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2.4. The Limit Points and Isolate Points of a Set
在這一節中我們介紹何謂一個集合的 “極限” 點以及 “孤立” 點. 我們知道可將 cl(S ) 分割成 bd(S ) 和 int(S ) 這不相交的兩類子集合. 事實上 cl(S ) 還有其他有意思的分類. 若 x∈ cl(S ), 表示 x 任意的 open neighborhood U 皆和 S 相交. 這在 x ∈ S 時, 一點都不特別, 因為 x ∈ U 且 x ∈ S , 自然有 x ∈ U ∩ S , 所以 U ∩ S , ∅. 不過若 x < S , 就很特別了, 因為 x< S , 所以 x ∈ cl(S ) 表示任意 x 的 neighborhood 皆存在著不是 x 但是是 S 的元素在其中.
當我們考慮的 open neighborhood 越來越 “ 縮小”, 這表示存在著一些 S 中的點越來越靠近 x. 這個現象很像微積分中一個數列的極限, 因為一個數列{an} 的極限 limn→∞an= a, 就表 示任意包含 a 的 open interval 皆包含著 an (當 n 足夠大). 所以在拓樸中, 我們將有此特性 的點稱為 S 的 limit point. 當然了 S 的 limit point 並不局限於不屬於 S 的點, 只要 x 任意 的 open neighborhood, 皆包含除了 x 以外其他 S 的元素, 皆稱為 S 的 limit point. 和 limit point 相反意思的點指的是 x∈ S 且存在 x 的 open neighborhood U 滿足 U ∩ S = {x}, 也 就是說除了 x 以外, 其他 S 上的點都不在 U 中. 這樣的點稱為 S 的 isolate point, 意指 S 中的 “孤立” 點. 顧名思義 S 的 isolate point 指的便是這個點和 S 中其他的點是被 “隔開”
的. 我們看正式的定義.
Definition 2.4.1. 假設 X 為 topological space 且 S 為 X 子集合. 對於 a∈ X, 若任意 a 的 open neighborhood U 皆滿足 S ∩ (U \ {a}) , ∅, 則稱 a 為 S 的 limit point; 而若存在 a 的 open neighborhood U 滿足 S ∩ U = {a}, 則稱 a 為 S 的 isolate point.
為了方便起見以下我們用 ℓ(S ) 表示 S 的 limit point 所成的集合, 而用 ı(S ) 表示 S 的 isolate point 所成的集合. 從這個定義我們知道 cl(S ) =ℓ(S ) ∪ ı(S ), 而且 ℓ(S ) ∩ ı(S ) = ∅.
從定義來看, 我們知道 ı(S ) ⊆ S , 也就是說 S 的 isolate point 皆在 S 中. 但是 limit point 就沒有限制, 它可以在 S 中, 也可以不在 S 中, 但無論如何 S 的 limit point 一定在 S 的 closure cl(S ) 中. 另外我們要說明一下, 在拓樸中 limit point 中還有所謂的 accumulation point, 不過因為它牽涉到 open neighborhood 與 S 交集的元素多寡, 且怕和大家高微所學的 accumulation point 相混淆, 這裡就不再介紹了.
我們看看一些特殊情況. 令 S 是 X 的非空子集. 當 X 使用 discrete topology, 則對於任 意非空的 subset S , 由於任意 a∈ S , {a} 是 a 的一個 open neighborhood 且 {a} ∩ S = {a}, 所以 a 是 S 的 isolated point. 也就是說, 在這個情況, 所有 S 的點都是 S 的 isolated point. 另一方面, 如果 X 使用 indiscrete topology, 則對任意 a ∈ X, X 是 a 唯一的 open neighborhood, 所以當 S 有多於一個元素時, S ∩ (X \ {a}) = S \ {a} , ∅, 也就是說, 在這個情 況, X 中所有的元素都是 S 的 limit point. 我們再看一個例子.
Example 2.4.2. 考慮R 的 standard topology 以及 S = {1/n | n ∈ N}. 由於對於任意 1/n ∈ S , 我們可取 0< ε < 1/(n(n + 1)) 使得 1/n 的 open neighborhood I = ((1/n) − ε, (1/n) + ε) 滿足 I∩ S = {1/n}. 因此我們知道 S 中所有的點都是 S 的 isolated point. 而對於任意 0 的 open neighborhood U, 由於 U 必包含 open interval (−λ, λ), 其中 λ > 0, 且對於任意
46 2. 內部, 外部以及邊界
n ∈ N 滿足 n > λ, 皆有 1/n ∈ (−λ, λ). 也就是說一定存在 1/n ∈ S 滿足 1/n ∈ U. 換言之, S ∩ (U \ {0}) , ∅. 得知 0 是 S 的 limit point.
雖然 cl(S ) 可以分割成 bd(S ) 和 int(S ) 兩部分, 也可分割成 ℓ(S ) 和 ı(S ) 兩部分, 但是 ℓ(S ), ı(S ) 與 bd(S ), int(S ) 之間沒有太大的關係. 很多同學會被名詞誤導, 誤以為 “孤立”
點既然被孤立就不應在內部. 其實 S 的 isolated point 有可能是 S 的 interior point. 現若 a 是 S 的 isolated point 也是 S 的 interior point, 表示存在 a 的 open neighborhood U 滿足 U∩ S = {a}, 因此 U ∩ int(S ) ⊆ U ∩ S = {a}, 然而 a ∈ U ∩ int(S ) (因假設 a ∈ int(S )), 故此 表示{a} = U ∩ int(S ) 是一個 open set. 所以我們知道若 a 是 S 的 isolated point 也是 S 的 interior point, 則 {a} 是 X 的 open set. 另一方面, 若 a ∈ S 且 {a} 是 X 的 open set, 則 {a}
是 a 的一個 open neighborhood 且滿足 {a} ∩ S = {a}, 故 a 是 S 的 isolated point.
至於 S 的 limit point 當然可能在 S 的內部, 也可能在 S 的邊界上. 要注意的是, 由於 S 的 isolated point 有可能發生在 S 的 boundary 上 (參見 Example 2.4.2) 所以 boundary 上 的點未必是 limit point. 不過 S 的 limit point 有和 S 的 boundary 一個類似的性質, 可以 幫助我們判斷 S 是否為 closed (參見 Proposition 2.3.3 (3)). 以下我們列出一些有關 limit point 的性質.
Proposition 2.4.3. 假設 X 為 topological space 且 S 為 X 子集合.
(1) 若 a∈ cl(S ) \ S , 則 a 是 S 的 limit point.
(2) a 是 S 的 limit point 若且唯若 a∈ cl(S \ {a}).
(3) S 是 X 的 closed set 若且唯若 ℓ(S ) ⊆ S .
Proof. (1) a∈ cl(S ) \ S 表示任意 a 的 open neighborhood U 皆滿足 S ∩ U , ∅, 然而 S ∩ (U \ {a}) = S ∩ U ∩ {a}c = U∩ (S \ {a}) (2.3) 所以由 a< S 得 S ∩ (U \ {a}) = U ∩ S , ∅, 亦即 a 為 S 的 limit point.
(2) 假 設 a 是 S 的 limit point, 表 示 對 於 任 意 a 的 open neighborhood U 皆 滿 足 S ∩ (U \ {a}) , ∅, 然而由式子 (2.3) 知這等價於對於任意 a 的 open neighborhood U 皆滿足 U∩ (S \ {a}) , ∅, 即 a ∈ cl(S \ {a}).
(3) 由 於 ℓ(S ) ⊆ cl(S ), 故若 S 為 closed, 則由 cl(S ) = S 得 ℓ(S ) ⊆ S . 反之, 因 cl(S ) =ℓ(S ) ∪ ı(S ), 故由 ı(S ) ⊆ S 加上 ℓ(S ) ⊆ S 的假設, 可得 cl(S ) ⊆ S . 因此得 cl(S ) = S
得證 S 是 closed.
最後我們談論 limit point 和 isolated point 是否保持集合的包含關係. 也就是說若 S ⊆ T, 是否 ℓ(S ) ⊆ ℓ(T)? 又是否 ı(S ) ⊆ ı(T)? 由於 S ⊆ T 我們有 (S \ {a}) ⊆ (T \ {a}), 因此 得 cl(S \ {a}) ⊆ cl(T \ {a}). 故由 Proposition 2.4.3 (2) 知可由 a ∈ ℓ(S ), 推得 a ∈ cl(T \ {a}), 再推得 a∈ ℓ(T), 亦即
ℓ(S ) ⊆ ℓ(T). (2.4)
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不過 ı(S ) ⊆ ı(T) 是不正確的. 這是因為 a ∈ ı(S ), 表示存在 a 的 open neighborhood U 滿 足 U∩ S = {a}, 但 S ⊆ T, 此時有可能有其他 T 的元素在 U 之中, 所以無法保證 a ∈ ı(T).
然而若 a ∈ ı(T), 表示存在 a 的 open neighborhood U 滿足 U ∩ T = {a}, 所以此時因 U∩ S ⊆ U ∩ T, 故若 a ∈ S , 則可得 U ∩ S = {a}, 亦即 a ∈ ı(S ). 因此我們有
S ∩ ı(T) ⊆ ı(S ). (2.5)
Question 2.13. 考慮 R 的 standard topology. 試求 ℓ(Q), ℓ(Z), ı(Q) 以及 ı(Z). 並驗證式 子 (2.4), (2.5) 關於它們的之間的包含關係.
Excecise 2.6. 假設 X 為 topological space 且 S 為 X 子集合. 證明 int(S )∩ ı(S ) 是 X 的 open set.
Excecise 2.7. 假設 X 為 topological space 且 S 為 X 子集合. 試證明若 S 不是 closed, 則 ℓ(S ) , ∅.
———————————– 17 November, 2017
