四 3. 常用函數的泰勒展式

四 _3. 常用函數的泰勒展式

3.1 n! ≥ 2ⁿ⁻¹,對任意正整數 _n都成立 e = 1 + 1 +_2!¹ +_3!¹ + · · · + _n!¹ + · · ·

3.2 e^x的_n次泰勒多項式_Pn(x)的餘項_{(x > 0}的部分₎為_{|Rn(x)| =} ^eξ

(n+1)!|x|ⁿ⁺¹ ≤ _(n+1)!^ex |x|ⁿ⁺¹ 所以_{|Rn(1)| ≤} ^e

(n+1)!1ⁿ⁺¹ < _(n+1)!³

3.3 模仿例題sinx的情況

3.6 (2)利用習題_2.7 (3) 利用習題_2.8

(5)sin²(x) = ^1−cos(2x)₂ , 再利用習題_2.8 (8)√

1 + x³ = (1 + x³)¹², 再利用習題_2.8 (10)(cos⁻¹x)⁰ = ^√−1

1−x² = −1(1 + (−x²))⁻¹², 再利用習題_2.8和_2.5

3.10 (1)e^−iθ = e^i(−θ) = cos(−θ) + isin(−θ) = cosθ − isinθ

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