修課(如微分幾何、數學流體力學)中被探討。
(3) -複分析導論：將複數引進微積分。複數特有的結構使我們能更深入地了 解「解析函數」及相關微分方程的抽象特性，更提供了許多威力強大的 計算工具。這些知識的主要研究大略從 19 世紀開始，在數學上的影響遍 及數論、分析、代數與幾何，而且這些影響彼此交融，直到今日；在科 學上，從古典的電磁學、流體力學起，今日更滲透科學與工程計算的各 個角落。雖然部分其他學系也提供有關複變數函數論的課程，但多著重 在計算層面，本系的複變特色在於強調抽象性質的理解，持更宏觀的角 度取得理論與計算的平衡，更能因應各種變化。
(B) 代數學
(1) 線性代數：線性指的是「加」與「乘以數字」兩種概念的結合，廣泛地 出 現在數學、自然科學、計算機科學、工程、商管等量化學問中。基礎的
線性代數探討向量空間(三度空間向量的推廣)的基本性質(基底、維度)與 線性映射(它們的矩陣表達、秩、跡、核空間、行列式等基本性質、矩陣 的抽象特性、各種特殊矩陣分解的抽象理解等等)。本系線性代數課程不 限於矩陣的實際操作與數值計算，並強調抽象性質的理解與理論的建立，
故能因應不同領域的應用。
(2) 代數：研究具運算結構的集合特有的性質。一般會先談論「群」的概念。
群是一種帶有滿足結合律運算的集合，常體現在各種與對稱性有關的考量中，
例如保持一個物體輪廓的剛體運動全體就是一個群的例子。許多我們熟悉的 數字集合在普通的加法或乘法運算下也都是群的例子。
在可換群原有的運算(俗稱加法)基礎上，考慮另一個對其滿足分配律的 運算(俗稱乘法)，就有了環的概念。
如果一個可換環中的非零元素對乘法都可逆，那麼就有了「體」的觀念，
其系統性的發展始於 19 世紀關於代數方程式之解能否用係數的四則運算與 根式表達的問題，當時的大突破來自偉大的法國數學家伽羅瓦(現稱伽羅瓦理 論)，在數系的擴充與群的子群之間建立起基礎的對應。此一理論已成為現代 數論與代數幾何的最基本入門。
(C) 幾何學：
大學部幾何學：
首先研究平面上及空間中曲線的幾何性質，介紹曲率(彎曲程度)、扭率(非 平面程度)以及 Frenet 標架 - 沿著曲線移動的一組特殊的基底向量，它反過 來刻畫了該曲線在空間中的形狀。
接著討論空間中曲面的幾何性質，對於曲面上的一條曲線，考慮沿該曲 線以單位速率移動，這時我們將在某點的加速度分別沿曲面的法線方向及切 平面方向的投影，其分量分別稱為該曲線在該點相對於曲面的「法曲率」與
「測地曲率」。一條測地曲率處處為 0 的曲線稱為該曲面上的一條「測地線」， 視為「該曲面上真正的直線」。接著考慮曲面上所有通過該點的曲線，它們在 該點的法曲率中最大與最小的可能合稱為曲面在該點的主曲率。最後，曲面 一點的高斯曲率定為兩個主曲率的乘積。這些曲率反映了曲面上的曲線以及 曲面本身的各種彎曲程度。
雖然高斯曲率的定義取決於曲面在空間中的形狀(因為用到了法向量等 等)，19 世紀由偉大的高斯所發現的一個結果說，高斯曲率只取決於「從曲面 上任意一點走到任意的另一點的最短距離」這些資訊，除此之外與如何將曲 面「放」在空間中的方式無關(高斯本人將此結果稱為「絕妙定理」)。 這說 明高斯曲率所描述的「彎曲程度」是曲面局部的內在測距幾何特性。
此外，曲面的局部性質與其整體特性的關連也將被探討。我們將介紹歷
史上最早且影響深遠的一個結果 - 高斯-博內定理。此定理宣稱，對於三度 空間中一個封閉的曲面，如果我們將表面塗上油漆，並且要求每個點油漆相 對於面積的密度恰好等於在該點曲面的高斯曲率，那麼，所塗油漆的總質量 為 2π( 2 - 2 g )，此處 g 為該曲面的「把手」個數，比方說球面的 g 為 0，
甜甜圈表面的 g 為 1 等等。
曲面在空間中的幾何特性也是此課程的題材。我們稱一個局部達到面積 最小的曲面為「極小曲面」。怎麼樣的曲面是極小曲面呢？將曲面上每個點的 兩個主曲率的平均稱為在該點的「均曲率」。一個曲面是極小曲面等價於它在 每個點的均曲率為 0。
除了以上這些基礎概念，本課程還著重實例的計算。許多幾何學及科學 研究中常見的曲線與曲面都是我們的材料。此課程還是許多進階題材的入門。
比如說，高斯的絕妙定理影響了黎曼在 19 世紀發展的高維度幾何學(微分幾 何)，尤其是其中的曲率概念(現稱黎曼曲率張量)，現代拓樸學、許多物理分 支甚至影像學科中的許多發展都由此而來。例如，黎曼理論創立 50 年後成 為愛因斯坦能用以描述時空重力理論(廣義相對論)的工具。
核心課程 大學部
本系提供 4 年課程，學生修畢 128 學分可獲得理學士。學生除修畢「校訂全 校性共同科目」(12 學分)及「通識教育課程」(至少 18 學分)與「系訂必修專 業科目」(-63 學分)外，並應修滿與數學相關 12 學分的選修課程始可畢業。
本系課程具多樣性，純數學與應用數學並重。常開設課程約五十門，詳見本 系網頁：http://www.math.ntu.edu.tw/
系定必修專業科目
˙微積分（5,5）、分析導論（5,5）或分析（5,5）
˙線性代數（4,4）、代數導論（4,4）或代數（4,4）
˙常微分方程導論（4）、偏微分方程導論（4）
˙幾何學導論(4)或幾何學(4)、複分析導論(4) 或複分析(4)
˙計算機程式設計（3）、或科學計算導論(3)、計算數學導論(4)、機率導論(4)
˙由普通物理學甲上下、普通化學甲上下、普通生物學甲上下、經濟學原理 與實習上下等課程中，至少修得 6 學分。
