四 2. 泰勒定理
2.4 ∵ g(x) = f0(x)
∴ g0(x) = f00(x) g00(x) = f000(x)
...
g(n)(x) = f(n+1)
Pn+1(x) = f (a) + f0(a)(x − a) +f002(a)(x − a)2+f0006(a)(x − a)3+ · · · +f(n+1)!(n+1)(x − a)n+1 Pn+10 (x) = f0(a) + f00(a)(x − a) + f0002(a)(x − a)2+ · · · + f(n+1)n! (x − a)n
(有限項所以可以逐項微分)
Qn(x) = g(a) + g0(a)(x − a) + g002(a)(x − a)2+ g0006(a)(x − a)3+ · · · + gn!n(x − a)n
= f0(a) + f00(a)(x − a) + f0002(a)(x − a)2+ · · · + f(n+1)n! (x − a)n
= Pn+10 (x), 對任意正整數n都成立
若令f (x)在x = a的泰勒展是為 a0+ a1(x − a) + a2(x − a)2+ · · · + an(x − a)n+ · · ·
∵ Qn(x) = Pn+10 (x), 對任意正整數n
∴ Q1(x) = P20(x) = (a0+ a1(x − a) + a2(x − a)2)0 = a1+ 2a2(x − a) Q2(x) = P30(x) = (a0+ a1(x − a) + a2(x − a)2+ a3(x − a)3)0
= a1+ 2a2(x − a) + 3a3(x − a)2 ...
Qn(x) = Pn+10 (x) = a1+ 2a2(x − a) + 3a3(x − a)2+ · · · + nan(x − a)n−1 所以f0(x)(即g(x))在x = a的泰勒展式為
a1+ 2a2(x − a) + 3a3(x − a)2+ · · · + nan(x − a)n−1+ · · ·
2.5 若令F (x)在x = a的泰勒展式為
b0+ b1(x − a) + b2(x − a)2+ · · · + bn(x − a)n+ · · · 由習題2.4可知,f (x)(= F0(x))在x = a的泰勒展式為
b1+ 2b2(x − a) + 3b3(x − a)2+ · · · + (n + 1)bn+1(x − a)n+ · · ·
= a0+ a1(x − a) + a2(x − a)2+ · · · + an(x − a)n+ · · · (原題目所令) 因此可得 b1 = a0
2b2 = a1 ⇒ b2 = a21 3b3 = a2 ⇒ b3 = a32
...
(n + 1)bn+1= an ⇒ bn+1 = n+1an ...
1
而且由定義可知b0 = F (a), 因此F (x)在x = a的泰勒展式為
F (a) + a0(x − a) + a21(x − a)2+ a32(x − a)3+ · · · + n+1an (x − a)n+1+ · · ·
2.10 (2)
由習題2.4可知,f0(x)在x = 0的泰勒展式為
1
2+ 2 ·25x + 3 ·103x2+ · · · + n ·n2n+1xn−1+ · · · = 12+45x +109x2+ · · · +nn2+12 xn−1+ · · · 因為f00(x) = (f0(x))0,由f0(x)的泰勒展式又可算得f00(x)在x = 0的泰勒展式為
4
5 + 2 · 109x + · · · + (n − 1) · nn2+12 xn−2+ · · · = 45 +95x + · · · +(n−1)nn2+12xn−2+ · · ·
(5)
由習題2.8可知,f (x4)在x = 0的泰勒展式為
1 + 12(x4) + 25(x4)2+ · · · + n2n+1(x4)n+ · · · = 1 + 12x4+25x8+ · · · + n2n+1x4n+ · · ·
(8)
由習題2.7可知,xf0(x)在x = 0的泰勒展式為
x(12 +45x + 109x2+ · · · + nn2+12 xn−1+ · · ·) = 12x +45x2+ 109x3+ · · · + nn2+12 xn+ · · · 令F (x) = Rx
0 tf0(t)dt, F0(x) = xf0(x) 由習題2.5可知,Rx
0 tf0(t)dt在x = 0的泰勒展式為
F (0) + 0 · x + 12 · 12x2+13 ·45x3 + · · · + n+11 · nn2+12 xn+1+ · · ·
=R0
0 tf0(t)dt + 14x2+154 x3+ · · · + (n+1)(nn22+1)xn+1+ · · ·
= 14x2 +154x3 + · · · + (n+1)(nn22+1)xn+1+ · · ·
2
